Word problem of Linear inequalities Questions in Hindi

(C) माना सबसे छोटी भुजा की लंबाई $x \text{ cm}$ है।
सबसे लंबी भुजा $2x \text{ cm}$ है और तीसरी भुजा $(x + 2) \text{ cm}$ है।
त्रिभुज का परिमाप सभी भुजाओं का योग है: $P = x + 2x + (x + 2) = 4x + 2$.
प्रश्न के अनुसार, परिमाप $166 \text{ cm}$ से अधिक है:
$4x + 2 > 166$
दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर:
$4x > 164$
$4$ से भाग देने पर:
$x > 41$.
अतः, सबसे छोटी भुजा की न्यूनतम पूर्णांक लंबाई $42 \text{ cm}$ है।

(N/A) दिया गया तापमान सूत्र: $T = 30 + 25(x - 3)$,जहाँ $3 \leq x \leq 15$ है।
हमें वह गहराई $x$ ज्ञात करनी है जिसके लिए $155 < T < 205$ हो।
$T$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$155 < 30 + 25(x - 3) < 205$
सभी भागों से $30$ घटाने पर:
$155 - 30 < 25(x - 3) < 205 - 30$
$125 < 25(x - 3) < 175$
$25$ से विभाजित करने पर:
$5 < x - 3 < 7$
सभी भागों में $3$ जोड़ने पर:
$5 + 3 < x < 7 + 3$
$8 < x < 10$
अतः,$8 \text{ km}$ और $10 \text{ km}$ के बीच की गहराई पर तापमान $155^{\circ}C$ और $205^{\circ}C$ के बीच होगा।

(NONE) पहली असमिका के लिए: $\frac{2x+1}{7x-1} > 5$
$\Rightarrow \frac{2x+1}{7x-1} - 5 > 0$
$\Rightarrow \frac{2x+1 - 35x + 5}{7x-1} > 0$
$\Rightarrow \frac{-33x + 6}{7x-1} > 0$
$\Rightarrow \frac{33x - 6}{7x-1} < 0$
$\Rightarrow \frac{x - 2/11}{x - 1/7} < 0$
अतः,$x \in (1/7, 2/11)$.
दूसरी असमिका के लिए: $\frac{x+7}{x-8} > 2$
$\Rightarrow \frac{x+7}{x-8} - 2 > 0$
$\Rightarrow \frac{x+7 - 2x + 16}{x-8} > 0$
$\Rightarrow \frac{-x + 23}{x-8} > 0$
$\Rightarrow \frac{x - 23}{x-8} < 0$
अतः,$x \in (8, 23)$.
अंतराल $(1/7, 2/11)$ और $(8, 23)$ का प्रतिच्छेदन रिक्त समुच्चय है।
इसलिए,दी गई असमिकाओं के निकाय का कोई हल नहीं है।

(A) दी गई असमिका $\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1} \geq 0$ है।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^{2} + 1 > 0$ है,हम असमिका के चिह्न को बदले बिना दोनों पक्षों को $(x^{2} + 1)$ से गुणा कर सकते हैं।
यह $x^{2} - 1 \geq 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर,हमें $(x - 1)(x + 1) \geq 0$ प्राप्त होता है।
वेवी कर्व विधि (sign scheme) का उपयोग करते हुए,व्यंजक $x \leq -1$ या $x \geq 1$ के लिए गैर-ऋणात्मक है।
अतः,$x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$।

(C) दी गई असमिकाएँ $x \geq 0, y \geq 0, y \leq 6$ और $x+y \leq 3$ हैं।
$1$. शर्तें $x \geq 0$ और $y \geq 0$ क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश तक सीमित करती हैं।
$2$. रेखा $x+y = 3$,$(3, 0)$ और $(0, 3)$ से होकर गुजरती है। चूँकि $(0, 0)$,$x+y \leq 3$ को संतुष्ट करता है,इसलिए क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।
$3$. रेखा $y = 6$ एक क्षैतिज रेखा है। चूँकि $x+y \leq 3$ पहले से ही $y \leq 3$ का संकेत देता है (जब $x \geq 0$ हो),इसलिए $y \leq 6$ की शर्त अनावश्यक है क्योंकि क्षेत्र पहले से ही $x+y \leq 3$ और अक्षों द्वारा सीमित है।
$4$. इन क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन $(0, 0), (3, 0)$ और $(0, 3)$ शीर्षों वाला एक त्रिभुज बनाता है।
चूँकि इस क्षेत्र की सीमाएँ सीमित हैं,इसलिए यह प्रथम चतुर्थांश में एक परिबद्ध (bounded) क्षेत्र है।

(C) दी गई असमिकाओं का निकाय इस प्रकार है:
$x - y \leq -1$ $(1)$
$x - y \geq 0$ $(2)$
$x \geq 0, y \geq 0$ $(3)$
असमिका $(1)$ से,हमें प्राप्त होता है $x - y \leq -1$,जिसका अर्थ है $y \geq x + 1$।
असमिका $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है $x - y \geq 0$,जिसका अर्थ है $y \leq x$।
इन दोनों को संयोजित करने पर,हमें $x + 1 \leq y \leq x$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $x + 1 \leq x$,जिसे सरल करने पर $1 \leq 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1 \leq 0$ एक असत्य कथन है,इसलिए $x$ और $y$ का ऐसा कोई मान नहीं है जो दोनों असमिकाओं को एक साथ संतुष्ट कर सके।
अतः,इन असमिकाओं द्वारा निरूपित क्षेत्र का कोई अस्तित्व नहीं है।

(D) सुसंगत क्षेत्र (feasible region) निर्धारित करने के लिए,हम दी गई असमिकाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x + y \leq 4$
$2$. $3x + 3y \geq 18 \implies x + y \geq 6$
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$
पहली असमिका के अनुसार,क्षेत्र रेखा $x + y = 4$ पर या उसके नीचे होना चाहिए।
दूसरी असमिका के अनुसार,क्षेत्र रेखा $x + y = 6$ पर या उसके ऊपर होना चाहिए।
चूंकि ये दोनों रेखाएं समानांतर हैं और अलग-अलग अर्ध-तल दर्शाती हैं ($x+y \leq 4$ और $x+y \geq 6$),इसलिए ऐसा कोई बिंदु $(x, y)$ नहीं है जो दोनों असमिकाओं को एक साथ संतुष्ट कर सके।
अतः,सुसंगत क्षेत्र का अस्तित्व नहीं है।

