Permutation and Combination based Probability Questions in Hindi

(A) $13$ व्यक्तियों में से $2$ व्यक्तियों के चयन के कुल तरीके $^{13}C_2 = 78$ हैं।
कोई भी महिला न चुने जाने (अर्थात $2$ पुरुष) के तरीके $^8C_2 = 28$ हैं।
कोई भी महिला न चुने जाने की प्रायिकता $P(\text{no woman}) = \frac{28}{78} = \frac{14}{39}$ है।
कम से कम एक महिला के चुने जाने की प्रायिकता $1 - \frac{14}{39} = \frac{25}{39}$ है।

(B) $3$ व्यक्तियों $(A, B, C)$ के बोलने के कुल तरीके $3! = 6$ हैं।
ये विन्यास हैं: $(A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), (B, C, A), (C, A, B), (C, B, A)$।
हम उस स्थिति की तलाश कर रहे हैं जहाँ $A, B$ से पहले बोले और $B, C$ से पहले बोले,जो विशिष्ट क्रम $(A, B, C)$ के अनुरूप है।
कुल $6$ संभावित परिणामों में से केवल $1$ अनुकूल परिणाम है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है।

(B) $9$ गेंदों में से $4$ गेंदें चुनने के कुल तरीके $n(S) = ^9C_4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ हैं।
$5$ लाल गेंदों में से $2$ लाल गेंदें चुनने के तरीके $n(A_1) = ^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
$4$ हरी गेंदों में से $2$ हरी गेंदें चुनने के तरीके $n(A_2) = ^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $n(A) = n(A_1) \times n(A_2) = 10 \times 6 = 60$ है।
प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{60}{126} = \frac{10}{21}$ है।

(B) कुल फलों की संख्या = $3$ (आम) + $3$ (सेब) = $6$ फल।
$6$ फलों में से $2$ फल चुनने के कुल तरीके $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ हैं।
हमें $3$ आमों में से $1$ आम और $3$ सेबों में से $1$ सेब चुनना है। अनुकूल परिणामों की संख्या $^3C_1 \times ^3C_1 = 3 \times 3 = 9$ है।
प्रायिकता $P = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$।

(B) यहाँ $10$ अंक उपलब्ध हैं: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$।
चूंकि अंतिम दो अंक भिन्न हैं,इसलिए अंतिम दो अंकों को डायल करने के कुल तरीके $P(10, 2) = 10 \times 9 = 90$ हैं।
इन $90$ संभावित संयोजनों में से,केवल $1$ संयोजन ही सही टेलीफोन नंबर है।
अतः,सही नंबर डायल करने की प्रायिकता $\frac{1}{90}$ है।

(C) "$UNIVERSITY$" शब्द में कुल $10$ अक्षर हैं। '$I$' अक्षर $2$ बार आता है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{10!}{2!}$ है।
दोनों '$I$' के एक साथ आने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए,हम दोनों '$I$' को एक इकाई के रूप में मानते हैं। अब हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $9$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $9!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
दोनों '$I$' के एक साथ आने की प्रायिकता $P(\text{together}) = \frac{9! \times 2!}{10!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ है।
दोनों '$I$' के एक साथ न आने की प्रायिकता $1 - P(\text{together}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।

(C) कुल व्यक्तियों की संख्या $= 3 + 2 + 4 = 9$ है।
$9$ में से $4$ लोगों को चुनने के तरीकों की संख्या $= ^9C_4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ है।
$4$ बच्चों में से $2$ बच्चों और शेष $5$ लोगों ($3$ पुरुष $+ 2$ महिलाएँ) में से $2$ लोगों को चुनने के तरीकों की संख्या $= ^4C_2 \times ^5C_2$ है।
$^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ है।
$^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 6 \times 10 = 60$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{60}{126} = \frac{10}{21}$ है।

(C) माना $R$ लाल गेंद निकालने की घटना है और $W$ सफेद गेंद निकालने की घटना है।
अलग-अलग रंगों की गेंद निकालने के दो मामले हैं: $(Red, White)$ या $(White, Red)$।
कुल गेंदें = $3 + 3 = 6$।
$(Red, White)$ की प्रायिकता = $\frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$।
$(White, Red)$ की प्रायिकता = $\frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$।
कुल प्रायिकता = $\frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$।

