Basic of Linear Inequalities Questions in Hindi

(C) क्रांतिक बिंदु $x = 2$ और $x = 3$ हैं।
स्थिति $1$: $x < 2$
$|x - 2| = -(x - 2)$ और $|x - 3| = -(x - 3)$
$-(x - 2) - (x - 3) = 7$
$-x + 2 - x + 3 = 7$
$-2x + 5 = 7$
$-2x = 2$
$x = -1$ (जो $x < 2$ को संतुष्ट करता है)
स्थिति $2$: $2 \le x < 3$
$|x - 2| = x - 2$ और $|x - 3| = -(x - 3)$
$(x - 2) - (x - 3) = 7$
$x - 2 - x + 3 = 7$
$1 = 7$ (जो असंभव है)
स्थिति $3$: $x \ge 3$
$|x - 2| = x - 2$ और $|x - 3| = x - 3$
$(x - 2) + (x - 3) = 7$
$2x - 5 = 7$
$2x = 12$
$x = 6$ (जो $x \ge 3$ को संतुष्ट करता है)
अतः,हल $x = 6$ या $x = -1$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण $x + y + z = a$ है।
यह तीन चरों वाला एक सरल रैखिक समीकरण है।
व्यंजक $x + y + z$ का मान सीधे $a$ दिया गया है।

(A) हमें असमिका $30x < 200$ दी गई है।
दोनों पक्षों को $30$ से भाग देने पर,हमें $x < \frac{200}{30}$ प्राप्त होता है।
यह $x < 6.66...$ के रूप में सरल होता है।
चूंकि $x$ एक प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $x$ के संभावित मान $1, 2, 3, 4, 5, 6$ हैं।
अतः,हल समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।

(A) दी गई असमिका $30x < 200$ है।
दोनों पक्षों को $30$ से विभाजित करने पर:
$x < \frac{200}{30}$
$x < 6.66...$
चूंकि $x$ एक पूर्णांक है,इसलिए $x$ का मान $6.66...$ से कम होना चाहिए।
अतः,हल समुच्चय $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।

(A) दी गई असमिका: $5x - 3 < 3x + 1$
दोनों पक्षों से $3x$ घटाने पर: $5x - 3x - 3 < 1$
$2x - 3 < 1$
दोनों पक्षों में $3$ जोड़ने पर: $2x < 1 + 3$
$2x < 4$
$2$ से भाग देने पर: $x < 2$
चूंकि $x$ एक पूर्णांक है और $x < 2$ है,इसलिए हलों का समुच्चय $\{..., -2, -1, 0, 1\}$ है।

(A) दी गई असमिका $24x < 100$ है।
दोनों पक्षों को $24$ से विभाजित करने पर:
$x < \frac{100}{24}$
$x < \frac{25}{6}$
$x < 4.166...$
चूंकि $x$ एक प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $x$ के मान $4.166...$ से कम धनात्मक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$x$ के संभावित मान $1, 2, 3$ और $4$ हैं।
इसलिए,हल समुच्चय $\{1, 2, 3, 4\}$ है।

(A) दी गई असमिका $24x < 100$ है।
दोनों पक्षों को $24$ से विभाजित करने पर:
$x < \frac{100}{24}$
$x < \frac{25}{6}$
$x < 4.166...$
चूँकि $x$ एक पूर्णांक है,इसलिए $x$ के मान $4.166...$ से छोटे सभी पूर्णांक हैं।
अतः,हल समुच्चय $\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ है।

(A) दी गई असमिका $-12x > 30$ है।
दोनों पक्षों को $-12$ से विभाजित करने पर,असमिका का चिह्न बदल जाता है:
$x < \frac{30}{-12}$
$x < -2.5$
चूंकि $x$ एक प्राकृतिक संख्या होनी चाहिए (अर्थात $x \in \{1, 2, 3, ...\}$),और $-2.5$ से छोटी कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है,इसलिए दी गई असमिका का कोई हल नहीं है।

(A) दी गई असमिका $5x - 3 < 7$ है।
दोनों पक्षों में $3$ जोड़ने पर:
$5x - 3 + 3 < 7 + 3$
$5x < 10$
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर:
$x < 2$
चूंकि $x$ एक पूर्णांक है,इसलिए $x < 2$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के मान $2$ से छोटे सभी पूर्णांक हैं।
अतः,हल समुच्चय $\{..., -2, -1, 0, 1\}$ है।

