Set Based probability Questions in Hindi

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
एक पासे पर,अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5\}$ हैं और भाज्य संख्याएँ $\{4, 6\}$ हैं। ध्यान दें कि $1$ न तो अभाज्य है और न ही भाज्य।
हमें एक पासे पर अभाज्य और दूसरे पर भाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
संभावित परिणाम हैं:
$(2, 4), (2, 6), (3, 4), (3, 6), (5, 4), (5, 6)$ (पहले पर अभाज्य,दूसरे पर भाज्य)
$(4, 2), (6, 2), (4, 3), (6, 3), (4, 5), (6, 5)$ (पहले पर भाज्य,दूसरे पर अभाज्य)
कुल अनुकूल परिणाम = $6 + 6 = 12$।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$।

(A) मान लीजिए $P(A)$ छात्र $A$ द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता है और $P(B)$ छात्र $B$ द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता है।
दिया गया है कि $P(A) = \frac{2}{5}$ और $P(B) = \frac{3}{4}$।
समस्या तब हल होती है यदि उनमें से कम से कम एक इसे हल कर ले।
$P(\text{समस्या हल होती है}) = 1 - P(\text{समस्या हल नहीं होती है})$।
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र रूप से प्रयास करते हैं,इसलिए प्रायिकता कि कोई भी इसे हल न करे,$P(\bar{A}) \times P(\bar{B})$ है।
$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$।
$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$।
$P(\text{समस्या हल होती है}) = 1 - (\frac{3}{5} \times \frac{1}{4}) = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$।

(A) माना $M$ गणित की कक्षा में भाग लेने वाले छात्रों का समुच्चय है और $P$ भौतिकी की कक्षा में भाग लेने वाले छात्रों का समुच्चय है। दिया गया है: $P(M) = 40 \%$,$P(P) = 30 \%$,और $P(M \cap P) = 20 \%$.
केवल गणित की कक्षा में भाग लेने वाले छात्रों की प्रायिकता $P(M) - P(M \cap P) = 40 \% - 20 \% = 20 \%$ है।
केवल भौतिकी की कक्षा में भाग लेने वाले छात्रों की प्रायिकता $P(P) - P(M \cap P) = 30 \% - 20 \% = 10 \%$ है।
छात्र द्वारा केवल एक कक्षा में भाग लेने की प्रायिकता केवल गणित और केवल भौतिकी में भाग लेने वाले छात्रों की प्रायिकताओं का योग है: $20 \% + 10 \% = 30 \%$.
भिन्न में बदलने पर,$30 \% = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$.

(B) समीकरण $2x^2+x-1=0$ के लिए,$2x^2+2x-x-1=0 \Rightarrow 2x(x+1)-1(x+1)=0$,अतः $x = \frac{1}{2}, -1$। चूँकि प्रायिकता $P \in [0, 1]$,हम $P_1 = \frac{1}{2}$ लेते हैं।
समीकरण $3x^2-10x+3=0$ के लिए,$3x^2-9x-x+3=0 \Rightarrow 3x(x-3)-1(x-3)=0$,अतः $x = \frac{1}{3}, 3$। चूँकि प्रायिकता $P \in [0, 1]$,हम $P_2 = \frac{1}{3}$ लेते हैं।
समीकरण $6x^2+11x-2=0$ के लिए,$6x^2+12x-x-2=0 \Rightarrow 6x(x+2)-1(x+2)=0$,अतः $x = \frac{1}{6}, -2$। चूँकि प्रायिकता $P \in [0, 1]$,हम $P_3 = \frac{1}{6}$ लेते हैं।
प्रायिकताओं का योग $P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = 1$।
चूँकि घटनाओं की प्रायिकताओं का योग $1$ है,इसलिए घटनाएँ निःशेष हैं।

(D) अंकों ${4, 5, 6, 7, 8, 9}$ का उपयोग करके पुनरावृत्ति के साथ बनाई जा सकने वाली $4$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $6^4 = 1296$ है।
संख्या $N = d_1 d_2 d_3 d_4$ के लिए,अंकों का योग $S = d_1 + d_2 + d_3 + d_4$ है।
एक संख्या $3$ से तभी विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो।
प्रत्येक शेषफल $0, 1, 2$ के लिए दो अंक उपलब्ध हैं।
किसी भी $d_1, d_2, d_3$ के लिए,$d_4$ का चयन इस प्रकार करना होगा कि योग $3$ से विभाज्य हो।
कुल $6$ विकल्पों में से $2$ विकल्प अनुकूल हैं,इसलिए प्रायिकता $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।

