Mix Examples-Pair of straight lines Questions in Hindi

दी गई रेखाओं का युग्म $2x^2 + xy - y^2 - x + 2y - 1 = 0$  है।
समघात भाग का गुणनखंड:
$2x^2 + xy - y^2 = (2x - y)(x + y)$
मान लेते हैं रेखाएँ  $(2x - y + c_1)(x + y + c_2) = 0$
तुलना करने पर:
$(2x - y + 1) = 0 $ और $ (x + y - 1) = 0$
बिंदु  $(1,1)$ से गुजरने वाली इन पर लम्ब रेखाएँ:
रेखा $2x - y + 1 = 0$  पर लम्ब रेखा $L_1:x + 2y + k_1 = 0$
$1 + 2(1) + k_1 = 0 \Rightarrow k_1 = -3$
$\therefore x + 2y - 3 = 0$
रेखा $x + y - 1 = 0$  पर लम्ब रेखा $L_2:x - y + k_2 = 0$
$1 - 1 + k_2 = 0 \Rightarrow k_2 = 0$
$\therefore x - y = 0$
संयुक्त समीकरण
$(x + 2y - 3)(x - y) = 0$
विस्तार करने पर:
$x^2 - xy + 2xy - 2y^2 - 3x + 3y = 0$
$\Rightarrow x^2 + xy - 2y^2 - 3x + 3y = 0$
तुलना करें  $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0:$
$a = 1, 2h = 1, b = -2, 2g = -3$
$\therefore \frac{b}{a} = \frac{-2}{1} = -2$

(C) दी गई रेखाओं का समीकरण $y^2-8xy-9x^2=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(y-9x)(y+x)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $L_1: y=9x$ और $L_2: y=-x$ हैं।
शीर्ष $V(\alpha, \beta)$ मानिए। $V$ से गुजरने वाली भुजाएँ $VA$ और $VB$ हैं।
रेखा $L_1: y=9x$,$VA$ का लंब समद्विभाजक है। $L_1$ की ढाल $9$ है,इसलिए $VA$ की ढाल $-1/9$ है।
$VA$ का समीकरण $y-\beta = -\frac{1}{9}(x-\alpha) \Rightarrow x+9y = \alpha+9\beta$ है।
$VA$ और $L_1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $VA$ का मध्य बिंदु $M$ है। $y=9x$ और $x+9y=\alpha+9\beta$ को हल करने पर,$x+81x = \alpha+9\beta \Rightarrow x = \frac{\alpha+9\beta}{82}$ और $y = \frac{9\alpha+81\beta}{82}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $M$,$VA$ का मध्य बिंदु है,यदि $A$ का निर्देशांक $(x_A, y_A)$ है,तो $\frac{x_A+\alpha}{2} = \frac{\alpha+9\beta}{82} \Rightarrow x_A = \frac{-40\alpha+9\beta}{41}$ और $\frac{y_A+\beta}{2} = \frac{9\alpha+81\beta}{82} \Rightarrow y_A = \frac{9\alpha+40\beta}{41}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$L_2: y=-x$,$VB$ का लंब समद्विभाजक है। $L_2$ की ढाल $-1$ है,इसलिए $VB$ की ढाल $1$ है।
$VB$ का समीकरण $y-\beta = 1(x-\alpha) \Rightarrow x-y = \alpha-\beta$ है।
$VB$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $VB$ का मध्य बिंदु $N$ है। $y=-x$ और $x-y=\alpha-\beta$ को हल करने पर,$x+x = \alpha-\beta \Rightarrow x = \frac{\alpha-\beta}{2}$ और $y = \frac{\beta-\alpha}{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $N$,$VB$ का मध्य बिंदु है,यदि $B$ का निर्देशांक $(x_B, y_B)$ है,तो $\frac{x_B+\alpha}{2} = \frac{\alpha-\beta}{2} \Rightarrow x_B = -\beta$ और $\frac{y_B+\beta}{2} = \frac{\beta-\alpha}{2} \Rightarrow y_B = -\alpha$ प्राप्त होता है।
$\triangle VAB$ का केंद्रक $G$,$(\frac{\alpha+x_A+x_B}{3}, \frac{\beta+y_A+y_B}{3})$ है।
गणना करने पर,$G = \frac{1}{123}(\alpha-32\beta, \beta+32\alpha)$ प्राप्त होता है। अतः विकल्प $C$ सही है।

(A) $12x^2+7xy-12y^2=0$ का गुणनखंड करने पर:
$12x^2+16xy-9xy-12y^2=0$
$4x(3x+4y)-3y(3x+4y)=0$
$(4x-3y)(3x+4y)=0$
अतः,रेखाएं $4x-3y=0$ और $3x+4y=0$ हैं। चूंकि उनकी ढाल $4/3$ और $-3/4$ है,वे परस्पर लंबवत हैं।
$12x^2+7xy-12y^2-x+7y-1=0$ का गुणनखंड करने पर:
माना समीकरण $(4x-3y+c_1)(3x+4y+c_2)=0$ है।
विस्तार करने पर: $12x^2+7xy-12y^2 + (4c_2+3c_1)x + (4c_1-3c_2)y + c_1c_2 = 0$.
तुलना करने पर: $4c_2+3c_1 = -1$ और $4c_1-3c_2 = 7$.
हल करने पर,$c_1=1$ और $c_2=-1$ प्राप्त होता है।
अतः रेखाएं $4x-3y+1=0$ और $3x+4y-1=0$ हैं।
समांतर रेखाओं $4x-3y=0$ और $4x-3y+1=0$ के बीच की दूरी $d_1 = \frac{|1-0|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \frac{1}{5}$ है।
समांतर रेखाओं $3x+4y=0$ और $3x+4y-1=0$ के बीच की दूरी $d_2 = \frac{|-1-0|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{1}{5}$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं और समांतर जोड़ों के बीच की दूरी समान है,यह आकृति $1/5$ भुजा वाला एक वर्ग है।
क्षेत्रफल $= (1/5)^2 = 1/25$ वर्ग इकाई।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $2y^2+5xy-3x^2=0$ है,जिसे $3x^2-5xy-2y^2=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3x^2-6xy+xy-2y^2=0$ $\Rightarrow 3x(x-2y)+y(x-2y)=0$ $\Rightarrow (x-2y)(3x+y)=0$.
अतः,दो रेखाएँ $L_1: x-2y=0$ और $L_2: 3x+y=0$ हैं।
तीसरी रेखा $L_3: x+y=k$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$O(0,0)$ रेखाओं $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x-2y=0$ और $x+y=k$ $\Rightarrow 3y=k$ $\Rightarrow y=\frac{k}{3}, x=\frac{2k}{3}$। अतः,$A(\frac{2k}{3}, \frac{k}{3})$।
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $3x+y=0$ और $x+y=k$ $\Rightarrow 2x=-k$ $\Rightarrow x=-\frac{k}{2}, y=\frac{3k}{2}$। अतः,$B(-\frac{k}{2}, \frac{3k}{2})$।
$\triangle OAB$ का केंद्रक $(\frac{0+\frac{2k}{3}-\frac{k}{2}}{3}, \frac{0+\frac{k}{3}+\frac{3k}{2}}{3}) = (\frac{\frac{k}{6}}{3}, \frac{\frac{11k}{6}}{3}) = (\frac{k}{18}, \frac{11k}{18})$ है।
चूंकि केंद्रक $(\frac{1}{18}, \frac{11}{18})$ दिया गया है,इसलिए $\frac{k}{18} = \frac{1}{18}$,जिसका अर्थ है $k=1$।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $12x^2 - 20xy + 7y^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(6x - 7y)(2x - y) = 0$।
अतः,दो भुजाओं के समीकरण $L_1: 6x - 7y = 0$ और $L_2: 2x - y = 0$ हैं।
तीसरी भुजा $L_3: 2x - 3y + 4 = 0$ है।
शीर्ष ज्ञात करने पर: $A = (0, 0)$,$B = (1, 2)$,और $C = (7, 6)$ प्राप्त होते हैं।
केंद्रक $G = \left(\frac{0+1+7}{3}, \frac{0+2+6}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{8}{3}\right)$।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $3x^2+11xy-4y^2=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(3x-y)(x+4y)=0$ प्राप्त होता है।
इन रेखाओं की ढाल $m_1=3$ और $m_2=-\frac{1}{4}$ है।
इनके लंबवत रेखाओं की ढाल $m_1'=-\frac{1}{3}$ और $m_2'=-4$ होगी।
चूंकि ये रेखाएं $(1,1)$ से गुजरती हैं,उनके समीकरण हैं:
$y-1=-\frac{1}{3}(x-1) \Rightarrow x+3y-4=0$
$y-1=-4(x-1) \Rightarrow 4x-y-3=0$
संयुक्त समीकरण $(x+3y-4)(4x-y-3)=0$ है।
विस्तार करने पर: $4x^2+11xy-3y^2-19x-5y+12=0$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर $a=4, h=\frac{11}{2}, b=-3, g=-\frac{19}{2}, f=-\frac{5}{2}$ मिलता है।
$2(a-h+b-g+f-12) = -19$.

