Linear inequalities for Single Line Questions in Hindi

(B) दी गई असमिका: $5x - 3 < 3x + 1$
दोनों पक्षों में $3$ जोड़ने पर: $5x < 3x + 4$
दोनों पक्षों से $3x$ घटाने पर: $2x < 4$
$2$ से भाग देने पर: $x < 2$
चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए हल समुच्चय $2$ से छोटी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।
अतः,हल समुच्चय $x \in (-\infty, 2)$ है।

(A) दी गई असमिका: $4x + 3 < 6x + 7$
दोनों पक्षों से $6x$ घटाने पर: $4x - 6x + 3 < 7$
$-2x + 3 < 7$
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर: $-2x < 4$
$-2$ से भाग देने पर (याद रखें कि ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है): $x > -2$
अतः,हल समुच्चय $(-2, \infty)$ है।

(N/A) हमारे पास $\frac{5-2x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$ है।
हर को हटाने के लिए दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करने पर:
$2(5-2x) \leq x - 30$
$10 - 4x \leq x - 30$
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर:
$10 - 5x \leq -30$
दोनों पक्षों से $10$ घटाने पर:
$-5x \leq -40$
$-5$ से भाग देने पर (ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है):
$x \geq 8$
अतः,हल समुच्चय $x \in [8, \infty)$ है।

(N/A) दी गई असमिका: $7x + 3 < 5x + 9$
दोनों पक्षों से $5x$ घटाने पर: $2x + 3 < 9$
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर: $2x < 6$
$2$ से भाग देने पर: $x < 3$
हल समुच्चय $3$ से छोटी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। संख्या रेखा पर इसका आलेख $3$ से शुरू होने वाली एक किरण है (जहाँ $3$ पर एक खुला वृत्त है जो दर्शाता है कि $3$ सम्मिलित नहीं है) जो बाईं ओर ऋणात्मक अनंत की ओर जाती है।

(N/A) हमारे पास $\frac{3x-4}{2} \geq \frac{x+1}{4}-1$ है।
हर को हटाने के लिए दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर:
$2(3x-4) \geq (x+1) - 4$
$6x - 8 \geq x - 3$
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर:
$5x - 8 \geq -3$
दोनों पक्षों में $8$ जोड़ने पर:
$5x \geq 5$
$5$ से भाग देने पर:
$x \geq 1$.
हल समुच्चय $[1, \infty)$ है। आलेख में $1$ पर एक ठोस वृत्त बनाकर दाईं ओर एक किरण खींची जाती है।

(A) दी गई असमिका $-12x > 30$ है।
दोनों पक्षों को $-12$ से विभाजित करने पर,असमिका का चिह्न बदल जाता है:
$x < \frac{30}{-12}$
$x < -2.5$
$-2.5$ से छोटे पूर्णांक $....., -5, -4, -3$ हैं।
अतः,हल समुच्चय $\{....., -5, -4, -3\}$ है।

(A) दी गई असमिका $3x + 8 > 2$ है।
दोनों पक्षों से $8$ घटाने पर:
$3x + 8 - 8 > 2 - 8$
$3x > -6$
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3x}{3} > \frac{-6}{3}$
$x > -2$
जब $x$ एक वास्तविक संख्या है,तो हल समुच्चय $-2$ से बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।
अतः,हल समुच्चय $(-2, \infty)$ है।

(A) दी गई असमिका: $3(2-x) \geq 2(1-x)$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$6 - 3x \geq 2 - 2x$
दोनों पक्षों में $3x$ जोड़ने पर:
$6 \geq 2 + x$
दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर:
$4 \geq x$ या $x \leq 4$
अतः,दी गई असमिका का हल समुच्चय $(-\infty, 4]$ है।

(N/A) $3x + 2y = 6$ का आलेख चित्र में एक बिंदुदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है।
यह रेखा $xy$-समतल को दो अर्ध-समतलों $I$ और $II$ में विभाजित करती है। हम रेखा पर स्थित न होने वाला एक बिंदु चुनते हैं,जैसे $(0, 0)$,जो अर्ध-समतल $I$ में स्थित है,और यह जांचते हैं कि क्या यह दी गई असमिका को संतुष्ट करता है:
$3(0) + 2(0) > 6$
$0 > 6$,जो कि असत्य है।
अतः,अर्ध-समतल $I$ हल क्षेत्र नहीं है। चूँकि असमिका सख्त $(>)$ है,इसलिए रेखा पर स्थित बिंदु इसमें शामिल नहीं हैं। अतः,छायांकित अर्ध-समतल $II$ असमिका का हल क्षेत्र है।