(D) $2$ से $1001$ तक की कुल प्राकृतिक संख्याएँ $1001 - 2 + 1 = 1000$ हैं।
हम ऐसी संख्याएँ $n$ ढूँढ रहे हैं जिनके लिए $n \equiv 1 \pmod{7}$ हो।
$2$ से शुरू होने वाली ऐसी संख्याओं का अनुक्रम $8, 15, 22, \dots, 995$ है।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = 8$,सार्व अंतर $d = 7$,और अंतिम पद $l = 995$ है।
सूत्र $l = a + (m - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$995 = 8 + (m - 1)7$
$987 = (m - 1)7$
$m - 1 = 141$
$m = 142$.
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{m}{\text{कुल संख्याएँ}} = \frac{142}{1000} = \frac{71}{500}$ है।

(D) दिया गया है,$P(A)=0.6$,$P(B)=0.4$ और $P(A \cap B)=0$।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है जिसमें न तो $A$ और न ही $B$ घटित हो,जो कि $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B})$।
हम जानते हैं कि $P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P(A \cup B) = 0.6 + 0.4 - 0 = 1.0$।
अतः,$P(\overline{A \cup B}) = 1 - 1.0 = 0$।

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
अनुकूल परिणाम जहाँ योग $7$ से अधिक है:
योग $= 8$: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ ($5$ परिणाम)
योग $= 9$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ ($4$ परिणाम)
योग $= 10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ ($3$ परिणाम)
योग $= 11$: $(5,6), (6,5)$ ($2$ परिणाम)
योग $= 12$: $(6,6)$ ($1$ परिणाम)
कुल अनुकूल परिणाम $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ है।

(B) माना $S$ उन परिणामों का प्रतिदर्श समष्टि है जहाँ दो पासों का योग $7$ है।
संभावित परिणाम हैं:
$S = \{(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)\}$
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
माना $E$ वह घटना है कि संख्या $3$ कम से कम एक बार आती है।
अनुकूल परिणाम हैं:
$E = \{(3, 4), (4, 3)\}$
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।

(D) कुल प्रतिदर्श बिंदु,$n(S) = 6 \times 6 = 36$.
योग $10$ या उससे अधिक होने के अनुकूल परिणाम हैं:
$E = \{(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$.
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या,$n(E) = 6$.
अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(A) दिया गया है,$P(A)=0.5, P(B)=0.4$ और $P(A \cup B)=0.6$.
$(i) \ P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.6 = 0.3$. अतः,$(i) \rightarrow (3)$.
$(ii) \ P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.5 - 0.3 = 0.2$. अतः,$(ii) \rightarrow (2)$.
$(iii) \ P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0.4 - 0.3 = 0.1$. अतः,$(iii) \rightarrow (4)$.
$(iv) \ P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.6 = 0.4$. अतः,$(iv) \rightarrow (1)$.
अतः,सही मिलान $(i)-3, (ii)-2, (iii)-4, (iv)-1$ है।

(C) दिया है,$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\overline{A \cap B}) = \frac{7}{10}$.
चूँकि $P(A \cap B) + P(\overline{A \cap B}) = 1$,इसलिए:
$P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$.
साथ ही,दो घटनाओं के संघ के लिए सूत्र:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{4}{5} = P(A) + \frac{2}{5} - \frac{3}{10}$.
$P(A) = \frac{4}{5} - \frac{2}{5} + \frac{3}{10}$.
$P(A) = \frac{2}{5} + \frac{3}{10} = \frac{4+3}{10} = \frac{7}{10}$.