(D) समीकरण $6x^2 - xy - 5y^2 = 0$ का गुणनखंड $(6x + 5y)(x - y) = 0$ है।
इससे दो रेखाएँ प्राप्त होती हैं: $y = x$ और $y = -\frac{6x}{5}$।
स्थिति $1$: यदि $y = x$ एक उभयनिष्ठ रेखा है,तो $3x^2 - 5xy + Py^2 = 0$ में $y = x$ रखने पर $3x^2 - 5x^2 + Px^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2(P - 2) = 0$,अतः $P = 2$।
स्थिति $2$: यदि $y = -\frac{6x}{5}$ एक उभयनिष्ठ रेखा है,तो $3x^2 - 5xy + Py^2 = 0$ में $y = -\frac{6x}{5}$ रखने पर $3x^2 - 5x(-\frac{6x}{5}) + P(-\frac{6x}{5})^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $3x^2 + 6x^2 + P(\frac{36x^2}{25}) = 0$ में सरल हो जाता है,जो $9x^2 + \frac{36Px^2}{25} = 0$ है।
$9x^2$ से भाग देने पर,$1 + \frac{4P}{25} = 0$ प्राप्त होता है,अतः $P = -\frac{25}{4}$।
$P$ के सभी संभावित मानों का योग $2 + (-\frac{25}{4}) = \frac{8 - 25}{4} = -\frac{17}{4}$ है।

(C) समीकरण $x^2+4xy+y^2=0$ मूल बिंदु से गुजरने वाली दो सीधी रेखाओं के युग्म को दर्शाता है।
समीकरण $x-y=4$ तीसरी रेखा को दर्शाता है।
इन तीन रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज की भुजाओं के ढाल और कोणों की जांच करने पर,यह $60^\circ$ का कोण बनाती हैं,इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है।

(A) दिया गया है,रेखाओं का युग्म $3x^2+2hxy-3y^2=0$ दो लंबवत रेखाओं को दर्शाता है क्योंकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग $3 + (-3) = 0$ है।
रेखाओं के युग्म $3x^2+2hxy-3y^2+2x-4y+c=0$ के लिए एक वर्ग बनाने हेतु,रेखाएं लंबवत होनी चाहिए और समानांतर युग्मों के बीच की दूरी समान होनी चाहिए।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,$xy$ का गुणांक $a+b=0$ को संतुष्ट करना चाहिए,जो $3-3=0$ है (पहले से ही संतुष्ट है)।
रेखाओं के वर्ग बनाने के लिए,समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी समान होनी चाहिए। रेखाएं $3x^2+2hxy-3y^2=0$ और $3x^2+2hxy-3y^2+2x-4y+c=0$ हैं।
वर्ग का केंद्र $3x^2+2hxy-3y^2+2x-4y+c=0$ रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो $\left(\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ $a=3, b=-3, h=h, g=1, f=-2$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $= \left(\frac{h(-2)-(-3)(1)}{-9-h^2}, \frac{(1)(h)-(3)(-2)}{-9-h^2}\right) = \left(\frac{3-2h}{9+h^2}, \frac{h+6}{9+h^2}\right)$ है।
रेखाओं के वर्ग बनाने के लिए,समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी समान होनी चाहिए। समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $h=4$ और $c=-1$ प्राप्त होता है जो वर्ग बनाने की शर्त को संतुष्ट करता है।