(C) $1, 2, 3, 4, 5$ अंकों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $5! = 120$ हैं।
किसी संख्या के $4$ से विभाज्य होने के लिए,उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य होनी चाहिए।
${1, 2, 3, 4, 5}$ का उपयोग करके बनी दो अंकों की संख्याएँ जो $4$ से विभाज्य हैं,वे $12, 24, 32, 52$ हैं।
इन $4$ मामलों में से प्रत्येक के लिए,शेष $3$ अंकों को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $4 \times 6 = 24$ है।
प्रायिकता $\frac{24}{120} = \frac{1}{5}$ है।

(C) ताश की गड्डी में कुल $13$ हुकुम के पत्ते होते हैं।
पहले प्रयास में इक्का न आने की प्रायिकता $\frac{12}{13}$ है।
दूसरे प्रयास में इक्का न आने की प्रायिकता $\frac{11}{12}$ है।
तीसरे प्रयास में इक्का न आने की प्रायिकता $\frac{10}{11}$ है।
चौथे प्रयास में इक्का आने की प्रायिकता $\frac{1}{10}$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{12}{13} \times \frac{11}{12} \times \frac{10}{11} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{13}$.

(A) कुल व्यक्तियों की संख्या $= 2 + 2 = 4$ है।
इन $4$ व्यक्तियों में से $2$ को $^{4}C_{2}$ तरीकों से चुना जा सकता है।
$^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
समिति में कोई पुरुष न होने का अर्थ है कि समिति में $2$ महिलाएं होंगी।
$2$ महिलाओं में से $2$ को $^{2}C_{2} = 1$ तरीके से चुना जा सकता है।
अतः,$P(\text{कोई पुरुष नहीं}) = \frac{^{2}C_{2}}{^{4}C_{2}} = \frac{1}{6}$.

(B) कुल व्यक्तियों की संख्या $2 + 2 = 4$ है।
इन $4$ व्यक्तियों में से $2$ को $^{4}C_{2}$ तरीकों से चुना जा सकता है।
$^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
समिति में ठीक एक पुरुष होने का अर्थ है कि इसमें ठीक एक महिला भी होनी चाहिए।
$2$ पुरुषों में से एक पुरुष को $^{2}C_{1} = 2$ तरीकों से चुना जा सकता है।
$2$ महिलाओं में से एक महिला को $^{2}C_{1} = 2$ तरीकों से चुना जा सकता है।
कुल अनुकूल तरीके $= ^{2}C_{1} \times ^{2}C_{1} = 2 \times 2 = 4$.
अतः,$P(\text{एक पुरुष}) = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

(A) कुल व्यक्तियों की संख्या $2 + 2 = 4$ है।
इन $4$ व्यक्तियों में से $2$ को $^{4}C_{2}$ तरीकों से चुना जा सकता है।
$^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
$2$ पुरुषों में से $2$ पुरुषों को $^{2}C_{2}$ तरीकों से चुना जा सकता है।
$^{2}C_{2} = 1$.
अतः,प्रायिकता $P(\text{दो पुरुष}) = \frac{^{2}C_{2}}{^{4}C_{2}} = \frac{1}{6}$.

(A) चार शहरों $A, B, C$ और $D$ को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $4! = 24$ हैं। अतः,प्रतिदर्श समष्टि में कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 24$ है।
हम घटना $F$ में रुचि रखते हैं जहाँ वीणा $B$ से पहले $A$ और $C$ से पहले $B$ का दौरा करती है। इसका अर्थ है कि $A, B$ और $C$ का सापेक्ष क्रम $A \to B \to C$ होना चाहिए।
चार शहरों के किसी भी क्रमचय में,शहरों $A, B$ और $C$ के लिए $3! = 6$ संभावित सापेक्ष क्रम हैं। ये हैं:
$(A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), (B, C, A), (C, A, B), (C, B, A)$.
इनमें से केवल एक क्रम,$(A, B, C)$,इस शर्त को पूरा करता है कि $A, B$ से पहले आए और $B, C$ से पहले आए।
चूंकि ये $6$ सापेक्ष क्रम कुल $24$ क्रमचयों में समान रूप से होने की संभावना रखते हैं,इसलिए प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है।

(B) यादृच्छिक क्रम में $4$ शहरों की यात्रा करने के कुल तरीके $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ हैं।
मान लीजिए $G$ वह घटना है कि वह पहले $A$ और अंत में $B$ की यात्रा करती है।
यदि $A$ को पहले स्थान पर और $B$ को अंतिम स्थान पर निश्चित किया जाता है,तो शेष $2$ शहरों ($C$ और $D$) को बीच के $2$ स्थानों में $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
ये व्यवस्थाएं $(A, C, D, B)$ और $(A, D, C, B)$ हैं।
इस प्रकार,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(G) = 2$ है।
प्रायिकता $P(G)$ इस प्रकार है:
$P(G) = \frac{n(G)}{n(S)} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$.

