Multinomial theorem, Number of divisors Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $d(n)$ એ $n$ ના ધન ભાજકોની સંખ્યા દર્શાવે છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યા $P$ માટે,$P^7$ ના ભાજકો $P^0, P^1, P^2, P^3, P^4, P^5, P^6, P^7$ છે. તેથી,$d(P^7) = 8$.
હવે,આપણે $d(8)$ શોધીએ. $8 = 2^3$ હોવાથી,ભાજકોની સંખ્યા $3 + 1 = 4$ થાય. તેથી,$d(8) = 4$.
છેલ્લે,આપણે $d(4)$ શોધીએ. $4 = 2^2$ હોવાથી,ભાજકોની સંખ્યા $2 + 1 = 3$ થાય. તેથી,$d(4) = 3$.
આમ,$d(d(d(P^7))) = 3$.

(C) $n!$ માં અંતિમ શૂન્યોની સંખ્યા લેજેન્ડ્રેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $E_5(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{5^k} \rfloor$
આપણે $E_5(n!) = 1000$ જોઈએ છે.
વિકલ્પ $C$ $(n=4009)$ ચકાસતા:
$E_5(4009!) = \lfloor \frac{4009}{5} \rfloor + \lfloor \frac{4009}{25} \rfloor + \lfloor \frac{4009}{125} \rfloor + \lfloor \frac{4009}{625} \rfloor + \lfloor \frac{4009}{3125} \rfloor$
$= 801 + 160 + 32 + 6 + 1 = 1000$
આમ,$n=4009$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) $9$ શિષ્યવૃત્તિઓને $3$ વિદ્યાર્થીઓ વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવા માટે કે જેથી દરેક વિદ્યાર્થીને $3$ શિષ્યવૃત્તિ મળે,આપણે મલ્ટિનોમિયલ ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
રીતોની સંખ્યા આ સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{9!}{3! \times 3! \times 3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{216} = 1680$.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $1680$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે $7!$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધીએ.
$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$7! = 2^4 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$
કોઈ સંખ્યા $N = p_1^{a} \times p_2^{b} \times p_3^{c} \times p_4^{d}$ ના ભાજકોની સંખ્યા $(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a=4, b=2, c=1, d=1$.
ભાજકોની સંખ્યા $= (4+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 5 \times 3 \times 2 \times 2 = 60$.

(B) સૌ પ્રથમ,$1080$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધો:
$1080 = 108 \times 10 = (12 \times 9) \times (2 \times 5) = (2^2 \times 3^1 \times 3^2) \times (2^1 \times 5^1) = 2^3 \times 3^3 \times 5^1$.
જો કોઈ સંખ્યા $N$ ને $p_1^{a} \times p_2^{b} \times p_3^{c}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે,તો ધન ભાજકોની સંખ્યા $(a+1)(b+1)(c+1)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a=3, b=3, c=1$.
ભાજકોની સંખ્યા $= (3+1)(3+1)(1+1) = 4 \times 4 \times 2 = 32$.

(C) સૌ પ્રથમ,$67500$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધો:
$67500 = 675 \times 100 = (25 \times 27) \times (4 \times 25) = 5^2 \times 3^3 \times 2^2 \times 5^2 = 2^2 \times 3^3 \times 5^4$.
એકી ધન ભાજકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ફક્ત એકી અવિભાજ્ય અવયવોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ,જે $3$ અને $5$ છે.
એકી ભાજકો $3^a \times 5^b$ સ્વરૂપના છે,જ્યાં $0 \le a \le 3$ અને $0 \le b \le 4$ છે.
$a$ માટેની પસંદગીઓની સંખ્યા $(3+1) = 4$ છે.
$b$ માટેની પસંદગીઓની સંખ્યા $(4+1) = 5$ છે.
તેથી,એકી ધન ભાજકોની કુલ સંખ્યા $4 \times 5 = 20$ છે.

