Word problem of Linear inequalities Questions in Hindi

(B) वर्गमूल को परिभाषित करने के लिए,हमारे पास $x + 4 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \geq -4$.
दी गई असमिका $x + 2 > \sqrt{x + 4}$ है।
यदि $x + 2 < 0$ (अर्थात $x < -2$),तो असमिका संतुष्ट नहीं होती है क्योंकि बायां पक्ष ऋणात्मक है और दायां पक्ष गैर-ऋणात्मक है।
अतः,हमारे पास $x + 2 \geq 0$ होना चाहिए,अर्थात $x \geq -2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(x + 2)^2 > x + 4$ प्राप्त होता है।
$x^2 + 4x + 4 > x + 4$.
$x^2 + 3x > 0$.
$x(x + 3) > 0$.
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x > 0$ या $x < -3$ हो।
इसे $x \geq -2$ की शर्त के साथ जोड़ने पर,हमें $x > 0$ प्राप्त होता है।

(B) स्थिति $I$: जब $x + 2 \ge 0$ अर्थात $x \ge -2,$
दी गई असमिका ${x^2} - (x + 2) + x > 0 \implies {x^2} - 2 > 0 \implies |x| > \sqrt{2}$ हो जाती है।
इसका अर्थ है $x < -\sqrt{2}$ या $x > \sqrt{2}$।
चूँकि $x \ge -2,$ इस स्थिति के लिए हल समुच्चय $[ -2, -\sqrt{2} ) \cup (\sqrt{2}, \infty )$ है।
स्थिति $II$: जब $x + 2 < 0$ अर्थात $x < -2,$
दी गई असमिका ${x^2} + (x + 2) + x > 0 \implies {x^2} + 2x + 2 > 0$ हो जाती है।
यहाँ विविक्तकर $D = 2^2 - 4(1)(2) = -4 < 0$ है और ${x^2}$ का गुणांक धनात्मक है,इसलिए ${x^2} + 2x + 2$ हमेशा धनात्मक रहता है।
अतः,इस स्थिति के लिए हल समुच्चय $( -\infty, -2)$ है।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,कुल हल समुच्चय $( -\infty, -\sqrt{2} ) \cup (\sqrt{2}, \infty )$ प्राप्त होता है।

(B) चरण $1$: पहली असमिका को हल करें: $5x + 2 < 3x + 8 \implies 2x < 6 \implies x < 3$.
चरण $2$: दूसरी असमिका को हल करें: $\frac{x + 2}{x - 1} < 4 \implies \frac{x + 2}{x - 1} - 4 < 0 \implies \frac{x + 2 - 4(x - 1)}{x - 1} < 0 \implies \frac{-3x + 6}{x - 1} < 0$.
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{3x - 6}{x - 1} > 0 \implies \frac{x - 2}{x - 1} > 0$ प्राप्त होता है।
साइन स्कीम (वेवी कर्व मेथड) का उपयोग करते हुए,हल $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ है।
चरण $3$: $x < 3$ और $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें।
प्रतिच्छेदन $(-\infty, 1) \cup (2, 3)$ है।

(C) दी गई असमिका: $\frac{2x}{2x^2 + 5x + 2} > \frac{1}{x + 1}$
हर का गुणनखंड करने पर: $\frac{2x}{(2x + 1)(x + 2)} > \frac{1}{x + 1}$
दोनों पक्षों से $\frac{1}{x + 1}$ घटाने पर: $\frac{2x}{(2x + 1)(x + 2)} - \frac{1}{x + 1} > 0$
उभयनिष्ठ हर लेने पर: $\frac{2x(x + 1) - (2x + 1)(x + 2)}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} > 0$
अंश को सरल करने पर: $\frac{2x^2 + 2x - (2x^2 + 5x + 2)}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} > 0$
$\frac{-3x - 2}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} > 0$
$-1$ से गुणा करने और असमिका को पलटने पर: $\frac{3x + 2}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} < 0$
क्रांतिक बिंदु $x = -2, -1, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{2}$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर,असमिका $x \in (-2, -1) \cup (-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2})$ के लिए सत्य है।

(B) असमिका $10^{n - 2} > 81n$ के लिए $n$ के मानों की जाँच करने पर:
$n = 1$ के लिए: $0.1 > 81$ (असत्य)
$n = 2$ के लिए: $1 > 162$ (असत्य)
$n = 3$ के लिए: $10 > 243$ (असत्य)
$n = 4$ के लिए: $100 > 324$ (असत्य)
$n = 5$ के लिए: $1000 > 405$ (सत्य)
$n = 6$ के लिए: $10000 > 486$ (सत्य)
अतः,$n \geq 5$ के लिए असमिका सत्य है,इसलिए विकल्प $B$ सही है।