(A) दी गई असमिका $5x - 3 < 7$ है।
दोनों पक्षों में $3$ जोड़ने पर:
$5x - 3 + 3 < 7 + 3$
$5x < 10$
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर:
$x < 2$
चूँकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,हल समुच्चय $2$ से छोटी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।
अतः,हल समुच्चय $x \in (-\infty, 2)$ है।

(A) दी गई असमिका $3x + 8 > 2$ है।
दोनों पक्षों से $8$ घटाने पर:
$3x > 2 - 8$
$3x > -6$
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर:
$x > -2$
चूंकि $x$,$-2$ से बड़ा एक पूर्णांक है,इसलिए हल समुच्चय $\{-1, 0, 1, 2, \dots\}$ है।

(A) $4x + 3 < 5x + 7$
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर:
$4x < 5x + 4$
दोनों पक्षों से $5x$ घटाने पर:
$4x - 5x < 4$
$-x < 4$
$-1$ से गुणा करने पर और असमिका का चिह्न बदलने पर:
$x > -4$
अतः,हल समुच्चय $(-4, \infty)$ है।

(A) दी गई असमिका: $3x - 7 > 5x - 1$
दोनों पक्षों से $5x$ घटाने पर:
$3x - 5x - 7 > -1$
$-2x - 7 > -1$
दोनों पक्षों में $7$ जोड़ने पर:
$-2x > -1 + 7$
$-2x > 6$
$-2$ से भाग देने पर (ध्यान दें कि ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है):
$x < \frac{6}{-2}$
$x < -3$
अतः,हल समुच्चय $(-\infty, -3)$ है.

(A) दी गई असमिका: $3(x-1) \leq 2(x-3)$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $3x - 3 \leq 2x - 6$
दोनों पक्षों से $2x$ घटाने पर: $3x - 2x - 3 \leq -6$
सरल करने पर: $x - 3 \leq -6$
दोनों पक्षों में $3$ जोड़ने पर: $x \leq -6 + 3$
परिणाम: $x \leq -3$
अतः,हल समुच्चय $(-\infty, -3]$ है।

(A) दी गई असमिका: $x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3} < 11$
$x$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लेने पर:
$x(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}) < 11$
कोष्ठक के अंदर के पदों के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (common denominator) ज्ञात करने पर:
$x(\frac{6+3+2}{6}) < 11$
$x(\frac{11}{6}) < 11$
दोनों पक्षों को $\frac{6}{11}$ से गुणा करने पर:
$x < 11 \times \frac{6}{11}$
$x < 6$
अतः,$6$ से छोटी सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ दी गई असमिका के हल हैं।
इसलिए,हल समुच्चय $(-\infty, 6)$ है।

(A) दी गई असमिका: $\frac{x}{3} > \frac{x}{2} + 1$
दोनों पक्षों से $\frac{x}{2}$ घटाने पर:
$\frac{x}{3} - \frac{x}{2} > 1$
लघुत्तम समापवर्त्य $(6)$ लेने पर:
$\frac{2x - 3x}{6} > 1$
अंश को सरल करने पर:
$-\frac{x}{6} > 1$
दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करने पर:
$-x > 6$
$-1$ से गुणा करने पर और असमिका का चिह्न बदलने पर:
$x < -6$
अतः,हल समुच्चय $(-\infty, -6)$ है।

(A) दी गई असमिका: $\frac{3(x-2)}{5} \leq \frac{5(2-x)}{3}$
दोनों पक्षों को $15$ से गुणा करने पर:
$9(x-2) \leq 25(2-x)$
पदों का विस्तार करने पर:
$9x - 18 \leq 50 - 25x$
दोनों पक्षों में $25x$ जोड़ने पर:
$9x + 25x - 18 \leq 50$
$34x - 18 \leq 50$
दोनों पक्षों में $18$ जोड़ने पर:
$34x \leq 50 + 18$
$34x \leq 68$
$34$ से भाग देने पर:
$x \leq 2$
अतः,हल समुच्चय $(-\infty, 2]$ है।

