Permutation and Combination based Probability Questions in Hindi

(D) कुल बल्बों की संख्या = $50$.
खराब बल्बों की संख्या = $5$.
सही बल्बों की संख्या = $50 - 5 = 45$.
हमें प्रतिस्थापन के बिना $3$ बल्ब निकालने हैं।
पहले बल्ब के सही होने की प्रायिकता $P(E_1) = \frac{45}{50}$ है।
एक सही बल्ब निकालने के बाद,कुल $49$ बल्बों में से $44$ सही बल्ब बचते हैं।
दूसरे बल्ब के सही होने की प्रायिकता $P(E_2|E_1) = \frac{44}{49}$ है।
दो सही बल्ब निकालने के बाद,कुल $48$ बल्बों में से $43$ सही बल्ब बचते हैं।
तीसरे बल्ब के सही होने की प्रायिकता $P(E_3|E_1 \cap E_2) = \frac{43}{48}$ है।
सभी $3$ बल्बों के सही होने की प्रायिकता $P = \frac{45}{50} \times \frac{44}{49} \times \frac{43}{48}$ है।
$P = \frac{9}{10} \times \frac{44}{49} \times \frac{43}{48} = \frac{9 \times 11 \times 43}{10 \times 49 \times 12} = \frac{3 \times 11 \times 43}{10 \times 49 \times 4} = \frac{1419}{1960}$.

(B) $100$ छात्रों में से $2$ छात्रों को चुनने के कुल तरीके ${ }^{100} C_2$ हैं।
उन तरीकों की संख्या जिनमें आप और आपका मित्र दोनों पहले अनुभाग ($40$ की क्षमता) में रखे जाते हैं,${ }^{40} C_2$ है।
उन तरीकों की संख्या जिनमें आप और आपका मित्र दोनों दूसरे अनुभाग ($60$ की क्षमता) में रखे जाते हैं,${ }^{60} C_2$ है।
चूंकि ये परस्पर अपवर्जी घटनाएं हैं,इसलिए अनुकूल तरीकों की कुल संख्या ${ }^{40} C_2 + { }^{60} C_2$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{{ }^{40} C_2 + { }^{60} C_2}{{ }^{100} C_2}$ है।

(A) कुल व्यक्तियों की संख्या $9 + 5 = 14$ है।
हमें $14$ में से $4$ सदस्यों की एक समिति बनानी है।
$14$ में से $4$ सदस्यों को चुनने के कुल तरीके $^{14}C_4 = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1001$ हैं।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि समिति में कम से कम एक महिला हो।
पूरक घटना की गणना करना आसान है: प्रायिकता कि समिति में कोई महिला न हो (अर्थात,सभी $4$ सदस्य पुरुष हों)।
$9$ पुरुषों में से $4$ पुरुषों को चुनने के तरीके $^{9}C_4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ हैं।
कोई महिला न होने की प्रायिकता $P(\text{No women}) = \frac{126}{1001} = \frac{18}{143}$ है।
कम से कम एक महिला होने की प्रायिकता $1 - P(\text{No women}) = 1 - \frac{18}{143} = \frac{125}{143}$ है।

(A) द्विघात व्यंजक $x^2 + bx + c > 0$ के सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने हेतु,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4c < 0 \Rightarrow b^2 < 4c$.
चूँकि $b$ और $c$ को $\{1, 2, \ldots, 9\}$ से बिना प्रतिस्थापन के चुना जाता है $(b \neq c)$,$b^2 < 4c$ को संतुष्ट करने वाले युग्म $(b, c)$ इस प्रकार हैं:

$b$	संभावित $c$ मान $(c \neq b)$	संख्या
$1$	$2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$	$8$
$2$	$3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$	$7$
$3$	$4, 5, 6, 7, 8, 9$	$6$
$4$	$5, 6, 7, 8, 9$	$5$
$5$	$7, 8, 9$	$3$
$6$	संभव नहीं	$0$

कुल अनुकूल परिणाम $= 8 + 7 + 6 + 5 + 3 = 29$.
कुल संभावित परिणाम $= 9 \times 8 = 72$.
प्रायिकता $= \frac{29}{72}$.