(C) समीकरण $|x + y| = 4$ दो समांतर रेखाओं को दर्शाता है: $x + y = 4$ और $x + y = -4$।
बिंदु $(a, a)$ को इन दो रेखाओं के बीच स्थित होने के लिए,इसे असमिका $-4 < a + a < 4$ को संतुष्ट करना होगा।
यह $-4 < 2a < 4$ में सरल हो जाता है।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $-2 < a < 2$ प्राप्त होता है।
यह $|a| < 2$ के बराबर है।

(D) दिया गया है $2\sin^2 x + 3\sin x - 2 > 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2\sin^2 x + 4\sin x - \sin x - 2 > 0$।
$2\sin x(\sin x + 2) - 1(\sin x + 2) > 0$।
$(\sin x + 2)(2\sin x - 1) > 0$।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $\sin x + 2 > 0$ है,इसलिए $2\sin x - 1 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\sin x > 1/2$।
$x$ के उचित अंतराल में,$\sin x > 1/2$ का अर्थ है $x > \pi/6$।
दिया गया है $x^2 - x - 2 < 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 2)(x + 1) < 0$।
यह असमिका $x \in (-1, 2)$ के लिए सत्य है।
दोनों शर्तों को मिलाने पर: $x > \pi/6$ और $-1 < x < 2$।
चूंकि $\pi/6 \approx 0.523$ है,इसलिए प्रतिच्छेदन $x \in (\pi/6, 2)$ प्राप्त होता है।

(B) चूंकि $\theta$ एक न्यून कोण है,इसलिए $0 < \theta < 90^{\circ}$ है।
अतः,$0 < \sin\theta < 1$ है।
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $0 < \frac{p - 6}{8 - p} < 1$ है।
स्थिति $1$: $\frac{p - 6}{8 - p} \ge 0$ है। हर $8 - p$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $p < 8$ है। अतः,$p - 6 \ge 0$,जिससे $p \ge 6$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $\frac{p - 6}{8 - p} < 1$ है। चूंकि $8 - p > 0$ है,इसलिए $p - 6 < 8 - p$,जो सरल होकर $2p < 14$ या $p < 7$ हो जाता है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $6 \le p < 7$ प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = ||x - 2| - |3 - x||$ है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,$||x - 2| - |3 - x|| \leq |(x - 2) - (3 - x)| = |2x - 5|$।
अधिक स्पष्ट रूप से,$||x - 2| - |3 - x||$ बिंदु $x$ की $2$ और $3$ से दूरी का अंतर दर्शाता है।
$x < 2$ के लिए,$f(x) = 1$।
$2 \leq x \leq 3$ के लिए,$f(x) = |2x - 5|$,जिसका परिसर $[0, 1]$ है।
$x > 3$ के लिए,$f(x) = 1$।
अतः,$f(x)$ का परिसर $[0, 1]$ है।
समीकरण $f(x) = 2 - a$ का हल होने के लिए $0 \leq 2 - a \leq 1$ होना चाहिए।
इससे $1 \leq a \leq 2$ प्राप्त होता है।
$a$ के पूर्णांक मान $1$ और $2$ हैं।
इनका योग $1 + 2 = 3$ है।