(A) दी गई असमिका: $\frac{1}{2}\left(\frac{3x}{5}+4\right) \geq \frac{1}{3}(x-6)$
हर को हटाने के लिए दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करें:
$3\left(\frac{3x}{5}+4\right) \geq 2(x-6)$
पदों का विस्तार करें:
$\frac{9x}{5} + 12 \geq 2x - 12$
$x$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करें:
$12 + 12 \geq 2x - \frac{9x}{5}$
$24 \geq \frac{10x - 9x}{5}$
$24 \geq \frac{x}{5}$
$5$ से गुणा करें:
$120 \geq x$
अतः,सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ जहाँ $x \leq 120$ हल हैं।
हल समुच्चय $(-\infty, 120]$ है।

(A) दी गई असमिका: $2(2x + 3) - 10 < 6(x - 2)$
पदों का विस्तार करने पर: $4x + 6 - 10 < 6x - 12$
सरल करने पर: $4x - 4 < 6x - 12$
$x$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $-4 + 12 < 6x - 4x$
$8 < 2x$
$2$ से भाग देने पर: $4 < x$ या $x > 4$
अतः,$4$ से बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ इसके हल हैं।
इसलिए,हल समुच्चय $(4, \infty)$ है।

(A) दी गई असमिका: $37-(3x+5) \geq 9x-8(x-3)$
चरण $1$: असमिका के दोनों पक्षों को सरल करें।
$37-3x-5 \geq 9x-8x+24$
$32-3x \geq x+24$
चरण $2$: $x$ वाले पदों को एक तरफ और अचर पदों को दूसरी तरफ ले जाएं।
$32-24 \geq x+3x$
$8 \geq 4x$
चरण $3$: $4$ से विभाजित करें।
$2 \geq x$ या $x \leq 2$
अतः,$2$ या उससे छोटी सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ हल हैं।
इसलिए,हल समुच्चय $(-\infty, 2]$ है।

(A) दी गई असमिका: $\frac{x}{4} < \frac{5x-2}{3} - \frac{7x-3}{5}$
दाहिनी ओर के हर का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\frac{x}{4} < \frac{5(5x-2) - 3(7x-3)}{15}$
$\frac{x}{4} < \frac{25x - 10 - 21x + 9}{15}$
$\frac{x}{4} < \frac{4x - 1}{15}$
वज्र गुणन (Cross-multiplication) करने पर:
$15x < 4(4x - 1)$
$15x < 16x - 4$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4 < 16x - 15x$
$4 < x$ या $x > 4$
अतः,$4$ से बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ हल हैं।
हल समुच्चय $(4, \infty)$ है।

(A) दी गई असमिका: $\frac{(2x-1)}{3} \geq \frac{(3x-2)}{4} - \frac{(2-x)}{5}$
दाहिनी ओर के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(2x-1)}{3} \geq \frac{5(3x-2) - 4(2-x)}{20}$
पदों का विस्तार करने पर: $\frac{(2x-1)}{3} \geq \frac{15x - 10 - 8 + 4x}{20}$
सरल करने पर: $\frac{(2x-1)}{3} \geq \frac{19x - 18}{20}$
वज्र-गुणन करने पर: $20(2x - 1) \geq 3(19x - 18)$
$40x - 20 \geq 57x - 54$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $-20 + 54 \geq 57x - 40x$
$34 \geq 17x$
$17$ से भाग देने पर: $2 \geq x$ या $x \leq 2$
अतः,हल समुच्चय $(-\infty, 2]$ है।

(N/A) $3x - 2 < 2x + 1$
$\Rightarrow 3x - 2x < 1 + 2$
$\Rightarrow x < 3$
दी गई असमिका के हल का संख्या रेखा पर निरूपण नीचे दिया गया है:
(ग्राफ में संख्या रेखा पर $3$ पर एक खुला वृत्त है,और $3$ के बाईं ओर का क्षेत्र $3$ से छोटी सभी मानों को दर्शाने के लिए छायांकित है।)

(N/A) $5x - 3 \geq 3x - 5$
$\Rightarrow 5x - 3x \geq -5 + 3$
$\Rightarrow 2x \geq -2$
$\Rightarrow \frac{2x}{2} \geq \frac{-2}{2}$
$\Rightarrow x \geq -1$
संख्या रेखा पर हल $x \geq -1$ का आलेखीय निरूपण नीचे दिया गया है। बिंदु $-1$ इसमें सम्मिलित है (जिसे एक ठोस बिंदु द्वारा दर्शाया गया है),और $-1$ के दाईं ओर के सभी मानों को छायांकित किया गया है।

