Set Based probability Questions in Hindi

(A) दिया गया है,$P(A)=0.5, P(B)=0.4$ और $P(A \cup B)=0.6$.
$(i) \ P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.6 = 0.3$. अतः,$(i)-(3)$.
$(ii) \ P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.5 - 0.3 = 0.2$. अतः,$(ii)-(2)$.
$(iii) \ P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0.4 - 0.3 = 0.1$. अतः,$(iii)-(4)$.
$(iv) \ P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.6 = 0.4$. अतः,$(iv)-(1)$.
अतः,सही मिलान $(i)-(3), (ii)-(2), (iii)-(4), (iv)-(1)$ है।

(D) माना $A$ वह घटना है कि पहला छात्र उत्तीर्ण होता है और $B$ वह घटना है कि दूसरा छात्र उत्तीर्ण होता है।
दिया गया है कि $P(A) = \frac{1}{4}$ और $P(B) = \frac{2}{5}$।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए प्रायिकता कि कोई भी उत्तीर्ण न हो,$P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \times P(B^c)$ है।
$P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
$P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$।
कोई भी उत्तीर्ण न होने की प्रायिकता = $\frac{3}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{20}$।
कम से कम एक के उत्तीर्ण होने की प्रायिकता = $1 - P(\text{कोई भी उत्तीर्ण न हो}) = 1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20}$।

(A) दिया गया है,$P(A)=0.4, P(B)=0.3$ और $P(A \cap B)=0.2$।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है जिसमें न तो $A$ और न ही $B$ घटित हो,जो कि $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$।
सबसे पहले,$P(A \cup B)$ की गणना करें:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.4 + 0.3 - 0.2 = 0.5$।
अतः,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - 0.5 = 0.5$।

(C) $A =$ घटना कि $A$ सच बोलता है।
$B =$ घटना कि $B$ सच बोलता है।
$P(A) = 4/5 \implies P(A^c) = 1/5$.
$P(B) = 3/4 \implies P(B^c) = 1/4$.
$A$ और $B$ एक-दूसरे का खंडन तब करते हैं जब एक सच बोलता है और दूसरा झूठ बोलता है।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(A) \cdot P(B^c) + P(A^c) \cdot P(B)$.
$= (4/5 \times 1/4) + (1/5 \times 3/4)$.
$= 4/20 + 3/20 = 7/20$.

(A) चूँकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,$A \cap B = \phi$,जिसका अर्थ है $P(A \cap B) = 0$.
दिया गया है $P(A) = \frac{1}{4}$ और $P(B) = \frac{3}{7}$.
हमें $P(A / A \cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)}$ ज्ञात करना है।
चूँकि $A \subset (A \cup B)$,इसलिए $A \cap (A \cup B) = A$,अतः $P(A \cap (A \cup B)) = P(A) = \frac{1}{4}$.
साथ ही,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{4} + \frac{3}{7} - 0 = \frac{7 + 12}{28} = \frac{19}{28}$.
अतः,$P(A / A \cup B) = \frac{1/4}{19/28} = \frac{1}{4} \times \frac{28}{19} = \frac{7}{19}$.

(A) चूँकि $A, B, C$ परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(B \cap C) = P(C \cap A) = P(A \cap B \cap C) = 0$ है।
किसी भी घटना $E$ के लिए,$0 \leq P(E) \leq 1$ होता है।
$1$. $P(A) = \frac{3x+1}{3}$ के लिए: $0 \leq \frac{3x+1}{3} \leq 1 \implies -\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{2}{3}$।
$2$. $P(B) = \frac{1-x}{4}$ के लिए: $0 \leq \frac{1-x}{4} \leq 1 \implies -3 \leq x \leq 1$।
$3$. $P(C) = \frac{1-2x}{2}$ के लिए: $0 \leq \frac{1-2x}{2} \leq 1 \implies -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$।
इन अंतरालों का सर्वनिष्ठ: $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ है।
साथ ही,परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए,$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) \leq 1$ होता है।
$\frac{3x+1}{3} + \frac{1-x}{4} + \frac{1-2x}{2} \leq 1 \implies \frac{13-3x}{12} \leq 1 \implies x \geq \frac{1}{3}$।
अतः,$x \in [\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ है।