(C) दिया गया समीकरण $8 x^2-14 x y+3 y^2+10 x+10 y-25=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(4 x-y-5)(2 x-3 y+5)=0$ प्राप्त होता है।
रेखाएं $L_1: 4 x-y-5=0$ और $L_2: 2 x-3 y+5=0$ हैं।
इनका प्रतिच्छेदन बिंदु $(2,3)$ है।
माना रेखाओं का युग्म $S=0$ समीकरण $(4 x-y+c_1)(2 x-3 y+c_2)=0$ है।
समांतर चतुर्भुज के लिए,विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का मध्य-बिंदु होता है।
माना $S=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है। $(2,3)$ और $(x_1, y_1)$ का मध्य-बिंदु $(3,2)$ है।
अतः,$\frac{x_1+2}{2}=3 \Rightarrow x_1=4$ और $\frac{y_1+3}{2}=2 \Rightarrow y_1=1$ है।
$(4,1)$ को $4 x-y+c_1=0$ में रखने पर $c_1=-15$ प्राप्त होता है।
$(4,1)$ को $2 x-3 y+c_2=0$ में रखने पर $c_2=-5$ प्राप्त होता है।
समीकरण $S=0$ का मान $(4 x-y-15)(2 x-3 y-5)=0$ है।
विस्तार करने पर,$8 x^2-14 x y+3 y^2-50 x+50 y+75=0$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए समीकरण $6x^2+13xy+6y^2=0$ और $6x^2+13xy+6y^2+10x+10y+4=0$ हैं।
प्रथम समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$6x^2+9xy+4xy+6y^2=0$
$3x(2x+3y)+2y(2x+3y)=0$
$(3x+2y)(2x+3y)=0$
अतः,रेखाएँ $L_1: 3x+2y=0$ और $L_2: 2x+3y=0$ हैं।
दूसरे समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$6x^2+13xy+6y^2+10x+10y+4=0$
$(3x+2y+2)(2x+3y+2)=0$
अतः,रेखाएँ $L_3: 3x+2y+2=0$ और $L_4: 2x+3y+2=0$ हैं।
रेखाएँ $L_1$ और $L_3$ समांतर हैं,और $L_2$ और $L_4$ समांतर हैं,इसलिए आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।
समांतर रेखाओं $ax+by+c_1=0$ और $ax+by+c_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ होती है।
$L_1$ और $L_3$ के बीच की दूरी: $d_1 = \frac{|2-0|}{\sqrt{3^2+2^2}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
$L_2$ और $L_4$ के बीच की दूरी: $d_2 = \frac{|2-0|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
चूंकि $d_1 = d_2$ और रेखाएँ लंबवत नहीं हैं (ढाल $-3/2$ और $-2/3$ हैं),इसलिए आकृति एक समचतुर्भुज है।

(D) रेखाओं का पहला युग्म $xy+4x-3y-12=0$ है,जिसका गुणनखंड $(x-3)(y+4)=0$ है। अतः,रेखाएं $x=3$ और $y=-4$ हैं।
रेखाओं का दूसरा युग्म $xy-3x+4y-12=0$ है,जिसका गुणनखंड $(x+4)(y-3)=0$ है। अतः,रेखाएं $x=-4$ और $y=3$ हैं।
वर्ग बनाने वाली चार रेखाएं $x=3, x=-4, y=-4, y=3$ हैं।
वर्ग के शीर्ष $(3, 3), (3, -4), (-4, -4), (-4, 3)$ हैं।
विकर्ण $(3, 3)$ को $(-4, -4)$ से और $(3, -4)$ को $(-4, 3)$ से जोड़ते हैं।
$(3, 3)$ और $(-4, -4)$ से गुजरने वाले विकर्ण का समीकरण $y-3 = \frac{-4-3}{-4-3}(x-3)$ है,जो $y-3 = x-3$ यानी $x-y=0$ में सरल होता है।
$(3, -4)$ और $(-4, 3)$ से गुजरने वाले विकर्ण का समीकरण $y-(-4) = \frac{3-(-4)}{-4-3}(x-3)$ है,जो $y+4 = -1(x-3)$ यानी $x+y+1=0$ में सरल होता है।
संयुक्त समीकरण $(x-y)(x+y+1) = x^2+xy+x-xy-y^2-y = x^2-y^2+x-y=0$ है।

(A) दी गई रेखाएँ $x+y=1$ और $2y^2-xy-6x^2=0$ हैं।
दूसरे समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2y^2-4xy+3xy-6x^2=0$ $\Rightarrow 2y(y-2x)+3x(y-2x)=0$ $\Rightarrow (2y+3x)(y-2x)=0$.
अतः,त्रिभुज की भुजाएँ $L_1: x+y=1$,$L_2: y-2x=0$,और $L_3: 2y+3x=0$ हैं।
शीर्ष ज्ञात करना:
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(0,0)$ है।
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x+2x=1 \Rightarrow x=1/3, y=2/3$,अतः $B(1/3, 2/3)$.
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x+(-3x/2)=1$ $\Rightarrow -x/2=1$ $\Rightarrow x=-2, y=3$,अतः $C(-2, 3)$.
$A(0,0)$ से $BC$ $(x+y=1)$ पर शीर्षलंब: $BC$ की ढाल $-1$ है,इसलिए शीर्षलंब की ढाल $1$ है। समीकरण: $y-0=1(x-0) \Rightarrow x-y=0$.
$C(-2,3)$ से $AB$ $(y-2x=0)$ पर शीर्षलंब: $AB$ की ढाल $2$ है,इसलिए शीर्षलंब की ढाल $-1/2$ है। समीकरण: $y-3 = -1/2(x+2)$ $\Rightarrow 2y-6 = -x-2$ $\Rightarrow x+2y=4$.
$x-y=0$ और $x+2y=4$ को हल करने पर: $y+2y=4$ $\Rightarrow 3y=4$ $\Rightarrow y=4/3$. अतः $x=4/3$.
लंबकेंद्र $\left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)$ है।

(B) रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2 + 2hxy + 6y^2 = 0$ है। मान लीजिए ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। तब $m_1 + m_2 = -\frac{h}{3}$ और $m_1 m_2 = \frac{1}{6}$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \frac{1}{7}$ है।
इससे $|m_1 - m_2| = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
$(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2$ का उपयोग करने पर,$h = -\frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
रेखाएं $x - 2y = 0$ और $x - 3y = 0$ हैं।
बिंदु $(1, 1)$ से लंब दूरियों का गुणनफल $\frac{\sqrt{2}}{5}$ है।

(C) दिए गए रेखाओं के युग्म $x^2+xy-2y^2=0$ और $3y^2-5xy-2x^2=0$ हैं।
प्रथम समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x+2y)(x-y)=0$। रेखाएं $L_1: x+2y=0$ और $L_2: x-y=0$ हैं।
दूसरे समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(3y+x)(y-2x)=0$। रेखाएं $L_3: x+3y=0$ और $L_4: 2x-y=0$ हैं।
लंबवतता की जांच करने पर: $L_1$ की ढाल $m_1 = -1/2$ और $L_4$ की ढाल $m_4 = 2$ है। चूंकि $m_1 \times m_4 = -1$,इसलिए $L_1$ और $L_4$ लंबवत हैं।
शेष रेखाएं $L_2: x-y=0$ और $L_3: x+3y=0$ हैं।
उनका संयुक्त समीकरण $(x-y)(x+3y)=0 \implies x^2+2xy-3y^2=0$ है।
$ax^2+2hxy+by^2=0$ के साथ तुलना करने पर,$a=1, 2h=2, b=-3$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+2h+b = 1+2-3 = 0$।

(D) दी गई रेखाओं का युग्म $2x^2+xy-6y^2=0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(2x-3y)(x+2y)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $L_1: 2x-3y=0$ और $L_2: x+2y=0$ हैं।
तीसरी रेखा $L_3: x+y-1=0$ है।
शीर्ष ज्ञात करने पर:
$1$. $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: $(0,0)$।
$2$. $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $(3/5, 2/5)$।
$3$. $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $(2, -1)$।
भुजाओं की लंबाई:
$OA = \frac{\sqrt{13}}{5}$,$OB = \sqrt{5}$,$AB = \frac{7\sqrt{2}}{5}$।
चूंकि सभी भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की हैं,इसलिए त्रिभुज विषमबाहु है।

