Mix Examples-Pair of straight lines Questions in Hindi

(A) समीकरणों का युग्म $3x^2 + 2hxy - 3y^2 = 0$ दो लंबवत रेखाओं को दर्शाता है क्योंकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग $3 + (-3) = 0$ है।
वर्ग की भुजाएँ होने के लिए,रेखाएँ लंबवत होनी चाहिए।
दूसरा समीकरण $3x^2 + 2hxy - 3y^2 + 2x - 4y + c = 0$ अन्य दो भुजाओं को दर्शाता है,जो पहले युग्म के समानांतर होनी चाहिए।
समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी समान होनी चाहिए।
गणना करने पर $h = 2$ और $c = -8$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{h}{c} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}$.

(D) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $2x^2 - 5xy + 2y^2 + 6x - 3y = 0$ है।
व्यंजक का गुणनखंड करने पर,$(2y - x - 3)(y - 2x) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखाएँ $2y - x - 3 = 0$ और $y - 2x = 0$ हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर: $y = 2x$,इसलिए $2(2x) - x - 3 = 0 \implies 3x = 3 \implies x = 1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 2)$ है,इसलिए $\alpha = 1$.
कथन (ii) के लिए,मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा $y - 2x = 0$ है,जिसकी ढाल $m = 2$ है। अतः $\beta = 2$.
कथन (iii) के लिए,कोणीय द्विभाजक $\frac{2y - x - 3}{\sqrt{5}} = \pm \frac{y - 2x}{\sqrt{5}}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यह $2y - x - 3 = \pm(y - 2x)$ में सरल हो जाता है।
स्थिति $1$: $x + y - 3 = 0$.
स्थिति $2$: $x - y + 1 = 0$.
अचर पद $-3$ और $1$ हैं। मानक रूप लेने पर,$\gamma = -3$.
मानों की तुलना करने पर: $\gamma = -3, \alpha = 1, \beta = 2$.
इसलिए,$\gamma < \alpha < \beta$.

(D) रेखाओं का युग्म $S = 3x^2 - 2kxy + y^2 = 0$ है। रेखा $L = 2x - y - 6 = 0$ है,जिसका अर्थ है $y = 2x - 6$.
$S=0$ में $y$ का मान रखने पर,$3x^2 - 2kx(2x - 6) + (2x - 6)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसका सरलीकरण $(7 - 4k)x^2 + 12(k - 2)x + 36 = 0$ है।
माना प्रतिच्छेदन बिंदु $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ हैं। मूल बिंदु $C(0, 0)$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1| = 36$,जिसका अर्थ है $|x_1x_2| |m_1 - m_2| = 72$.
द्विघात समीकरण से,$x_1x_2 = \frac{36}{7 - 4k}$.
साथ ही,$S = ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए,$|m_1 - m_2| = \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{|b|} = 2\sqrt{k^2 - 3}$.
क्षेत्रफल के सूत्र में मान रखने पर: $|\frac{36}{7 - 4k}| \cdot 2\sqrt{k^2 - 3} = 72 \Rightarrow |\sqrt{k^2 - 3}| = |7 - 4k|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $k^2 - 3 = (7 - 4k)^2 = 49 + 16k^2 - 56k$.
$15k^2 - 56k + 52 = 0 \Rightarrow (k - 2)(15k - 26) = 0$.
चूंकि $k$ एक पूर्णांक है,$k = 2$.
$k = 2$ के लिए,$\tan \theta = \frac{2\sqrt{k^2 - 3}}{a + b} = \frac{2\sqrt{4 - 3}}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\tan \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(D) दी गई रेखाओं का युग्म $x^2+4xy+3y^2-4x-10y+3=0$ है।
$ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=2, b=3, g=-2, f=-5, c=3$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0) = \left(\frac{bg-fh}{h^2-ab}, \frac{af-gh}{h^2-ab}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x_0 = \frac{-6+10}{4-3} = 4$ और $y_0 = \frac{-5+4}{1} = -1$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, -1)$ है।
ढाल $m_1 = \frac{1}{2}$ और $(4, -1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x-2y-6=0$ है।
ढाल $m_2 = -\frac{1}{3}$ और $(4, -1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x+3y-1=0$ है।
संयुक्त समीकरण $(x-2y-6)(x+3y-1) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $x^2+xy-6y^2-7x-16y+6=0$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए रेखाओं के युग्म $x^2-3xy+2y^2=0$ और $x^2-3xy+2y^2+x-2=0$ हैं।
प्रथम समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-2y)(x-y)=0$,जो रेखाएं $L_1: x-2y=0$ और $L_2: x-y=0$ देती हैं।
दूसरे समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-2y+2)(x-y-1)=0$,जो रेखाएं $L_3: x-2y+2=0$ और $L_4: x-y-1=0$ देती हैं।
समीकरणों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $L_1 \parallel L_3$ और $L_2 \parallel L_4$ है।
चूंकि सम्मुख भुजाएं समांतर हैं,इसलिए यह आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।
$L_1$ और $L_2$ के बीच का कोण जांचने पर,ढाल $m_1 = 1/2$ और $m_2 = 1$ है। चूंकि $m_1 \times m_2 \neq -1$,इसलिए कोण $90^{\circ}$ नहीं है।
अतः,यह आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।