(B) माना $C$ के जीतने की प्रायिकता $P(C) = p$ है।
चूंकि $A$ और $B$ के जीतने की संभावना $C$ से दोगुनी है,इसलिए $P(A) = 2p$ और $P(B) = 2p$ है।
सभी संभावित परिणामों की प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $P(A) + P(B) + P(C) = 1$ है।
मान रखने पर,$2p + 2p + p = 1$,जिसका अर्थ है $5p = 1$,अतः $p = \frac{1}{5}$।
$B$ या $C$ के जीतने की प्रायिकता $P(B \cup C) = P(B) + P(C)$ है (क्योंकि घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं)।
$P(B \cup C) = 2p + p = 3p = 3 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$।

(A) हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि न तो $A$ और न ही $B$ घटित हो,जो $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$ है।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A \cup B) = 0.58 + 0.32 - 0.28 = 0.62$ है।
अतः,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.62 = 0.38$ है।

(D) माना कि $i$ संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(i)$ है।
चूंकि $P(i) \propto i$,इसलिए $P(i) = Ki$ जहाँ $K$ एक स्थिरांक है।
सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए:
$\sum_{i=1}^{6} P(i) = K(1+2+3+4+5+6) = 21K = 1$.
अतः,$K = \frac{1}{21}$.
विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(1) + P(3) + P(5)$ है।
$= K(1 + 3 + 5) = 9K$.
$= 9 \times \frac{1}{21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$.

(D) दिया गया है $P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$,इसलिए $P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
दिया गया है $P(\overline{A \cup B}) = \frac{1}{6}$,इसलिए $P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करते हुए,$\frac{5}{6} = \frac{3}{4} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$\frac{5}{6} = \frac{2}{4} + P(B) = \frac{1}{2} + P(B)$.
$P(B) = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
चूंकि $P(A) = \frac{3}{4}$ और $P(B) = \frac{1}{3}$,$P(A) \neq P(B)$,इसलिए वे समान रूप से संभावित नहीं हैं।
स्वतंत्रता के लिए जाँच: $P(A) \times P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$,हमारे पास $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ है,जिसका अर्थ है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।
अतः,घटनाएँ स्वतंत्र हैं लेकिन समान रूप से संभावित नहीं हैं।

(C) चूँकि $A, B, C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A) + P(B) + P(C) = 1$.
दिया गया है $P(B) = 2 P(C)$,अतः $P(C) = \frac{1}{2} P(B)$.
यह भी दिया गया है कि $P(A) = \frac{2}{3} P(B)$.
इन मानों को योग में रखने पर: $\frac{2}{3} P(B) + P(B) + \frac{1}{2} P(B) = 1$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(6)$ लेने पर: $\frac{4}{6} P(B) + \frac{6}{6} P(B) + \frac{3}{6} P(B) = 1$.
$\frac{13}{6} P(B) = 1 \implies P(B) = \frac{6}{13}$.
अतः $P(A) = \frac{2}{3} \times \frac{6}{13} = \frac{4}{13}$ और $P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{6}{13} = \frac{3}{13}$.
चूँकि $A$ और $C$ परस्पर अपवर्जी हैं,$P(A \cup C) = P(A) + P(C) = \frac{4}{13} + \frac{3}{13} = \frac{7}{13}$.

(A) मान लीजिए $P, Q, R$ वे घटनाएं हैं कि $P, Q, R$ लक्ष्य को भेदते हैं।
दी गई प्रायिकताएं $P(P) = \frac{2}{3}, P(Q) = \frac{3}{5}, P(R) = \frac{5}{7}$ हैं।
लक्ष्य को न भेदने की प्रायिकताएं $P(P') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$,$P(Q') = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$,और $P(R') = 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$ हैं।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि लक्ष्य $P$ या $Q$ द्वारा भेदा जाए लेकिन $R$ द्वारा नहीं। यह तीन परस्पर अपवर्जी तरीकों से हो सकता है:
$1$. $P$ भेदता है,$Q$ चूक जाता है,$R$ चूक जाता है: $P(P) \times P(Q') \times P(R') = \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{8}{105}$.
$2$. $P$ चूक जाता है,$Q$ भेदता है,$R$ चूक जाता है: $P(P') \times P(Q) \times P(R') = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{105}$.
$3$. $P$ भेदता है,$Q$ भेदता है,$R$ चूक जाता है: $P(P) \times P(Q) \times P(R') = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{12}{105}$.
इन प्रायिकताओं का योग: $\frac{8}{105} + \frac{6}{105} + \frac{12}{105} = \frac{26}{105}$.