(N/A) सबसे पहले,संबंधित समीकरण $3x - 6 = 0$ पर विचार करें,जो $x = 2$ में सरल हो जाता है।
कार्तीय तल में रेखा $x = 2$ खींचें। चूंकि असमिका $\geq$ है,इसलिए रेखा $x = 2$ समाधान क्षेत्र में शामिल है (एक ठोस रेखा द्वारा दर्शाया गया है)।
समाधान क्षेत्र निर्धारित करने के लिए,रेखा पर न स्थित एक बिंदु,जैसे $(0, 0)$ का परीक्षण करें।
असमिका $3x - 6 \geq 0$ में $(0, 0)$ प्रतिस्थापित करने पर $3(0) - 6 \geq 0$ प्राप्त होता है,जो $-6 \geq 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $-6 \geq 0$ असत्य है,इसलिए मूल बिंदु $(0, 0)$ समाधान क्षेत्र में नहीं है।
अतः,समाधान क्षेत्र रेखा $x = 2$ के दाईं ओर का अर्ध-तल है,जिसमें स्वयं रेखा भी शामिल है।

(N/A) $y = 2$ का आलेख चित्र में दर्शाया गया है।
आइए निचले अर्ध-तल $I$ में एक बिंदु $(0, 0)$ चुनें और दी गई असमिका में $y = 0$ रखें:
$0 < 2$,जो कि सत्य है।
अतः,हल क्षेत्र रेखा $y = 2$ के नीचे का छायांकित भाग है। इसलिए,रेखा के नीचे का प्रत्येक बिंदु (रेखा पर स्थित सभी बिंदुओं को छोड़कर,जैसा कि बिंदुदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है) दी गई असमिका का हल निर्धारित करता है।

(N/A) नीचे दी गई आकृति में $x+y=5$ का आलेखीय निरूपण एक बिंदुदार रेखा के रूप में दिया गया है।
यह रेखा $xy$-तल को दो अर्ध-तलों,$I$ और $II$ में विभाजित करती है।
एक ऐसा बिंदु (जो रेखा पर न हो) चुनें,जो किसी एक अर्ध-तल में स्थित हो,ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि वह बिंदु दी गई असमिका को संतुष्ट करता है या नहीं।
हम बिंदु $(0,0)$ का चयन करते हैं।
यह देखा गया है कि,
$0+0 < 5$ या $0 < 5$,जो सत्य है।
इसलिए,अर्ध-तल $I$ दी गई असमिका का हल क्षेत्र है।
साथ ही,यह स्पष्ट है कि रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु दी गई सख्त असमिका को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,दी गई असमिका का हल क्षेत्र रेखा पर स्थित बिंदुओं को छोड़कर छायांकित अर्ध-तल $I$ है।

(N/A) रेखा $2x + y = 6$ का आलेखीय निरूपण चित्र में दर्शाया गया है।
यह रेखा $xy$-तल को दो अर्ध-तलों,$I$ और $II$ में विभाजित करती है।
एक ऐसा बिंदु (जो रेखा पर न हो) चुनें,जो किसी एक अर्ध-तल में स्थित हो,ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि वह बिंदु दी गई असमिका को संतुष्ट करता है या नहीं।
हम बिंदु $(0, 0)$ का चयन करते हैं।
यह देखा गया है कि,
$2(0) + 0 \geq 6$ या $0 \geq 6$,जो कि असत्य है।
इसलिए,अर्ध-तल $I$ दी गई असमिका का हल क्षेत्र नहीं है। साथ ही,यह स्पष्ट है कि रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु दी गई असमिका को संतुष्ट करता है।
अतः,दी गई असमिका का हल क्षेत्र रेखा पर स्थित बिंदुओं सहित छायांकित अर्ध-तल $II$ है।