(A) दी गई रेखाओं का युग्म $3x^2 - 4xy + 5y^2 = 0$ है। इन रेखाओं के लंबवत और $(a, b)$ से गुजरने वाली रेखाओं का समीकरण $5(x-a)^2 + 4(x-a)(y-b) + 3(y-b)^2 = 0$ है।
विस्तार करने पर: $5(x^2 - 2ax + a^2) + 4(xy - bx - ay + ab) + 3(y^2 - 2by + b^2) = 0$.
$5x^2 + 4xy + 3y^2 - (10a + 4b)x - (4a + 6b)y + (5a^2 + 4ab + 3b^2) = 0$.
$lx^2 + 2hxy + my^2 - 32x - 26y + c = 0$ से तुलना करने पर,$l=5, 2h=4 \implies h=2, m=3$.
$10a + 4b = 32 \implies 5a + 2b = 16$.
$4a + 6b = 26 \implies 2a + 3b = 13$.
हल करने पर,$a=2, b=3$.
अतः $c = 5(2)^2 + 4(2)(3) + 3(3)^2 = 20 + 24 + 27 = 71$.
अंत में,$\frac{a+b+c}{l+h+m} = \frac{2+3+71}{5+2+3} = \frac{76}{10} = \frac{38}{5}$.

(C) रेखाओं के युग्म का समीकरण $2x^2 - 3xy + y^2 = 0$ है।
इसका गुणनखंड करने पर,$(2x - y)(x - y) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $L_1: y = 2x$ और $L_2: y = x$ हैं।
तीसरी रेखा $L_3: x + y = 1$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है।
$2$. $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x + 2x = 1 \implies 3x = 1 \implies x = 1/3, y = 2/3$ है।
$3$. $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x + x = 1 \implies 2x = 1 \implies x = 1/2, y = 1/2$ है।
माना शीर्ष $A(0, 0)$,$B(1/3, 2/3)$,और $C(1/2, 1/2)$ हैं।
$B$ से $AC$ पर लंब का समीकरण $y = -x + 1$ है।
$C$ से $AB$ पर लंब का समीकरण $y = -1/2x + 3/4$ है।
इन दोनों को हल करने पर,लंबकेंद्र $(1/2, 1/2)$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $3x^2-4xy+y^2=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3x^2-3xy-xy+y^2=0$ $\Rightarrow 3x(x-y)-y(x-y)=0$ $\Rightarrow (3x-y)(x-y)=0$.
अतः,दो रेखाएँ $L_1: 3x-y=0$ और $L_2: x-y=0$ हैं।
तीसरी रेखा $L_3: 2x-y=6$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: $(0,0)$.
$2$. $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $3x-y=0$ और $2x-y=6$. घटाने पर $x=-6$,अतः $y=-18$. बिंदु $(-6, -18)$ है।
$3$. $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x-y=0$ और $2x-y=6$. घटाने पर $x=6$,अतः $y=6$. बिंदु $(6, 6)$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(-18-6) + (-6)(6-0) + 6(0-(-18))| = \frac{1}{2} |0 - 36 + 108| = \frac{1}{2} |72| = 36 \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) दिए गए समीकरणों को इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है:
पहला युग्म: $(\lambda x + my)(\lambda x - my - n) = 0$,जो रेखाओं $L_1: \lambda x + my = 0$ और $L_2: \lambda x - my = n$ को दर्शाता है।
दूसरा युग्म: $(\lambda x + my)(\lambda x - my + n) = 0$,जो रेखाओं $L_3: \lambda x + my = -n$ और $L_4: \lambda x - my = 0$ को दर्शाता है।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\left| \frac{(c_1 - c_2)(d_1 - d_2)}{a_1 b_2 - a_2 b_1} \right|$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,क्षेत्रफल $= \left| \frac{(0 - n)(0 - (-n))}{\lambda(-m) - m(\lambda)} \right| = \frac{n^2}{2|\lambda m|}$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए समीकरण रेखाओं के युग्म को दर्शाते हैं।
प्रथम वक्र $3x^2-y^2-2xy+4x+1=0$ के लिए,इसे $3x^2+(4-2y)x+(1-y^2)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करके $x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{-(4-2y) \pm \sqrt{(4-2y)^2 - 4(3)(1-y^2)}}{6} = \frac{(2y-4) \pm \sqrt{16-16y+4y^2-12+12y^2}}{6} = \frac{(2y-4) \pm \sqrt{16y^2-16y+4}}{6} = \frac{(2y-4) \pm 2(2y-1)}{6} = \frac{(y-2) \pm (2y-1)}{3}$.
यह दो रेखाएं देता है: $L_1: x-y+1=0$ और $L_2: 3x+y+1=0$.
दूसरे वक्र $3x^2-y^2-2xy+6x+2y=0$ के लिए,इसे $3x^2+(6-2y)x+(2y-y^2)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है। $x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{-(6-2y) \pm \sqrt{(6-2y)^2 - 4(3)(2y-y^2)}}{6} = \frac{(2y-6) \pm \sqrt{36-24y+4y^2-24y+12y^2}}{6} = \frac{(2y-6) \pm \sqrt{16y^2-48y+36}}{6} = \frac{(2y-6) \pm 2(2y-3)}{6} = \frac{(y-3) \pm (2y-3)}{3}$.
यह दो रेखाएं देता है: $L_3: x-y+2=0$ और $L_4: 3x+y=0$.
यह क्षेत्र इन चार रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बना एक समांतर चतुर्भुज है। शीर्ष हैं:
$A = L_3 \cap L_4 = (-1/2, 3/2)$
$B = L_1 \cap L_4 = (-1/4, 3/4)$
$C = L_1 \cap L_2 = (-1/2, 1/2)$
$D = L_2 \cap L_3 = (-3/4, 5/4)$
रेखाओं $a_1x+b_1y+c_1=0, a_1x+b_1y+c_2=0, a_2x+b_2y+d_1=0, a_2x+b_2y+d_2=0$ द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{|(c_1-c_2)(d_1-d_2)|}{|a_1b_2-a_2b_1|}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$L_1: x-y+1=0, L_3: x-y+2=0 \implies |c_1-c_2| = |1-2| = 1$.
$L_2: 3x+y+1=0, L_4: 3x+y=0 \implies |d_1-d_2| = |1-0| = 1$.
हर $|(1)(1) - (3)(-1)| = |1+3| = 4$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1 \times 1}{4} = \frac{1}{4}$.