(B) रेखाओं का युग्म $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$,रेखा $lx + my + n = 0$ के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाता है यदि $\frac{A+B}{1} = \frac{H}{lm} = \frac{A-B}{l^2-m^2}$ हो।
दिए गए रेखाओं के युग्म $ax^2 - 96bxy + ky^2 = 0$ के लिए,$A = a$,$2H = -96b$,और $B = k$ है।
रेखा $2x + by + 5 = 0$ है,इसलिए $l = 2$ और $m = b$ है।
शर्त $\frac{a+k}{1} = \frac{-48b}{2b} = \frac{a-k}{4-b^2}$ का उपयोग करने पर।
$\frac{a+k}{1} = -24$ से,हमें $a+k = -24$ प्राप्त होता है।
$\frac{-48b}{2b} = \frac{a-k}{4-b^2}$ से,हमें $-24 = \frac{a-k}{4-b^2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $a-k = -96 + 24b^2$।
हल करने पर,हमें $a+3k = 192$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई रेखाओं का युग्म $8x^2 - 14xy + 5y^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(2x - y)(4x - 5y) = 0$।
अतः,दो रेखाएँ $L_2: 2x - y = 0$ और $L_3: 4x - 5y = 0$ हैं।
तीसरी रेखा $L_1: x - 2y + 3 = 0$ है।
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु मूल बिंदु $A(0, 0)$ है।
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(5, 4)$ है और $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(1, 2)$ है।
त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $(p, q) = (\frac{0+1+5}{3}, \frac{0+2+4}{3}) = (2, 2)$ है।
अतः $p = q$।

(A) दिया गया समीकरण $x^2+4xy+ky^2-4x-10y+3=0$ रेखाओं का एक युग्म निरूपित करता है। इसके लिए सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 2 & k & -5 \\ -2 & -5 & 3 \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(3k-25) - 2(6-10) - 2(-10+2k) = 0$
$3k-25+8+20-4k = 0 \implies k = 3$.
समीकरण $x^2+4xy+3y^2-4x-10y+3=0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(x+y-3)(x+3y-1) = 0$.
रेखाएँ $x+y-3=0$ और $x+3y-1=0$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने पर: $x+y=3$ और $x+3y=1$. घटाने पर $2y = -2 \implies y = -1$,अतः $x = 4$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, -1)$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से $(4,-1)$ तक की दूरी $d = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{17}$,अतः $d^2 = 17$.
मूल बिंदु से रेखाओं $x+y-3=0$ और $x+3y-1=0$ पर लंबवत दूरियाँ $d_1 = \frac{|-3|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ और $d_2 = \frac{|-1|}{\sqrt{1^2+3^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ हैं।
गुणनफल $p = d_1 \times d_2 = \frac{3}{\sqrt{2} \times \sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{20}} = \frac{3}{2\sqrt{5}}$.
इस प्रकार,$p^2 = \frac{9}{20}$.
अंत में,$d^2 - 20p^2 = 17 - 20 \times \frac{9}{20} = 17 - 9 = 8$.

(D) दिया गया समीकरण $9x^2-24xy+16y^2+\alpha x+\beta y+6=0$ है। इसे $(3x-4y)^2+\alpha x+\beta y+6=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह समानांतर रेखाओं को दर्शाता है,मान लीजिए रेखाएं $(3x-4y+k_1)=0$ और $(3x-4y+k_2)=0$ हैं।
उनका गुणनफल $(3x-4y+k_1)(3x-4y+k_2) = 9x^2-24xy+16y^2+3(k_1+k_2)x-4(k_1+k_2)y+k_1k_2=0$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर: $\alpha = 3(k_1+k_2)$,$\beta = -4(k_1+k_2)$,और $k_1k_2 = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{3(k_1+k_2)}{-4(k_1+k_2)} = -\frac{3}{4}$.

(D) दी गई रेखाओं का युग्म $12 x^2-20 x y+7 y^2=0$ है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $12 x^2-14 x y-6 x y+7 y^2=0$.
यह $2 x(6 x-7 y)-y(6 x-7 y)=0$ में सरल हो जाता है,जिससे $(2 x-y)(6 x-7 y)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $y=2 x$ और $y=\frac{6 x}{7}$ हैं।
तीसरी रेखा $x+y=1$ है,अर्थात $y=1-x$ है।
शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को युग्मों में हल करते हैं:
$1$. $y=2 x$ और $y=\frac{6 x}{7}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ है।
$2$. $y=2 x$ और $x+y=1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x+2 x=1 \Rightarrow 3 x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{3}, y=\frac{2}{3}$। शीर्ष $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ है।
$3$. $y=\frac{6 x}{7}$ और $x+y=1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x+\frac{6 x}{7}=1 \Rightarrow \frac{13 x}{7}=1 \Rightarrow x=\frac{7}{13}, y=\frac{6}{13}$। शीर्ष $(\frac{7}{13}, \frac{6}{13})$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(\frac{2}{3}-\frac{6}{13}) + \frac{1}{3}(\frac{6}{13}-0) + \frac{7}{13}(0-\frac{2}{3})|$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\frac{6}{39} - \frac{14}{39}| = \frac{1}{2} |-\frac{8}{39}| = \frac{4}{39}$।