(C) बॉक्स $P$ में कुल गेंदें $= 1 + 3 + 2 = 6$।
बॉक्स $Q$ में कुल गेंदें $= 2 + 3 + 4 = 9$।
मान लीजिए $W_P, R_P, B_P$ बॉक्स $P$ से क्रमशः सफेद,लाल और काली गेंद निकालने की घटनाएं हैं,और $W_Q, R_Q, B_Q$ बॉक्स $Q$ के लिए संबंधित घटनाएं हैं।
प्रायिकताएं इस प्रकार हैं:
$P(W_P) = \frac{1}{6}, P(R_P) = \frac{3}{6}, P(B_P) = \frac{2}{6}$
$P(W_Q) = \frac{2}{9}, P(R_Q) = \frac{3}{9}, P(B_Q) = \frac{4}{9}$
गेंदों के समान रंग के होने की प्रायिकता:
$P(\text{same}) = P(W_P)P(W_Q) + P(R_P)P(R_Q) + P(B_P)P(B_Q)$
$P(\text{same}) = (\frac{1}{6} \times \frac{2}{9}) + (\frac{3}{6} \times \frac{3}{9}) + (\frac{2}{6} \times \frac{4}{9}) = \frac{2 + 9 + 8}{54} = \frac{19}{54}$
गेंदों के अलग-अलग रंग के होने की प्रायिकता:
$P(\text{different}) = 1 - P(\text{same}) = 1 - \frac{19}{54} = \frac{35}{54}$

(C) समुच्चय $\{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ से प्रतिस्थापन के साथ दो संख्याएँ $x$ और $y$ चुनने के कुल तरीके $10 \times 10 = 100$ हैं।
हमें उन युग्मों $(x, y)$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $|x^2 - y^2|$,$6$ से विभाज्य हो।
यह स्थिति $|(x - y)(x + y)|$ के $6$ से विभाज्य होने के समतुल्य है।
हम $x$ का मान $1$ से $10$ तक लेकर $y$ के ऐसे मान ज्ञात करते हैं कि $x^2 \equiv y^2 \pmod{6}$ हो।
$6$ के मापांक में वर्ग इस प्रकार हैं: $1^2 \equiv 1, 2^2 \equiv 4, 3^2 \equiv 3, 4^2 \equiv 4, 5^2 \equiv 1, 6^2 \equiv 0, 7^2 \equiv 1, 8^2 \equiv 4, 9^2 \equiv 3, 10^2 \equiv 4$.
मानों के अनुसार समूहीकरण: $0: \{6\}$,$1: \{1, 5, 7\}$,$3: \{3, 9\}$,$4: \{2, 4, 8, 10\}$.
ऐसे युग्मों $(x, y)$ की संख्या जिनके लिए $x^2 \equiv y^2 \pmod{6}$ है:
$x^2 \equiv 0$ के लिए: $1^2 = 1$ युग्म $(6, 6)$।
$x^2 \equiv 1$ के लिए: $3^2 = 9$ युग्म $(\{1, 5, 7\} \times \{1, 5, 7\})$ ।
$x^2 \equiv 3$ के लिए: $2^2 = 4$ युग्म $(\{3, 9\} \times \{3, 9\})$ ।
$x^2 \equiv 4$ के लिए: $4^2 = 16$ युग्म $(\{2, 4, 8, 10\} \times \{2, 4, 8, 10\})$ ।
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 9 + 4 + 16 = 30$ ।
प्रायिकता $= \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$ ।

(C) दिया गया है कि $A$ वह घटना है कि $X$ परीक्षा उत्तीर्ण करता है और $B$ वह घटना है कि $Y$ परीक्षा उत्तीर्ण करता है।
$P(A) = \frac{1}{7}$ और $P(B) = \frac{2}{9}$ है।
चूंकि घटनाएं $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए दोनों के परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $P(A \cap B) = \frac{1}{7} \times \frac{2}{9} = \frac{2}{63}$ प्राप्त होता है।

(D) जब तीन निष्पक्ष सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
माना $E$ अधिकतम दो चित प्राप्त करने की घटना है।
पूरक घटना $E'$ की गणना करना आसान है,जो तीन चित प्राप्त करने की घटना है।
$E' = \{HHH\}$
$E'$ में परिणामों की संख्या $n(E') = 1$ है।
तीन चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E') = \frac{n(E')}{n(S)} = \frac{1}{8}$ है।
अधिकतम दो चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ है।