(A) कुल मंजिलों की संख्या $= 7$ है।
प्रत्येक $5$ व्यक्ति $7$ मंजिलों में से किसी भी मंजिल पर उतर सकते हैं।
$5$ व्यक्तियों के उतरने के कुल तरीके $= 7^5$ हैं।
यदि सभी $5$ व्यक्ति अलग-अलग मंजिलों पर उतरते हैं,तो तरीकों की संख्या ${}^7P_5$ होगी।
${}^7P_5 = \frac{7!}{(7-5)!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{{}^7P_5}{7^5} = \frac{2520}{16807} = \frac{360}{2401}$।

(A) कुल गेंदों की संख्या $= 9 + 4 = 13$ है।
$13$ गेंदों में से $3$ गेंदें निकालने के कुल तरीके $= ^{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$।
कम से कम एक सफेद गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता $= 1 - P(\text{कोई सफेद गेंद नहीं})$ है।
यदि कोई सफेद गेंद नहीं निकाली जाती है,तो सभी $3$ गेंदें काली होनी चाहिए।
$3$ काली गेंदें निकालने के तरीके $= ^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$।
$P(\text{कोई सफेद गेंद नहीं}) = \frac{84}{286} = \frac{42}{143}$।
$P(\text{कम से कम एक सफेद गेंद}) = 1 - \frac{42}{143} = \frac{101}{143}$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) कुल गेंदों की संख्या $= 8 + 3 + 9 = 20$.
$20$ गेंदों में से $3$ गेंदें चुनने के तरीके $n(S) = {}^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$.
$8$ लाल गेंदों में से $2$ और $3$ सफेद गेंदों में से $1$ गेंद चुनने के तरीके $n(E) = {}^{8}C_2 \times {}^{3}C_1 = 28 \times 3 = 84$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{84}{1140} = \frac{7}{95}$.

(A) कुल गेंदों की संख्या $= 6 + 2 + 8 = 16$.
$3$ गेंदें निकालने के कुल तरीके $= ^{16}C_3 = 560$.
$A$. कोई भी गेंद सफेद न होने की प्रायिकता:
$P(A) = \frac{^{14}C_3}{^{16}C_3} = \frac{13}{20} = III$.
$B$. $2$ सफेद और $1$ नीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता:
$P(B) = \frac{^{2}C_2 \times ^{8}C_1}{^{16}C_3} = \frac{1}{70} = I$.
$C$. $2$ नीली और $1$ सफेद गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता:
$P(C) = \frac{^{8}C_2 \times ^{2}C_1}{^{16}C_3} = \frac{1}{10} = IV$.
$D$. $1$ लाल,$1$ सफेद और $1$ नीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता:
$P(D) = \frac{^{6}C_1 \times ^{2}C_1 \times ^{8}C_1}{^{16}C_3} = \frac{6}{35} = II$.
अतः,सही मिलान $A-III, B-I, C-IV, D-II$ है।

(A) गेंदों की कुल संख्या = $4 + 3 + 5 = 12$.
$3$ गेंदें निकालने के कुल तरीके = $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
$(A)$ $1$ लाल,$1$ सफेद और $1$ नीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता:
तरीके = $^4C_1 \times ^3C_1 \times ^5C_1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.
प्रायिकता = $\frac{60}{220} = \frac{3}{11}$ ($(iv)$ से मेल खाता है).
$(B)$ $2$ सफेद और $1$ नीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता:
तरीके = $^3C_2 \times ^5C_1 = 3 \times 5 = 15$.
प्रायिकता = $\frac{15}{220} = \frac{3}{44}$ ($(i)$ से मेल खाता है).
$(C)$ $2$ लाल और $1$ सफेद गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता:
तरीके = $^4C_2 \times ^3C_1 = 6 \times 3 = 18$.
प्रायिकता = $\frac{18}{220} = \frac{9}{110}$ ($(v)$ से मेल खाता है).
$(D)$ प्रायिकता कि कोई भी गेंद सफेद न हो (अर्थात,तीनों गेंदें लाल और नीली गेंदों में से हों,कुल $4+5=9$):
तरीके = $^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.
प्रायिकता = $\frac{84}{220} = \frac{21}{55}$ ($(ii)$ से मेल खाता है).
अतः,सही मिलान है: $A \rightarrow (iv), B \rightarrow (i), C \rightarrow (v), D \rightarrow (ii)$.

(A) एक संख्या $4$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य हो।
${1, 2, 3, 4, 5}$ अंकों का उपयोग करके,$4$ से विभाज्य दो अंकों के संभावित संयोजन $12, 24, 32, 52$ हैं।
अंतिम दो अंकों के लिए ऐसे $4$ अनुकूल संयोजन हैं।
शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों द्वारा $3!$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 4 \times 3!$।
पाँच अंकों की कुल संभावित संख्याएँ $= 5!$।
प्रायिकता $= \frac{4 \times 3!}{5!} = \frac{4 \times 3!}{5 \times 4 \times 3!} = \frac{1}{5}$.