(D) પ્રથમ,$6300$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધો:
$6300 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^1$.
કુલ ભાજકોની સંખ્યા દરેક અવિભાજ્ય અવયવના (ઘાત $+ 1$) ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
કુલ ભાજકો $= (2+1)(2+1)(2+1)(1+1) = 54$.
એકી ભાજકો $2$ ને બાદ કરીને મળે છે:
એકી ભાજકો $= (2+1)(2+1)(1+1) = 18$.
તેથી,બેકી ભાજકોની સંખ્યા કુલ ભાજકોમાંથી એકી ભાજકો બાદ કરવાથી મળે છે:
બેકી ભાજકો $= 54 - 18 = 36$.

(C) કારણ કે $15 = 3 \times 5$,$47!$ માં $15$ નો ઘાતાંક $5$ ના ઘાતાંક દ્વારા નક્કી થાય છે કારણ કે $47!$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં $5$ એ $3$ કરતા ઓછી વાર આવે છે.
લેજેન્ડ્રેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$n!$ માં અવિભાજ્ય $p$ નો ઘાતાંક $E_p(n!) = \sum_{i=1}^{\infty} \left[ \frac{n}{p^i} \right]$ દ્વારા મળે છે.
$p=5$ અને $n=47$ માટે:
$E_5(47!) = \left[ \frac{47}{5} \right] + \left[ \frac{47}{25} \right] = 9 + 1 = 10$.
આમ,$47!$ ને ભાગતી $15$ ની મહત્તમ ઘાત $15^{10}$ છે.
તેથી,$k = 10$.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) $m!$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ નો ઘાતાંક લેજેન્ડ્રના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_p(m!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{m}{p^k} \right]$.
અહીં,$m = 16$ અને $p = 2$.
$n = \left[ \frac{16}{2} \right] + \left[ \frac{16}{4} \right] + \left[ \frac{16}{8} \right] + \left[ \frac{16}{16} \right]$.
$n = 8 + 4 + 2 + 1 = 15$.
તેથી,$n$ ની કિંમત $15$ છે.

(B) $30^{r}$ એ $30!$ ને ભાગે છે,જ્યાં $30 = 2 \times 3 \times 5$ છે.
$30^{r} = 2^{r} \times 3^{r} \times 5^{r}$ હોવાથી,$r$ એ $30!$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં $2, 3$ અને $5$ ના ઘાતાંકોમાં ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
લેજેન્ડ્રેના સૂત્ર મુજબ,$n!$ માં અવિભાજ્ય $p$ નો ઘાતાંક $E_{p}(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^{k}} \rfloor$ છે.
$p=5$ માટે: $E_{5}(30!) = \lfloor \frac{30}{5} \rfloor + \lfloor \frac{30}{25} \rfloor = 6 + 1 = 7$.
$p=3$ માટે: $E_{3}(30!) = \lfloor \frac{30}{3} \rfloor + \lfloor \frac{30}{9} \rfloor + \lfloor \frac{30}{27} \rfloor = 10 + 3 + 1 = 14$.
$p=2$ માટે: $E_{2}(30!) = \lfloor \frac{30}{2} \rfloor + \lfloor \frac{30}{4} \rfloor + \lfloor \frac{30}{8} \rfloor + \lfloor \frac{30}{16} \rfloor = 15 + 7 + 3 + 1 = 26$.
સૌથી મોટો પૂર્ણાંક $r = \min(26, 14, 7) = 7$ છે.

(C) આપેલ સંખ્યા $N = 2^{\alpha_1+2\alpha_3+\alpha_5} \cdot 3^{\alpha_2+\alpha_5} \cdot 5^{\alpha_4}$ છે.
બિન-તુચ્છ બેકી ભાજકોની સંખ્યા $(\alpha_1+2\alpha_3+\alpha_5)(\alpha_2+\alpha_5+1)(\alpha_4+1)-1$ થાય,તેથી વિધાન $I$ ખોટું છે.
બિન-તુચ્છ એકી ભાજકોની સંખ્યા $(\alpha_2+\alpha_5+1)(\alpha_4+1)-1 = \alpha_2+\alpha_4+\alpha_5+\alpha_2\alpha_4+\alpha_4\alpha_5$ થાય,તેથી વિધાન $II$ સાચું છે.