(N/A) असमिका $3x + 4y \leq 12$ को आलेखीय रूप से हल करने के लिए,हम पहले संबंधित समीकरण $3x + 4y = 12$ पर विचार करते हैं।
रेखा $3x + 4y = 12$ के अंतःखंड ज्ञात कीजिए:
यदि $x = 0$,तो $4y = 12 \implies y = 3$। अतः,बिंदु $(0, 3)$ है।
यदि $y = 0$,तो $3x = 12 \implies x = 4$। अतः,बिंदु $(4, 0)$ है।
$(0, 3)$ और $(4, 0)$ से गुजरने वाली रेखा खींचिए। चूँकि असमिका $\leq$ है,रेखा ठोस (solid) होगी।
हल क्षेत्र निर्धारित करने के लिए,असमिका $3x + 4y \leq 12$ में मूल बिंदु $(0, 0)$ का परीक्षण कीजिए:
$3(0) + 4(0) = 0 \leq 12$,जो सत्य है।
अतः,हल क्षेत्र वह अर्ध-तल है जिसमें मूल बिंदु $(0, 0)$ स्थित है,जो रेखा $3x + 4y = 12$ के नीचे का छायांकित भाग है।

रेखा $y+8=2x$ का आलेखीय निरूपण चित्र में दर्शाया गया है।
यह रेखा $xy$-तल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करती है।
हल क्षेत्र निर्धारित करने के लिए,हम रेखा पर स्थित न होने वाला एक परीक्षण बिंदु चुनते हैं। आइए बिंदु $(0,0)$ चुनें।
असमिका $y+8 \geq 2x$ में $(0,0)$ रखने पर:
$0+8 \geq 2(0)$
$8 \geq 0$
चूंकि $8 \geq 0$ एक सत्य कथन है,इसलिए हल क्षेत्र वह अर्ध-तल है जिसमें बिंदु $(0,0)$ स्थित है।
चूंकि असमिका $\geq$ है,इसलिए रेखा $y+8=2x$ भी हल क्षेत्र में शामिल है। चित्र में छायांकित भाग हल समुच्चय को दर्शाता है।

(N/A) रेखा $x-y=2$ का आलेखीय निरूपण चित्र में दर्शाया गया है।
यह रेखा $xy$-तल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करती है।
हल क्षेत्र निर्धारित करने के लिए,हम रेखा पर स्थित न होने वाला एक बिंदु चुनते हैं,जैसे $(0,0)$।
असमिका $x-y \leq 2$ में $(0,0)$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$0-0 \leq 2 \implies 0 \leq 2$,जो कि एक सत्य कथन है।
चूंकि असमिका बिंदु $(0,0)$ के लिए सत्य है,इसलिए हल क्षेत्र वह अर्ध-तल है जिसमें मूल बिंदु $(0,0)$ स्थित है।
चूंकि असमिका $\leq$ है,इसलिए रेखा $x-y=2$ हल क्षेत्र में सम्मिलित है (जिसे एक ठोस रेखा द्वारा दर्शाया गया है)।
अतः,हल क्षेत्र चित्र में दर्शाया गया छायांकित भाग है।

(N/A) $2x - 3y = 6$ का आलेखीय निरूपण नीचे दी गई आकृति में एक बिंदुदार रेखा के रूप में दिया गया है।
यह रेखा $xy$-तल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करती है।
यह निर्धारित करने के लिए कि कोई बिंदु दी गई असमिका को संतुष्ट करता है या नहीं,एक ऐसा बिंदु (जो रेखा पर न हो) चुनें जो किसी एक अर्ध-तल में स्थित हो।
हम बिंदु $(0, 0)$ का चयन करते हैं।
यह देखा गया है कि,
$2(0) - 3(0) > 6$ या $0 > 6$,जो असत्य है।
इसलिए,ऊपरी अर्ध-तल दी गई असमिका का हल क्षेत्र नहीं है। साथ ही,यह स्पष्ट है कि रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु दी गई असमिका को संतुष्ट नहीं करता है क्योंकि असमिका सख्त $(>)$ है।
अतः,दी गई असमिका का हल क्षेत्र वह अर्ध-तल है जिसमें बिंदु $(0, 0)$ शामिल नहीं है और रेखा भी इसमें सम्मिलित नहीं है।
हल क्षेत्र को आकृति में छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।