(B) $f(x)$ को एक ह्रासमान फलन होने के लिए,$x$ का गुणांक $0$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
माना $k = [t]+1$ है। तब $\frac{|k|+a}{|k|+1-a} \leq 0$।
चूंकि $a < 0$,इसलिए $1-a > 0$ है।
भिन्न के $\leq 0$ होने के लिए अंश का $\leq 0$ होना आवश्यक है (क्योंकि हर हमेशा धनात्मक है)।
$|k| + a \leq 0 \implies |k| \leq -a$।
चूंकि $-a > 0$,इसका अर्थ है $a \leq k \leq -a$।
$k = [t]+1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a \leq [t]+1 \leq -a$ प्राप्त होता है।
सभी पक्षों से $1$ घटाने पर,$a-1 \leq [t] \leq -a-1$।
चूंकि $a \notin I$,$t$ का परिसर $[[a], [-a])$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) असमिका $10^{n-2} > 91n$ की जाँच करने के लिए हम $n$ के मानों का परीक्षण करते हैं:
$n=1$ के लिए: $10^{-1} = 0.1$,$91(1) = 91$. $0.1 > 91$ असत्य है।
$n=2$ के लिए: $10^{0} = 1$,$91(2) = 182$. $1 > 182$ असत्य है।
$n=3$ के लिए: $10^{1} = 10$,$91(3) = 273$. $10 > 273$ असत्य है।
$n=4$ के लिए: $10^{2} = 100$,$91(4) = 364$. $100 > 364$ असत्य है।
$n=5$ के लिए: $10^{3} = 1000$,$91(5) = 455$. $1000 > 455$ सत्य है।
$n=6$ के लिए: $10^{4} = 10000$,$91(6) = 546$. $10000 > 546$ सत्य है।
चूँकि घातांकीय फलन $10^{n-2}$ रैखिक फलन $91n$ की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है,इसलिए यह असमिका सभी $n \ge 5$ के लिए सत्य होगी।
अतः,मानों का समुच्चय $\left\{ 5, 6, 7, 8, \dots \right\}$ है।

(D) माना $t = |x|$ है। चूंकि $|x| \ge 0$,इसलिए $t \ge 0$ है। असमिका $\frac{1 - t}{2 - t} \ge 0$ हो जाती है।
अंश और हर को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{t - 1}{t - 2} \ge 0$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,क्रांतिक बिंदु $t = 1$ और $t = 2$ हैं।
असमिका $t \in [0, 1] \cup (2, \infty)$ के लिए सत्य है।
$t = |x|$ वापस रखने पर,हमें $|x| \in [0, 1] \cup (2, \infty)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $0 \le |x| \le 1 \implies x \in [-1, 1]$।
स्थिति $2$: $|x| > 2 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$।
इन दोनों को मिलाने पर,हल $x \in (-\infty, -2) \cup [-1, 1] \cup (2, \infty)$ है।

(D) दी गई असमिका $\frac{x^4 - 4x^3 + 3x^2}{(x^2 - 4)(x^2 - 7x + 10)} \ge 0$ है।
अंश का गुणनखंड करने पर: $x^2(x - 1)(x - 3)$।
हर का गुणनखंड करने पर: $(x + 2)(x - 2)^2(x - 5)$।
असमिका इस प्रकार हो जाती है: $\frac{x^2(x - 1)(x - 3)}{(x + 2)(x - 2)^2(x - 5)} \ge 0$।
क्रांतिक बिंदु $x = -2, 0, 1, 2, 3, 5$ हैं।
ध्यान दें कि $x \neq -2, 2, 5$ क्योंकि ये हर को शून्य बनाते हैं।
$x = 0$ पर,व्यंजक $0$ है,जो असमिका को संतुष्ट करता है।
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर:
$x > 5$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
$3 < x < 5$ के लिए,व्यंजक ऋणात्मक है।
$2 < x < 3$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
$1 < x < 2$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
$0 < x < 1$ के लिए,व्यंजक ऋणात्मक है।
$-2 < x < 0$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
$x < -2$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
इन अंतरालों को संयोजित करने और $x=0$ को शामिल करने पर,हमें $( - \infty, -2 ) \cup \{0\} \cup [1, 2) \cup (2, 3] \cup (5, \infty)$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई असमिका: $\frac{x - 5}{(x + 7)(x - 2)} > 0$.
अंतराल ज्ञात करने के लिए वेवी-कर्व विधि का उपयोग करने पर,क्रांतिक बिंदु $x = -7, 2, 5$ प्राप्त होते हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर,हल समुच्चय $x \in (-7, 2) \cup (5, \infty)$ प्राप्त होता है।
$(-7, 2)$ अंतराल में पूर्णांक मान $\{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\}$ हैं।
अतः,न्यूनतम पूर्णांक मान $\alpha = -6$ है।
$\alpha = -6$ के लिए विकल्प $(D)$ की जाँच करने पर: $(-6)^2 + 5(-6) - 6 = 36 - 30 - 6 = 0$.
अतः,$\alpha = -6$ विकल्प $(D)$ को संतुष्ट करता है।