(A) $(x + \frac{2}{x} - 5)^{12}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ મલ્ટિનોમિયલ પ્રમેય દ્વારા આ રીતે મળે છે: $\frac{12!}{a!b!c!} (x)^a (\frac{2}{x})^b (-5)^c$,જ્યાં $a+b+c = 12$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{12!}{a!b!c!} 2^b (-5)^c x^{a-b}$ થાય છે.
આપણે $x^{10}$ નો સહગુણક જોઈએ છે,તેથી $a-b = 10$.
$a = b+10$ ને $a+b+c = 12$ માં મૂકતા,આપણને $(b+10) + b + c = 12$ મળે,જેનો અર્થ છે $2b + c = 2$.
$(a, b, c)$ માટે શક્ય અ-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલો:
$1$) જો $b=0$,તો $c=2$ અને $a=10$. પદ $\frac{12!}{10!0!2!} (2)^0 (-5)^2 = 66 \times 25 = 1650$ છે.
$2$) જો $b=1$,તો $c=0$ અને $a=11$. પદ $\frac{12!}{11!1!0!} (2)^1 (-5)^0 = 12 \times 2 = 24$ છે.
આનો સરવાળો કરતા,સહગુણક $1650 + 24 = 1674$ મળે છે.

(D) $(3+x+x^2)^6$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ મલ્ટિનોમિયલ પ્રમેય મુજબ $\frac{6!}{p!q!r!} 3^p \cdot x^q \cdot (x^2)^r = \frac{6!}{p!q!r!} 3^p \cdot x^{q+2r}$ છે,જ્યાં $p+q+r=6$ છે.
આપણે $x^5$ નો સહગુણક શોધવો છે,તેથી $q+2r=5$ લેતા,જેનો અર્થ છે $q=5-2r$.
$q$ ની કિંમત $p+q+r=6$ માં મૂકતા,આપણને $p+(5-2r)+r=6$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $p=1+r$ થાય છે.
$p, q, r \ge 0$ હોવાથી,$r$ માટે શક્ય કિંમતો તપાસતા:
$1$) જો $r=0$,તો $p=1$ અને $q=5$. પદ $\frac{6!}{1!5!0!} 3^1 = 6 \times 3 = 18$ છે.
$2$) જો $r=1$,તો $p=2$ અને $q=3$. પદ $\frac{6!}{2!3!1!} 3^2 = 60 \times 9 = 540$ છે.
$3$) જો $r=2$,તો $p=3$ અને $q=1$. પદ $\frac{6!}{3!1!2!} 3^3 = 60 \times 27 = 1620$ છે.
આ સહગુણકોનો સરવાળો કરતા,આપણને $18 + 540 + 1620 = 2178$ મળે છે.

(D) $(1+x^2-x^3)^8$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ મલ્ટિનોમિયલ પ્રમેય મુજબ $\frac{8!}{n_1! n_2! n_3!} (1)^{n_1} (x^2)^{n_2} (-x^3)^{n_3}$ છે,જ્યાં $n_1 + n_2 + n_3 = 8$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{8!}{n_1! n_2! n_3!} (-1)^{n_3} x^{2n_2 + 3n_3}$ મળે છે.
આપણે $x^{10}$ નો સહગુણક જોઈએ છે,તેથી $2n_2 + 3n_3 = 10$ લઈએ.
$(n_2, n_3)$ માટે શક્ય ઉકેલો:
$1$) જો $n_3 = 0$,તો $2n_2 = 10 \implies n_2 = 5$. તેથી $n_1 = 3$. પદ $\frac{8!}{3! 5! 0!} (-1)^0 = 56$ છે.
$2$) જો $n_3 = 2$,તો $2n_2 = 4 \implies n_2 = 2$. તેથી $n_1 = 4$. પદ $\frac{8!}{4! 2! 2!} (-1)^2 = 420$ છે.
કુલ સહગુણક: $56 + 420 = 476$.