(N/A) रेखा $-3x + 2y = -6$ का आलेखीय निरूपण चित्र में दर्शाया गया है।
यह रेखा $xy$-तल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करती है।
हल क्षेत्र निर्धारित करने के लिए,हम रेखा पर स्थित न होने वाला एक बिंदु चुनते हैं,जैसे $(0, 0)$।
असमिका में $(0, 0)$ रखने पर:
$-3(0) + 2(0) \geq -6$
$0 \geq -6$,जो कि एक सत्य कथन है।
चूंकि बिंदु $(0, 0)$ असमिका को संतुष्ट करता है,इसलिए हल क्षेत्र वह अर्ध-तल है जिसमें मूल बिंदु $(0, 0)$ स्थित है।
चूंकि असमिका $\geq$ है,इसलिए रेखा स्वयं भी हल क्षेत्र में शामिल है। चित्र में छायांकित क्षेत्र हल समुच्चय को दर्शाता है।

(N/A) रेखा $3y - 5x = 30$ का आलेख एक बिंदुंकित रेखा (dotted line) के रूप में खींचा जाता है क्योंकि असमिका सख्त $( < )$ है।
यह रेखा $xy$-तल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करती है।
हल क्षेत्र निर्धारित करने के लिए,हम रेखा पर स्थित न होने वाला एक बिंदु,जैसे मूल बिंदु $(0, 0)$ का परीक्षण करते हैं।
असमिका में $(0, 0)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(0) - 5(0) < 30$
$0 < 30$
चूंकि $0 < 30$ एक सत्य कथन है,इसलिए मूल बिंदु $(0, 0)$ वाला अर्ध-तल ही हल क्षेत्र है।
अतः,हल क्षेत्र वह अर्ध-तल है जिसमें मूल बिंदु शामिल है,और इसमें रेखा $3y - 5x = 30$ स्वयं शामिल नहीं है।

(N/A) $y = -2$ का आलेखीय निरूपण चित्र में एक बिंदुंकित रेखा के रूप में दिया गया है। यह रेखा $xy$-तल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करती है।
किसी एक अर्ध-तल में स्थित एक बिंदु (जो रेखा पर न हो) चुनिए,ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि वह बिंदु दी गई असमिका को संतुष्ट करता है या नहीं।
हम बिंदु $(0, 0)$ चुनते हैं।
यह देखा गया है कि $0 < -2$,जो कि असत्य है।
साथ ही,यह स्पष्ट है कि रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु दी गई असमिका को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,रेखा $y = -2$ के नीचे के सभी बिंदु (रेखा पर स्थित बिंदुओं को छोड़कर) दी गई असमिका का हल निर्धारित करते हैं।
हल क्षेत्र को चित्र में छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।

$x = -3$ का आलेखीय निरूपण आकृति में एक बिंदुंकित रेखा के रूप में दिया गया है। यह रेखा $xy$-तल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करती है।
एक बिंदु (जो रेखा पर न हो) चुनिए,जो किसी एक अर्ध-तल में स्थित हो,यह निर्धारित करने के लिए कि क्या वह बिंदु दी गई असमिका को संतुष्ट करता है या नहीं।
हम बिंदु $(0, 0)$ चुनते हैं।
यह देखा गया है कि $0 > -3$,जो सत्य है।
साथ ही,यह स्पष्ट है कि रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु दी गई असमिका को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,रेखा $x = -3$ के दाईं ओर के सभी बिंदु (रेखा पर स्थित बिंदुओं को छोड़कर) दी गई असमिका का हल निर्धारित करते हैं।
हल क्षेत्र को आकृति में छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।

(N/A) सबसे पहले,हम रेखा $8x + 3y = 100$ का आलेख खींचते हैं।
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,यदि $x = 0$ है,तो $3y = 100 \implies y = 33.33$। यदि $y = 0$ है,तो $8x = 100 \implies x = 12.5$।
असमिका $8x + 3y \leq 100$ रेखा के नीचे के छायांकित क्षेत्र को दर्शाती है,जिसमें रेखा $8x + 3y = 100$ पर स्थित बिंदु भी शामिल हैं।
चूंकि $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है,इसलिए हल प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) तक सीमित है।
अतः,प्रथम चतुर्थांश में छायांकित क्षेत्र का प्रत्येक बिंदु,जिसमें रेखा और अक्षों पर स्थित बिंदु भी शामिल हैं,दी गई असमिकाओं के निकाय का हल है।