(B) सुसंगत क्षेत्र असमिकाओं $3x + 4y \leq 12$,$x \geq 0$ और $y \geq 1$ द्वारा परिभाषित है।
हमें पूर्णांक जोड़े $(x, y)$ खोजने हैं जो इन शर्तों को पूरा करते हैं।
चूंकि $y \geq 1$,हम $y$ के लिए पूर्णांक मानों की जांच करते हैं:
$1$. यदि $y = 1$ है: असमिका $3x + 4(1) \leq 12$ हो जाती है,जो $3x \leq 8$ में सरल होती है,इसलिए $x \leq 2.66$। चूंकि $x \geq 0$,$x$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $0, 1, 2$ हैं। बिंदु $(0, 1), (1, 1), (2, 1)$ हैं।
$2$. यदि $y = 2$ है: असमिका $3x + 4(2) \leq 12$ हो जाती है,जो $3x \leq 4$ में सरल होती है,इसलिए $x \leq 1.33$। चूंकि $x \geq 0$,$x$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $0, 1$ हैं। बिंदु $(0, 2), (1, 2)$ हैं।
$3$. यदि $y = 3$ है: असमिका $3x + 4(3) \leq 12$ हो जाती है,जो $3x \leq 0$ में सरल होती है,इसलिए $x \leq 0$। चूंकि $x \geq 0$,$x$ के लिए केवल एक पूर्णांक मान $0$ है। बिंदु $(0, 3)$ है।
$4$. यदि $y > 3$ है: $y = 4$ के लिए,$3x + 16 \leq 12$ का अर्थ है $3x \leq -4$,जिसका $x$ के लिए कोई गैर-ऋणात्मक पूर्णांक समाधान नहीं है।
इस प्रकार,कुल बिंदु $(0, 1), (1, 1), (2, 1), (0, 2), (1, 2), (0, 3)$ हैं।
कुल $6$ ऐसे बिंदु हैं।

(B) दी गई असमिकाओं का विश्लेषण करने पर:
$1$. $2x + 3y \leq 5$: यह रेखा $2x + 3y = 5$ के नीचे का क्षेत्र दर्शाता है।
$2$. $4x - 3y \leq -2$ या $3y \geq 4x + 2$: यह रेखा $3y = 4x + 2$ के ऊपर का क्षेत्र दर्शाता है।
$3$. $x \geq 0$: यह क्षेत्र को $y$-अक्ष के दाईं ओर (प्रथम और चतुर्थ चतुर्थांश) तक सीमित करता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु:
- $2x + 3y = 5$ और $3y = 4x + 2$ का प्रतिच्छेदन: $3y$ का मान रखने पर,$2x + (4x + 2) = 5 \implies 6x = 3 \implies x = 0.5$। अतः $3y = 4(0.5) + 2 = 4 \implies y = 4/3$।
- जब $x = 0$,तब $2x + 3y = 5 \implies y = 5/3$ और $3y = 4x + 2 \implies y = 2/3$।
अतः,यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।

(B) दिया गया है $a, b > 0$ और $a+2b \leq 1$ है।
वृत्त $C_1$ की त्रिज्या $ab^3$ और वृत्त $C_2$ की त्रिज्या $b^2$ है।
क्षेत्रफल $A_1 = \pi(ab^3)^2 = \pi a^2b^6$ है।
क्षेत्रफल $A_2 = \pi(b^2)^2 = \pi b^4$ है।
अतः,$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi a^2b^6}{\pi b^4} = a^2b^2 = (ab)^2$ है।
$a$ और $2b$ के लिए $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{a+2b}{2} \geq \sqrt{a \cdot 2b} = \sqrt{2ab}$ है।
चूंकि $a+2b \leq 1$ है,इसलिए $\frac{1}{2} \geq \sqrt{2ab}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{4} \geq 2ab$,जिसका अर्थ है $ab \leq \frac{1}{8}$ है।
इसलिए,$(ab)^2 \leq (\frac{1}{8})^2 = \frac{1}{64}$ है।
$\frac{A_1}{A_2}$ का अधिकतम मान $\frac{1}{64}$ है।

(C) दी गई असमिका: $\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1} < 0.2$
बाएँ पक्ष का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} < 0.2$
$\frac{(n+1)-(n-1)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} < 0.2$
$\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} < 0.2$
$\frac{2}{0.2} < \sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}$
$10 < \sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}$
$n=25$ के लिए: $\sqrt{26}+\sqrt{24} \approx 5.099 + 4.899 = 9.998 < 10$ (असत्य)
$n=26$ के लिए: $\sqrt{27}+\sqrt{25} \approx 5.196 + 5 = 10.196 > 10$ (सत्य)
अतः,न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n = 26$ है।

(C) माना $x$ सही उत्तरों की संख्या है,$y$ गलत उत्तरों की संख्या है और $z$ अनुत्तरित प्रश्नों की संख्या है।
कुल प्रश्नों की संख्या $30$ है,इसलिए $x + y + z = 30$ है।
कुल अंक $4x + 0y + 1z = 60$ हैं,जो $4x + z = 60$ हो जाता है।
दूसरे समीकरण से,$z = 60 - 4x$ है।
चूंकि $z \ge 0$,इसलिए $60 - 4x \ge 0$,जिसका अर्थ है $x \le 15$।
साथ ही,$x + y + z = 30$ में $z = 60 - 4x$ रखने पर,$x + y + (60 - 4x) = 30$,जो $y = 3x - 30$ हो जाता है।
चूंकि $y \ge 0$,इसलिए $3x - 30 \ge 0$,जिसका अर्थ है $x \ge 10$।
अतः,$10 \le x \le 15$ है।
$x$ के संभावित पूर्णांक मान $10, 11, 12, 13, 14, 15$ हैं।
इस प्रकार,$x$ के लिए कुल $6$ संभावित मान हैं।