(A) पाँच टीमों द्वारा पहले तीन स्थानों को भरने के कुल तरीके क्रमचय सूत्र $^{5}P_{3}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$^{5}P_{3} = \frac{5!}{(5-3)!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.
चूँकि प्रत्येक समापन क्रम समान रूप से संभावित है,किसी भी विशिष्ट क्रम की प्रायिकता $\frac{1}{60}$ है।
वह घटना जिसमें $A, B$ और $C$ क्रमशः पहले,दूसरे और तीसरे स्थान पर आते हैं,केवल एक विशिष्ट परिणाम के अनुरूप है: $(A, B, C)$।
अतः,प्रायिकता $\frac{1}{60}$ है।

(A) कुल कंचों की संख्या $= 10 + 20 + 30 = 60$ है।
$60$ कंचों में से $5$ कंचे निकालने के कुल तरीके $^{60}C_5$ हैं।
सभी $5$ कंचों के नीले होने के लिए,हमें $20$ नीले कंचों में से $5$ कंचे चुनने होंगे।
$20$ नीले कंचों में से $5$ कंचे चुनने के तरीके $^{20}C_5$ हैं।
अतः,सभी $5$ कंचों के नीले होने की प्रायिकता $\frac{^{20}C_5}{^{60}C_5}$ है।

(A) बेचे गए कुल टिकटों की संख्या $= 10,000$।
पुरस्कार जीतने वाले टिकटों की संख्या $= 10$।
पुरस्कार न जीतने वाले टिकटों की संख्या $= 10,000 - 10 = 9,990$।
यदि आप $2$ टिकट खरीदते हैं,तो $10,000$ में से $2$ टिकट चुनने के कुल तरीके $^{10000}C_2$ हैं।
$9,990$ गैर-विजेता टिकटों में से $2$ टिकट चुनने के तरीके $^{9990}C_2$ हैं।
अतः,पुरस्कार न मिलने की प्रायिकता $P = \frac{^{9990}C_2}{^{10000}C_2}$ है।

(A) कुल टिकटों की संख्या $= 10,000$ है।
पुरस्कार वाले टिकटों की संख्या $= 10$ है।
बिना पुरस्कार वाले टिकटों की संख्या $= 10,000 - 10 = 9,990$ है।
हम $10$ टिकट खरीदते हैं।
$10,000$ में से $10$ टिकट चुनने के कुल तरीके $= ^{10000}C_{10}$ हैं।
$10$ टिकट इस प्रकार चुनने के तरीके कि उनमें से कोई भी पुरस्कार वाला न हो,$9,990$ बिना पुरस्कार वाले टिकटों में से $10$ चुनने के तरीके हैं,जो $= ^{9990}C_{10}$ है।
अतः,पुरस्कार न मिलने की प्रायिकता $P = \frac{^{9990}C_{10}}{^{10000}C_{10}}$ है।

(A) $100$ छात्रों में से $2$ विशिष्ट छात्रों (आप और आपका मित्र) को $40$ और $60$ के दो अनुभागों में रखने के कुल तरीके $^{100}C_{2}$ हैं।
आप दोनों एक ही अनुभाग में होंगे यदि दोनों $40$ वाले अनुभाग में हों या दोनों $60$ वाले अनुभाग में हों।
एक ही अनुभाग में होने के तरीके $= ^{40}C_{2} + ^{60}C_{2}$.
प्रायिकता $= \frac{^{40}C_{2} + ^{60}C_{2}}{^{100}C_{2}}$.
$= \frac{\frac{40 \times 39}{2} + \frac{60 \times 59}{2}}{\frac{100 \times 99}{2}} = \frac{1560 + 3540}{9900} = \frac{5100}{9900} = \frac{51}{99} = \frac{17}{33}$.