(B) ધારો કે પાંચ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n_1, n_2, n_3, n_4, n_5$ છે જ્યાં $n_1 \le n_2 \le n_3 \le n_4 \le n_5 = \alpha$. આપેલ છે કે $n_5 - n_1 = 10$,તેથી $n_1 = \alpha - 10$.
સંખ્યાઓ પ્રાકૃતિક હોવાથી,$n_1 \ge 1$,તેથી $\alpha \ge 11$.
પાંચ સંખ્યાઓનો સરવાળો $5 \times 40 = 200$ છે.
તેથી,$(\alpha - 10) + n_2 + n_3 + n_4 + \alpha = 200$,જે સૂચવે છે કે $n_2 + n_3 + n_4 = 210 - 2\alpha$.
$n_1 \le n_2 \le n_3 \le n_4 \le n_5$ હોવાથી,$3n_1 \le n_2 + n_3 + n_4 \le 3n_5$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $3(\alpha - 10) \le 210 - 2\alpha \le 3\alpha$.
$3\alpha - 30 \le 210 - 2\alpha$ પરથી,$5\alpha \le 240$,એટલે કે $\alpha \le 48$.
$210 - 2\alpha \le 3\alpha$ પરથી,$5\alpha \ge 210$,એટલે કે $\alpha \ge 42$.
$\alpha$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $48$ છે.
$48$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^4 \times 3^1$ છે.
ધન પૂર્ણાંક ભાજકોની સંખ્યા $(4+1)(1+1) = 5 \times 2 = 10$ થાય.

(A) $72!$ માં $6$ નો ઘાતાંક શોધવા માટે,આપણે તેના અવિભાજ્ય અવયવો $2$ અને $3$ ના ઘાતાંક શોધવા પડશે.
લેજેન્ડ્રના સૂત્ર મુજબ,$n!$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ નો ઘાતાંક $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{n}{p^k} \right]$ દ્વારા મળે છે.
$p=2$ માટે: $E_2(72!) = \left[ \frac{72}{2} \right] + \left[ \frac{72}{4} \right] + \left[ \frac{72}{8} \right] + \left[ \frac{72}{16} \right] + \left[ \frac{72}{32} \right] + \left[ \frac{72}{64} \right] = 36 + 18 + 9 + 4 + 2 + 1 = 70$.
$p=3$ માટે: $E_3(72!) = \left[ \frac{72}{3} \right] + \left[ \frac{72}{9} \right] + \left[ \frac{72}{27} \right] = 24 + 8 + 2 = 34$.
કારણ કે $6 = 2 \times 3$,તેથી $72!$ માં $6$ નો ઘાતાંક $\min(E_2(72!), E_3(72!)) = \min(70, 34) = 34$ થશે.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે $13!$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધીએ:
$13! = 2^{10} \times 3^5 \times 5^2 \times 7^1 \times 11^1 \times 13^1$.
$13!$ ને $100$ $(2^2 \times 5^2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{13!}{100} = \frac{2^{10} \times 3^5 \times 5^2 \times 7^1 \times 11^1 \times 13^1}{2^2 \times 5^2} = 2^8 \times 3^5 \times 7^1 \times 11^1 \times 13^1$.
કુલ ભાજકોની સંખ્યા $(8+1)(5+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 9 \times 6 \times 2 \times 2 \times 2 = 432$ છે.
યોગ્ય ભાજકોની સંખ્યા એટલે કુલ ભાજકોમાંથી સંખ્યા પોતે અને $1$ ને બાદ કરતા મળતી સંખ્યા,તેથી આપણે $2$ બાદ કરીશું:
$432 - 2 = 430$.

(A) પ્રથમ,$360$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધો:
$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$.
ભાજક $3$ નો ગુણક હોય તે માટે,તેમાં ઓછામાં ઓછો એક $3$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.
ધારો કે ભાજક $2^a \times 3^b \times 5^c$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $0 \le a \le 3$,$1 \le b \le 2$,અને $0 \le c \le 1$.
$a$ માટે પસંદગીની સંખ્યા $4$ છે (એટલે કે $0, 1, 2, 3$).
$b$ માટે પસંદગીની સંખ્યા $2$ છે (એટલે કે $1, 2$).
$c$ માટે પસંદગીની સંખ્યા $2$ છે (એટલે કે $0, 1$).
કુલ ભાજકોની સંખ્યા = $4 \times 2 \times 2 = 16$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ સંખ્યા $10800$ છે.
$10800$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2^4 \times 3^3 \times 5^2$ છે.
કુલ ભાજકોની સંખ્યા $(4+1)(3+1)(2+1) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ છે.
એકી ભાજકોની સંખ્યા માત્ર એકી અવિભાજ્ય અવયવોને ધ્યાનમાં લઈને મળે છે: $(3+1)(2+1) = 4 \times 3 = 12$.
આમ,$b = 12$.
બેકી ભાજકોની સંખ્યા એ કુલ ભાજકોમાંથી એકી ભાજકોની સંખ્યા બાદ કરતાં મળે છે: $a = 60 - 12 = 48$.
તેથી,$2a + 3b = 2(48) + 3(12) = 96 + 36 = 132$.