(D) दी गई असमिकाएँ $|x - y| \leq 2$ और $|x + y| \leq 2$ हैं।
इन्हें $-2 \leq x - y \leq 2$ और $-2 \leq x + y \leq 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह रेखाओं $x - y = 2$,$x - y = -2$,$x + y = 2$,और $x + y = -2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र को दर्शाता है।
इस क्षेत्र के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$) $x - y = 2$ और $x + y = 2$ से $(2, 0)$ प्राप्त होता है।
$2$) $x + y = 2$ और $x - y = -2$ से $(0, 2)$ प्राप्त होता है।
$3$) $x - y = -2$ और $x + y = -2$ से $(-2, 0)$ प्राप्त होता है।
$4$) $x + y = -2$ और $x - y = 2$ से $(0, -2)$ प्राप्त होता है।
क्रमागत शीर्षों के बीच की दूरी (जैसे,$(2, 0)$ और $(0, 2)$) $\sqrt{(2-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
चूंकि सभी भुजाएँ $2\sqrt{2}$ के बराबर हैं और विकर्ण परस्पर लंबवत हैं,इसलिए यह क्षेत्र एक वर्ग है।
वर्ग का क्षेत्रफल $(\text{भुजा})^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$ वर्ग इकाई है।
अतः,यह क्षेत्र $2\sqrt{2}$ इकाई भुजा लंबाई वाला एक वर्ग है।

(C) मान लीजिए कि छात्र द्वारा वार्षिक परीक्षा में प्राप्त अंक $x$ हैं।
तीनों परीक्षाओं का औसत $\frac{62 + 48 + x}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,औसत कम से कम $60$ होना चाहिए,इसलिए हमारे पास असमिका है:
$\frac{62 + 48 + x}{3} \geq 60$
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$110 + x \geq 180$
दोनों पक्षों से $110$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x \geq 70$
अतः,कम से कम $60$ अंकों का औसत प्राप्त करने के लिए छात्र को न्यूनतम $70$ अंक प्राप्त करने होंगे।

(A) माना दो क्रमागत विषम प्राकृतिक संख्याओं में से छोटी संख्या $x$ है,तो दूसरी संख्या $x+2$ होगी।
प्रश्न के अनुसार:
$x > 10$ $(1)$
$x + (x + 2) < 40$ $(2)$
$(2)$ को हल करने पर:
$2x + 2 < 40$
$2x < 38$
$x < 19$ $(3)$
$(1)$ और $(3)$ से,$10 < x < 19$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ एक विषम प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $x$ के संभावित मान $11, 13, 15, 17$ हैं।
अतः,युग्म $(x, x+2)$ इस प्रकार हैं:
$(11, 13), (13, 15), (15, 17), (17, 19)$.

(A) माना रवि द्वारा तीसरी इकाई परीक्षा में प्राप्त अंक $x$ हैं।
चूंकि छात्र का औसत कम से कम $60$ अंक होना चाहिए,इसलिए:
$\frac{70+75+x}{3} \geq 60$
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर:
$145+x \geq 180$
दोनों पक्षों से $145$ घटाने पर:
$x \geq 180-145$
$x \geq 35$
अतः,कम से कम $60$ अंकों का औसत प्राप्त करने के लिए छात्र को न्यूनतम $35$ अंक प्राप्त करने होंगे।

(A) मान लीजिए कि सुनीता द्वारा पांचवीं परीक्षा में प्राप्त अंक $x$ हैं।
कोर्स में ग्रेड $A$ प्राप्त करने के लिए,उसे पांच परीक्षाओं में औसत $90$ या उससे अधिक अंक प्राप्त करने होंगे।
अतः,असमिका इस प्रकार है:
$\frac{87+92+94+95+x}{5} \geq 90$
$\Rightarrow \frac{368+x}{5} \geq 90$
$\Rightarrow 368+x \geq 450$
$\Rightarrow x \geq 450-368$
$\Rightarrow x \geq 82$
इस प्रकार,ग्रेड $A$ प्राप्त करने के लिए सुनीता को पांचवीं परीक्षा में कम से कम $82$ अंक प्राप्त करने होंगे।

(A) माना $x$ दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांकों में से छोटी संख्या है। तब,दूसरी संख्या $x+2$ होगी।
चूंकि दोनों पूर्णांक $10$ से छोटे हैं:
$x+2 < 10$
$\Rightarrow x < 8$ ... $(i)$
साथ ही,दोनों पूर्णांकों का योग $11$ से अधिक है:
$x + (x+2) > 11$
$\Rightarrow 2x + 2 > 11$
$\Rightarrow 2x > 9$
$\Rightarrow x > 4.5$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,$4.5 < x < 8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है,इसलिए $x$ के संभावित मान $5$ और $7$ हैं।
यदि $x = 5$ है,तो युग्म $(5, 7)$ है।
यदि $x = 7$ है,तो युग्म $(7, 9)$ है।
अतः,अभीष्ट युग्म $(5, 7)$ और $(7, 9)$ हैं।