(N/A) $3(1-x) < 2(x+4)$
$\Rightarrow 3-3x < 2x+8$
$\Rightarrow 3-8 < 2x+3x$
$\Rightarrow -5 < 5x$
$\Rightarrow \frac{-5}{5} < \frac{5x}{5}$
$\Rightarrow -1 < x$
संख्या रेखा पर हल $x > -1$ का आलेखन $-1$ पर एक खुले वृत्त और दाईं ओर जाने वाली रेखा द्वारा दर्शाया गया है।

(N/A) दी गई असमिका: $\frac{x}{2} \geq \frac{5x-2}{3} - \frac{7x-3}{5}$
$\Rightarrow \frac{x}{2} \geq \frac{5(5x-2) - 3(7x-3)}{15}$
$\Rightarrow \frac{x}{2} \geq \frac{25x - 10 - 21x + 9}{15}$
$\Rightarrow \frac{x}{2} \geq \frac{4x - 1}{15}$
दोनों पक्षों को $30$ से गुणा करने पर:
$\Rightarrow 15x \geq 2(4x - 1)$
$\Rightarrow 15x \geq 8x - 2$
$\Rightarrow 15x - 8x \geq -2$
$\Rightarrow 7x \geq -2$
$\Rightarrow x \geq -\frac{2}{7}$
हल समुच्चय $[-\frac{2}{7}, \infty)$ है। आलेख में $-\frac{2}{7}$ पर एक ठोस बिंदु बनाकर दाईं ओर रेखा खींची जाती है।

(N/A) दी गई असमिका: $-5 \leq \frac{5-3x}{2} \leq 8$
सभी भागों को $2$ से गुणा करने पर:
$-10 \leq 5-3x \leq 16$
सभी भागों से $5$ घटाने पर:
$-15 \leq -3x \leq 11$
$-3$ से भाग देने पर (ध्यान दें कि ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका के चिह्न बदल जाते हैं):
$5 \geq x \geq -\frac{11}{3}$
असमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\frac{11}{3} \leq x \leq 5$

(N/A) असमिका $(1)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$3x - 7 < 5 + x$
$2x < 12$
$x < 6$ ..... $(3)$
असमिका $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$11 - 5x \leqslant 1$
$-5x \leqslant 1 - 11$
$-5x \leqslant -10$
$-5$ से भाग देने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है:
$x \geqslant 2$ ..... $(4)$
$(3)$ और $(4)$ को मिलाने पर,हल उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ का समुच्चय है जो $2 \leqslant x < 6$ को संतुष्ट करती हैं।

(A) दिया गया समुच्चय ${ x:x \in R, -12 < x < -10 }$ है।
चूंकि असमिका सख्त $( < )$ है,इसलिए अंतिम बिंदुओं को शामिल नहीं किया गया है।
अतः,अंतराल $(-12, -10)$ है।

(A) दी गई असमिका: $6 \leq -3(2x - 4) < 12$
पूरी असमिका को $-3$ से विभाजित करने पर। याद रखें कि ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने पर असमिका के चिह्न बदल जाते हैं:
$-2 \geq 2x - 4 > -4$
असमिका के सभी भागों में $4$ जोड़ने पर:
$-2 + 4 \geq 2x > -4 + 4$
$2 \geq 2x > 0$
$2$ से विभाजित करने पर:
$1 \geq x > 0$
अतः,हल समुच्चय $(0, 1]$ है।

(A) दी गई असमिका: $-3 \leq 4 - \frac{7x}{2} \leq 18$
सभी भागों से $4$ घटाने पर:
$-3 - 4 \leq -\frac{7x}{2} \leq 18 - 4$
$-7 \leq -\frac{7x}{2} \leq 14$
$-1$ से गुणा करने पर और असमिका के चिह्नों को पलटने पर:
$7 \geq \frac{7x}{2} \geq -14$
$7$ से भाग देने पर:
$1 \geq \frac{x}{2} \geq -2$
$2$ से गुणा करने पर:
$2 \geq x \geq -4$
अतः,हल समुच्चय $[-4, 2]$ है।