(B) जब दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $A$ पहले पासे पर $2$ का गुणज प्राप्त करने की घटना है,अर्थात $A \in \{2, 4, 6\}$।
मान लीजिए $B$ दूसरे पासे पर $3$ का गुणज प्राप्त करने की घटना है,अर्थात $B \in \{3, 6\}$।
हमें एक पासे पर $2$ का गुणज और दूसरे पासे पर $3$ का गुणज प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
मान लीजिए $E$ अनुकूल परिणामों का समुच्चय है:
$E = \{(2,3), (4,3), (6,3), (2,6), (4,6), (6,6), (3,2), (3,4), (3,6), (6,2), (6,4)\}$।
ध्यान दें कि $(6,6)$ को शामिल किया गया है क्योंकि यह एक पासे पर $2$ का गुणज और दूसरे पासे पर $3$ का गुणज होने की शर्त को पूरा करता है।
$E$ में अवयवों की संख्या गिनने पर,हमें $n(E) = 11$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{11}{36}$ है।

(B) कुल कार्डों की संख्या $n(S) = 27$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि संख्या सम है। $1$ से $27$ के बीच सम संख्याएँ $\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26\}$ हैं।
अतः,$n(E) = 13$ है।
मान लीजिए $F$ वह घटना है कि संख्या $5$ से विभाज्य है। $5$ से विभाज्य संख्याएँ $\{5, 10, 15, 20, 25\}$ हैं।
अतः,$n(F) = 5$ है।
सर्वनिष्ठ $E \cap F$ में वे संख्याएँ शामिल हैं जो सम भी हैं और $5$ से विभाज्य भी हैं,जो कि $10$ के गुणज हैं। ये संख्याएँ $\{10, 20\}$ हैं।
अतः,$n(E \cap F) = 2$ है।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए,$n(E \cup F) = n(E) + n(F) - n(E \cap F) = 13 + 5 - 2 = 16$ है।
अतः,प्रायिकता $P(E \cup F) = \frac{n(E \cup F)}{n(S)} = \frac{16}{27}$ है।

(B) मान लीजिए $P(A) = \frac{1}{2}$,$P(B) = \frac{1}{3}$,और $P(C) = \frac{1}{4}$ क्रमशः छात्रों $A, B$,और $C$ द्वारा समस्या को हल करने की प्रायिकताएँ हैं।
अतः,उनके द्वारा समस्या को हल न कर पाने की प्रायिकताएँ $P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,$P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,और $P(\bar{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ हैं।
समस्या के उनमें से ठीक एक द्वारा हल किए जाने की प्रायिकता इस प्रकार है:
$P(\text{ठीक एक}) = P(A)P(\bar{B})P(\bar{C}) + P(\bar{A})P(B)P(\bar{C}) + P(\bar{A})P(\bar{B})P(C)$
$= (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4})$
$= \frac{6}{24} + \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{11}{24}$.

(A) मान लीजिए कि $W_i$ और $B_i$ क्रमशः बक्से $B_i$ से सफेद और काली गेंद निकालने की घटनाएं हैं। प्रायिकताएं इस प्रकार हैं:
$B_1$ के लिए: $P(W_1) = \frac{1}{3}, P(B_1) = \frac{2}{3}$
$B_2$ के लिए: $P(W_2) = \frac{3}{4}, P(B_2) = \frac{1}{4}$
$B_3$ के लिए: $P(W_3) = \frac{2}{5}, P(B_3) = \frac{3}{5}$
हमें दो काली और एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। यह तीन परस्पर अनन्य तरीकों से हो सकता है:
$1$. $(W_1, B_2, B_3)$: $P(W_1) \times P(B_2) \times P(B_3) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{60}$
$2$. $(B_1, W_2, B_3)$: $P(B_1) \times P(W_2) \times P(B_3) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{18}{60}$
$3$. $(B_1, B_2, W_3)$: $P(B_1) \times P(B_2) \times P(W_3) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{60}$
कुल प्रायिकता इन प्रायिकताओं का योग है:
$P = \frac{3}{60} + \frac{18}{60} + \frac{4}{60} = \frac{25}{60} = \frac{5}{12}$

(C) माना $E$ सिक्के पर चित प्राप्त करने की घटना है।
माना $F$ पासे पर एक विषम संख्या $(1, 3, 5)$ प्राप्त करने की घटना है।
चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E) = \frac{1}{2}$ है।
छह-फलकीय पासे पर विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(F) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि सिक्का और पासा स्वतंत्र हैं,इसलिए घटनाएँ $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं।
अतः,दोनों घटनाओं के एक साथ होने की प्रायिकता $P(E \cap F) = P(E) \times P(F)$ है।
$P(E \cap F) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