(A) पासे के फलक $\{2, 3, 5, 7, 11, 13\}$ हैं।
यहाँ $1$ सम संख्या $(2)$ और $5$ विषम संख्याएँ $(3, 5, 7, 11, 13)$ हैं।
दो संख्याओं का योग विषम तभी होता है जब एक संख्या सम और दूसरी विषम हो।
माना $E$ सम संख्या प्राप्त करने की घटना है और $O$ विषम संख्या प्राप्त करने की घटना है।
$P(E) = \frac{1}{6}$ और $P(O) = \frac{5}{6}$.
योग विषम होने की दो स्थितियाँ हैं: (पहला पासा सम,दूसरा विषम) या (पहला पासा विषम,दूसरा सम)।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(E) \times P(O) + P(O) \times P(E)$
$= \left(\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}\right) + \left(\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}\right)$
$= \frac{5}{36} + \frac{5}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

(D) गेंदों की कुल संख्या = $5 + 4 + 3 = 12$.
काली गेंदों की संख्या = $5$.
लाल गेंदों की संख्या = $3$.
अनुकूल परिणामों की संख्या (काली या लाल) = $5 + 3 = 8$.
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

(C) हमें $P(A \cap \overline{B}) = 0.1$,$P(\overline{A} \cap B) = 0.2$,और $P(B) = 0.5$ दिया गया है।
चूँकि $B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B)$,और ये परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$.
मान रखने पर,$0.5 = P(A \cap B) + 0.2$,जिससे $P(A \cap B) = 0.3$ प्राप्त होता है।
अब,$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) = 0.3 + 0.1 = 0.4$.
हमें $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ ज्ञात करना है। डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर,$P(A \cup B) = 0.4 + 0.5 - 0.3 = 0.6$.
अतः,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - 0.6 = 0.4$.

(C) एक सामान्य वर्ष में $365$ दिन होते हैं,अर्थात $52$ पूर्ण सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन।
यह अतिरिक्त दिन सप्ताह के $7$ दिनों में से कोई भी हो सकता है।
माना $E_1$ $53$ रविवार प्राप्त करने की घटना है,$E_2$ $53$ मंगलवार प्राप्त करने की घटना है,और $E_3$ $53$ गुरुवार प्राप्त करने की घटना है।
चूंकि ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी (mutually exclusive) हैं,इसलिए $53$ रविवार या $53$ मंगलवार या $53$ गुरुवार प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E_1 \cup E_2 \cup E_3) = P(E_1) + P(E_2) + P(E_3)$ होगी।
$P(E_1) = \frac{1}{7}$,$P(E_2) = \frac{1}{7}$,और $P(E_3) = \frac{1}{7}$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$ है।

(D) हमें दिया गया है कि $P(A \cup B) = P(A \cap B)$.
चूंकि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$,दी गई शर्त को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$2P(A \cap B) = P(A) + P(B)$.
साथ ही,चूंकि $A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$ और $A \cap B \subseteq B \subseteq A \cup B$,शर्त $P(A \cup B) = P(A \cap B)$ का अर्थ है कि $P(A) = P(B) = P(A \cap B)$.
इसका मतलब है कि $P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = 0$ और $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0$.
अतः,विकल्प $A$,$B$,और $C$ सत्य हैं।
हालाँकि,$P(A) + P(B) = 2P(A \cap B)$,जो आवश्यक रूप से $1$ के बराबर नहीं है। इसलिए,विकल्प $D$ सत्य नहीं है।

(B) पूर्णांकों का समुच्चय $S = \{x \in Z \mid -25 \leq x \leq 25, x \neq 0\}$ है। कुल अवयवों की संख्या $50$ है।
असमिका $x + 6 \leq \frac{135}{x}$ को हल करने पर,हमें $\frac{x^2 + 6x - 135}{x} \leq 0$ प्राप्त होता है।
अंश का गुणनखंड करने पर,$\frac{(x + 15)(x - 9)}{x} \leq 0$ प्राप्त होता है।
चिह्न विधि का उपयोग करने पर,असमिका का हल समुच्चय $x \in (-\infty, -15] \cup (0, 9]$ है।
इसे दिए गए समुच्चय $S$ के साथ प्रतिच्छेद करने पर,हमें $x \in [-25, -15] \cup \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ प्राप्त होता है।
$[-25, -15]$ में पूर्णांकों की संख्या $11$ है और $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ में पूर्णांकों की संख्या $9$ है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 11 + 9 = 20$.
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}$.