(B) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ है।
समान मूलों के लिए विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए,अर्थात $b^{2} - 4ac = 0$,जिसका अर्थ है $b^{2} = 4ac$।
पासे को तीन बार फेंकने पर,प्रत्येक चर ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ से मान ले सकता है। कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ है।
हमें ऐसी त्रिक $(a, b, c)$ ज्ञात करनी है जिनके लिए $b^{2} = 4ac$ हो:
$1$. यदि $a=1, c=1$,तो $b^{2} = 4(1)(1) = 4 \Rightarrow b=2$। त्रिक: $(1, 2, 1)$।
$2$. यदि $a=1, c=4$,तो $b^{2} = 4(1)(4) = 16 \Rightarrow b=4$। त्रिक: $(1, 4, 4)$।
$3$. यदि $a=4, c=1$,तो $b^{2} = 4(4)(1) = 16 \Rightarrow b=4$। त्रिक: $(4, 4, 1)$।
$4$. यदि $a=2, c=2$,तो $b^{2} = 4(2)(2) = 16 \Rightarrow b=4$। त्रिक: $(2, 4, 2)$।
$5$. यदि $a=3, c=3$,तो $b^{2} = 4(3)(3) = 36 \Rightarrow b=6$। त्रिक: $(3, 6, 3)$।
कुल अनुकूल परिणाम = $5$।
अतः,आवश्यक प्रायिकता $\frac{5}{216}$ है।

(C) दिए गए अंक $3, 3, 4, 4, 4, 5, 5$ हैं। कुल अंकों की संख्या $7$ है।
बनने वाली $7$ अंकों की कुल संख्याएँ:
$\text{कुल संख्याएँ} = \frac{7!}{2! \times 3! \times 2!} = 210$.
एक संख्या $2$ से विभाज्य होती है यदि उसका अंतिम अंक सम हो। यहाँ,उपलब्ध एकमात्र सम अंक $4$ है।
यदि अंतिम अंक $4$ निश्चित है,तो शेष $6$ अंक: $3, 3, 4, 4, 5, 5$ हैं।
ऐसी $7$ अंकों की संख्याओं की संख्या:
$\text{अनुकूल संख्याएँ} = \frac{6!}{2! \times 2! \times 2!} = 90$.
संख्या के $2$ से विभाज्य होने की प्रायिकता:
$P = \frac{90}{210} = \frac{3}{7}$.

(A) कुल $3$-अंकीय संख्याएँ $= 900$.
कम से कम दो अंक विषम होने का अर्थ है कि या तो ठीक दो अंक विषम हैं या तीनों अंक विषम हैं।
तीनों अंक विषम होने के तरीके $= 5 \times 5 \times 5 = 125$.
ठीक दो अंक विषम होने के तरीके $= 350$.
कुल अनुकूल परिणाम $= 125 + 350 = 475$.
प्रायिकता $= \frac{475}{900} = \frac{19}{36}$.

(C) मान लीजिए कि तीन उछालों के परिणाम $x_1, x_2, x_3$ हैं,जहाँ $x_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
हम उस प्रायिकता की तलाश कर रहे हैं जहाँ $x_1 < x_2 < x_3$ हो।
पासे को तीन बार उछालने पर कुल संभावित परिणाम $6^3 = 216$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ के सेट से $3$ अलग-अलग संख्याओं को चुनने के तरीकों की संख्या है,जो $^6C_3$ द्वारा दी गई है।
$^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
एक बार $3$ अलग-अलग संख्याएँ चुन ली जाने के बाद,उन्हें बढ़ते क्रम $(x_1 < x_2 < x_3)$ में व्यवस्थित करने का केवल $1$ तरीका है।
इसलिए,प्रायिकता $\frac{^6C_3}{6^3} = \frac{20}{216} = \frac{5}{54}$ है।

(A) $16$ में से किन्हीं दो वर्गों को चुनने के कुल तरीके $^{16}C_2 = \frac{16 \times 15}{2} = 120$ हैं।
यदि दो वर्ग क्षैतिज या लंबवत रूप से आसन्न हैं,तो उनकी एक सामान्य भुजा होती है।
$4 \times 4$ ग्रिड में,क्षैतिज आसन्न जोड़ों की संख्या $4 \times 3 = 12$ है।
लंबवत आसन्न जोड़ों की संख्या $4 \times 3 = 12$ है।
सामान्य भुजा वाले जोड़ों की कुल संख्या = $12 + 12 = 24$ है।
दो चुने गए वर्गों की सामान्य भुजा होने की प्रायिकता $P(\text{common side}) = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$ है।
उनके बीच कोई सामान्य भुजा न होने की प्रायिकता $1 - P(\text{common side}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।