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $12x^2 - 20xy + 7y^2 = 0$ है। इसका गुणनखंड करने पर:
$12x^2 - 14xy - 6xy + 7y^2 = 0$
$2x(6x - 7y) - y(6x - 7y) = 0$
$(2x - y)(6x - 7y) = 0$
अतः,दो रेखाएँ $2x - y = 0$ और $6x - 7y = 0$ हैं।
तीसरी रेखा $2x - 3y + 4 = 0$ है।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए रेखाओं को युग्मों में हल करने पर:
$1$. $2x - y = 0$ और $6x - 7y = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
हल करने पर,$x = 0, y = 0$ प्राप्त होता है। अतः,शीर्ष $A = (0, 0)$ है।
$2$. $2x - y = 0$ और $2x - 3y + 4 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
समीकरणों को घटाने पर: $(2x - y) - (2x - 3y + 4) = 0$ $\Rightarrow 2y - 4 = 0$ $\Rightarrow y = 2$।
$2x - y = 0$ में $y = 2$ रखने पर,$x = 1$ प्राप्त होता है। अतः,शीर्ष $B = (1, 2)$ है।
$3$. $6x - 7y = 0$ और $2x - 3y + 4 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$6x - 7y = 0$ से,$x = \frac{7y}{6}$। $2x - 3y + 4 = 0$ में रखने पर:
$2(\frac{7y}{6}) - 3y + 4 = 0$ $\Rightarrow \frac{7y}{3} - 3y + 4 = 0$ $\Rightarrow -\frac{2y}{3} = -4$ $\Rightarrow y = 6$।
तब $x = \frac{7(6)}{6} = 7$। अतः,शीर्ष $C = (7, 6)$ है।
केंद्रक $(\alpha, \beta) = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$:
$\alpha = \frac{0 + 1 + 7}{3} = \frac{8}{3}$
$\beta = \frac{0 + 2 + 6}{3} = \frac{8}{3}$
अतः,$\alpha + 2\beta = \frac{8}{3} + 2(\frac{8}{3}) = \frac{8 + 16}{3} = \frac{24}{3} = 8$।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $2x^2 + 5xy + 2y^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $2x^2 + 4xy + xy + 2y^2 = 0$ $\Rightarrow 2x(x + 2y) + y(x + 2y) = 0$ $\Rightarrow (2x + y)(x + 2y) = 0$.
रेखाएँ $L_1: 2x + y = 0$ और $L_2: x + 2y = 0$ हैं।
इनकी ढाल $m_1 = -2$ और $m_2 = -\frac{1}{2}$ है।
तीसरी रेखा $L_3: x - 2y + 1 = 0$ की ढाल $m_3 = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_3 = (-2) \times (\frac{1}{2}) = -1$,इसलिए रेखाएँ $L_1$ और $L_3$ परस्पर लंब हैं। अतः,वे एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। कथन $(A)$ सही है।
समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए परस्पर लंब रेखाओं की शर्त $a + b = 0$ है। कारण $(R)$ सही है।
हालाँकि,$(R)$ द्विघात समीकरण द्वारा निरूपित रेखाओं के परस्पर लंब होने की शर्त है,न कि तीसरी रेखा के साथ समकोण त्रिभुज बनाने की शर्त। इसलिए,$(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या नहीं है।

(C) द्विघात का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है यदि $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $2x^2 - xy + ky^2 + 6x + y + 4 = 0$ के लिए,$a=2, h=-1/2, b=k, g=3, f=1/2, c=4$ है।
रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $\Delta = 2(4k - 1/4) + 1/2(-2 - 3/2) + 3(-1/4 - 3k) = 0$ है।
सरल करने पर,$8k - 1/2 - 7/4 - 3/4 - 9k = 0$,जिससे $-k - 3 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $k = -3$ है।
रेखाओं का युग्म $(2x - 3y + 4)(x + y + 1) = 0$ है।
$(-1, 5)$ से इन रेखाओं की लंबवत दूरियाँ $d_1 = \sqrt{13}$ और $d_2 = \frac{5}{\sqrt{2}}$ हैं।
उनका गुणनफल $\frac{65}{\sqrt{26}}$ है जो दी गई शर्त को पूरा करता है।
अंत में,$37k^2 + 92k = 37(-3)^2 + 92(-3) = 333 - 276 = 57$।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $2y^2-xy-6x^2=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2y^2-4xy+3xy-6x^2=0$
$2y(y-2x)+3x(y-2x)=0$
$(y-2x)(2y+3x)=0$
अतः,त्रिभुज की भुजाएँ $x+y=1$,$y-2x=0$ और $2y+3x=0$ हैं।
शीर्ष ज्ञात करने के लिए समीकरणों को हल करने पर:
$1$. $x+y=1$ और $y-2x=0$: $y=2x$ को $x+y=1$ में रखने पर $3x=1$,अतः $x=1/3$ और $y=2/3$। शीर्ष: $(1/3, 2/3)$।
$2$. $x+y=1$ और $2y+3x=0$: $y=1-x$ को $2y+3x=0$ में रखने पर $2(1-x)+3x=0$,अतः $2+x=0$,$x=-2$ और $y=3$। शीर्ष: $(-2, 3)$।
$3$. $y-2x=0$ और $2y+3x=0$: मूल बिंदु $(0,0)$ प्रतिच्छेदन बिंदु है। शीर्ष: $(0,0)$।
त्रिभुज का केंद्रक $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$।
$G = \left(\frac{1/3+0-2}{3}, \frac{2/3+0+3}{3}\right) = \left(\frac{-5/3}{3}, \frac{11/3}{3}\right) = \left(\frac{-5}{9}, \frac{11}{9}\right)$.

(D) दिया गया समीकरण $(7 x^2-4 x y+8 y^2)^2+(4 x-8 y-32)(7 x^2-4 x y+8 y^2)=0$ है।
$(7 x^2-4 x y+8 y^2)$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $(7 x^2-4 x y+8 y^2)(7 x^2-4 x y+8 y^2+4 x-8 y-32)=0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि या तो $7 x^2-4 x y+8 y^2=0$ या $7 x^2-4 x y+8 y^2+4 x-8 y-32=0$ है।
पहला भाग $7 x^2-4 x y+8 y^2=0$ मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है। चूँकि विविक्तकर $B^2-4AC = (-4)^2 - 4(7)(8) = 16 - 224 = -208 < 0$ है,इसलिए ये रेखाएँ काल्पनिक हैं।
दूसरा भाग $7 x^2-4 x y+8 y^2+4 x-8 y-32=0$ भी काल्पनिक रेखाओं को दर्शाता है। चूँकि समांतर चतुर्भुज बनाने वाली रेखाएँ वास्तविक नहीं हैं,इसलिए प्रश्न के अनुसार कोई वास्तविक समांतर चतुर्भुज नहीं बनता है। अतः,दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है।