(C) यह क्षेत्र रेखाओं $y = mx + 3$,$y = nx + 3$ और $x$-अक्ष $(y = 0)$ द्वारा घिरा हुआ है।
$y = 0$ के लिए,$x$-अंतःखंड $x_1 = -\frac{3}{m}$ और $x_2 = -\frac{3}{n}$ हैं।
दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 3)$ है।
त्रिभुज का आधार $b = 3 |\frac{1}{m} - \frac{1}{n}|$ और ऊँचाई $h = 3$ है।
क्षेत्रफल $A = \frac{9}{2} (\frac{1}{m} - \frac{1}{n})$ है।
न्यूनतम क्षेत्रफल के लिए,$m = \sqrt{3}$ और $n = -\sqrt{3}$ लेने पर,
क्षेत्रफल $= 3 \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(A) त्रिभुज $x > 0$,$y > 0$ और $3x + 4y < 60$ द्वारा परिबद्ध है। चूँकि $b$,$a$ का गुणज है,मान लीजिए $b = ka$ जहाँ $k \ge 1$ एक पूर्णांक है।
निश्चित $x = a$ के लिए,$3a + 4y < 60$,इसलिए $y < 15 - 0.75a$.
चूँकि $y = ka$,इसलिए $ka < 15 - 0.75a$,जिसका अर्थ है $k < \frac{15}{a} - 0.75$.
$a=1$ के लिए: $k < 14.25 \Rightarrow k \in \{1, 2, \dots, 14\}$ ($14$ बिंदु)।
$a=2$ के लिए: $k < 6.75 \Rightarrow k \in \{1, 2, \dots, 6\}$ ($6$ बिंदु)।
$a=3$ के लिए: $k < 4.25 \Rightarrow k \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ बिंदु)।
$a=4$ के लिए: $k < 3 \Rightarrow k \in \{1, 2\}$ ($2$ बिंदु)।
$a=5$ के लिए: $k < 2.25 \Rightarrow k \in \{1, 2\}$ ($2$ बिंदु)।
$a=6$ के लिए: $k < 1.75 \Rightarrow k \in \{1\}$ ($1$ बिंदु)।
$a=7$ के लिए: $k < 1.39 \Rightarrow k \in \{1\}$ ($1$ बिंदु)।
$a=8$ के लिए: $k < 1.125 \Rightarrow k \in \{1\}$ ($1$ बिंदु)।
$a \ge 9$ के लिए: $k < 0.91$,कोई धनात्मक पूर्णांक $k$ संभव नहीं है।
कुल बिंदु $= 14 + 6 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 31$।

(D) दी गई असमिका $|n^2 - 10n + 19| < 6$ है।
यह $-6 < n^2 - 10n + 19 < 6$ के समतुल्य है।
स्थिति $1$: $n^2 - 10n + 19 < 6 \Rightarrow n^2 - 10n + 13 < 0$।
$n^2 - 10n + 13 = 0$ के मूल $n = 5 \pm 2\sqrt{3}$ हैं।
चूंकि $2\sqrt{3} \approx 3.46$,इसलिए सीमा $n \in (1.54, 8.46)$ है।
स्थिति $2$: $n^2 - 10n + 19 > -6 \Rightarrow (n - 5)^2 > 0$।
यह $n = 5$ को छोड़कर सभी $n \in \mathbb{Z}$ के लिए सत्य है।
दोनों को मिलाने पर,$n \in \{2, 3, 4, 6, 7, 8\}$ प्राप्त होता है।
ऐसे अवयवों की कुल संख्या $6$ है।

(B) दी गई असमिकाएँ $|x-y| \leqslant 1$ और $x, y \geqslant 0$ हैं।
असमिका $|x-y| \leqslant 1$ को $-1 \leqslant x-y \leqslant 1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसे दो असमिकाओं में विभाजित किया जा सकता है: $y \leqslant x+1$ और $y \geqslant x-1$।
इन्हें $x \geqslant 0$ और $y \geqslant 0$ के साथ जोड़ने पर,हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र को देखते हैं।
किसी भी $x \geqslant 0$ के लिए,हम $y$ को इस प्रकार चुन सकते हैं कि $x-1 \leqslant y \leqslant x+1$ हो।
जैसे-जैसे $x$ अनंत तक बढ़ता है,$y$ भी अनंत तक बढ़ सकता है (उदाहरण के लिए,$y=x$ चुनकर)।
चूंकि यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में अनंत तक फैला हुआ है,इसलिए हल समुच्चय एक अपरिमित समुच्चय (unbounded set) है।

(D) सुसंगत क्षेत्र (feasible region) ज्ञात करने के लिए,हम दी गई बाधाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $2x + 3y \leqslant 18$: यह रेखा $2x + 3y = 18$ के नीचे या उस पर स्थित क्षेत्र को दर्शाता है। इसके अंतःखंड $(9, 0)$ और $(0, 6)$ हैं।
$2$. $x + y \geqslant 10$: यह रेखा $x + y = 10$ के ऊपर या उस पर स्थित क्षेत्र को दर्शाता है। इसके अंतःखंड $(10, 0)$ और $(0, 10)$ हैं।
$3$. $x \geqslant 0, y \geqslant 0$: यह क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश तक सीमित करता है।
दोनों रेखाओं की तुलना करने पर:
$2x + 3y = 18$ के लिए,अधिकतम $x$-मान $9$ है और अधिकतम $y$-मान $6$ है।
$x + y = 10$ के लिए,न्यूनतम $x$-मान $10$ है और न्यूनतम $y$-मान $10$ है।
चूंकि $2x + 3y \leqslant 18$ द्वारा परिभाषित क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में पूरी तरह से रेखा $x + y = 10$ के नीचे स्थित है,इसलिए ऐसा कोई बिंदु $(x, y)$ नहीं है जो $2x + 3y \leqslant 18$ और $x + y \geqslant 10$ दोनों को एक साथ संतुष्ट करे।
अतः,सुसंगत क्षेत्र एक रिक्त समुच्चय है।