(A) हमें संयुक्त असमिका दी गई है: $-8 \leq 5x - 3 < 7$।
सबसे पहले,असमिका के सभी भागों में $3$ जोड़ने पर:
$-8 + 3 \leq 5x - 3 + 3 < 7 + 3$
$-5 \leq 5x < 10$।
अब,सभी भागों को $5$ से विभाजित करने पर:
$\frac{-5}{5} \leq \frac{5x}{5} < \frac{10}{5}$
$-1 \leq x < 2$।
अतः,अंतराल संकेतन में हल $[-1, 2)$ है।

(A) दी गई असमिका: $2 \leq 3x - 4 \leq 5$।
असमिका के सभी भागों में $4$ जोड़ने पर:
$2 + 4 \leq 3x - 4 + 4 \leq 5 + 4$
यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$6 \leq 3x \leq 9$
सभी भागों को $3$ से विभाजित करने पर:
$\frac{6}{3} \leq \frac{3x}{3} \leq \frac{9}{3}$
परिणामस्वरूप:
$2 \leq x \leq 3$
अतः,दी गई असमिका का हल समुच्चय $[2, 3]$ है।

(A) दी गई असमानता: $-12 < 4 - \frac{3x}{-5} \leq 2$
पद को सरल करने पर: $-12 < 4 + \frac{3x}{5} \leq 2$
सभी भागों से $4$ घटाने पर: $-12 - 4 < \frac{3x}{5} \leq 2 - 4$
$-16 < \frac{3x}{5} \leq -2$
सभी भागों को $5$ से गुणा करने पर: $-80 < 3x \leq -10$
सभी भागों को $3$ से विभाजित करने पर: $-\frac{80}{3} < x \leq -\frac{10}{3}$
अतः,हल समुच्चय $\left(\frac{-80}{3}, \frac{-10}{3}\right]$ है।

(N/A) सबसे पहले,पहली असमिका को हल करें:
$5(2x - 7) - 3(2x + 3) \leq 0$
$10x - 35 - 6x - 9 \leq 0$
$4x - 44 \leq 0$
$4x \leq 44$
$x \leq 11$ ..... $(1)$
इसके बाद,दूसरी असमिका को हल करें:
$2x + 19 \leq 6x + 47$
$19 - 47 \leq 6x - 2x$
$-28 \leq 4x$
$-7 \leq x$ ..... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को मिलाने पर,हल समुच्चय $[-7, 11]$ प्राप्त होता है।
संख्या रेखा पर समाधान को $-7$ और $11$ के बीच के अंतराल को छायांकित करके दर्शाया जाता है,जिसमें अंतिम बिंदु भी शामिल हैं।

(A) दी गई असमिका: $\frac{5-3x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$.
हर को हटाने के लिए पूरी असमिका को $6$ से गुणा करने पर:
$2(5-3x) \leq x - 30$.
पदों का विस्तार करने पर:
$10 - 6x \leq x - 30$.
$x$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$10 + 30 \leq x + 6x$.
$40 \leq 7x$.
$7$ से भाग देने पर:
$x \geq \frac{40}{7}$.
अतः,हल समुच्चय $x \in [\frac{40}{7}, \infty)$ है।

(B) चरण $1$: संगत समीकरण $4x - y = 0$ पर विचार करें,जो $y = 4x$ के रूप में सरल होता है।
चरण $2$: चूंकि असमिका सख्त $(>)$ है,इसलिए $y = 4x$ रेखा को एक खंडित रेखा (dashed line) के रूप में खींचें।
चरण $3$: रेखा पर स्थित न होने वाला एक बिंदु चुनें,जैसे $(1, 0)$।
चरण $4$: $(1, 0)$ को असमिका में प्रतिस्थापित करें: $4(1) - 0 = 4 > 0$। यह सत्य है।
चरण $5$: चूंकि बिंदु $(1, 0)$ असमिका को संतुष्ट करता है,इसलिए हल क्षेत्र $y = 4x$ रेखा के नीचे का अर्ध-तल है।