(C) $8$ में से $2$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके ${}^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ हैं।
मान लीजिए कि दो चुनी गई संख्याएँ $x$ और $y$ हैं जहाँ $x < y$ है। हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि $x < 4$ हो।
स्थिति $I$: यदि $x = 1$ है,तो $y$ शेष $7$ संख्याओं $(\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\})$ में से कोई भी हो सकती है। तरीकों की संख्या $= 7$ है।
स्थिति $II$: यदि $x = 2$ है,तो $y$ शेष $6$ संख्याओं $(\{3, 4, 5, 6, 7, 8\})$ में से कोई भी हो सकती है। तरीकों की संख्या $= 6$ है।
स्थिति $III$: यदि $x = 3$ है,तो $y$ शेष $5$ संख्याओं $(\{4, 5, 6, 7, 8\})$ में से कोई भी हो सकती है। तरीकों की संख्या $= 5$ है।
कुल अनुकूल स्थितियाँ $= 7 + 6 + 5 = 18$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{18}{28} = \frac{9}{14}$ है।

(A) कुल छात्रों की संख्या = $15 + 5 = 20$।
$20$ में से $3$ छात्रों को चुनने के तरीके = $^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$।
$15$ में से $2$ लड़कों और $5$ में से $1$ लड़की को चुनने के तरीके = $^{15}C_2 \times ^5C_1$।
$^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$।
$^{5}C_1 = 5$।
अनुकूल परिणामों की संख्या = $105 \times 5 = 525$।
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{525}{1140} = \frac{35}{76}$।

(A) '$PROBABILITY$' शब्द में $11$ अक्षर हैं,जिसमें $B$ दो बार और $I$ दो बार आता है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{11!}{2!2!}$ है।
उन व्यवस्थाओं को खोजने के लिए जहाँ दोनों $B$ एक साथ हों,हम दोनों $B$ को एक इकाई $(BB)$ के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $10$ इकाइयाँ हैं: $(BB), P, R, O, A, I, L, I, T, Y$।
चूँकि $I$ दो बार आता है,इसलिए $B$ के एक साथ होने वाली व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{10!}{2!}$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\frac{10!}{2!}}{\frac{11!}{2!2!}} = \frac{10! \times 2! \times 2!}{2! \times 11!} = \frac{2}{11}$।

(C) कुल व्यक्तियों की संख्या = $4 + 2 = 6$.
$6$ व्यक्तियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $n(S) = 6! = 720$ हैं।
दोनों लड़कियों के एक साथ बैठने के अनुकूल परिणामों के लिए,हम $2$ लड़कियों को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास $4$ लड़के और $1$ इकाई (लड़कियों का समूह) है,यानी कुल $5$ इकाइयाँ हैं।
इन $5$ इकाइयों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$2$ लड़कियाँ अपनी इकाई के भीतर $2!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकती हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 5! \times 2! = 120 \times 2 = 240$ है।
प्रायिकता $P = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5! \times 2!}{6!} = \frac{240}{720} = \frac{1}{3}$.

(B) $50$ में से दो अलग-अलग संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{50}C_2 = 1225$ हैं।
गुणनफल $ab$ के $3$ से विभाज्य होने के लिए,कम से कम एक संख्या $3$ का गुणज होनी चाहिए।
पूरक घटना की गणना करना आसान है: प्रायिकता कि गुणनफल $ab$,$3$ से विभाज्य नहीं है।
यह तब होता है जब न तो $a$ और न ही $b$,$3$ का गुणज हो।
${1, 2, \dots, 50}$ में,$3$ के गुणज $16$ हैं।
$3$ के गुणज न होने वाली संख्याएँ $50 - 16 = 34$ हैं।
$3$ के गुणज न होने वाली दो अलग-अलग संख्याएँ चुनने के तरीके $^{34}C_2 = 561$ हैं।
गुणनफल के $3$ से विभाज्य न होने की प्रायिकता $\frac{561}{1225}$ है।
अतः,गुणनफल $ab$ के $3$ से विभाज्य होने की प्रायिकता $1 - \frac{561}{1225} = \frac{664}{1225}$ है।