(A) माना $x$ दो क्रमागत सम धनात्मक पूर्णांकों में से छोटी संख्या है।
तब,दूसरी संख्या $x + 2$ है।
चूंकि दोनों संख्याएँ $5$ से बड़ी हैं,इसलिए $x > 5$ $(1)$.
साथ ही,दोनों संख्याओं का योग $23$ से कम है,इसलिए $x + (x + 2) < 23$.
$2x + 2 < 23$
$2x < 21$
$x < 10.5$ $(2)$.
$(1)$ और $(2)$ से,हमें $5 < x < 10.5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ एक सम संख्या है,इसलिए $x$ का मान $6, 8$ और $10$ हो सकता है।
अतः,अभीष्ट संभावित युग्म $(6, 8), (8, 10)$ और $(10, 12)$ हैं।

(C) माना त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा की लंबाई $x \, cm$ है।
तब,सबसे लंबी भुजा की लंबाई $3x \, cm$ है।
तीसरी भुजा की लंबाई $(3x - 2) \, cm$ है।
चूंकि त्रिभुज का परिमाप कम से कम $61 \, cm$ है,इसलिए:
$x + 3x + (3x - 2) \geq 61$
$\Rightarrow 7x - 2 \geq 61$
$\Rightarrow 7x \geq 63$
$\Rightarrow x \geq 9$
अतः,सबसे छोटी भुजा की न्यूनतम लंबाई $9 \, cm$ है।

(N/A) माना सबसे छोटे टुकड़े की लंबाई $x \, cm$ है। तब,दूसरे और तीसरे टुकड़े की लंबाई क्रमशः $(x+3) \, cm$ और $2x \, cm$ है।
चूंकि तीनों लंबाई $91 \, cm$ के एक ही बोर्ड से काटी जानी हैं:
$x + (x+3) + 2x \leq 91$
$4x + 3 \leq 91$
$4x \leq 88$
$x \leq 22$ ...... $(1)$
साथ ही,तीसरा टुकड़ा दूसरे टुकड़े से कम से कम $5 \, cm$ लंबा है:
$2x \geq (x+3) + 5$
$2x \geq x + 8$
$x \geq 8$ ...... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$8 \leq x \leq 22$
अतः,सबसे छोटे बोर्ड की संभावित लंबाई $8 \, cm$ या उससे अधिक लेकिन $22 \, cm$ या उससे कम है।

(A) यह दिया गया है कि सेल्सियस में तापमान $C$ का मान $30 < C < 35$ है।
रूपांतरण सूत्र $C = \frac{5}{9}(F - 32)$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$30 < \frac{5}{9}(F - 32) < 35$
पूरी असमिका को $\frac{9}{5}$ से गुणा करने पर:
$\frac{9}{5} \times 30 < F - 32 < \frac{9}{5} \times 35$
$54 < F - 32 < 63$
असमिका के सभी पक्षों में $32$ जोड़ने पर:
$54 + 32 < F < 63 + 32$
$86 < F < 95$
अतः,फारेनहाइट में तापमान की आवश्यक सीमा $86^{\circ} \text{F}$ और $95^{\circ} \text{F}$ के बीच है।

मान लीजिए कि $30 \%$ एसिड का $x \text{ लीटर}$ घोल मिलाया जाता है।
परिणामी मिश्रण का कुल आयतन $(x + 600) \text{ लीटर}$ है।
मिश्रण में एसिड की कुल मात्रा $0.30x + 0.12(600)$ है।
प्रश्न के अनुसार,एसिड की मात्रा $15 \%$ और $18 \%$ के बीच होनी चाहिए:
$0.15(x + 600) < 0.30x + 0.12(600) < 0.18(x + 600)$
पहली असमिका को हल करने पर:
$0.15x + 90 < 0.30x + 72$
$18 < 0.15x$
$x > \frac{18}{0.15} = 120$
दूसरी असमिका को हल करने पर:
$0.30x + 72 < 0.18x + 108$
$0.12x < 36$
$x < \frac{36}{0.12} = 300$
अतः,$30 \%$ एसिड के घोल की मात्रा $120 \text{ लीटर}$ से अधिक और $300 \text{ लीटर}$ से कम होनी चाहिए।