(N/A) चरण $1$: संगत समीकरण $5x + 2y = 10$ पर विचार करें।
चरण $2$: रेखा के अंतःखंड ज्ञात करें। यदि $x = 0$,तो $2y = 10$,अतः $y = 5$। बिंदु $(0, 5)$ है। यदि $y = 0$,तो $5x = 10$,अतः $x = 2$। बिंदु $(2, 0)$ है।
चरण $3$: $(0, 5)$ और $(2, 0)$ से गुजरने वाली रेखा खींचें। चूंकि असमिका $\leq$ है,इसलिए रेखा ठोस (solid) होगी।
चरण $4$: मूल बिंदु $(0, 0)$ का परीक्षण करें। असमिका में मान रखने पर: $5(0) + 2(0) \leq 10$,जो $0 \leq 10$ है। यह सत्य है।
चरण $5$: चूंकि कथन सत्य है,इसलिए हल क्षेत्र वह अर्ध-तल है जिसमें मूल बिंदु स्थित है।

(A) दी गई असमिका $4x - 6 \geq 0$ है।
सबसे पहले,$x$ के लिए हल करें:
$4x \geq 6$
$x \geq \frac{6}{4}$
$x \geq 1.5$.
इसे द्विविमीय तल में आलेखीय रूप से दर्शाने के लिए,$x = 1.5$ रेखा खींचें,जो $(1.5, 0)$ से गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
चूंकि असमिका $\geq$ है,इसलिए एक ठोस रेखा का उपयोग करें जो यह दर्शाती है कि रेखा पर स्थित बिंदु शामिल हैं।
रेखा $x = 1.5$ के दाईं ओर के क्षेत्र को छायांकित करें क्योंकि $1.5$ से बड़ी या उसके बराबर सभी $x$ के मान असमिका को संतुष्ट करते हैं।

(A) दी गई असमिका: $5y - 3 \leq 12$.
चरण $1$: असमिका को सरल करें।
$5y \leq 12 + 3$
$5y \leq 15$
$y \leq 3$.
चरण $2$: कार्तीय तल में $y = 3$ रेखा खींचें। चूँकि असमिका $\leq$ है,इसलिए रेखा ठोस (solid) होगी।
चरण $3$: बिंदु $(0, 0)$ का परीक्षण करें। चूँकि $0 \leq 3$ सत्य है,इसलिए हल क्षेत्र वह अर्ध-तल है जिसमें मूल बिंदु स्थित है।
अतः,हल $y = 3$ रेखा के नीचे का क्षेत्र है,जिसमें रेखा स्वयं भी शामिल है।

(A) चरण $1$: संगत समीकरण $2x + y = 3$ पर विचार करें।
चरण $2$: रेखा खींचने के लिए अंतःखंड ज्ञात करें। यदि $x = 0$,तो $y = 3$। यदि $y = 0$,तो $x = 1.5$। रेखा $(0, 3)$ और $(1.5, 0)$ से होकर गुजरती है।
चरण $3$: चूंकि असमिका सख्ती से बड़ी $(>)$ है,इसलिए रेखा को एक टूटी हुई रेखा (dashed line) के रूप में खींचें,जो यह दर्शाता है कि रेखा पर स्थित बिंदु समाधान में शामिल नहीं हैं।
चरण $4$: रेखा पर स्थित न होने वाला एक बिंदु,जैसे $(0, 0)$ लें। असमिका में मान रखने पर: $2(0) + 0 > 3$,जो $0 > 3$ हो जाता है। यह कथन असत्य है।
चरण $5$: चूंकि बिंदु $(0, 0)$ असमिका को संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए समाधान क्षेत्र वह अर्ध-तल है जिसमें मूल बिंदु शामिल नहीं है। अतः,समाधान $2x + y = 3$ रेखा के ऊपर का क्षेत्र है।

(A) दी गई असमिका: $y + 8 > 2x$।
सबसे पहले,हम सीमा रेखा $y = 2x - 8$ खींचते हैं।
इस रेखा को खींचने के लिए,हम दो बिंदु ज्ञात करते हैं:
यदि $x = 0$,तो $y = -8$। बिंदु: $(0, -8)$।
यदि $y = 0$,तो $2x = 8 \implies x = 4$। बिंदु: $(4, 0)$।
चूंकि असमिका सख्त $(>)$ है,इसलिए हम रेखा को एक खंडित (dashed) रेखा के रूप में खींचते हैं।
अब,असमिका में मूल बिंदु $(0, 0)$ का परीक्षण करें: $0 + 8 > 2(0) \implies 8 > 0$,जो सत्य है।
इसलिए,हल क्षेत्र वह अर्ध-तल है जिसमें मूल बिंदु $(0, 0)$ स्थित है,जो $y = 2x - 8$ रेखा के ऊपर का क्षेत्र है।