(D) दिया है,$P(A \cup B)=0.8$ और $P(A \cap B)=0.3$।
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
अतः,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B) = 0.8 + 0.3 = 1.1$।
हमें $P(A^C) + P(B^C)$ ज्ञात करना है।
गुणधर्म $P(E^C) = 1 - P(E)$ का उपयोग करने पर:
$P(A^C) + P(B^C) = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$।
$P(A) + P(B)$ का मान रखने पर:
$P(A^C) + P(B^C) = 2 - 1.1 = 0.9$।

(D) दिया गया है,$P(B) = \frac{3}{2} P(A)$ और $P(C) = \frac{1}{2} P(B)$.
चूँकि $A, B$ और $C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएँ हैं,उनकी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
$P(A)$ के पदों में मान रखने पर:
$P(A) + \frac{3}{2} P(A) + \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} P(A) \right) = 1$
$P(A) \left( 1 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} \right) = 1$
$P(A) \left( \frac{4 + 6 + 3}{4} \right) = 1$
$\frac{13}{4} P(A) = 1 \implies P(A) = \frac{4}{13}$
अब,$P(C)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$P(C) = \frac{3}{4} P(A) = \frac{3}{4} \times \frac{4}{13} = \frac{3}{13}$
चूँकि $A$ और $C$ परस्पर अपवर्जी हैं,$P(A \cup C) = P(A) + P(C)$:
$P(A \cup C) = \frac{4}{13} + \frac{3}{13} = \frac{7}{13}$

(A) दिया गया है कि $P(A \cap B) = \frac{3}{25}$ और $P(B - A) = \frac{8}{25}$ है।
समुच्चय और प्रायिकता के गुणों के अनुसार,घटना $B$ को दो असंयुक्त समुच्चयों के संघ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $(B - A)$ और $(A \cap B)$।
इसलिए,$P(B) = P(B - A) + P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(B) = \frac{8}{25} + \frac{3}{25} = \frac{11}{25}$।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + 4x + c = 0$ है।
वास्तविक मूलों के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac \geq 0$
$a = 1, b = 4$ मान रखने पर:
$4^2 - 4(1)(c) \geq 0$
$16 - 4c \geq 0$
$16 \geq 4c$
$c \leq 4$।
चूंकि $c$ को समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ से चुना गया है,इसलिए $c$ के संभावित मान $\{1, 2, 3, 4\}$ हैं।
कुल $9$ संभावित परिणामों में से $4$ अनुकूल परिणाम हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{4}{9}$ है।

(D) हम जानते हैं कि किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ होता है।
अतः,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P(A) + P(B) = 0.8 + 0.3 = 1.1$।
हम जानते हैं कि $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ और $P(\bar{B}) = 1 - P(B)$ होता है।
इस प्रकार,$P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$।
$P(A) + P(B) = 1.1$ रखने पर,हमें $P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = 2 - 1.1 = 0.9$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि,$P(A) = 0.25$ और $P(B) = 0.50$।
दोनों घटनाओं के एक साथ होने की प्रायिकता $P(A \cap B) = 0.14$ है।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए,कम से कम एक घटना के होने की प्रायिकता:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = 0.25 + 0.50 - 0.14 = 0.61$।
न तो $A$ और न ही $B$ के होने की प्रायिकता $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ है,जो $P(\overline{A \cup B})$ के बराबर है।
$P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.61 = 0.39$।

(C) मान लीजिए $P(A), P(B), P(C)$ क्रमशः $A, B, C$ द्वारा गुब्बारे को निशाना बनाने की प्रायिकताएं हैं।
$P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$,इसलिए $P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$P(B) = \frac{3}{5}$,इसलिए $P(\bar{B}) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
$P(C) = \frac{2}{3}$,इसलिए $P(\bar{C}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
कम से कम दो लोगों द्वारा निशाना लगाने का अर्थ है कि ठीक दो लोग निशाना लगाएं या तीनों लोग निशाना लगाएं।
प्रायिकता (ठीक दो निशाना लगाएं) = $P(A)P(B)P(\bar{C}) + P(A)P(\bar{B})P(C) + P(\bar{A})P(B)P(C)$
$= (\frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{3}) + (\frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{3})$
$= \frac{6}{45} + \frac{8}{45} + \frac{6}{45} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$.
प्रायिकता (तीनों निशाना लगाएं) = $P(A)P(B)P(C) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}$.
कुल प्रायिकता = $\frac{20}{45} + \frac{12}{45} = \frac{32}{45}$.