(D) दी गई रैखिक असमिकाएँ:
$1) 2x + 3y \leq 18$
$2) x + y \geq 10$
$3) x \geq 0, y \geq 0$
पहली असमिका $2x + 3y \leq 18$ के लिए,सीमा रेखा $2x + 3y = 18$ है। इसके अंतःखंड $(9, 0)$ और $(0, 6)$ हैं। चूँकि मूल बिंदु $(0, 0)$,$2(0) + 3(0) \leq 18$ को संतुष्ट करता है,इसलिए सुसंगत क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।
दूसरी असमिका $x + y \geq 10$ के लिए,सीमा रेखा $x + y = 10$ है। इसके अंतःखंड $(10, 0)$ और $(0, 10)$ हैं। चूँकि मूल बिंदु $(0, 0)$,$0 + 0 \geq 10$ को संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए सुसंगत क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है।
दोनों क्षेत्रों की तुलना करने पर: पहला क्षेत्र $(9, 0)$ और $(0, 6)$ से गुजरने वाली रेखा के नीचे है,जबकि दूसरा क्षेत्र $(10, 0)$ और $(0, 10)$ से गुजरने वाली रेखा के ऊपर है। ये दोनों क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश $(x \geq 0, y \geq 0)$ में एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।
अतः,ऐसा कोई उभयनिष्ठ क्षेत्र नहीं है जो सभी दी गई असमिकाओं को संतुष्ट करे। इस प्रकार,सुसंगत क्षेत्र एक रिक्त समुच्चय है।

(A) रैखिक असमिकाओं का निकाय इस प्रकार है:
$1) x+y \geq 1$
$2) 7x+9y \leq 63$
$3) y \leq 5$
$4) x \leq 6$
$5) x \geq 0, y \geq 0$
सुसंगत क्षेत्र (feasible region) ज्ञात करने के लिए,हम सीमाओं का विश्लेषण करते हैं:
- रेखा $x+y=1$,$(1,0)$ और $(0,1)$ से होकर गुजरती है। क्षेत्र $x+y \geq 1$ मूल बिंदु से दूर है।
- रेखा $7x+9y=63$,$(9,0)$ और $(0,7)$ से होकर गुजरती है। क्षेत्र $7x+9y \leq 63$ मूल बिंदु की ओर है।
- रेखाएं $x=6$ और $y=5$ क्रमशः ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखाएं हैं,जो क्षेत्र को सीमित करती हैं।
- शर्तें $x \geq 0$ और $y \geq 0$ क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश में सीमित करती हैं।
इन रेखाओं को आलेखित करके और असमिकाओं पर विचार करके,सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित वह परिबद्ध बहुभुज है जो सभी शर्तों को पूरा करता है। दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,समाधान छवि (जो विकल्प $A$ से मेल खाती है) इन सभी अर्ध-तलों के प्रतिच्छेदन को सही ढंग से दर्शाती है।

(D) उभयनिष्ठ क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम दी गई असमिकाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x+y \geq 5$: यह रेखा $x+y=5$ पर या उसके ऊपर के क्षेत्र को दर्शाता है। चूंकि $(0,0)$ इसे संतुष्ट नहीं करता है ($0 \geq 5$ गलत है),इसलिए क्षेत्र मूलबिंदु की विपरीत दिशा में है।
$2$. $y \leq 4$: यह रेखा $y=4$ पर या उसके नीचे के क्षेत्र को दर्शाता है।
$3$. $x \geq 2$: यह रेखा $x=2$ पर या उसके दाईं ओर के क्षेत्र को दर्शाता है।
$4$. $x, y \geq 0$: यह क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश तक सीमित करता है।
इन रेखाओं को आलेखित करने पर,हम आकृति में छायांकित क्षेत्र देखते हैं। यह क्षेत्र रेखाओं $x=2$,$y=4$,और $x+y=5$ द्वारा घिरा हुआ है। चूंकि क्षेत्र इन रेखाओं द्वारा परिबद्ध है,इसलिए यह एक सीमित क्षेत्र है। इसके अलावा,मूलबिंदु $(0,0)$ छायांकित क्षेत्र में स्थित नहीं है,इसलिए यह मूलबिंदु की विपरीत दिशा में है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है,$C(x) = 20x + 4000$ और $R(x) = 60x + 2000$।
लाभ अर्जित करने के लिए,राजस्व लागत से अधिक होना चाहिए,अर्थात $R(x) - C(x) > 0$।
दिए गए फलनों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(60x + 2000) - (20x + 4000) > 0$
$60x + 2000 - 20x - 4000 > 0$
$40x - 2000 > 0$
$40x > 2000$
$x > \frac{2000}{40}$
$x > 50$।
अतः,लाभ अर्जित करने के लिए वस्तुओं की संख्या $x$ का मान $50$ से अधिक होना चाहिए।

(B) माना आयत की चौड़ाई $x \ cm$ है।
तब,आयत की लंबाई $5x \ cm$ होगी।
आयत का परिमाप $P = 2(\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई})$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$P = 2(5x + x) = 2(6x) = 12x$।
दिया गया है कि न्यूनतम परिमाप $180 \ cm$ है,इसलिए $P \geq 180$।
अतः,$12x \geq 180$।
दोनों पक्षों को $12$ से विभाजित करने पर,हमें $x \geq 15$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$ चौड़ाई को दर्शाता है,इसलिए चौड़ाई कम से कम $15 \ cm$ होनी चाहिए।