(A) दी गई असमिका: $-15 < \frac{3(x-2)}{5} \leq 0$
सभी पदों को $5$ से गुणा करने पर:
$-75 < 3(x-2) \leq 0$
सभी पदों को $3$ से विभाजित करने पर:
$-25 < x-2 \leq 0$
सभी पदों में $2$ जोड़ने पर:
$-25 + 2 < x \leq 0 + 2$
$-23 < x \leq 2$
अतः,हल समुच्चय $(-23, 2]$ है।

(A) दी गई असमिका: $7 \leq \frac{3x+11}{2} \leq 11$
सभी पदों को $2$ से गुणा करने पर:
$14 \leq 3x+11 \leq 22$
सभी पदों में से $11$ घटाने पर:
$14 - 11 \leq 3x \leq 22 - 11$
$3 \leq 3x \leq 11$
$3$ से भाग देने पर:
$1 \leq x \leq \frac{11}{3}$
अतः,हल समुच्चय $[1, 11/3]$ है।

(N/A) $5x + 1 > -24 \Rightarrow 5x > -25$
$\Rightarrow x > -5$ ..... $(1)$
$5x - 1 < 24 \Rightarrow 5x < 25$
$\Rightarrow x < 5$ ..... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि दी गई असमिकाओं के निकाय के लिए हल समुच्चय $(-5, 5)$ है। दी गई असमिकाओं के निकाय के हल को संख्या रेखा पर नीचे दिखाए अनुसार निरूपित किया जा सकता है:
(संख्या रेखा $-5$ और $5$ के बीच एक खुला अंतराल दर्शाती है,जिसमें $-5$ और $5$ पर खुले वृत्त हैं जो यह दर्शाते हैं कि ये बिंदु हल समुच्चय में शामिल नहीं हैं।)

(N/A) सबसे पहले,पहली असमिका को हल करें:
$2(x-1) < x+5$
$2x - 2 < x + 5$
$2x - x < 5 + 2$
$x < 7$ ..... $(1)$
इसके बाद,दूसरी असमिका को हल करें:
$3(x+2) > 2-x$
$3x + 6 > 2 - x$
$3x + x > 2 - 6$
$4x > -4$
$x > -1$ ..... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हल समुच्चय $x < 7$ और $x > -1$ का प्रतिच्छेदन है,जो $(-1, 7)$ है।
हल समुच्चय $(-1, 7)$ को संख्या रेखा पर $-1$ और $7$ के बीच एक खुले अंतराल के रूप में दर्शाया गया है।

(N/A) सबसे पहले,पहली असमिका को हल करें:
$3x - 7 > 2(x - 6)$
$3x - 7 > 2x - 12$
$3x - 2x > -12 + 7$
$x > -5$ ..... $(1)$
इसके बाद,दूसरी असमिका को हल करें:
$6 - x > 11 - 2x$
$-x + 2x > 11 - 6$
$x > 5$ ..... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,उभयनिष्ठ हल दोनों अंतरालों का प्रतिच्छेदन है,जो $x > 5$ है।
अतः,हल समुच्चय $(5, \infty)$ है।
संख्या रेखा पर इसका आलेखीय निरूपण नीचे दर्शाया गया है:

(N/A) दी गई असमिका: $x + 2 < -8$.
दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर: $x < -8 - 2$,जो $x < -10$ में सरल हो जाता है।
$(1)$ $x \in N$ (प्राकृत संख्याओं) के लिए: चूँकि $-10$ से छोटी कोई प्राकृत संख्या नहीं है,इसलिए हल समुच्चय $\phi$ (रिक्त समुच्चय) है।
$(2)$ $x \in Z$ (पूर्णांकों) के लिए: $-10$ से छोटे पूर्णांक $\{\ldots, -13, -12, -11\}$ हैं।
$(3)$ $x \in R$ (वास्तविक संख्याओं) के लिए: हल समुच्चय अंतराल $(-\infty, -10)$ है।

(N/A) दी गई असमिका: $-6x \leq 18$
दोनों पक्षों को $-6$ से विभाजित करने पर। याद रखें कि ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है:
$x \geq \frac{18}{-6}$
$x \geq -3$
$(1)$ यदि $x \in N$ (प्राकृत संख्याएँ: $\{1, 2, 3, \ldots\}$),तो $x \in \{1, 2, 3, \ldots\}$.
$(2)$ यदि $x \in Z$ (पूर्णांक: $\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$),तो $x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$.
$(3)$ यदि $x \in R$ (वास्तविक संख्याएँ),तो $x \in [-3, \infty)$.