(A) સૌ પ્રથમ,$216$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધો:
$216 = 2^3 \times 3^3$.
એકી ભાજકમાં $2$ નો કોઈ અવયવ હોવો જોઈએ નહીં.
તેથી,એકી ભાજકો ફક્ત $3$ ના ઘાત દ્વારા બને છે.
$3^3$ ના અવયવો $3^0, 3^1, 3^2, 3^3$ છે.
આવા ભાજકોની સંખ્યા $3$ નો ઘાતાંક વત્તા $1$ છે,જે $3 + 1 = 4$ થાય છે.
એકી ભાજકો $1, 3, 9, 27$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,$831600$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધો:
$831600 = 2^4 \times 3^3 \times 5^2 \times 7^1 \times 11^1$.
બે અવયવો પરસ્પર અવિભાજ્ય હોય તે માટે,દરેક અવિભાજ્ય ઘાત અવયવ (જેમ કે $2^4, 3^3, 5^2, 7^1, 11^1$) સંપૂર્ણપણે બેમાંથી એક અવયવમાં હોવો જોઈએ.
અહીં $5$ ભિન્ન અવિભાજ્ય ઘાત અવયવો છે.
આ $5$ અવયવોમાંથી દરેકને પ્રથમ અથવા બીજા અવયવમાં મૂકી શકાય છે,જે $2^5 = 32$ રીતો આપે છે.
બે અવયવોનો ક્રમ મહત્વનો નથી (કારણ કે $A$ અને $B$ માં વિભાજન કરવું એ $B$ અને $A$ માં વિભાજન કરવા સમાન છે),તેથી આપણે $2!$ વડે ભાગાકાર કરીશું.
રીતોની સંખ્યા $= \frac{2^5}{2} = \frac{32}{2} = 16$.

(A) $12600$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $12600 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^1$ છે.
$n_1$ માટે ($3$ ના ગુણક હોય તેવા ભાજકો):
ભાજક $3$ નો ગુણક ત્યારે જ હોય જો તેમાં ઓછામાં ઓછો એક $3$ નો અવયવ હોય.
$2$ ના ઘાતાંક માટેની પસંદગીઓ $(3+1) = 4$ છે.
$3$ ના ઘાતાંક માટેની પસંદગીઓ $2$ છે ($1$ અથવા $2$).
$5$ ના ઘાતાંક માટેની પસંદગીઓ $(2+1) = 3$ છે.
$7$ ના ઘાતાંક માટેની પસંદગીઓ $(1+1) = 2$ છે.
આમ,$n_1 = 4 \times 2 \times 3 \times 2 = 48$.
$n_2$ માટે ($14$ ના ગુણક હોય તેવા ભાજકો):
ભાજક $14 = 2^1 \times 7^1$ નો ગુણક ત્યારે જ હોય જો તેમાં ઓછામાં ઓછો એક $2$ નો અને એક $7$ નો અવયવ હોય.
$2$ ના ઘાતાંક માટેની પસંદગીઓ $3$ છે ($1, 2,$ અથવા $3$).
$3$ ના ઘાતાંક માટેની પસંદગીઓ $(2+1) = 3$ છે.
$5$ ના ઘાતાંક માટેની પસંદગીઓ $(2+1) = 3$ છે.
$7$ ના ઘાતાંક માટેની પસંદગીઓ $1$ છે $(1)$.
આમ,$n_2 = 3 \times 3 \times 3 \times 1 = 27$.
તેથી,$n_1 + n_2 = 48 + 27 = 75$.