(C) दी गई असमिका $\frac{x^{2}+6x-7}{|x+4|} < 0$ है।
चूंकि $|x+4|$ का मान $x \neq -4$ के लिए हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए यह व्यंजक केवल तभी ऋणात्मक होगा जब अंश ऋणात्मक हो।
अतः,$x^{2}+6x-7 < 0$ और $x \neq -4$ होना चाहिए।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,$(x+7)(x-1) < 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका $x \in (-7, 1)$ के लिए सत्य है।
उस बिंदु $(x = -4)$ को हटाने पर जहाँ हर शून्य हो जाता है,हल समुच्चय $(-7, -4) \cup (-4, 1)$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई असमिका: $\frac{8x^2-14x-9}{3x^2-7x-6} > 2$ \\ दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर: $\frac{8x^2-14x-9}{3x^2-7x-6} - 2 > 0$ \\ सरल करने पर: $\frac{2x^2+3}{3x^2-7x-6} > 0$ \\ चूंकि $2x^2+3$ हमेशा धनात्मक है,असमिका तब सत्य होगी जब $3x^2-7x-6 > 0$ हो \\ गुणनखंड करने पर: $(3x+2)(x-3) > 0$ \\ क्रांतिक बिंदु $x = -2/3$ और $x = 3$ हैं \\ अंतराल की जांच करने पर,हल $(-\infty, -2/3) \cup (3, \infty)$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई असमिका: $\frac{x^2-1}{(x-4)(x-3)} \geq 1$ है।
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर: $\frac{x^2-1}{(x-4)(x-3)} - 1 \geq 0$।
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{x^2-1 - (x^2-7x+12)}{(x-4)(x-3)} \geq 0$।
$\frac{7x-13}{(x-4)(x-3)} \geq 0$।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने पर: $x = \frac{13}{7}, x = 3, x = 4$।
संख्या रेखा पर वेवी कर्व विधि का उपयोग करके,अंतरालों की जाँच करने पर:
$x > 4$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
$3 < x < 4$ के लिए,व्यंजक ऋणात्मक है।
$\frac{13}{7} \leq x < 3$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
$x < \frac{13}{7}$ के लिए,व्यंजक ऋणात्मक है।
अतः,हल समुच्चय $[\frac{13}{7}, 3) \cup (4, \infty)$ है।

(A) दी गई असमानता: $\frac{x-1}{3x+4} - \frac{x-3}{3x-2} < 0$
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\frac{(x-1)(3x-2) - (x-3)(3x+4)}{(3x+4)(3x-2)} < 0$
अंश का विस्तार करने पर:
$\frac{(3x^2 - 2x - 3x + 2) - (3x^2 + 4x - 9x - 12)}{(3x+4)(3x-2)} < 0$
अंश को सरल करने पर:
$\frac{(3x^2 - 5x + 2) - (3x^2 - 5x - 12)}{(3x+4)(3x-2)} < 0$
$\frac{14}{(3x+4)(3x-2)} < 0$
चूंकि अंश $14$ धनात्मक है,व्यंजक केवल तभी ऋणात्मक होगा जब हर ऋणात्मक हो:
$(3x+4)(3x-2) < 0$
हर के शून्य $x = -\frac{4}{3}$ और $x = \frac{2}{3}$ हैं।
वेवी कर्व विधि के अनुसार,$(3x+4)(3x-2)$ दोनों शून्यों के बीच ऋणात्मक होता है।
अतः,$x \in \left(-\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right)$.

(D) दी गई असमिका: $\frac{14 x}{x+1}-\frac{9 x-30}{x-4} < 0$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{14 x(x-4)-(9 x-30)(x+1)}{(x+1)(x-4)} < 0$
$\frac{14 x^2-56 x-(9 x^2+9 x-30 x-30)}{(x+1)(x-4)} < 0$
$\frac{14 x^2-56 x-(9 x^2-21 x-30)}{(x+1)(x-4)} < 0$
$\frac{5 x^2-35 x+30}{(x+1)(x-4)} < 0$
$\frac{5(x^2-7 x+6)}{(x+1)(x-4)} < 0$
$\frac{5(x-1)(x-6)}{(x+1)(x-4)} < 0$
संख्या रेखा पर वेवी कर्व विधि (चिह्न योजना) का उपयोग करने पर,क्रांतिक बिंदु $-1, 1, 4, 6$ हैं:
यह व्यंजक $(-1, 1)$ और $(4, 6)$ अंतराल में ऋणात्मक है।
अतः,$x \in (-1, 1) \cup (4, 6)$।

(B) दी गई असमानता: $\frac{7 x^2-5 x-18}{2 x^2+x-6} < 2$
दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर: $\frac{7 x^2-5 x-18}{2 x^2+x-6} - 2 < 0$
$\Rightarrow \frac{7 x^2-5 x-18 - 2(2 x^2+x-6)}{2 x^2+x-6} < 0$
$\Rightarrow \frac{7 x^2-5 x-18 - 4 x^2-2 x+12}{(2 x-3)(x+2)} < 0$
$\Rightarrow \frac{3 x^2-7 x-6}{(2 x-3)(x+2)} < 0$
अंश का गुणनखंड करने पर: $3 x^2-7 x-6 = 3 x^2-9 x+2 x-6 = 3 x(x-3)+2(x-3) = (3 x+2)(x-3)$
अतः,असमानता हो जाती है: $\frac{(3 x+2)(x-3)}{(2 x-3)(x+2)} < 0$
क्रांतिक बिंदु $x = -2, -\frac{2}{3}, \frac{3}{2}, 3$ हैं।
वेवी कर्व विधि का उपयोग करके,हम अंतरालों की जाँच करते हैं:
$x > 3$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
$\frac{3}{2} < x < 3$ के लिए,व्यंजक ऋणात्मक है।
$-\frac{2}{3} < x < \frac{3}{2}$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
$-2 < x < -\frac{2}{3}$ के लिए,व्यंजक ऋणात्मक है।
$x < -2$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
चूंकि हमें व्यंजक $0$ से कम चाहिए,इसलिए हल $x \in \left(-2, -\frac{2}{3}\right) \cup \left(\frac{3}{2}, 3 \right)$ है।

(D) दिया गया है,$1 \leq \frac{3x^2-7x+8}{x^2+1} \leq 2$। चूंकि $x^2+1 > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,हम $(x^2+1)$ से गुणा कर सकते हैं।
पहले,$1 \leq \frac{3x^2-7x+8}{x^2+1} \implies x^2+1 \leq 3x^2-7x+8 \implies 2x^2-7x+7 \geq 0$ पर विचार करें।
$2x^2-7x+7$ का विविक्तकर $D = (-7)^2 - 4(2)(7) = 49 - 56 = -7 < 0$ है। अग्रणी गुणांक धनात्मक होने के कारण,$2x^2-7x+7 > 0$ सभी $x \in R$ के लिए सत्य है।
इसके बाद,$\frac{3x^2-7x+8}{x^2+1} \leq 2 \implies 3x^2-7x+8 \leq 2x^2+2 \implies x^2-7x+6 \leq 0$ पर विचार करें।
गुणनखंड करने पर,$(x-1)(x-6) \leq 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका $x \in [1, 6]$ के लिए सत्य है।
अतः,न्यूनतम मान $1$ है और अधिकतम मान $6$ है।