(B) आकृति से,हम देखते हैं कि छायांकित क्षेत्र ऊर्ध्वाधर रेखाओं $x = -2$ और $x = 2$ के बीच स्थित है।
चूंकि रेखाएं $x = -2$ और $x = 2$ ठोस (बिंदुदार नहीं) हैं,इसलिए सीमा मान क्षेत्र में शामिल हैं।
अतः,असमिका $-2 \leq x \leq 2$ है।
इसे निरपेक्ष मान के रूप में $|x| \leq 2$ लिखा जा सकता है।

(D) रंगीन क्षेत्र $Y$-अक्ष के बाईं ओर स्थित है।
कार्तीय तल में,$Y$-अक्ष को समीकरण $x = 0$ द्वारा निरूपित किया जाता है।
$Y$-अक्ष के बाईं ओर के बिंदुओं के $x$-निर्देशांक $0$ से कम या उसके बराबर होते हैं।
अतः,रंगीन क्षेत्र को निरूपित करने वाली असमिका $x \leq 0$ है।

(B) दी गई असमिकाएं $x < 5$ और $x \geq 2$ हैं।
इन दोनों असमिकाओं को संयोजित करने पर,हमें $2 \leq x < 5$ प्राप्त होता है।
अंतराल संकेतन में,इसे $[2, 5)$ के रूप में दर्शाया जाता है,जहाँ वर्गाकार कोष्ठक यह दर्शाता है कि $2$ शामिल है और छोटा कोष्ठक यह दर्शाता है कि $5$ शामिल नहीं है।

(C) दी गई असमिका $x - y \geq 0$ है,जिसे $x \geq y$ या $y \leq x$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
इसका ग्राफ़ बनाने के लिए,हम पहले सीमा रेखा $x - y = 0$ पर विचार करते हैं,जो रेखा $y = x$ है।
चूंकि असमिका $\geq$ (से बड़ा या बराबर) है,इसलिए सीमा रेखा $y = x$ को हल समुच्चय में शामिल किया जाना चाहिए,इसलिए हम इसे एक ठोस रेखा के रूप में खींचते हैं।
इसके बाद,हम रेखा पर स्थित न होने वाला एक बिंदु चुनते हैं,जैसे $(1, 0)$।
असमिका में $(1, 0)$ रखने पर: $1 - 0 = 1$,और $1 \geq 0$ सत्य है।
इसलिए,बिंदु $(1, 0)$ वाला क्षेत्र हल समुच्चय है।
यह रेखा $y = x$ के नीचे का क्षेत्र है (जहाँ $x$ का मान $y$ के मान से बड़ा है)।
विकल्पों को देखने पर,विकल्प $C$ में ठोस रेखा $x - y = 0$ और उसके नीचे का छायांकित क्षेत्र दर्शाया गया है।