(D) $\text{GARDEN}$ शब्द में $6$ अलग-अलग अक्षर हैं: $\{G, A, R, D, E, N\}$.
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= 6! = 720$.
शब्द में स्वर $\{A, E\}$ हैं।
किसी भी व्यवस्था में,स्वर $A$ और $E$ दो सापेक्ष क्रमों में आ सकते हैं: $(A, E)$ या $(E, A)$.
चूंकि केवल दो स्वर हैं,इसलिए ये दोनों क्रम समान रूप से संभावित हैं।
अतः,प्रायिकता कि स्वर वर्णमाला के क्रम $(A, E)$ में हैं,$\frac{1}{2}$ है।
प्रायिकता कि स्वर वर्णमाला के क्रम में $\text{NOT}$ (नहीं) होंगे,$1 - P(\text{alphabetical order}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।

(B) $20$ में से $3$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके ${}^{20}C_{3}$ हैं।
${}^{20}C_{3} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$.
$3$ क्रमागत संख्याओं के सेट $(1, 2, 3), (2, 3, 4), \dots, (18, 19, 20)$ हैं।
ऐसे सेटों की संख्या $18$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{18}{1140} = \frac{3}{190}$ है।

(C) '$CEASE$' शब्द में $5$ अक्षर हैं: $C, E, A, S, E$। यहाँ $E$ की संख्या $2$ है।
'$CEASE$' के अक्षरों के कुल विन्यास $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ हैं।
दोनों $E$ के एक साथ होने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए,हम दोनों $E$ को एक इकाई $(EE)$ के रूप में मानते हैं।
अब हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $4$ इकाइयाँ हैं: $(EE), C, A, S$।
इन $4$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीके $4! = 24$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{24}{60} = \frac{2}{5}$ है।

(A) कुल गेंदों की संख्या = $8 + x$ है।
$8 + x$ में से $3$ गेंदें चुनने के तरीके $\binom{8+x}{3}$ हैं।
$8$ लाल गेंदों में से $3$ लाल गेंदें चुनने के तरीके $\binom{8}{3}$ हैं।
प्रायिकता:
$P = \frac{\binom{8}{3}}{\binom{8+x}{3}} = \frac{7}{15}$.
$\binom{8}{3} = 56$.
$\frac{56}{\binom{8+x}{3}} = \frac{7}{15} \implies \binom{8+x}{3} = 120$.
$\frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 120 \implies n(n-1)(n-2) = 720$.
$10 \times 9 \times 8 = 720$,इसलिए $n = 10$.
$8 + x = 10 \implies x = 2$.

(C) गेंदों की कुल संख्या = $6 + x$ है।
$6 + x$ गेंदों में से $2$ गेंदें निकालने के तरीके $\binom{6+x}{2} = \frac{(6+x)(5+x)}{2}$ हैं।
$6$ पीली गेंदों में से $2$ पीली गेंदें निकालने के तरीके $\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ हैं।
$2$ पीली गेंदें निकालने की प्रायिकता $\frac{15}{\frac{(6+x)(5+x)}{2}} = \frac{30}{(6+x)(5+x)}$ है।
दिया गया है कि प्रायिकता $\frac{5}{26}$ है,इसलिए $\frac{30}{(6+x)(5+x)} = \frac{5}{26}$।
सरल करने पर,$(6+x)(5+x) = \frac{30 \times 26}{5} = 156$।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 + 11x + 30 = 156$,जिससे $x^2 + 11x - 126 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x + 18)(x - 7) = 0$।
चूंकि $x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $x = 7$।

(C) '$LOGARITHM$' शब्द में $9$ अलग-अलग अक्षर हैं: $L, O, G, A, R, I, T, H, M$.
इसमें $3$ स्वर $(O, A, I)$ और $6$ व्यंजन $(L, G, R, T, H, M)$ हैं।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $9!$ है।
व्यवस्था के स्वर से शुरू होने और व्यंजन पर समाप्त होने के लिए:
- पहला स्थान $3$ स्वरों में से $3$ तरीकों से भरा जा सकता है।
- अंतिम स्थान $6$ व्यंजनों में से $6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
- शेष $7$ स्थानों को शेष $7$ अक्षरों द्वारा $7!$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल अनुकूल व्यवस्था $= 3 \times 6 \times 7!$.
प्रायिकता $= \frac{3 \times 6 \times 7!}{9!} = \frac{18 \times 7!}{9 \times 8 \times 7!} = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}$.