(C) मान लीजिए $G$ एक लड़की को और $B$ एक लड़के को दर्शाता है। प्रत्येक समूह के लिए प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:
समूह $A$: $P(G_A) = \frac{3}{4}$,$P(B_A) = \frac{1}{4}$
समूह $B$: $P(G_B) = \frac{2}{4}$,$P(B_B) = \frac{2}{4}$
समूह $C$: $P(G_C) = \frac{1}{4}$,$P(B_C) = \frac{3}{4}$
हमें $1$ लड़की और $2$ लड़के चुनने हैं। संभावित स्थितियाँ इस प्रकार हैं:

स्थिति	$A, B, C$ से चयन	प्रायिकता
$1$	$G, B, B$	$\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{64}$
$2$	$B, G, B$	$\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{64}$
$3$	$B, B, G$	$\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{64}$

कुल प्रायिकता $= \frac{18}{64} + \frac{6}{64} + \frac{2}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}$.

(B) संख्याओं का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \ldots, 1000\}$ है,इसलिए कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 1000$ है।
हम ऐसी संख्याएँ $n$ ढूँढ रहे हैं जिनके लिए $n \equiv 1 \pmod{7}$ हो।
ये संख्याएँ $n = 7k + 1$ के रूप में हैं,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$1 \le n \le 1000$ के लिए,हमारे पास $1 \le 7k + 1 \le 1000$ है।
सभी भागों से $1$ घटाने पर: $0 \le 7k \le 999$।
$7$ से विभाजित करने पर: $0 \le k \le \frac{999}{7} \approx 142.71$।
चूंकि $k$ एक पूर्णांक होना चाहिए,$k$ का मान $0, 1, 2, \ldots, 142$ हो सकता है।
ऐसे मानों की संख्या $142 - 0 + 1 = 143$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 143$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{143}{1000}$ है।

(D) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें उन युग्मों $(x, y)$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $x^2 + y^2 \leq 25$ हो,जहाँ $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
प्रत्येक $x$ के मान के लिए अनुकूल परिणामों की सूची इस प्रकार है:
यदि $x = 1$,तो $1^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 24$. $y$ के संभावित मान $\{1, 2, 3, 4\}$ हैं ($4$ परिणाम)।
यदि $x = 2$,तो $2^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 21$. $y$ के संभावित मान $\{1, 2, 3, 4\}$ हैं ($4$ परिणाम)।
यदि $x = 3$,तो $3^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 16$. $y$ के संभावित मान $\{1, 2, 3, 4\}$ हैं ($4$ परिणाम)।
यदि $x = 4$,तो $4^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 9$. $y$ के संभावित मान $\{1, 2, 3\}$ हैं ($3$ परिणाम)।
यदि $x = 5$,तो $5^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 0$. $y$ का कोई संभावित मान नहीं है क्योंकि $y \geq 1$ है।
यदि $x = 6$,तो $6^2 + y^2 \leq 25$. $y$ का कोई संभावित मान नहीं है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 4 + 4 + 4 + 3 = 15$ हैं।
प्रायिकता $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ है।
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(C) माना $P(A)$ पहले व्यक्ति द्वारा लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता है और $P(B)$ दूसरे व्यक्ति द्वारा लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता है।
दिया गया है कि $P(A) = \frac{1}{4}$ और $P(B) = \frac{1}{5}$।
लक्ष्य तब भेद दिया जाता है यदि उनमें से कम से कम एक व्यक्ति लक्ष्य को भेद दे।
उस प्रायिकता की गणना करना आसान है कि लक्ष्य बिल्कुल भी न भेदा जाए।
पहले व्यक्ति द्वारा लक्ष्य चूकने की प्रायिकता $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
दूसरे व्यक्ति द्वारा लक्ष्य चूकने की प्रायिकता $P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
चूंकि वे स्वतंत्र रूप से प्रयास करते हैं,इसलिए दोनों के लक्ष्य चूकने की प्रायिकता $P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$ है।
अतः,लक्ष्य के भेदने की प्रायिकता $1 - P(A' \cap B') = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(A) मान लीजिए कि बक्से $Q$ से निकाली गई पर्ची पर संख्या $x$ है और बक्से $P$ से निकाली गई पर्ची पर संख्या $y$ है। $x$ और $y$ दोनों पूर्णांक हैं जैसे कि $1 \leq x, y \leq 100$।
हमें शर्त दी गई है कि $y = x^2$।
चूंकि $y \leq 100$,इसलिए $x^2 \leq 100$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $x \leq 10$।
अतः,संभावित जोड़े $(x, y)$ हैं: $(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25), (6, 36), (7, 49), (8, 64), (9, 81), (10, 100)$।
ऐसे $10$ अनुकूल परिणाम हैं।
प्रत्येक बक्से से एक पर्ची निकालते समय कुल संभावित परिणामों की संख्या $100 \times 100 = 10000$ है।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{10}{10000} = \frac{1}{1000}$।
इसे प्रतिशत में बदलने पर: $\frac{1}{1000} \times 100\% = 0.1\%$।