(B) रेखाओं के दिए गए युग्म हैं:
$(i)$ $xy+4x-5y-20=0 \Rightarrow (x-5)(y+4)=0$. यह रेखाओं $x=5$ और $y=-4$ को दर्शाता है।
(ii) $xy-5x+4y-20=0 \Rightarrow (x+4)(y-5)=0$. यह रेखाओं $x=-4$ और $y=5$ को दर्शाता है।
ये चार रेखाएँ शीर्षों $A(-4,-4)$,$B(5,-4)$,$C(5,5)$,और $D(-4,5)$ वाला एक वर्ग बनाती हैं।
विकर्ण $AC$ और $BD$ हैं।
$(-4,-4)$ और $(5,5)$ से गुजरने वाले विकर्ण $AC$ का समीकरण $y-(-4) = \frac{5-(-4)}{5-(-4)}(x-(-4))$ $\Rightarrow y+4 = x+4$ $\Rightarrow x-y=0$ है।
$(5,-4)$ और $(-4,5)$ से गुजरने वाले विकर्ण $BD$ का समीकरण $y-(-4) = \frac{5-(-4)}{-4-5}(x-5)$ $\Rightarrow y+4 = -1(x-5)$ $\Rightarrow x+y-1=0$ है।
विकर्णों का संयुक्त समीकरण $(x-y)(x+y-1)=0$ है।
$x^2+xy-x-xy-y^2+y=0 \Rightarrow x^2-y^2-x+y=0$.
इसे $x^2-y^2-kx+ly=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k=1$ और $l=1$ प्राप्त होता है।
अतः,$k+l = 1+1 = 2$।

(A) रेखाओं के युग्मों के दिए गए समीकरण हैं:
$xy+6y-4x-24=0$ $\Rightarrow (x+6)(y-4)=0$ $\Rightarrow x+6=0$ और $y-4=0$.
$xy+6x-4y-24=0$ $\Rightarrow (x-4)(y+6)=0$ $\Rightarrow x-4=0$ और $y+6=0$.
अतः,वर्ग के शीर्ष $A(4,4)$,$B(4,-6)$,$C(-6,-6)$,और $D(-6,4)$ हैं।
विकर्ण $AC$,$(4,4)$ और $(-6,-6)$ को जोड़ता है। इसकी ढाल $m = \frac{-6-4}{-6-4} = 1$ है। समीकरण $y-4 = 1(x-4) \Rightarrow x-y=0$ है।
विकर्ण $BD$,$(4,-6)$ और $(-6,4)$ को जोड़ता है। इसकी ढाल $m = \frac{4-(-6)}{-6-4} = -1$ है। समीकरण $y-4 = -1(x+6) \Rightarrow x+y+2=0$ है।
विकर्णों का संयुक्त समीकरण $(x-y)(x+y+2)=0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2+xy+2x-xy-y^2-2y=0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2-y^2+2x-2y=0$ हो जाता है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) दी गई सरल रेखाओं का युग्म $x^2-3xy+2y^2=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2-2xy-xy+2y^2=0$ $\Rightarrow x(x-2y)-y(x-2y)=0$ $\Rightarrow (x-y)(x-2y)=0$.
अतः,दो रेखाएँ $L_1: x-y=0$ और $L_2: x-2y=0$ हैं।
तीसरी रेखा $L_3: x+y+1=0$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: $(0,0)$.
$2$. $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x-y=0$ और $x+y=-1$ $\Rightarrow 2x=-1$ $\Rightarrow x=-\frac{1}{2}, y=-\frac{1}{2}$. बिंदु $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ है।
$3$. $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x=2y$ और $2y+y=-1$ $\Rightarrow 3y=-1$ $\Rightarrow y=-\frac{1}{3}, x=-\frac{2}{3}$. बिंदु $(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{3})) + (-\frac{1}{2})(-\frac{1}{3} - 0) + (-\frac{2}{3})(0 - (-\frac{1}{2}))|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3}| = \frac{1}{2} |-\frac{1}{6}| = \frac{1}{12}$ वर्ग इकाई।

(A) दी गई रेखाएँ $x+3y=10$ और $6x^2+xy-y^2=0$ हैं।
दूसरे समीकरण का गुणनखंड करने पर: $6x^2+3xy-2xy-y^2=0$ $\Rightarrow 3x(2x+y)-y(2x+y)=0$ $\Rightarrow (3x-y)(2x+y)=0$.
त्रिभुज बनाने वाली तीन रेखाएँ $L_1: x+3y=10$,$L_2: 3x-y=0$,और $L_3: 2x+y=0$ हैं।
$L_1$ और $L_2$ को हल करने पर: $x+3(3x)=10$ $\Rightarrow 10x=10$ $\Rightarrow x=1, y=3$. शीर्ष $B = (1,3)$.
$L_2$ और $L_3$ को हल करने पर: $x=0, y=0$. शीर्ष $A = (0,0)$.
$L_1$ और $L_3$ को हल करने पर: $x+3(-2x)=10$ $\Rightarrow -5x=10$ $\Rightarrow x=-2, y=4$. शीर्ष $C = (-2,4)$.
$A$ से $BC$ $(x+3y=10)$ पर लंब की ढाल $3$ है। समीकरण: $y-0=3(x-0) \Rightarrow 3x-y=0$.
$B$ से $AC$ $(2x+y=0)$ पर लंब की ढाल $1/2$ है। समीकरण: $y-3=\frac{1}{2}(x-1)$ $\Rightarrow 2y-6=x-1$ $\Rightarrow x-2y=-5$.
लंब के समीकरणों $3x-y=0$ और $x-2y=-5$ को हल करने पर: $y=3x$ $\Rightarrow x-2(3x)=-5$ $\Rightarrow -5x=-5$ $\Rightarrow x=1, y=3$.
अतः,लंबकेंद्र $(1,3)$ है।

(D) माना प्रथम समीकरण के लिए रेखाएँ $y - mx = 0$ और $y - m_1x = 0$ हैं,और दूसरे समीकरण के लिए $y - mx = 0$ और $y - m_2x = 0$ हैं,जहाँ $y - mx = 0$ उभयनिष्ठ रेखा है।
$2x^2 + \alpha xy + 3y^2 = 0$ के लिए,$3(y/x)^2 + \alpha(y/x) + 2 = 0$.
माना $m$ और $m_1$ मूल हैं। तो $m + m_1 = -\alpha/3$ और $m \cdot m_1 = 2/3$.
$2x^2 + \beta xy - 3y^2 = 0$ के लिए,$3(y/x)^2 - \beta(y/x) - 2 = 0$.
माना $m$ और $m_2$ मूल हैं। तो $m + m_2 = \beta/3$ और $m \cdot m_2 = -2/3$.
दिया गया है कि अन्य दो रेखाएँ $y - m_1x = 0$ और $y - m_2x = 0$ लंबवत हैं,इसलिए $m_1 \cdot m_2 = -1$.
$m \cdot m_1 = 2/3$ से,$m_1 = 2/(3m)$.
$m \cdot m_2 = -2/3$ से,$m_2 = -2/(3m)$.
$m_1 \cdot m_2 = -1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(2/(3m)) \cdot (-2/(3m)) = -1$ $\Rightarrow -4/(9m^2) = -1$ $\Rightarrow m^2 = 4/9$ $\Rightarrow m = \pm 2/3$.
यदि $m = 2/3$ है,तो $m_1 = 1$ और $m_2 = -1$.
अतः $\alpha = -3(m + m_1) = -5$ और $\beta = 3(m + m_2) = -1$.
$|\alpha + \beta| = |-5 - 1| = 6$.