(A) दिया गया है कि तापमान $F$,$68\,^{\circ} F$ और $77\,^{\circ} F$ के बीच है,इसलिए असमिका:
$68 < F < 77$
सूत्र $F = \frac{9}{5} C + 32$ को असमिका में रखने पर:
$68 < \frac{9}{5} C + 32 < 77$
सभी पदों से $32$ घटाने पर:
$68 - 32 < \frac{9}{5} C < 77 - 32$
$36 < \frac{9}{5} C < 45$
सभी पक्षों को $\frac{5}{9}$ से गुणा करने पर:
$36 \times \frac{5}{9} < C < 45 \times \frac{5}{9}$
$20 < C < 25$
अतः,सेल्सियस में तापमान की आवश्यक सीमा $20\,^{\circ} C$ और $25\,^{\circ} C$ के बीच है।

(A) मान लीजिए कि $x$ लीटर $2 \%$ बोरिक एसिड का घोल मिलाया जाना है।
मिश्रण का कुल आयतन $= (x + 640)$ लीटर।
मिश्रण में बोरिक एसिड की मात्रा $= (0.02x + 0.08 \times 640) = (0.02x + 51.2)$ लीटर।
परिणामी मिश्रण की सांद्रता $4 \%$ और $6 \%$ के बीच होनी चाहिए।
शर्त $1$: $\frac{0.02x + 51.2}{x + 640} > 0.04$
$0.02x + 51.2 > 0.04x + 25.6$
$25.6 > 0.02x \Rightarrow x < 1280$।
शर्त $2$: $\frac{0.02x + 51.2}{x + 640} < 0.06$
$0.02x + 51.2 < 0.06x + 38.4$
$12.8 < 0.04x \Rightarrow x > 320$।
अतः,मिलाए जाने वाले $2 \%$ घोल की मात्रा $320$ लीटर और $1280$ लीटर के बीच होनी चाहिए।

(N/A) माना घोल में $x$ लीटर पानी मिलाया जाता है।
मिश्रण का कुल आयतन $(1125 + x)$ लीटर हो जाता है।
एसिड की मात्रा $1125$ लीटर के $45 \%$ पर स्थिर रहती है,जो $0.45 \times 1125 = 506.25$ लीटर है।
प्रश्न के अनुसार,नए मिश्रण में एसिड की मात्रा $25 \%$ और $30 \%$ के बीच होनी चाहिए।
अतः,$25 \% < \frac{506.25}{1125 + x} \times 100 < 30 \%$.
सबसे पहले,असमिका $\frac{506.25}{1125 + x} < 0.30$ पर विचार करें:
$506.25 < 0.30(1125 + x)$
$506.25 < 337.5 + 0.3x$
$168.75 < 0.3x$
$x > \frac{168.75}{0.3} = 562.5$.
इसके बाद,असमिका $\frac{506.25}{1125 + x} > 0.25$ पर विचार करें:
$506.25 > 0.25(1125 + x)$
$506.25 > 281.25 + 0.25x$
$225 > 0.25x$
$x < \frac{225}{0.25} = 900$.
अतः,मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा $562.5$ लीटर और $900$ लीटर के बीच होनी चाहिए,अर्थात $562.5 < x < 900$.

(A) $12$ वर्ष के बच्चों के समूह के लिए,$CA = 12$ वर्ष दिया गया है।
$IQ$ का सूत्र $IQ = \frac{MA}{12} \times 100$ है।
असमानता $80 \leq IQ \leq 140$ में $IQ$ का मान रखने पर:
$80 \leq \frac{MA}{12} \times 100 \leq 140$
$MA$ का मान ज्ञात करने के लिए,पूरी असमानता को $\frac{12}{100}$ से गुणा करने पर:
$80 \times \frac{12}{100} \leq MA \leq 140 \times \frac{12}{100}$
$9.6 \leq MA \leq 16.8$
अतः,$12$ वर्ष के बच्चों के समूह की मानसिक आयु की सीमा $9.6 \leq MA \leq 16.8$ है।