(C) माना $A$ $IITJEE$ में उत्तीर्ण होने की घटना है और $B$ $EAMCET$ में उत्तीर्ण होने की घटना है।
दिया गया है: $P(A) = \frac{1}{5}$ और $P(B) = \frac{3}{5}$।
यह मानते हुए कि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,कम से कम एक परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{25}$।
अतः,$P(A \cup B) = \frac{1}{5} + \frac{3}{5} - \frac{3}{25}$।
$P(A \cup B) = \frac{5}{25} + \frac{15}{25} - \frac{3}{25} = \frac{17}{25}$।

(A) माना $P(B)=x$. तब,$P(A)=\frac{2}{3} x$ और $P(C)=\frac{1}{2} x$.
यदि $A, B, C$ निशेष और परस्पर अपवर्जी हैं,तो $P(A \cup B \cup C)=1$.
चूंकि वे परस्पर अपवर्जी हैं,$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1$.
मान रखने पर: $\frac{2}{3} x + x + \frac{1}{2} x = 1$.
$\frac{4x + 6x + 3x}{6} = 1 \Rightarrow \frac{13x}{6} = 1 \Rightarrow x = \frac{6}{13}$.
अतः,$P(A) = \frac{2}{3} \times \frac{6}{13} = \frac{4}{13}$,$P(B) = \frac{6}{13}$,और $P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{6}{13} = \frac{3}{13}$.
अब,$P(A \cup C) = P(A) + P(C) = \frac{4}{13} + \frac{3}{13} = \frac{7}{13}$.
इसलिए,विकल्प $A$ सही है.

(B) दो पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ है।
$E$ योग $8$ प्राप्त करने की घटना है। परिणाम $\{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\}$ हैं।
अतः,$n(E) = 5$,और $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5}{36}$। इसलिए,कथन $I$ असत्य है।
$F$ दोनों पासों पर सम संख्या प्राप्त करने की घटना है। परिणाम $\{(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)\}$ हैं।
अतः,$n(F) = 9$,और $P(F) = \frac{n(F)}{n(S)} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$। इसलिए,कथन $II$ असत्य है।
अतः,न तो $I$ और न ही $II$ सत्य है।

(B) पासे पर $5$ आने की प्रायिकता $P(A) = \frac{1}{6}$ है।
सिक्के पर टेल आने की प्रायिकता $P(B) = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए अभीष्ट प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$ है।

(B) एक गैर-लीप वर्ष में $365$ दिन होते हैं,जो $52$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन के बराबर है।
इस अतिरिक्त दिन के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{ \text{रविवार}, \text{सोमवार}, \text{मंगलवार}, \text{बुधवार}, \text{गुरुवार}, \text{शुक्रवार}, \text{शनिवार} \}$ है।
इस अतिरिक्त दिन के लिए $7$ संभावित परिणाम हैं।
मान लीजिए $A$ $53$ रविवार होने की घटना है और $B$ $53$ शनिवार होने की घटना है।
यदि अतिरिक्त दिन रविवार है तो वर्ष में $53$ रविवार होंगे,इसलिए $P(A) = \frac{1}{7}$।
यदि अतिरिक्त दिन शनिवार है तो वर्ष में $53$ शनिवार होंगे,इसलिए $P(B) = \frac{1}{7}$।
चूंकि ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए $53$ रविवार या $53$ शनिवार होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$ है।