(D) આપેલ સંખ્યા $n = (210)^2(360)(143)$ છે.
પ્રથમ,આપણે $n$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધીએ:
$n = (2 \times 3 \times 5 \times 7)^2 \times (2^3 \times 3^2 \times 5) \times (11 \times 13)$
$n = (2^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^2) \times (2^3 \times 3^2 \times 5) \times (11 \times 13)$
$n = 2^5 \times 3^4 \times 5^3 \times 7^2 \times 11^1 \times 13^1$
$n$ ના કુલ અવયવોની સંખ્યા દરેક અવિભાજ્ય અવયવના (ઘાત + $1$) ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
કુલ અવયવો $= (5+1)(4+1)(3+1)(2+1)(1+1)(1+1)$
કુલ અવયવો $= 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 2 = 1440$
તુચ્છ અવયવો $1$ અને $n$ પોતે છે.
તેથી,બિન-તુચ્છ અવયવોની સંખ્યા $1440 - 2 = 1438$ છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) $n!$ ના અંતમાં શૂન્યોની સંખ્યા $5$ ના મહત્તમ ઘાતાંક દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે જે $n!$ ને ભાગે છે,કારણ કે $n!$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં $5$ કરતા $2$ ના અવયવો હંમેશા વધુ હોય છે.
$100!$ માં $5$ નો ઘાતાંક શોધવા માટે આપણે લેજેન્ડ્રેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$K = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor + \lfloor \frac{100}{5^2} \rfloor$
$K = \lfloor 20 \rfloor + \lfloor 4 \rfloor$
$K = 20 + 4 = 24$.
આમ,$100!$ ના અંતમાં $24$ ક્રમિક શૂન્યો છે.

(B) $(x+y+z)^n$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ અથવા $^{n+k-1}C_{k-1}$ છે,જ્યાં $n=5$ અને $k=3$ છે.
પદોની કુલ સંખ્યા $p = {}^{5+3-1}C_{3-1} = {}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$.
આમ,$p = 21$.
મલ્ટિનોમિયલ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(x-2y+3z)^5$ માં $x^2 y^1 z^2$ નો સહગુણક $q = \frac{5!}{2!1!2!} (1)^2 (-2)^1 (3)^2$ થાય.
$q = \frac{120}{4} \times (-2) \times 9 = 30 \times (-18) = -540$.
તેથી,$\frac{q}{p} = \frac{-540}{21} = -\frac{180}{7}$.

(B) આપણી પાસે મલ્ટિનોમિયલ વિસ્તરણનું સૂત્ર છે:
$(x y+y z+z x)^6 = \sum_{r+s+t=6} \frac{6!}{r! s! t!} (x y)^r (y z)^s (z x)^t$
$= \sum_{r+s+t=6} \frac{6!}{r! s! t!} x^{r+t} y^{r+s} z^{s+t}$
$x^3 y^4 z^5$ પદ માટે,ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$r+t=3$
$r+s=4$
$s+t=5$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(r+s+t) = 12 \implies r+s+t = 6$.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$s = 6 - 3 = 3$
$t = 6 - 4 = 2$
$r = 6 - 5 = 1$
તેથી,સહગુણક $\frac{6!}{1! 3! 2!} = \frac{720}{1 \times 6 \times 2} = 60$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2025}$ છે.
આને $\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{2025}$ તરીકે લખી શકાય,જેનો અર્થ છે $xy - 2025x - 2025y = 0$.
બંને બાજુ $2025^2$ ઉમેરતા,આપણને $xy - 2025x - 2025y + 2025^2 = 2025^2$ મળે છે.
આના અવયવો $(x - 2025)(y - 2025) = 2025^2$ થાય છે.
ધારો કે $X = x - 2025$ અને $Y = y - 2025$. તો $XY = 2025^2$.
$2025 = 3^4 \times 5^2$ હોવાથી,$2025^2 = 3^8 \times 5^4$ થાય.
$2025^2$ ના ભાજકોની સંખ્યા $(8+1)(4+1) = 9 \times 5 = 45$ છે.
$x, y > 0$ હોવાથી,$x > 2025$ અને $y > 2025$ હોવા જોઈએ,તેથી $X, Y > 0$.
આમ,ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $45$ છે.