(77) माना रवि द्वारा पांचवीं परीक्षा में प्राप्त अंक $x$ हैं।
पांच परीक्षाओं के कुल अंक $94 + 73 + 72 + 84 + x = 323 + x$ हैं।
पांच परीक्षाओं का औसत $\frac{323 + x}{5}$ है।
ग्रेड $'B'$ की शर्त के अनुसार,औसत कम से कम $80$ और $90$ से कम होना चाहिए:
$80 \le \frac{323 + x}{5} < 90$.
असमिका को $5$ से गुणा करने पर:
$400 \le 323 + x < 450$.
सभी भागों से $323$ घटाने पर:
$400 - 323 \le x < 450 - 323$.
$77 \le x < 127$.
चूंकि परीक्षा में अधिकतम अंक $100$ हैं,इसलिए आवश्यक न्यूनतम अंक $77$ हैं।

(B) मान लीजिए कि मोहन द्वारा तीसरी परीक्षा में प्राप्त अंक $x$ हैं।
पहली दो परीक्षाओं में प्राप्त अंक $62$ और $48$ हैं।
तीनों परीक्षाओं का औसत $\frac{62 + 48 + x}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
हम चाहते हैं कि औसत कम से कम $60$ हो,इसलिए हम असमिका बनाते हैं:
$\frac{62 + 48 + x}{3} \geq 60$
$110 + x \geq 180$
$x \geq 180 - 110$
$x \geq 70$
अतः,उसे तीसरी परीक्षा में न्यूनतम $70$ अंक प्राप्त करने चाहिए।

(A) माना त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा $x \text{ cm}$ है।
प्रश्न के अनुसार, सबसे लंबी भुजा $2x \text{ cm}$ है और तीसरी भुजा $(x + 3) \text{ cm}$ है।
त्रिभुज का परिमाप उसकी तीनों भुजाओं का योग है:
$P = x + 2x + (x + 3) = 4x + 3$.
दिया गया है कि परिमाप कम से कम $51 \text{ cm}$ है, इसलिए असमिका:
$4x + 3 \geq 51$.
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर:
$4x \geq 48$.
$4$ से भाग देने पर:
$x \geq 12$.
अतः, सबसे छोटी भुजा की न्यूनतम लंबाई $12 \text{ cm}$ है।

(A) माना कि दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक $x$ और $x + 2$ हैं।
दिया गया है कि दोनों पूर्णांक $18$ से छोटे हैं,इसलिए $x + 2 < 18$,जिसका अर्थ है $x < 16$.
साथ ही,उनका योग $20$ से अधिक है,इसलिए $x + (x + 2) > 20$.
$2x + 2 > 20$
$2x > 18$
$x > 9$.
चूंकि $x$ एक विषम पूर्णांक है और $9 < x < 16$,इसलिए $x$ के संभावित मान $11, 13, 15$ हैं।
यदि $x = 11$ है,तो युग्म $(11, 13)$ है।
यदि $x = 13$ है,तो युग्म $(13, 15)$ है।
यदि $x = 15$ है,तो युग्म $(15, 17)$ है।
अतः,अभीष्ट युग्म $(11, 13), (13, 15), (15, 17)$ हैं।

(A) सेल्सियस में तापमान की सीमा $30 < C < 35$ दी गई है।
रूपांतरण सूत्र $F = \frac{9}{5} C + 32$ का उपयोग करते हुए:
$C = 30$ के लिए,$F = \frac{9}{5}(30) + 32 = 54 + 32 = 86^{\circ} F$।
$C = 35$ के लिए,$F = \frac{9}{5}(35) + 32 = 63 + 32 = 95^{\circ} F$।
अतः,फ़ारेनहाइट में तापमान की सीमा $86^{\circ} F$ और $95^{\circ} F$ के बीच है।

(A) दी गई असमिका $\frac{|x-1|}{x+2} < 1$ है।
स्थिति $1$: यदि $x+2 > 0$,अर्थात $x > -2$,तो $|x-1| < x+2$.
यदि $x \ge 1$,तो $x-1 < x+2 \implies -1 < 2$,जो सभी $x \ge 1$ के लिए सत्य है।
यदि $-2 < x < 1$,तो $-(x-1) < x+2 \implies -x+1 < x+2 \implies 2x > -1 \implies x > -\frac{1}{2}$.
अतः,$x > -2$ के लिए,हल $x > -\frac{1}{2}$ है।
स्थिति $2$: यदि $x+2 < 0$,अर्थात $x < -2$,तो $|x-1| > x+2$.
चूंकि $x < -2$,$x-1$ ऋणात्मक है,इसलिए $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
$1-x > x+2 \implies 2x < -1 \implies x < -\frac{1}{2}$.
चूंकि हमने $x < -2$ माना था,इसलिए हल $x < -2$ है।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,हल समुच्चय $(-\infty, -2) \cup (-\frac{1}{2}, \infty)$ प्राप्त होता है।