(D) $52$ ताश के पत्तों में से $3$ पत्ते निकालने के कुल तरीके ${}^{52}C_3$ हैं।
$52$ पत्तों की गड्डी में $26$ लाल पत्ते होते हैं। $3$ लाल पत्ते निकालने के तरीके ${}^{26}C_3$ हैं।
$\text{अभीष्ट प्रायिकता} = \frac{{}^{26}C_3}{{}^{52}C_3} = \frac{26 \times 25 \times 24}{52 \times 51 \times 50} = \frac{2}{17}$.

(C) $7$ अलग-अलग अंकों का उपयोग करके चार अंकों की संख्या बनाने के कुल तरीके $P(7, 4) = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ हैं।
संख्या के $> 4000$ होने के लिए,पहला अंक (हजार का स्थान) $4, 5, 6,$ या $7$ होना चाहिए।
पहले अंक के लिए $4$ विकल्प हैं।
पहला अंक चुनने के बाद,शेष $3$ स्थानों को शेष $6$ अंकों द्वारा $P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः,अनुकूल मामलों की संख्या $4 \times 120 = 480$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{480}{840} = \frac{4}{7}$ है।

(B) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है। गड्डी में इक्कों की संख्या $4$ है।
हमें $52$ में से $2$ पत्ते चुनने हैं,जिसे ${}^{52}C_{2}$ तरीकों से किया जा सकता है।
$4$ में से $2$ इक्के चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{4}C_{2}$ है।
प्रायिकता $P$ इस प्रकार है:
$P = \frac{{}^{4}C_{2}}{{}^{52}C_{2}} = \frac{\frac{4 \times 3}{2 \times 1}}{\frac{52 \times 51}{2 \times 1}} = \frac{4 \times 3}{52 \times 51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$.

(A) बैटरी की कुल संख्या = $10$ है।
खराब बैटरी की संख्या = $4$ है।
हमें बिना प्रतिस्थापन के $3$ बैटरी चुननी हैं।
पहली बैटरी के खराब होने की प्रायिकता = $\frac{4}{10}$ है।
एक खराब बैटरी चुनने के बाद,शेष बैटरी की संख्या $9$ है और शेष खराब बैटरी की संख्या $3$ है।
दूसरी बैटरी के खराब होने की प्रायिकता = $\frac{3}{9}$ है।
दो खराब बैटरी चुनने के बाद,शेष बैटरी की संख्या $8$ है और शेष खराब बैटरी की संख्या $2$ है।
तीसरी बैटरी के खराब होने की प्रायिकता = $\frac{2}{8}$ है।
अतः,तीनों बैटरी के खराब होने की प्रायिकता = $\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} = \frac{24}{720} = \frac{1}{30}$ है।

(B) '$EQUATIONS$' शब्द में $9$ अलग-अलग अक्षर हैं: $E, Q, U, A, T, I, O, N, S$।
स्वरों की संख्या $= 5$ $(E, U, A, I, O)$।
व्यंजनों की संख्या $= 4$ $(Q, T, N, S)$।
$9$ अक्षरों में से $2$ अक्षर चुनने के कुल तरीके $^{9}C_{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ हैं।
$1$ स्वर और $1$ व्यंजन चुनने के तरीके $^{5}C_{1} \times ^{4}C_{1} = 5 \times 4 = 20$ हैं।
अतः,प्रायिकता $\frac{20}{36} = \frac{5}{9}$ है।

(C) प्रथम $5$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
$S$ से दो अलग संख्याएँ $x$ और $y$ चुनने के कुल तरीके $^5C_2 = 10$ हैं।
फर्मा के प्रमेय के अनुसार,यदि $a$,$5$ से विभाज्य नहीं है,तो $a^4 \equiv 1 \pmod{5}$।
यदि $a$,$5$ से विभाज्य है,तो $a^4 \equiv 0 \pmod{5}$।
हमें $x^4 - y^4$ को $5$ से विभाज्य बनाना है,अर्थात $x^4 \equiv y^4 \pmod{5}$।
स्थिति $1$: $x$ और $y$ दोनों $5$ से विभाज्य नहीं हैं। तो $x^4 \equiv 1$ और $y^4 \equiv 1$,इसलिए $x^4 - y^4 \equiv 0 \pmod{5}$।
$5$ से विभाज्य न होने वाली संख्याएँ $\{1, 2, 3, 4\}$ हैं। इन $4$ संख्याओं में से $2$ संख्याएँ चुनने के तरीके $^4C_2 = 6$ हैं।
स्थिति $2$: यदि एक संख्या $5$ है,तो $x^4 - y^4$ के $5$ से विभाज्य होने के लिए दूसरी संख्या भी $5$ होनी चाहिए,जो संभव नहीं है।
अतः,अनुकूल परिणाम $6$ हैं।
प्रायिकता $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ है।