(B) असमिका $2x + y > 5$ का हल समुच्चय ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले सीमा रेखा $2x + y = 5$ पर विचार करते हैं।
चूंकि असमिका सख्त $(>)$ है,इसलिए रेखा $2x + y = 5$ पर स्थित बिंदु हल समुच्चय में शामिल नहीं हैं।
अब,हम असमिका में मूलबिंदु $(0, 0)$ का परीक्षण करते हैं:
$2(0) + 0 > 5 \implies 0 > 5$,जो कि असत्य है।
चूंकि मूलबिंदु असमिका को संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए हल समुच्चय वह खुला अर्धतल है जिसमें मूलबिंदु शामिल नहीं है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि कोई बिंदु $(x, y)$ असमिका $2y - 3x < 5$ द्वारा परिभाषित क्षेत्र में स्थित है या नहीं,हम बिंदु के निर्देशांकों को व्यंजक $2y - 3x$ में प्रतिस्थापित करते हैं और जांचते हैं कि क्या परिणाम $5$ से कम है।
बिंदु $O(0, 0)$ के लिए:
$2(0) - 3(0) = 0 - 0 = 0$.
चूंकि $0 < 5$,बिंदु $O(0, 0)$ क्षेत्र के अंदर स्थित है।
बिंदु $P(2, -1)$ के लिए:
$2(-1) - 3(2) = -2 - 6 = -8$.
चूंकि $-8 < 5$,बिंदु $P(2, -1)$ भी क्षेत्र के अंदर स्थित है।
अतः,दोनों बिंदु $O$ और $P$ क्षेत्र के अंदर हैं।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से बिंदु असमिका $2x - 3y > -5$ को संतुष्ट करते हैं,हम प्रत्येक बिंदु $(x, y)$ को $2x - 3y$ में प्रतिस्थापित करते हैं और जांचते हैं कि क्या परिणाम $-5$ से बड़ा है:
$1. (1, 1): 2(1) - 3(1) = 2 - 3 = -1$. चूंकि $-1 > -5$,यह बिंदु असमिका को संतुष्ट करता है।
$2. (-1, 1): 2(-1) - 3(1) = -2 - 3 = -5$. चूंकि $-5$,$-5$ से बड़ा नहीं है,इसलिए यह बिंदु इसे संतुष्ट नहीं करता है।
$3. (1, -1): 2(1) - 3(-1) = 2 + 3 = 5$. चूंकि $5 > -5$,यह बिंदु असमिका को संतुष्ट करता है।
$4. (-1, -1): 2(-1) - 3(-1) = -2 + 3 = 1$. चूंकि $1 > -5$,यह बिंदु असमिका को संतुष्ट करता है।
$5. (-2, 1): 2(-2) - 3(1) = -4 - 3 = -7$. चूंकि $-7$,$-5$ से बड़ा नहीं है,इसलिए यह बिंदु इसे संतुष्ट नहीं करता है।
$6. (2, -1): 2(2) - 3(-1) = 4 + 3 = 7$. चूंकि $7 > -5$,यह बिंदु असमिका को संतुष्ट करता है।
$7. (-1, 2): 2(-1) - 3(2) = -2 - 6 = -8$. चूंकि $-8$,$-5$ से बड़ा नहीं है,इसलिए यह बिंदु इसे संतुष्ट नहीं करता है।
$8. (-2, -1): 2(-2) - 3(-1) = -4 + 3 = -1$. चूंकि $-1 > -5$,यह बिंदु असमिका को संतुष्ट करता है।
असमिका को संतुष्ट करने वाले बिंदु $(1, 1), (1, -1), (-1, -1), (2, -1)$ और $(-2, -1)$ हैं।
अतः,कुल $5$ बिंदु हैं।

(B) चित्र से,छायांकित क्षेत्र ऊर्ध्वाधर रेखाओं $x = -3$ और $x = 3$ द्वारा परिबद्ध है।
चूंकि रेखाएं $x = -3$ और $x = 3$ ठोस (solid) रेखाएं हैं,इसलिए इन रेखाओं पर स्थित बिंदु क्षेत्र में शामिल हैं।
अतः,यह क्षेत्र उन सभी $x$ को दर्शाता है जिनके लिए $-3 \leq x \leq 3$ है।
इस असमिका को निरपेक्ष मान के रूप में $|x| \leq 3$ लिखा जा सकता है।

(A) पहली असमिका के लिए: $3x + 8 < 17$ $\Rightarrow 3x < 9$ $\Rightarrow x < 3$.
दूसरी असमिका के लिए: $2x + 8 \geq 12$ $\Rightarrow 2x \geq 4$ $\Rightarrow x \geq 2$.
अतः,कथन $(I)$ सत्य है।
सामान्य हलों का समुच्चय $x < 3$ और $x \geq 2$ का प्रतिच्छेदन है,जो अंतराल $[2, 3)$ है।
चूंकि कथन $(II)$ में समुच्चय $(2, 3)$ दिया गया है,जिसमें $2$ शामिल नहीं है,इसलिए कथन $(II)$ असत्य है।

(B) दी गई असमिका: $(8-t)^2 < t^2-3t-10$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $64-16t+t^2 < t^2-3t-10$
दोनों पक्षों से $t^2$ घटाने पर: $64-16t < -3t-10$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $64+10 < 16t-3t$
$74 < 13t$
$t > \frac{74}{13}$
अतः,हल समुच्चय $t \in (\frac{74}{13}, \infty)$ है।