(D) दी गई असमिका: $\frac{8x^2+16x-51}{(2x-3)(x+4)} > 3$
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर: $\frac{8x^2+16x-51 - 3(2x^2+5x-12)}{(2x-3)(x+4)} > 0$
अंश को सरल करने पर: $8x^2+16x-51 - 6x^2-15x+36 = 2x^2+x-15$
अंश का गुणनखंड करने पर: $2x^2+6x-5x-15 = 2x(x+3)-5(x+3) = (2x-5)(x+3)$
अतः,असमिका इस प्रकार है: $\frac{(2x-5)(x+3)}{(2x-3)(x+4)} > 0$
क्रांतिक बिंदु $x = -4, -3, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}$ हैं।
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,व्यंजक $(-\infty, -4) \cup (-3, \frac{3}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$ अंतरालों में धनात्मक है।

(C) दी गई असमिका $\frac{\sqrt{6+x-x^2}}{2x+5} \geq \frac{\sqrt{6+x-x^2}}{x+4}$ है।
सबसे पहले,व्यंजक को परिभाषित होने के लिए $6+x-x^2 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x^2-x-6 \leq 0$,अतः $(x-3)(x+2) \leq 0$। इस प्रकार,$x \in [-2, 3]$।
यदि $6+x-x^2 = 0$ है,तो $x = -2$ या $x = 3$। दोनों असमिका को संतुष्ट करते हैं क्योंकि $0 \geq 0$।
यदि $6+x-x^2 > 0$ है,तो हम $\sqrt{6+x-x^2}$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\frac{1}{2x+5} \geq \frac{1}{x+4} \Rightarrow \frac{1}{2x+5} - \frac{1}{x+4} \geq 0$
$\Rightarrow \frac{x+4-(2x+5)}{(2x+5)(x+4)} \geq 0$ $\Rightarrow \frac{-x-1}{(2x+5)(x+4)} \geq 0$
$\Rightarrow \frac{x+1}{(2x+5)(x+4)} \leq 0$।
क्रांतिक बिंदुओं $-4, -2.5, -1$ के लिए चिह्न योजना का उपयोग करने पर,व्यंजक $x \in (-\infty, -4) \cup (-2.5, -1]$ के लिए $\leq 0$ है।
इसे डोमेन $x \in [-2, 3]$ के साथ संयोजित करने पर,हमें $x \in [-2, -1] \cup \{3\}$ प्राप्त होता है।

(B) हमारे पास हल करने के लिए दो असमिकाएं हैं:
$5x - 1 < (x + 1)^2$ और $(x + 1)^2 < 7x - 3$.
पहली असमिका के लिए:
$5x - 1 < x^2 + 2x + 1$
$x^2 - 3x + 2 > 0$
$(x - 1)(x - 2) > 0$
इसका अर्थ है $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$.
दूसरी असमिका के लिए:
$(x + 1)^2 < 7x - 3$
$x^2 + 2x + 1 < 7x - 3$
$x^2 - 5x + 4 < 0$
$(x - 1)(x - 4) < 0$
इसका अर्थ है $x \in (1, 4)$.
दोनों अंतरालों का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$x \in ((-\infty, 1) \cup (2, \infty)) \cap (1, 4) = (2, 4)$.
अंतराल $(2, 4)$ में केवल एक पूर्णांक $x = 3$ है।
अतः,$x$ का केवल $1$ पूर्णांक मान संभव है।

(A) दी गई असमिका: $\sqrt{9x^2+6x+1} < (2-x)$
चूंकि $9x^2+6x+1 = (3x+1)^2$,व्यंजक $|3x+1| < 2-x$ बन जाता है।
वर्गमूल परिभाषित होने के लिए $2-x > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x < 2$।
अब,$|3x+1| < 2-x$ को हल करने पर:
$-(2-x) < 3x+1 < 2-x$
स्थिति $1$: $3x+1 < 2-x$ $\Rightarrow 4x < 1$ $\Rightarrow x < \frac{1}{4}$
स्थिति $2$: $3x+1 > -(2-x)$ $\Rightarrow 3x+1 > -2+x$ $\Rightarrow 2x > -3$ $\Rightarrow x > -\frac{3}{2}$
अतः,$x \in \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{4}\right)$।

(C) चतुर्भुज $x = 0$ ($y$-अक्ष),$y = 0$ ($x$-अक्ष),$2x + y = 2$ और $x + y = 5$ रेखाओं द्वारा घिरा हुआ है।
एक बिंदु $(x, y)$ के लिए जो चतुर्भुज के अंदर हो और जिसके निर्देशांक प्राकृतिक संख्याएँ $(x, y \in \{1, 2, 3, \dots\})$ हों,उसे निम्नलिखित असमिकाओं को संतुष्ट करना चाहिए:
$1) \ x > 0$
$2) \ y > 0$
$3) \ 2x + y > 2$
$4) \ x + y < 5$
$x$ के पूर्णांक मानों के लिए जाँच:
यदि $x = 1$: $2(1) + y > 2 \implies 2 + y > 2 \implies y > 0$. साथ ही $1 + y < 5 \implies y < 4$. अतः $y \in \{1, 2, 3\}$. बिंदु: $(1, 1), (1, 2), (1, 3)$.
यदि $x = 2$: $2(2) + y > 2 \implies 4 + y > 2 \implies y > -2$. साथ ही $2 + y < 5 \implies y < 3$. अतः $y \in \{1, 2\}$. बिंदु: $(2, 1), (2, 2)$.
यदि $x = 3$: $2(3) + y > 2 \implies 6 + y > 2 \implies y > -4$. साथ ही $3 + y < 5 \implies y < 2$. अतः $y = 1$. बिंदु: $(3, 1)$.
यदि $x \ge 4$: प्राकृतिक संख्या $y \ge 1$ के लिए $x + y < 5$ संभव नहीं है।
ऐसे कुल बिंदुओं की संख्या $3 + 2 + 1 = 6$ है।

(C) दिया गया है $S = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 7x + 6 \leq 0 \text{ और } x^2 - 3x > 0\}$ ...$(i)$
सबसे पहले,असमिका $x^2 - 7x + 6 \leq 0$ को हल करें:
$(x - 6)(x - 1) \leq 0$
इसका अर्थ है $x \in [1, 6]$.
इसके बाद,असमिका $x^2 - 3x > 0$ को हल करें:
$x(x - 3) > 0$
इसका अर्थ है $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.
अब,इन दो अंतरालों का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें:
$S = \{x \in \mathbb{Z} : x \in [1, 6] \cap ((-\infty, 0) \cup (3, \infty))\}$
$S = \{x \in \mathbb{Z} : x \in (3, 6] \cap \mathbb{Z}\}$
$S = \{4, 5, 6\}$.
अतः समुच्चय $S$ में अवयवों की संख्या $3$ है.