(D) माना $P(C) = p$ है। तब $P(B) = 2p$ और $P(A) = 2(2p) = 4p$ होगा।
चूंकि उनमें से कोई एक अवश्य जीतेगा,इसलिए उनकी प्रायिकताओं का योग $1$ होगा:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
$4p + 2p + p = 1$
$7p = 1$
$p = \frac{1}{7}$
अतः,$P(A) = 4p = 4 \times \frac{1}{7} = \frac{4}{7}$।
$A$ के हारने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$ है।

(A) मान लीजिए $P(A)$ छात्र $A$ द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता है,इसलिए $P(A) = \frac{2}{5}$।
मान लीजिए $P(B)$ छात्र $B$ द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता है,इसलिए $P(B) = \frac{3}{4}$।
छात्र $A$ द्वारा समस्या हल न करने की प्रायिकता $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ है।
छात्र $B$ द्वारा समस्या हल न करने की प्रायिकता $P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ है।
समस्या तब हल होती है यदि उनमें से कम से कम एक इसे हल कर ले। यह उस घटना की पूरक घटना है कि उनमें से कोई भी समस्या हल नहीं कर पाता है।
प्रायिकता कि कोई भी समस्या हल नहीं कर पाता = $P(A') \times P(B') = \frac{3}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{20}$।
समस्या हल होने की प्रायिकता = $1 - P(\text{कोई हल नहीं कर पाता}) = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$।

(A) मान लीजिए $P(A)$ वह प्रायिकता है कि व्यक्ति $A$ कार्य पूरा करता है,$P(A) = \frac{2}{3}$.
मान लीजिए $P(B)$ वह प्रायिकता है कि व्यक्ति $B$ कार्य पूरा करता है,$P(B) = \frac{3}{4}$.
कार्य तब पूरा होता है यदि उनमें से कम से कम एक व्यक्ति कार्य पूरा कर ले।
यह $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$P(A \cup B) = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$.
$12$ का सामान्य हर लेने पर:
$P(A \cup B) = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} - \frac{6}{12} = \frac{11}{12}$.
अतः,कार्य पूरा होने की प्रायिकता $\frac{11}{12}$ है।

(C) चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ है।
दिया गया है कि $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$,मान लीजिए $P(A) = x$ और $P(B) = y$ है। अतः,$xy = \frac{1}{6}$ है।
दोनों में से किसी के भी न घटित होने की प्रायिकता $P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = \frac{1}{3}$ है।
इसलिए,$P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर,हमें $x + y - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x + y = \frac{5}{6}$ है।
$y = \frac{5}{6} - x$ को $xy = \frac{1}{6}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x(\frac{5}{6} - x) = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $6x^2 - 5x + 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(2x - 1)(3x - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \frac{1}{2}$ या $x = \frac{1}{3}$ है।
इसलिए,$A$ के घटित होने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ या $\frac{1}{3}$ है।

(B) $n$ स्वतंत्र घटनाओं $X_1, X_2, \ldots, X_n$ में से किसी के भी न होने की प्रायिकता $P(X_1' \cap X_2' \cap \ldots \cap X_n')$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,यह $P(X_1') P(X_2') \ldots P(X_n')$ के बराबर है।
दिया गया है $P(X_r) = \frac{1}{r+1}$,इसलिए पूरक घटना की प्रायिकता $P(X_r') = 1 - P(X_r) = 1 - \frac{1}{r+1} = \frac{r}{r+1}$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता:
$P(X_1') P(X_2') \ldots P(X_n') = \left(1 - \frac{1}{2}\right) \left(1 - \frac{1}{3}\right) \ldots \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)$
$= \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \ldots \times \frac{n}{n+1}$
$= \frac{1}{n+1}$.

(A) मान लीजिए $P(X), P(Y), P(Z)$ क्रमशः छात्रों $X, Y, Z$ के परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकताएं हैं।
दिया गया है:
$P(X) = \frac{1}{5} \implies P(X') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
$P(Y) = \frac{1}{4} \implies P(Y') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$P(Z') = \frac{2}{3} \implies P(Z) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
हमें कम से कम दो छात्रों के उत्तीर्ण होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो कि ठीक दो छात्रों के उत्तीर्ण होने और तीनों छात्रों के उत्तीर्ण होने की प्रायिकताओं का योग है।
$P(\text{कम से कम 2 उत्तीर्ण}) = P(X)P(Y)P(Z') + P(X)P(Y')P(Z) + P(X')P(Y)P(Z) + P(X)P(Y)P(Z)$
$= (\frac{1}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{4}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3})$
$= \frac{2}{60} + \frac{3}{60} + \frac{4}{60} + \frac{1}{60} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
दो संख्याओं का गुणनफल विषम तभी होता है जब दोनों संख्याएँ विषम हों।
पासे पर विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5\}$ हैं।
उन परिणामों की संख्या जहाँ दोनों पासों पर विषम संख्या आती है,$3 \times 3 = 9$ है।
गुणनफल सम होता है यदि वह विषम न हो।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या जहाँ गुणनफल सम है,$36 - 9 = 27$ है।
सम गुणनफल प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$ है।