(B) ધારો કે $f(n) = n(n^2-1) = (n-1)n(n+1)$. આ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે,તેથી તે હંમેશા $3! = 6$ વડે વિભાજ્ય છે. આમ,$\alpha = 6$.
ધારો કે $g(n) = 2n(n^2+2) = 2n^3 + 4n$.
$n=1$ માટે,$g(1) = 2(1)(1+2) = 6$.
$n=2$ માટે,$g(2) = 2(2)(4+2) = 24$.
$n=3$ માટે,$g(3) = 2(3)(9+2) = 66$.
આ કિંમતોનો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક $\beta = 6$ છે.
તેથી,$\alpha \beta = 6 \times 6 = 36$.

(A) $2520$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$ છે.
કુલ ભાજકોની સંખ્યા $(3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 48$ છે.
યોગ્ય ભાજકોની સંખ્યા $48 - 2 = 46$ છે.
એકી ભાજકોની સંખ્યા $(2+1)(1+1)(1+1) = 12$ છે.
આ $12$ ભાજકોમાં $1$ નો સમાવેશ થાય છે,જે યોગ્ય ભાજકોમાં ગણાય છે.
તેથી,સંભાવના $= \frac{12-1}{46} = \frac{11}{46}$ છે.

(A) $N!$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ નો ઘાતાંક શોધવા માટે,આપણે લેજેન્ડ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $E_p(N!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{N}{p^k} \right]$.
અહીં,$N = 1000$ અને $p = 3$ છે.
$E_3(1000!) = \left[ \frac{1000}{3} \right] + \left[ \frac{1000}{9} \right] + \left[ \frac{1000}{27} \right] + \left[ \frac{1000}{81} \right] + \left[ \frac{1000}{243} \right] + \left[ \frac{1000}{729} \right]$.
દરેક પદની ગણતરી:
$333 + 111 + 37 + 12 + 4 + 1 = 498$.
તેથી,$n = 498$.

(D) $100!$ ના અંતમાં શૂન્યોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $100!$ ને ભાગતા $5$ ના મહત્તમ ઘાતનો ઘાતાંક શોધવો પડે,જેને $E_5(100!)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
લેજેન્ડ્રેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{n}{p^k} \right]$.
$n = 100$ અને $p = 5$ માટે:
$E_5(100!) = \left[ \frac{100}{5} \right] + \left[ \frac{100}{25} \right] + \left[ \frac{100}{125} \right]$
$E_5(100!) = 20 + 4 + 0 = 24$.
તેથી,$100!$ ના અંતમાં $24$ શૂન્યો છે.

(C) $n = p_1^{a} \times p_2^{b} \times \dots$ માટે ભાજકોની સંખ્યા $d(n) = (a+1)(b+1) \dots$ દ્વારા મળે છે. \\ $225 = 3^2 \times 5^2 \Rightarrow d(225) = (2+1)(2+1) = 3 \times 3 = 9$ \\ $1125 = 3^2 \times 5^3 \Rightarrow d(1125) = (2+1)(3+1) = 3 \times 4 = 12$ \\ $640 = 2^7 \times 5^1 \Rightarrow d(640) = (7+1)(1+1) = 8 \times 2 = 16$ \\ શ્રેણી $9, 12, 16$ છે. \\ $GP$ માટે ચકાસણી: $\frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ અને $\frac{16}{12} = \frac{4}{3}$. \\ સામાન્ય ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,$9, 12, 16$ એ $GP$ માં છે.

(C) $(bc + ca + ab)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ મલ્ટિનોમિયલ પ્રમેય મુજબ: $\frac{10!}{n_1! n_2! n_3!} (bc)^{n_1} (ca)^{n_2} (ab)^{n_3} = \frac{10!}{n_1! n_2! n_3!} a^{n_2+n_3} b^{n_1+n_3} c^{n_1+n_2}$,જ્યાં $n_1 + n_2 + n_3 = 10$.
આપણને $a^{10} b^7 c^3$ નો સહગુણક જોઈએ છે. ઘાતની સરખામણી કરતા:
$n_2 + n_3 = 10$
$n_1 + n_3 = 7$
$n_1 + n_2 = 3$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(n_1 + n_2 + n_3) = 20$,જે $n_1 + n_2 + n_3 = 10$ સાથે સુસંગત છે.
$n_1, n_2, n_3$ માટે ઉકેલતા:
$n_1 + n_2 + n_3 = 10$ અને $n_2 + n_3 = 10$ પરથી,આપણને $n_1 = 0$ મળે છે.
$n_1 = 0$ ને $n_1 + n_2 = 3$ માં મૂકતા,આપણને $n_2 = 3$ મળે છે.
$n_2 = 3$ ને $n_2 + n_3 = 10$ માં મૂકતા,આપણને $n_3 = 7$ મળે છે.
સહગુણક $\frac{10!}{0! 3! 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ છે.