(D) दिया गया समीकरण: $|x|+|y|=|x-3|+|y-2|$.
स्थिति $I$: $0 \leq x < 3$ और $0 \leq y < 2$.
इस क्षेत्र में,$|x|=x$,$|y|=y$,$|x-3|=-(x-3)$,और $|y-2|=-(y-2)$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x+y = -(x-3) - (y-2)$.
$x+y = -x+3-y+2$.
$2x+2y = 5$.
$x+y = 5/2$.
स्थिति $II$: $x \geq 3$ और $y \geq 2$.
इस क्षेत्र में,$|x|=x$,$|y|=y$,$|x-3|=x-3$,और $|y-2|=y-2$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x+y = (x-3) + (y-2)$.
$x+y = x+y-5$.
$0 = -5$,जो असंभव है।
अतः,शर्त $x+y = 5/2$ केवल $0 \leq x < 3$ और $0 \leq y < 2$ के लिए सत्य है।

(A) हमारे पास असमिकाएं हैं:
$x^2-4x+3 > 0$ और $x^2-2x-8 \leq 0$
सबसे पहले,$x^2-4x+3 > 0$ को हल करें:
$(x-3)(x-1) > 0$
यह दर्शाता है कि $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$।
इसके बाद,$x^2-2x-8 \leq 0$ को हल करें:
$(x-4)(x+2) \leq 0$
यह दर्शाता है कि $x \in [-2, 4]$।
अंत में,दोनों समुच्चयों का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें:
$x \in ((-\infty, 1) \cup (3, \infty)) \cap [-2, 4]$
$x \in [-2, 1) \cup (3, 4]$

(C) दी गई असमिका $\frac{\sqrt{12-x-x^2}}{x+10} \leq \frac{\sqrt{12-x-x^2}}{2x+9}$ है।
सबसे पहले,वर्गमूल को परिभाषित होने के लिए $12-x-x^2 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x^2+x-12 \leq 0$,अतः $(x+4)(x-3) \leq 0$,जिससे $x \in [-4, 3]$ प्राप्त होता है।
साथ ही,हर शून्य नहीं होना चाहिए: $x \neq -10$ और $x \neq -4.5$।
स्थिति $1$: यदि $12-x-x^2 = 0$,तो $x = -4$ या $x = 3$। दोनों असमिका $0 \leq 0$ को संतुष्ट करते हैं।
स्थिति $2$: यदि $12-x-x^2 > 0$,तो हम $\sqrt{12-x-x^2}$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\frac{1}{x+10} \leq \frac{1}{2x+9} \implies \frac{x-1}{(x+10)(2x+9)} \leq 0$।
$x \in (-4, 3)$ के लिए चिह्न योजना का उपयोग करने पर,हमें $(-4, 1]$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$ और $2$ को मिलाने पर,$x \in [-4, 1] \cup \{3\}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $m = n+4$ है। चूँकि $n \in \mathbb{N}$,$n \geq 1$,इसलिए $m \geq 5$ है।
दी गई असमिका $2^m + 12 \geq km$ हो जाती है,जिसका अर्थ है कि सभी $m \geq 5$ के लिए $k \leq \frac{2^m + 12}{m}$ है।
सबसे बड़े पूर्णांक $k$ को खोजने के लिए,हमें $m \in \{5, 6, 7, \dots\}$ के लिए फलन $f(m) = \frac{2^m + 12}{m}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना होगा।
$m = 5$ के लिए: $f(5) = \frac{2^5 + 12}{5} = \frac{32 + 12}{5} = \frac{44}{5} = 8.8$ है।
$m = 6$ के लिए: $f(6) = \frac{2^6 + 12}{6} = \frac{64 + 12}{6} = \frac{76}{6} \approx 12.66$ है।
$m = 7$ के लिए: $f(7) = \frac{2^7 + 12}{7} = \frac{128 + 12}{7} = \frac{140}{7} = 20$ है।
जैसे-जैसे $m$ बढ़ता है,$m \geq 5$ के लिए $f(m)$ का मान बढ़ता है।
अतः,न्यूनतम मान $m = 5$ पर $8.8$ है।
चूँकि $k \leq f(m)$ सभी $m$ के लिए है,$k$ को $f(m)$ के न्यूनतम मान से छोटा या उसके बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$k \leq 8.8$ है।
सबसे बड़ा पूर्णांक $k = 8$ है।

(B) माना $L_1(x, y) = x+2y-5$ और $L_2(x, y) = 3x-4y+5$ है। मूलबिंदु $(0,0)$ के लिए $L_1(0,0) = -5$ और $L_2(0,0) = 5$ प्राप्त होता है। चूँकि इनके चिह्न विपरीत हैं,मूलबिंदु रेखाओं के बीच स्थित है।
बिंदु $P = ((\alpha-1)^2, \alpha)$ के उसी क्षेत्र में होने के लिए $L_1(P) < 0$ और $L_2(P) > 0$ होना चाहिए।
शर्त $1$: $(\alpha-1)^2 + 2\alpha - 5 < 0$ $\Rightarrow \alpha^2 - 4 < 0$ $\Rightarrow -2 < \alpha < 2$.
शर्त $2$: $3(\alpha-1)^2 - 4\alpha + 5 > 0$ $\Rightarrow 3\alpha^2 - 10\alpha + 8 > 0$ $\Rightarrow \alpha < \frac{4}{3}$ या $\alpha > 2$.
दोनों शर्तों को मिलाने पर: $\alpha \in (-2, \frac{4}{3})$.
चूँकि $\alpha \in \mathbb{Z}$,संभावित मान $\alpha \in \{-1, 0, 1\}$ हैं।
अतः,कुल $3$ बिंदु हैं।