(B) $A, B, C$ युग्मवार स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
$\Rightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = P^2$
$P(B \cap C) = P(B) \cdot P(C) = P^2$
$P(C \cap A) = P(C) \cdot P(A) = P^2$
यह दिया गया है कि वे सभी एक साथ घटित नहीं हो सकती हैं,इसलिए $P(A \cap B \cap C) = 0$ है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] + P(A \cap B \cap C)$
$P(A \cup B \cup C) = P + P + P - [P^2 + P^2 + P^2] + 0$
$P(A \cup B \cup C) = 3P - 3P^2 = 3P(1-P)$.

(A) दिया गया है कि $E_k = \{(a, b) \in S : ab = k\}$ जहाँ $k \geq 1$ और $p_k = P(E_k)$ है।
प्रतिदर्श समष्टि $S$ में कुल $6 \times 6 = 36$ परिणाम हैं,इसलिए प्रायिकता $p_k = \frac{|E_k|}{36}$ द्वारा दी जाती है।
$k=1$ के लिए: $E_1 = \{(1, 1)\}$,इसलिए $|E_1| = 1$ और $p_1 = \frac{1}{36}$।
$k=2$ के लिए: $E_2 = \{(1, 2), (2, 1)\}$,इसलिए $|E_2| = 2$ और $p_2 = \frac{2}{36}$।
$k=4$ के लिए: $E_4 = \{(1, 4), (4, 1), (2, 2)\}$,इसलिए $|E_4| = 3$ और $p_4 = \frac{3}{36}$।
$k=6$ के लिए: $E_6 = \{(1, 6), (6, 1), (2, 3), (3, 2)\}$,इसलिए $|E_6| = 4$ और $p_6 = \frac{4}{36}$।
$k=30$ के लिए: $E_{30} = \{(5, 6), (6, 5)\}$,इसलिए $|E_{30}| = 2$ और $p_{30} = \frac{2}{36}$।
मानों की तुलना करने पर: $p_1 = \frac{1}{36}$,$p_{30} = \frac{2}{36}$,$p_4 = \frac{3}{36}$,$p_6 = \frac{4}{36}$।
अतः,$p_1 < p_{30} < p_4 < p_6$।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ में कुल तत्वों की संख्या $n(S) = 100$ है।
एक संख्या पूर्ण घन होती है यदि उसे किसी पूर्णांक $k$ के लिए $k^3$ के रूप में व्यक्त किया जा सके।
दिए गए समुच्चय में पूर्ण घन संख्याएँ $1^3 = 1$,$2^3 = 8$,$3^3 = 27$,और $4^3 = 64$ हैं। ध्यान दें कि $5^3 = 125$,जो $100$ से अधिक है।
अतः,अनुकूल परिणामों का समुच्चय $A = \{1, 8, 27, 64\}$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 4$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$ है।

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $S$ दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग है। $S$ के लिए संभावित मान $2$ से $12$ तक हैं।
$2$ और $12$ के बीच अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
प्रत्येक अभाज्य योग के लिए परिणाम इस प्रकार हैं:
- योग $= 2$: $(1, 1)$ $\rightarrow 1$ परिणाम
- योग $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ $\rightarrow 2$ परिणाम
- योग $= 5$: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ $\rightarrow 4$ परिणाम
- योग $= 7$: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ $\rightarrow 6$ परिणाम
- योग $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ $\rightarrow 2$ परिणाम
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$।