(C) $\triangle ABC$ के लिए,भुजाएँ $2x^2-y^2=0$ और $x+y-1=0$ हैं।
शीर्ष $(0,0)$,$(\sqrt{2}-1, 2-\sqrt{2})$,और $(-\sqrt{2}-1, 2+\sqrt{2})$ प्राप्त होते हैं।
केंद्रक $G = (-\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$ है।
$\triangle PQR$ के लिए,भुजाएँ $2x^2-5xy+2y^2=0$ और $7x-2y-12=0$ हैं।
शीर्ष $(0,0)$,$(4,8)$,और $(2,1)$ प्राप्त होते हैं।
लंबकेंद्र $H$ और $G$ के बीच की दूरी $2\sqrt{29}$ है।

(B) भुजाओं $OA$ और $OC$ का संयुक्त समीकरण $2x^2-y^2=0$ है,जिसका अर्थ है $y^2=2x^2$,या $y=\pm\sqrt{2}x$.
चूंकि $A$ और $C$ रेखा $x+y-1=0$ पर स्थित हैं,हम $y=\sqrt{2}x$ और $y=-\sqrt{2}x$ को रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करके उनके निर्देशांक प्राप्त करते हैं।
$A$ के लिए: $x+\sqrt{2}x=1 \implies x=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$. अतः $A=(\sqrt{2}-1, 2-\sqrt{2})$.
$C$ के लिए: $x-\sqrt{2}x=1 \implies x=\frac{1}{1-\sqrt{2}}=-(1+\sqrt{2})$. अतः $C=(-1-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2})$.
$D$,$AC$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $D=\left(\frac{\sqrt{2}-1-1-\sqrt{2}}{2}, \frac{2-\sqrt{2}+2+\sqrt{2}}{2}\right) = (-1, 2)$.
चूंकि $OABC$ एक समांतर चतुर्भुज है,विकर्ण $OB$ और $AC$ एक-दूसरे को $D$ पर समद्विभाजित करते हैं। इसलिए $D$,$OB$ का मध्यबिंदु है। चूंकि $O=(0,0)$,$B=2D=(-2, 4)$.
$\triangle OAC$ का केंद्रक $G = \left(\frac{0+(\sqrt{2}-1)+(-1-\sqrt{2})}{3}, \frac{0+(2-\sqrt{2})+(2+\sqrt{2})}{3}\right) = \left(-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$.
दूरी $BG = \sqrt{(-2 - (-2/3))^2 + (4 - 4/3)^2} = \sqrt{(-4/3)^2 + (8/3)^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{80}{9}} = \frac{4\sqrt{5}}{3}$.

(D) दी गई रेखाओं का युग्म $(ax+by)^2 - 3(bx-ay)^2 = 0$ है।
इसे $(ax+by)^2 = 3(bx-ay)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका अर्थ है $ax+by = \pm \sqrt{3}(bx-ay)$.
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{c^2}{\sqrt{3}(a^2+b^2)}$ प्राप्त होता है।

(A) समीकरण $ax^2+6xy-2y^2=0$ के लंबवत रेखाओं के युग्म को दर्शाने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
$a + (-2) = 0 \Rightarrow a = 2$.
समीकरण $9x^2+2hxy+4y^2=0$ के संपाती रेखाओं के युग्म को दर्शाने के लिए,शर्त $h^2 - ab = 0$ पूरी होनी चाहिए,जहाँ समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के रूप में है।
यहाँ,$A=9$,$B=4$,और $xy$ का गुणांक $2h$ है,इसलिए शर्त $h^2 - AB = 0$ है।
$h^2 - (9)(4) = 0 \Rightarrow h^2 = 36$.
चूँकि $h > 0$,इसलिए $h = 6$.
$a = 2$ दिया गया है,इसलिए $h$ को $a$ के पदों में $h = 3a$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (क्योंकि $3 \times 2 = 6$)।

(B) दी गई रेखा $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$ है,जिसे $2x+3y=6$ या $y=-\frac{2}{3}x+2$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1=-\frac{2}{3}$ है।
चूंकि मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का युग्म लंबवत है और दी गई रेखा के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है,इसलिए वे दी गई रेखा के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
मान लीजिए रेखाओं के युग्म की ढाल $m$ और $-\frac{1}{m}$ है।
रेखा $y=mx$ और $y=-\frac{2}{3}x+2$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - (-2/3)}{1 + m(-2/3)} \right| = 1$
$1 = \left| \frac{3m+2}{3-2m} \right|$
$3m+2 = 3-2m$ या $3m+2 = -(3-2m)$
$5m = 1 \Rightarrow m = \frac{1}{5}$ या $m+5 = 0 \Rightarrow m = -5$.
रेखाएं $y=\frac{1}{5}x$ और $y=-5x$ हैं,अर्थात $x-5y=0$ और $5x+y=0$.
उनका संयुक्त समीकरण $(x-5y)(5x+y) = 0$ है।
$5x^2 + xy - 25xy - 5y^2 = 0$
$5x^2 - 24xy - 5y^2 = 0$
$5(x^2-y^2) - 24xy = 0$.

(B) दी गई रेखाओं का युग्म $S \equiv 2x^2+3xy-2y^2-7x+y+3=0$ है।
समघातीय भाग का गुणनखंड करने पर: $2x^2+3xy-2y^2 = (x+2y)(2x-y) = 0$।
मान लीजिए रेखाएं $(x+2y+c_1)(2x-y+c_2) = 2x^2+3xy-2y^2-7x+y+3$ हैं।
$x$ और $y$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $2c_1+c_2 = -7$ और $2c_2-c_1 = 1$।
इन्हें हल करने पर,हमें $c_1 = -3$ और $c_2 = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखाएं $x+2y-3=0$ और $2x-y-1=0$ हैं।
रेखाएं $L_1$ और $L_2$ इन रेखाओं पर लंबवत हैं और $(3,-4)$ से होकर गुजरती हैं।
$x+2y-3=0$ पर लंबवत रेखा $2x-y+k_1=0$ है। $(3,-4)$ से गुजरने पर: $2(3)-(-4)+k_1=0 \Rightarrow k_1=-10$। अतः,$2x-y-10=0$।
$2x-y-1=0$ पर लंबवत रेखा $x+2y+k_2=0$ है। $(3,-4)$ से गुजरने पर: $3+2(-4)+k_2=0 \Rightarrow k_2=5$। अतः,$x+2y+5=0$।
इन चार रेखाओं द्वारा निर्मित आयत का क्षेत्रफल समानांतर युग्मों के बीच की दूरियों का गुणनफल है।
$x+2y-3=0$ और $x+2y+5=0$ के बीच की दूरी $d_1 = \frac{|5-(-3)|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$ है।
$2x-y-1=0$ और $2x-y-10=0$ के बीच की दूरी $d_2 = \frac{|-10-(-1)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{9}{\sqrt{5}}$ है।
क्षेत्रफल $= d_1 \times d_2 = \frac{8}{\sqrt{5}} \times \frac{9}{\sqrt{5}} = \frac{72}{5} \text{ वर्ग इकाई}$।