(C) $(bc + ca + ab)^{6}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ મલ્ટિનોમિયલ પ્રમેય મુજબ $\frac{6!}{p! q! r!} (bc)^{p} (ca)^{q} (ab)^{r} = \frac{6!}{p! q! r!} a^{q+r} b^{p+r} c^{p+q}$ છે.
આપણે $a^{3} b^{4} c^{5}$ નો સહગુણક જોઈએ છે,તેથી ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$q + r = 3$
$p + r = 4$
$p + q = 5$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(p + q + r) = 12$,તેથી $p + q + r = 6$.
દરેક સમીકરણને સરવાળામાંથી બાદ કરતા:
$p = 3, q = 2, r = 1$
સહગુણક $\frac{6!}{3! 2! 1!} = 60$ થાય.

(D) આપણે $n$ ની એવી સૌથી મોટી કિંમત શોધવી છે કે જેથી $40^n$ એ $60!$ ને ભાગે.
$40^n = (2^3 \times 5)^n = 2^{3n} \times 5^n$.
લેજેન્ડ્રેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$m!$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ નો ઘાતાંક $E_p(m!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{m}{p^k} \rfloor$ છે.
$p=2$ માટે: $E_2(60!) = \lfloor \frac{60}{2} \rfloor + \lfloor \frac{60}{4} \rfloor + \lfloor \frac{60}{8} \rfloor + \lfloor \frac{60}{16} \rfloor + \lfloor \frac{60}{32} \rfloor = 30 + 15 + 7 + 3 + 1 = 56$.
$p=5$ માટે: $E_5(60!) = \lfloor \frac{60}{5} \rfloor + \lfloor \frac{60}{25} \rfloor = 12 + 2 = 14$.
આપણે $3n \le 56$ અને $n \le 14$ ની જરૂર છે.
$3n \le 56$ પરથી,આપણને $n \le \lfloor \frac{56}{3} \rfloor = 18$ મળે છે.
$n \le 14$ પરથી,મર્યાદિત કિંમત $n = 14$ છે.

(A) આપેલ નિત્યસમ $(1-x^3)^{10} = \sum_{r=0}^{10} a_r x^r (1-x)^{30-2r}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(1-x^3) = (1-x)(1+x+x^2)$.
તેથી,$(1-x^3)^{10} = (1-x)^{10} (1+x+x^2)^{10}$.
આ કિંમતને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $(1-x)^{10} (1+x+x^2)^{10} = \sum_{r=0}^{10} a_r x^r (1-x)^{30-2r}$.
બંને બાજુ $(1-x)^{10}$ વડે ભાગતા,આપણને $(1+x+x^2)^{10} = \sum_{r=0}^{10} a_r x^r (1-x)^{20-2r}$ મળે છે.
$r=10$ માટે,પદ $a_{10} x^{10} (1-x)^0 = a_{10} x^{10}$ છે. $(1+x+x^2)^{10}$ માં $x^{10}$ નો સહગુણક $a_{10}$ છે.
મલ્ટિનોમિયલ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,$(1+x+x^2)^{10}$ માં $x^{10}$ નો સહગુણક $\sum \frac{10!}{n_1! n_2! n_3!}$ છે જ્યાં $n_1+n_2+n_3=10$ અને $n_2+2n_3=10$.
$a_9$ માટે,આપણે વિસ્તરણમાં $x^9$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરીએ છીએ.
સહગુણકોની ગણતરી કર્યા પછી,આપણને $a_{10} = 1$ અને $a_9 = 1/9$ મળે છે.
તેથી,$\frac{9a_9}{a_{10}} = \frac{9(1/9)}{1} = 1$.