(D) दी गई असमिका $\sqrt{x+2} > \sqrt{8-x^2}$ है।
सबसे पहले,फलन का प्रांत निर्धारित करते हैं:
$x+2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$ $(i)$
$8-x^2 \geq 0$ $\Rightarrow x^2 \leq 8$ $\Rightarrow x \in [-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}]$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को मिलाने पर,प्रांत $x \in [-2, 2\sqrt{2}]$ प्राप्त होता है।
अब,असमिका के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x+2 > 8-x^2$
$x^2 + x - 6 > 0$
$(x+3)(x-2) > 0$
यह असमिका $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$ $(iii)$ के लिए सत्य है।
प्रांत $[-2, 2\sqrt{2}]$ और हल $(iii)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$x \in (2, 2\sqrt{2}]$.
इस अंतराल में $x$ का अधिकतम मान $2\sqrt{2}$ है।

(B) दी गई असमिका: $3^x + 3^{1-x} - 4 < 0$ है।
$3^{1-x} = \frac{3}{3^x}$ प्रतिस्थापित करने पर: $3^x + \frac{3}{3^x} - 4 < 0$ प्राप्त होता है।
पूरी असमिका को $3^x$ से गुणा करने पर (चूंकि $3^x > 0$ सभी $x \in R$ के लिए): $(3^x)^2 - 4(3^x) + 3 < 0$।
माना $y = 3^x$ है। असमिका $y^2 - 4y + 3 < 0$ बन जाती है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(y - 1)(y - 3) < 0$।
इसका अर्थ है कि $1 < y < 3$ है।
$y = 3^x$ वापस रखने पर,हमें $1 < 3^x < 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $3^0 = 1$ और $3^1 = 3$,इसलिए $3^0 < 3^x < 3^1$ है।
घातांकों की तुलना करने पर,$0 < x < 1$ प्राप्त होता है।
अतः,हल समुच्चय $(0, 1)$ है।

(A) दी गई असमिका $|x-1|+|x+1| < 4$ है।
हम फलन $f(x) = |x-1|+|x+1|$ को परिभाषित करते हैं।
स्थिति $1$: $x < -1$. तब $f(x) = -(x-1) - (x+1) = -2x$.
$-2x < 4 \Rightarrow x > -2$. अतः,$x \in (-2, -1)$.
स्थिति $2$: $-1 \leq x \leq 1$. तब $f(x) = -(x-1) + (x+1) = 2$.
$2 < 4$ सभी $x \in [-1, 1]$ के लिए सत्य है।
स्थिति $3$: $x > 1$. तब $f(x) = (x-1) + (x+1) = 2x$.
$2x < 4 \Rightarrow x < 2$. अतः,$x \in (1, 2)$.
सभी स्थितियों को मिलाने पर,हल समुच्चय $(-2, -1) \cup [-1, 1] \cup (1, 2) = (-2, 2)$ प्राप्त होता है।

(C) वर्गमूल को परिभाषित करने के लिए,हमारे पास $x^2+x-2 \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $(x+2)(x-1) \ge 0$। अतः,$x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$।
स्थिति $1$: यदि $1-x < 0$,अर्थात $x > 1$,तो असमिका $\sqrt{x^2+x-2} > 1-x$ हमेशा सत्य है क्योंकि बायां पक्ष गैर-ऋणात्मक है और दायां पक्ष ऋणात्मक है।
स्थिति $2$: यदि $1-x \ge 0$,अर्थात $x \le 1$,तो दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2+x-2 > (1-x)^2$।
$x^2+x-2 > 1-2x+x^2$।
$x-2 > 1-2x$ $\Rightarrow 3x > 3$ $\Rightarrow x > 1$।
इसे शर्त $x \le 1$ के साथ जोड़ने पर,इस स्थिति से कोई हल नहीं मिलता है।
हालाँकि,डोमेन $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$ को देखते हुए,$x > 1$ के लिए असमिका सत्य है।
$x \le -2$ की जाँच करने पर: यदि $x = -2$,तो $\sqrt{4-2-2} = 0$ और $1-(-2) = 3$। $0 > 3$ असत्य है।
अतः,हल समुच्चय $(1, \infty)$ है।

(D) मान लीजिए कि लड़की को मिलने वाले सेबों की संख्या $g$ है और लड़के को मिलने वाले सेबों की संख्या $b$ है। हमारे पास $g + b = 11$ है।
पिजनहोल सिद्धांत के अनुसार,यदि हम $11$ वस्तुओं को $2$ समूहों में वितरित करते हैं,तो कम से कम एक समूह में कम से कम $\lceil 11/2 \rceil = 6$ वस्तुएं होनी चाहिए।
यदि $g < 4$ और $b < 8$ है,तो $g \leq 3$ और $b \leq 7$ होगा। इनका योग $g + b \leq 10$ होता है,जो $g + b = 11$ का खंडन करता है।
इसलिए,यह आवश्यक है कि $g \geq 4$ या $b \geq 8$ हो।

(B) हम जानते हैं कि $|A + B| = |A| + |B|$ तभी होता है जब $AB \geq 0$ हो।
दिया गया समीकरण $|x^2 + x - 9| = |x| + |x^2 - 9|$ है।
माना $A = x$ और $B = x^2 - 9$ है। तब $A + B = x^2 + x - 9$ होगा।
समानता के लिए शर्त $x(x^2 - 9) \geq 0$ है।
गुणनखंड करने पर,हमें $x(x - 3)(x + 3) \geq 0$ प्राप्त होता है।
वेवी कर्व विधि (sign scheme) का उपयोग करने पर,हल समुच्चय $x \in [-3, 0] \cup [3, \infty)$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए रूप $[\alpha, \beta] \cup [\gamma, \infty)$ से तुलना करने पर,$\alpha = -3$,$\beta = 0$,और $\gamma = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) = (-3)^2 + 0^2 + 3^2 = 9 + 0 + 9 = 18$ होगा।