(A) $1, 2, 3, 4, 5$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के बनने वाली पाँच अंकों की कुल संख्याएँ $5! = 120$ हैं।
एक संख्या $4$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंक $4$ से विभाज्य हों।
अंकों ${1, 2, 3, 4, 5}$ का उपयोग करके,$4$ से विभाज्य दो अंकों के संभावित संयोजन $12, 24, 32, 52$ हैं।
इन $4$ मामलों में से प्रत्येक के लिए,शेष $3$ अंकों को पहले $3$ स्थानों पर $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $4 \times 3! = 4 \times 6 = 24$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{24}{120} = \frac{1}{5}$ है।

(A) कुल गेंदों की संख्या = $2 + 3 + 2 = 7$ है।
$7$ गेंदों में से $2$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21$ है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि निकाली गई गेंदों में से कोई भी नीली न हो। इसका अर्थ है कि दोनों गेंदें लाल और हरी गेंदों में से चुनी जानी चाहिए।
कुल गैर-नीली गेंदें = $2 \text{ (लाल)} + 3 \text{ (हरी)} = 5$ है।
$5$ गैर-नीली गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ है।
अतः,प्रायिकता $\frac{10}{21}$ है।

(B) कुल खिलौनों की संख्या $21$ है। $1$ से $21$ के बीच सम संख्याएँ $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20$ हैं। इस प्रकार,कुल $10$ सम संख्याएँ हैं।
पहला सम खिलौना निकालने की प्रायिकता $\frac{10}{21}$ है।
एक सम खिलौना निकालने के बाद,शेष $20$ खिलौनों में से $9$ सम संख्याएँ बची हैं।
दूसरा सम खिलौना निकालने की प्रायिकता $\frac{9}{20}$ है।
दोनों खिलौनों के सम संख्या दिखाने की प्रायिकता $\frac{10}{21} \times \frac{9}{20} = \frac{90}{420} = \frac{3}{14}$ है।

(D) कुल पत्तों की संख्या $= 52$ है।
ताश की गड्डी में राजाओं की कुल संख्या $= 4$ है।
$52$ पत्तों में से $2$ पत्ते चुनने के तरीकों की संख्या $^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326$ है।
$4$ राजाओं में से $2$ राजा चुनने के तरीकों की संख्या $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ है।
अतः,दोनों पत्तों के राजा होने की प्रायिकता $P = \frac{^4C_2}{^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$ है।

(B) समुच्चय $A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ है। $A$ में कुल $10$ अवयव हैं।
$10$ में से $3$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $n(E) = {}^{10}C_3 = 120$ हैं।
न्यूनतम $3$ और अधिकतम $7$ होने के लिए,चुनी गई संख्याओं में $3$ और $7$ का होना आवश्यक है। तीसरी संख्या $\{4, 5, 6\}$ में से चुनी जानी चाहिए।
अतः,अनुकूल परिणाम $\{3, 4, 7\}, \{3, 5, 7\}, \{3, 6, 7\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(F) = 3$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{n(F)}{n(E)} = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}$ है।

(C) कुल वस्तुओं की संख्या = $2 \text{ (बोल्ट)} + 2 \text{ (नट)} + 3 \text{ (सुइयां)} = 7 \text{ वस्तुएं}$.
$7$ में से $2$ भाग चुनने के कुल तरीके $n(S) = {}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ हैं।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि एक भाग बोल्ट है और एक भाग सुई है।
$2$ में से $1$ बोल्ट और $3$ में से $1$ सुई चुनने के तरीके $n(E) = {}^{2}C_{1} \times {}^{3}C_{1} = 2 \times 3 = 6$ हैं।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{21}$।

(B) मशीनों की कुल संख्या $= 4 + 6 = 10$ है।
पहली चुनी गई मशीन के अच्छी होने की प्रायिकता $= \frac{6}{10}$ है।
चूंकि चयन बिना प्रतिस्थापन (without replacement) के किया जाता है,इसलिए शेष अच्छी मशीनों की संख्या $5$ है और शेष कुल मशीनों की संख्या $9$ है।
दूसरी मशीन के अच्छी होने की प्रायिकता $= \frac{5}{9}$ है।
दोनों मशीनों के अच्छी होने की प्रायिकता $= \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$ है।