(A) दी गई असमिका: $3x - 22 \geq 5$ है।
दोनों पक्षों में $22$ जोड़ने पर: $3x \geq 5 + 22$।
$3x \geq 27$।
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर: $x \geq 9$।
चूंकि $x \in R$,इसलिए हल समुच्चय $[9, \infty)$ है।

(A) दी गई असमिका: $3(2x - 1) + 5 \leq \frac{1}{2}(x + 15)$
भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $6(2x - 1) + 10 \leq x + 15$
पदों का विस्तार करने पर: $12x - 6 + 10 \leq x + 15$
सरल करने पर: $12x + 4 \leq x + 15$
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर: $11x + 4 \leq 15$
दोनों पक्षों से $4$ घटाने पर: $11x \leq 11$
$11$ से भाग देने पर: $x \leq 1$
अतः,हल समुच्चय $x \in (-\infty, 1]$ है।

(A) दी गई असमिका: $\frac{3-2x}{5} < \frac{x}{3} + 2$
हर को हटाने के लिए पूरी असमिका को $15$ ($5$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य) से गुणा करें:
$15 \times \frac{3-2x}{5} < 15 \times (\frac{x}{3} + 2)$
$3(3-2x) < 5x + 30$
$9 - 6x < 5x + 30$
दोनों पक्षों से $5x$ घटाने पर:
$9 - 11x < 30$
दोनों पक्षों से $9$ घटाने पर:
$-11x < 21$
$-11$ से भाग देने पर और असमिका का चिह्न बदलने पर:
$x > -\frac{21}{11}$
अतः,हल समुच्चय $x \in (-\frac{21}{11}, \infty)$ है।

(A) दी गई असमिका: $\frac{x+1}{2} > 6(x+2)$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $x+1 > 12(x+2)$
दाईं ओर का विस्तार करने पर: $x+1 > 12x + 24$
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर: $1 > 11x + 24$
दोनों पक्षों से $24$ घटाने पर: $-23 > 11x$
$11$ से भाग देने पर: $-\frac{23}{11} > x$
अतः,हल समुच्चय $x \in (-\infty, -\frac{23}{11})$ है।

(A) दी गई असमिका: $3(x-1)+2(x-2) < 5(x+2)$
पदों का विस्तार करने पर: $3x-3+2x-4 < 5x+10$
बाईं ओर समान पदों को संयोजित करने पर: $5x-7 < 5x+10$
दोनों पक्षों से $5x$ घटाने पर: $-7 < 10$
चूंकि $-7 < 10$ $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए एक सत्य कथन है,इसलिए हल समुच्चय सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है,$x \in \mathbb{R}$.

दी गई असमिका: $\frac{2x-1}{3} + 5 < \frac{3x-1}{2} - 2$
हर को हटाने के लिए पूरी असमिका को $6$ से गुणा करने पर:
$2(2x-1) + 30 < 3(3x-1) - 12$
$4x - 2 + 30 < 9x - 3 - 12$
$4x + 28 < 9x - 15$
दोनों पक्षों से $4x$ घटाने पर:
$28 < 5x - 15$
दोनों पक्षों में $15$ जोड़ने पर:
$43 < 5x$
$5$ से भाग देने पर:
$x > \frac{43}{5}$ या $x > 8.6$
हल समुच्चय $(8.6, \infty)$ है।
संख्या रेखा पर,इसे $8.6$ पर एक खुले वृत्त और दाईं ओर जाने वाली रेखा द्वारा दर्शाया जाता है।

(N/A) दी गई असमिका: $\frac{3x}{2} + 15 \leq \frac{2x}{3} + 6$
दोनों पक्षों से $15$ घटाने पर: $\frac{3x}{2} \leq \frac{2x}{3} - 9$
दोनों पक्षों से $\frac{2x}{3}$ घटाने पर: $\frac{3x}{2} - \frac{2x}{3} \leq -9$
समान हर $(6)$ लेने पर: $\frac{9x - 4x}{6} \leq -9$
$\frac{5x}{6} \leq -9$
दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करने पर: $5x \leq -54$
$5$ से भाग देने पर: $x \leq -10.8$
हल समुच्चय $(-\infty, -10.8]$ है।
संख्या रेखा पर,इसे $-10.8$ पर एक ठोस वृत्त (solid circle) और बाईं ओर जाने वाली रेखा द्वारा दर्शाया जाता है।

