$x^2-4xy+y^2=0$ और $x+y+4\sqrt{6}=0$ द्वारा निर्मित त्रिभुज है

यदि मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का एक युग्म रेखा $2x + 3y = 6$ के साथ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज बनाता है,तो वे रेखाएँ हैं

$6 x^2+13 x y+6 y^2=0$ और $x+2 y+3=0$ रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

मान लीजिए $P$,$2x^2 - 5xy + 2y^2 + 6x - 3y = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं का युग्म है। निम्नलिखित स्वतंत्र कथनों पर विचार करें:
$(i)$ $\alpha$,रेखाओं के युग्म $P$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक है।
(ii) $\beta$,मूल बिंदु से गुजरने वाली $P$ की रेखाओं में से एक की ढाल है।
(iii) $\gamma$,$P$ के कोणीय द्विभाजकों के युग्म के समीकरण में अचर पद है।
तो,

यदि बिंदु $(-1, 5)$ से रेखाओं के युग्म $2x^2 - xy + ky^2 + 6x + y + 4 = 0$ पर खींचे गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $\frac{65}{\sqrt{26}}$ है,तो $37k^2 + 92k$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $OABC$ एक समांतर चतुर्भुज है। एक विकर्ण $AC$ का समीकरण $x+y-1=0$ है और भुजाओं $OA, OC$ का संयुक्त समीकरण $2x^2-y^2=0$ है। यदि $G$ त्रिभुज $OAC$ का केंद्रक है,तो $BG=$