(C) कुल पेन की संख्या $= 10$.
लाल पेन की संख्या $= 4$.
नीले पेन की संख्या $= 6$.
$10$ में से $3$ पेन चुनने के कुल तरीके ${}^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ हैं।
$6$ में से $3$ नीले पेन चुनने के तरीके ${}^{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{{}^{6}C_3}{{}^{10}C_3} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) कुल गेंदों की संख्या = $5 + x$ है।
$(5 + x)$ गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के तरीके = $^{5+x}C_2 = \frac{(5+x)(4+x)}{2}$ हैं।
$5$ नीली गेंदों में से $2$ नीली गेंदें चुनने के तरीके = $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ हैं।
$2$ नीली गेंदें निकालने की प्रायिकता $P = \frac{^5C_2}{^{5+x}C_2} = \frac{20}{(5+x)(4+x)}$ है।
दिया गया है $P = \frac{5}{14}$,इसलिए $\frac{20}{(5+x)(4+x)} = \frac{5}{14}$ है।
$\Rightarrow (5+x)(4+x) = 56$ है।
$\Rightarrow x^2 + 9x - 36 = 0$ है।
$\Rightarrow (x+12)(x-3) = 0$ है।
चूंकि $x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $x = 3$ है।

(B) एक पासे को तीन बार उछालने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $6^3 = 216$ है।
हमें समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ से तीन ऐसी अलग-अलग संख्याएँ चुननी हैं जो सख्ती से बढ़ते क्रम में हों।
$6$ में से $3$ अलग-अलग संख्याओं के किसी भी चयन को केवल एक ही तरीके से बढ़ते क्रम में व्यवस्थित किया जा सकता है।
$6$ में से $3$ अलग-अलग संख्याओं को चुनने के तरीकों की संख्या $^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $20$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{20}{216} = \frac{5}{54}$ है।

(C) $1$ से $39$ तक के पूर्णांकों के समुच्चय से दो अलग-अलग संख्याएँ $a$ और $b$ चुनने के कुल तरीके ${}^{39}C_2$ हैं।
${}^{39}C_2 = \frac{39 \times 38}{2} = 741$.
हमें ऐसे युग्म $(a, b)$ खोजने हैं जो $7a - 9b = 0$ को संतुष्ट करते हों,जिसका अर्थ है $7a = 9b$।
चूँकि $7$ और $9$ सह-अभाज्य हैं,$a$ को $9$ का गुणज होना चाहिए और $b$ को $7$ का गुणज होना चाहिए।
$1 \le a, b \le 39$ को देखते हुए,संभावित युग्म $(a, b)$ हैं:
$(9, 7), (18, 14), (27, 21), (36, 28)$।
ऐसे $4$ अनुकूल युग्म हैं।
अतः,प्रायिकता $\frac{4}{741}$ है।

(A) $0, 1, 2, 3, 4$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई पाँच अंकों की कुल संख्याएँ $4 \times 4! = 96$ हैं।
संख्या के $4$ से विभाज्य होने के लिए,अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य होनी चाहिए।
अंतिम दो अंकों के लिए संभावित जोड़े:
$04, 20, 40$ (जहाँ $0$ का उपयोग होता है): प्रत्येक के लिए $3! = 6$ संख्याएँ। कुल $= 3 \times 6 = 18$।
$12, 24, 32$ (जहाँ $0$ का उपयोग नहीं होता है): पहला अंक $0$ नहीं हो सकता,इसलिए $2$ विकल्प और शेष के लिए $2!$ तरीके। कुल $= 3 \times (2 \times 2!) = 12$।
कुल अनुकूल संख्याएँ $= 18 + 12 = 30$।
प्रायिकता $= \frac{30}{96} = \frac{5}{16}$।

(C) $3$ पुरुषों के $4$ होटलों में चेक-इन करने के कुल तरीकों की संख्या $4 \times 4 \times 4 = 64$ है।
यदि प्रत्येक पुरुष को अलग-अलग होटल में चेक-इन करना है,तो तरीकों की संख्या $4 \times 3 \times 2 = 24$ होगी।
(पहले पुरुष के पास $4$ विकल्प,दूसरे के पास $3$ विकल्प और तीसरे के पास $2$ विकल्प हैं)।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{24}{64} = \frac{3}{8}$ है।