(N/A) दी गई असमिका: $\frac{4x+1}{9} > \frac{9x+1}{4} - 2$
दोनों पक्षों को $36$ ($9$ और $4$ का ल.स.प.) से गुणा करने पर:
$4(4x+1) > 9(9x+1) - 72$
$16x + 4 > 81x + 9 - 72$
$16x + 4 > 81x - 63$
$4 + 63 > 81x - 16x$
$67 > 65x$
$x < \frac{67}{65}$
अतः,हल समुच्चय $\left(-\infty, \frac{67}{65}\right)$ है।
संख्या रेखा निरूपण $\frac{67}{65}$ पर एक खुले वृत्त के साथ उसके बाईं ओर के सभी मानों को दर्शाता है।

(N/A) दी गई असमिका: $\frac{x-1}{2}+5 \geq \frac{2x-1}{3}+15$
दोनों पक्षों से $5$ घटाने पर: $\frac{x-1}{2} \geq \frac{2x-1}{3}+10$
हर को हटाने के लिए $6$ से गुणा करने पर: $3(x-1) \geq 2(2x-1) + 60$
विस्तार करने पर: $3x-3 \geq 4x-2+60$
सरल करने पर: $3x-3 \geq 4x+58$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $-3-58 \geq 4x-3x$
परिणाम: $-61 \geq x$ या $x \leq -61$
हल समुच्चय $(-\infty, -61]$ है।
संख्या रेखा पर $-61$ पर एक ठोस बिंदु बनाकर बाईं ओर रेखा खींची जाती है।

(N/A) दी गई असमिका: $\frac{x}{3} + 5 \geq \frac{x}{2} + 7$
दोनों पक्षों से $5$ घटाने पर:
$\frac{x}{3} \geq \frac{x}{2} + 2$
दोनों पक्षों से $\frac{x}{2}$ घटाने पर:
$\frac{x}{3} - \frac{x}{2} \geq 2$
समान हर $(6)$ लेने पर:
$\frac{2x - 3x}{6} \geq 2$
$-\frac{x}{6} \geq 2$
दोनों पक्षों को $-6$ से गुणा करने पर (याद रखें कि ऋणात्मक संख्या से गुणा करते समय असमिका का चिह्न बदल जाता है):
$x \leq -12$
हल समुच्चय $(-\infty, -12]$ है।
इसे संख्या रेखा पर $-12$ पर एक ठोस बिंदु और बाईं ओर जाने वाली रेखा द्वारा दर्शाया गया है।

(D) दी गई असमिका $|x-2| \geq 8$ है।
निरपेक्ष मान असमिका के गुणधर्म के अनुसार,$|u| \geq a$ का अर्थ $u \leq -a$ या $u \geq a$ होता है।
इस गुणधर्म को लागू करने पर:
$x-2 \leq -8$ या $x-2 \geq 8.$
पहले भाग को हल करने पर:
$x \leq -8 + 2$
$x \leq -6.$
दूसरे भाग को हल करने पर:
$x \geq 8 + 2$
$x \geq 10.$
इन अंतरालों को मिलाने पर,हमें $x \in (-\infty, -6] \cup [10, \infty)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दी गई असमिका: $\left|\frac{3x-4}{2}\right| \leq \frac{5}{12}$
यह इसके समतुल्य है: $-\frac{5}{12} \leq \frac{3x-4}{2} \leq \frac{5}{12}$
पूरी असमिका को $2$ से गुणा करने पर: $-\frac{5}{6} \leq 3x-4 \leq \frac{5}{6}$
सभी भागों में $4$ जोड़ने पर: $4 - \frac{5}{6} \leq 3x \leq 4 + \frac{5}{6}$
$\frac{24-5}{6} \leq 3x \leq \frac{24+5}{6}$
$\frac{19}{6} \leq 3x \leq \frac{29}{6}$
$3$ से विभाजित करने पर: $\frac{19}{18} \leq x \leq \frac{29}{18}$
अतः,हल समुच्चय $[\frac{19}{18}, \frac{29}{18}]$ है।