(A) मान लीजिए कि घोड़ों $A$,$B$ और $C$ के जीतने की प्रायिकताएं क्रमशः $a$,$b$ और $c$ हैं।
चूंकि उनमें से कोई एक अवश्य जीतेगा,इसलिए उनकी प्रायिकताओं का योग $a + b + c = 1$ होगा ... $(i)$
दिया गया है कि $a = 2b$ और $b = 2c$ है।
$b = 2c$ को $a$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a = 2(2c) = 4c$ प्राप्त होता है।
अब,$a = 4c$ और $b = 2c$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करें:
$4c + 2c + c = 1$
$7c = 1$
$c = \frac{1}{7}$
अब,$b$ और $a$ का मान ज्ञात करें:
$b = 2c = 2 \times \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$
$a = 2b = 2 \times \frac{2}{7} = \frac{4}{7}$
अतः,घोड़ों $A$,$B$ और $C$ के जीतने की प्रायिकताएं क्रमशः $\frac{4}{7}, \frac{2}{7}, \frac{1}{7}$ हैं।

(C) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि व्यक्ति $A$ समस्या को हल करता है और $B$ वह घटना है कि व्यक्ति $B$ समस्या को हल करता है।
दिया गया है,$P(A) = 0.90$ और $P(B) = 0.70$।
व्यक्ति $A$ के समस्या हल करने में विफल होने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - 0.90 = 0.10$ है।
व्यक्ति $B$ के समस्या हल करने में विफल होने की प्रायिकता $P(\bar{B}) = 1 - 0.70 = 0.30$ है।
उनमें से कम से कम एक व्यक्ति द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई भी समस्या हल नहीं कर पाता})$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,$P(\text{कोई हल नहीं कर पाता}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0.10 \times 0.30 = 0.03$।
अतः,उनमें से कम से कम एक व्यक्ति द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता $1 - 0.03 = 0.97$ है।

(B) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है जिसमें $A$ सच बोलता है।
$P(E_1) = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$.
अतः,$P(\overline{E_1}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
मान लीजिए $E_2$ वह घटना है जिसमें $B$ सच बोलता है।
$P(E_2) = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$.
अतः,$P(\overline{E_2}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
उनके बयान तब मेल नहीं खाते हैं यदि ($A$ सच बोलता है और $B$ झूठ बोलता है) या ($A$ झूठ बोलता है और $B$ सच बोलता है)।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(E_1) \cdot P(\overline{E_2}) + P(\overline{E_1}) \cdot P(E_2)$.
$= (\frac{1}{5} \times \frac{1}{5}) + (\frac{4}{5} \times \frac{4}{5})$.
$= \frac{1}{25} + \frac{16}{25} = \frac{17}{25}$.

(B) मान लीजिए कि $X$ बक्से $A$ से निकाली गई संख्या है और $Y$ बक्से $B$ से निकाली गई संख्या है। कुल संभावित परिणामों की संख्या $10 \times 10 = 100$ है।
हमें प्रायिकता $P(X < Y)$ ज्ञात करनी है।
कुल परिणामों को तीन स्थितियों में विभाजित किया जा सकता है: $X < Y$,$X > Y$,और $X = Y$।
$X = Y$ वाली स्थितियों की संख्या $10$ है (जैसे $(1,1), (2,2), \ldots, (10,10)$)।
चूंकि स्थिति सममित है,इसलिए $X < Y$ वाली स्थितियों की संख्या $X > Y$ वाली स्थितियों की संख्या के बराबर है।
मान लीजिए $N$ उन स्थितियों की संख्या है जहाँ $X < Y$ है। तब $N + N + 10 = 100$।
$2N = 90 \implies N = 45$।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{N}{100} = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) $III$ वर्ष के छात्रों के लिए पर्चियों की कुल संख्या $= 3 \times 100 = 300$.
$II$ वर्ष के छात्रों के लिए पर्चियों की कुल संख्या $= 2 \times 150 = 300$.
$I$ वर्ष के छात्रों के लिए पर्चियों की कुल संख्या $= 1 \times 200 = 200$.
लॉटरी में पर्चियों की कुल संख्या $= 300 + 300 + 200 = 800$.
$III$ वर्ष के छात्र को कमरा मिलने की प्रायिकता,$III$ वर्ष के छात्र की पर्चियों की संख्या और कुल पर्चियों की संख्या का अनुपात है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{300}{800} = \frac{3}{8}$.

(D) समुच्चय $S = \{2k \mid -9 \leq k \leq 10\}$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि $k$ का मान $-9$ से $10$ तक है,इसलिए कुल अवयवों की संख्या $10 - (-9) + 1 = 20$ है।
अतः,समुच्चय $S$ में कुल $20$ अवयव हैं।
एक पूर्णांक $4$ और $6$ दोनों से विभाज्य है यदि वह $\text{lcm}(4, 6) = 12$ से विभाज्य हो।
$S$ में $12$ के गुणज $\{-12, 0, 12\}$ हैं।
इस प्रकार,अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{3}{20}$ है।

(A) दिया है: $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$,$P(A \cap B) = \frac{1}{4}$,और $P(\bar{A}) = \frac{2}{3}$.
सबसे पहले,$P(A)$ ज्ञात करें:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$P(B) = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
हमें $P(\bar{A} \cap B)$ ज्ञात करना है।
गुणधर्म $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर:
$P(\bar{A} \cap B) = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12}$.