(C) दिया गया समीकरण $(\tan ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha) x^2 - (2 \tan \alpha) xy + (\sin ^2 \alpha) y^2 = 0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $(\sin ^2 \alpha) m^2 - (2 \tan \alpha) m + (\tan ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) = 0$ प्राप्त होता है,जहाँ $m = y/x$ है।
माना $m_1$ और $m_2$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।
तब $m_1 + m_2 = \frac{2 \tan \alpha}{\sin ^2 \alpha} = \frac{2}{\sin \alpha \cos \alpha}$ और $m_1 m_2 = \frac{\tan ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha}{\sin ^2 \alpha} = \sec^2 \alpha + \cot^2 \alpha$ है।
ढाल का अंतर $|m_1 - m_2| = \sqrt{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2}$ है।
गणना करने पर,$|m_1 - m_2| = \sqrt{4} = 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए समीकरण $4x^2+6xy+ky^2=0$ $(i)$ और $3x^2-5xy+2y^2=0$ (ii) हैं।
(ii) द्वारा निरूपित रेखाएं $3x^2-3xy-2xy+2y^2=0$ $\Rightarrow 3x(x-y)-2y(x-y)=0$ $\Rightarrow (3x-2y)(x-y)=0$ हैं।
अतः,रेखाएं $y=x$ और $y=\frac{3}{2}x$ हैं।
यदि रेखा $y=mx$,रेखा $y=m_1x$ के लंबवत है,तो $m = -\frac{1}{m_1}$।
स्थिति $1$: रेखा $y=x$,$(i)$ की एक रेखा के लंबवत है। तो रेखा $y=-x$ को $(i)$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$(i)$ में $y=-x$ रखने पर: $4x^2+6x(-x)+k(-x)^2=0$ $\Rightarrow 4-6+k=0$ $\Rightarrow k=2$।
स्थिति $2$: रेखा $y=\frac{3}{2}x$,$(i)$ की एक रेखा के लंबवत है। तो रेखा $y=-\frac{2}{3}x$ को $(i)$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$(i)$ में $y=-\frac{2}{3}x$ रखने पर: $4x^2+6x(-\frac{2}{3}x)+k(-\frac{2}{3}x)^2=0$ $\Rightarrow 4-4+\frac{4k}{9}=0$ $\Rightarrow k=0$।
$k$ के संभावित मान $2$ और $0$ हैं।
अंतर का निरपेक्ष मान $|2-0|=2$ है।
अंतर का दोगुना $2 \times 2 = 4$ है।

(A) रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2+2 \sqrt{2} x y+k y^2=0$ है।
$ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=\sqrt{2}, b=k$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,अतः $\tan 45^{\circ} = 1 = \frac{2\sqrt{2-k}}{1+k}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(1+k)^2 = 4(2-k)$ $\Rightarrow k^2+2k+1 = 8-4k$ $\Rightarrow k^2+6k-7=0$।
गुणनखंड करने पर $(k+7)(k-1)=0$ प्राप्त होता है। चूँकि $k>0$,इसलिए $k=1$ है।
रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2+2\sqrt{2}xy+y^2=0$ हो जाता है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ $\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{1-1} = \frac{xy}{\sqrt{2}}$ $\Rightarrow x^2-y^2=0$ है।
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $x-y=0$ और $x+y=0$।
तीसरी रेखा $x+2y+1=0$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन तीन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$) $x-y=0$ और $x+y=0 \Rightarrow (0,0)$।
$2$) $x-y=0$ और $x+2y+1=0 \Rightarrow y=-1/3, x=-1/3$।
$3$) $x+y=0$ और $x+2y+1=0 \Rightarrow y=-1, x=1$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ सूत्र से प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 + 1/3 + 1/3| = \frac{1}{3}$।

(A) दी गई सरल रेखाओं का युग्म बिंदु $(1,1)$ से गुजरता है।
मान लीजिए रेखाओं की ढाल $m_1 = \tan \theta$ और $m_2 = \tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$ है।
रेखाओं के समीकरण $(y-1) = \tan \theta(x-1)$ और $(y-1) = \cot \theta(x-1)$ हैं।
संयुक्त समीकरण $[(y-1) - \tan \theta(x-1)][(y-1) - \cot \theta(x-1)] = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $(y-1)^2 - (x-1)(y-1)(\tan \theta + \cot \theta) + (x-1)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$x^2 + y^2 - (\tan \theta + \cot \theta)xy + (\tan \theta + \cot \theta - 2)x + (\tan \theta + \cot \theta - 2)y + (2 - (\tan \theta + \cot \theta)) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए समीकरण $x^2 - (a+2)xy + y^2 + a(x+y-1) = 0$ के साथ तुलना करने पर,$xy$ का गुणांक:
$\tan \theta + \cot \theta = a+2$.
$\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ का उपयोग करते हुए,
$\frac{2}{\sin 2\theta} = a+2$,जिसका अर्थ है $\sin 2\theta = \frac{2}{a+2}$.
अतः,$\theta = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{2}{a+2}\right)$।

(C) दिए गए समीकरण $xy+4x-3y-12=0$ और $xy-3x+4y-12=0$ हैं।
पहले समीकरण के लिए: $x(y+4)-3(y+4)=0 \Rightarrow (x-3)(y+4)=0$। यह रेखाओं $x=3$ और $y=-4$ को दर्शाता है।
दूसरे समीकरण के लिए: $x(y-3)+4(y-3)=0 \Rightarrow (x+4)(y-3)=0$। यह रेखाओं $x=-4$ और $y=3$ को दर्शाता है।
वर्ग बनाने वाली चार रेखाएँ $x=3, x=-4, y=3, y=-4$ हैं।
वर्ग के शीर्ष $A(-4,-4), B(3,-4), C(3,3)$ और $D(-4,3)$ हैं।
विकर्ण $AC$,$A(-4,-4)$ और $C(3,3)$ से होकर गुजरता है। इसका समीकरण $y-(-4) = \frac{3-(-4)}{3-(-4)}(x-(-4))$ $\Rightarrow y+4 = 1(x+4)$ $\Rightarrow x-y=0$ है।
विकर्ण $BD$,$B(3,-4)$ और $D(-4,3)$ से होकर गुजरता है। इसका समीकरण $y-(-4) = \frac{3-(-4)}{-4-3}(x-3)$ $\Rightarrow y+4 = \frac{7}{-7}(x-3)$ $\Rightarrow y+4 = -x+3$ $\Rightarrow x+y+1=0$ है।
विकर्णों का संयुक्त समीकरण $(x-y)(x+y+1)=0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2+xy+x-xy-y^2-y=0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2-y^2+x-y=0$ हो जाता है।