(D) दी गई असमिका $x + \frac{10}{x} \leq 11$ है।
चूंकि $x \in \{1, 2, 3, \ldots, 50\}$,इसलिए $x$ हमेशा धनात्मक है।
$x$ से गुणा करने पर,$x^2 + 10 \leq 11x$,जो $x^2 - 11x + 10 \leq 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर,$(x - 1)(x - 10) \leq 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका $1 \leq x \leq 10$ के लिए सत्य है।
इस शर्त को संतुष्ट करने वाले पूर्णांक $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ हैं।
ऐसे कुल $10$ पूर्णांक हैं।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $50$ है।
अतः प्रायिकता $\frac{10}{50} = \frac{1}{5}$ है।

(A) माना $25$ क्रमागत पूर्णांक $n, n+1, n+2, \dots, n+24$ हैं। चूँकि $n$ विषम है,इस अनुक्रम में $13$ विषम और $12$ सम संख्याएँ हैं।
$25$ में से $3$ पूर्णांक चुनने के कुल तरीके $\binom{25}{3} = 2300$ हैं।
तीन पूर्णांकों का योग सम तब होता है यदि:
$1)$ तीनों सम हों: $\binom{12}{3} = 220$.
$2)$ एक सम और दो विषम हों: $\binom{12}{1} \times \binom{13}{2} = 936$.
कुल अनुकूल परिणाम = $220 + 936 = 1156$.
प्रायिकता = $\frac{1156}{2300} = \frac{289}{575}$.

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6^2 = 36$ होती है।
दो संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं यदि उनका महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ $1$ हो।
उन परिणामों को ज्ञात करना आसान है जहाँ संख्याएँ सह-अभाज्य नहीं हैं (अर्थात $\text{GCD} > 1$)।
वे युग्म $(x, y)$ जिनके लिए $\text{GCD}(x, y) > 1$ है,वे हैं:
$\{(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,2), (4,4), (4,6), (5,5), (6,2), (6,3), (6,4), (6,6)\}$।
ऐसे परिणामों की संख्या $13$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या (जहाँ संख्याएँ सह-अभाज्य हैं) $36 - 13 = 23$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{23}{36}$ है।

(D) माना हुकुम का पत्ता निकालने की प्रायिकता $p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
हुकुम का पत्ता न निकालने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{3}{4}$ है।
$A$ तब जीतता है यदि $A$ पहले,पांचवें,नौवें,... मोड़ पर हुकुम का पत्ता निकालता है।
$A$ के जीतने की प्रायिकता है:
$P(A) = p + q^4 p + q^8 p + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = p$ और सार्व अनुपात $r = q^4$ है।
योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{p}{1-q^4}$ है।
मान रखने पर:
$P(A) = \frac{1/4}{1 - (3/4)^4} = \frac{1/4}{1 - 81/256} = \frac{1/4}{175/256} = \frac{1}{4} \times \frac{256}{175} = \frac{64}{175}$.

(C) जब पासे के एक जोड़े को फेंका जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
पासे पर अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5\}$ हैं। वे परिणाम जिनमें दोनों पासों पर अभाज्य संख्याएँ आती हैं,वे $\{(2,2), (2,3), (2,5), (3,2), (3,3), (3,5), (5,2), (5,3), (5,5)\}$ हैं। ऐसे $9$ परिणाम हैं।
पहली बार फेंकने पर दोनों पासों पर अभाज्य संख्याएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(A) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ है।
पासे पर भाज्य संख्याएँ $\{4, 6\}$ हैं (ध्यान दें: $1$ न तो अभाज्य है और न ही भाज्य)। वे परिणाम जिनमें दोनों पासों पर भाज्य संख्याएँ आती हैं,वे $\{(4,4), (4,6), (6,4), (6,6)\}$ हैं। ऐसे $4$ परिणाम हैं।
दूसरी बार फेंकने पर दोनों पासों पर भाज्य संख्याएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(B) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ है।
चूँकि दोनों फेंक स्वतंत्र हैं,इसलिए अभीष्ट प्रायिकता $P(A) \times P(B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{36}$ है।