(D) पहली असमिका के लिए: $\frac{x}{2x+1} - \frac{1}{4} \geq 0 \implies \frac{2x-1}{4(2x+1)} \geq 0$. क्रांतिक बिंदु $x = -\frac{1}{2}$ और $x = \frac{1}{2}$ हैं। अंतराल की जाँच करने पर,$x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup [\frac{1}{2}, \infty)$ प्राप्त होता है।
दूसरी असमिका के लिए: $\frac{6x}{4x-1} - \frac{1}{2} < 0 \implies \frac{8x+1}{2(4x-1)} < 0$. क्रांतिक बिंदु $x = -\frac{1}{8}$ और $x = \frac{1}{4}$ हैं। अंतराल की जाँच करने पर,$x \in (-\frac{1}{8}, \frac{1}{4})$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों असमिकाओं के बीच कोई उभयनिष्ठ अंतराल नहीं है,इसलिए हल समुच्चय $\emptyset$ (रिक्त समुच्चय) है।

(B) स्थिति $1$: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$. असमिका $\frac{x+2-x}{x} < 2 \implies \frac{2}{x} < 2 \implies \frac{2-2x}{x} < 0 \implies \frac{1-x}{x} < 0$ हो जाती है। यह $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ के लिए सत्य है। $x \ge -2$ और $x \neq 0$ को ध्यान में रखते हुए,हमें $x \in [-2, 0) \cup (1, \infty)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $x+2 < 0 \implies x < -2$. असमिका $\frac{-(x+2)-x}{x} < 2 \implies \frac{-2x-2}{x} < 2 \implies \frac{-2x-2-2x}{x} < 0 \implies \frac{-4x-2}{x} < 0 \implies \frac{2x+1}{x} > 0$ हो जाती है। यह $x \in (-\infty, -1/2) \cup (0, \infty)$ के लिए सत्य है। $x < -2$ को ध्यान में रखते हुए,हमें $x \in (-\infty, -2)$ प्राप्त होता है।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,हल $(-\infty, -2) \cup [-2, 0) \cup (1, \infty)$ है,जो सरल होकर $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ हो जाता है।

(A) माना $f(x) = |x-1|+|x-2|+|x-3|$.
स्थिति $1$: $x < 1$,$f(x) = -3x+6$. $-3x+6 \geq 6$ रखने पर,$-3x \geq 0$,अतः $x \leq 0$.
स्थिति $2$: $1 \leq x < 2$,$f(x) = -x+4$. $-x+4 \geq 6$ रखने पर,$-x \geq 2$,अतः $x \leq -2$ (इस अंतराल में कोई हल नहीं है).
स्थिति $3$: $2 \leq x < 3$,$f(x) = x$. $x \geq 6$ (इस अंतराल में कोई हल नहीं है).
स्थिति $4$: $x \geq 3$,$f(x) = 3x-6$. $3x-6 \geq 6$ रखने पर,$3x \geq 12$,अतः $x \geq 4$.
परिणामों को मिलाने पर,हल $x \in (-\infty, 0] \cup [4, \infty)$ है।

मान लीजिए कि मिलाए जाने वाले $30 \%$ एसिड घोल के लीटर की संख्या $x$ है।
मिश्रण का कुल आयतन $(600 + x) \text{ litres}$ होगा।
मिश्रण में एसिड की मात्रा $(0.12 \times 600 + 0.30 \times x) = (72 + 0.3x) \text{ litres}$ है।
प्रश्न के अनुसार,एसिड की मात्रा कुल आयतन के $15 \%$ से अधिक और $18 \%$ से कम होनी चाहिए:
$0.15(600 + x) < 72 + 0.3x < 0.18(600 + x)$.
पहली असमिका को हल करने पर: $90 + 0.15x < 72 + 0.3x \implies 18 < 0.15x \implies x > 120$.
दूसरी असमिका को हल करने पर: $72 + 0.3x < 108 + 0.18x \implies 0.12x < 36 \implies x < 300$.
अतः,मिलाए जाने वाले $30 \%$ एसिड घोल की मात्रा $120 \text{ litres}$ से अधिक और $300 \text{ litres}$ से कम होनी चाहिए।

(B) फारेनहाइट में तापमान का परिसर $86 < F < 95$ दिया गया है।
सूत्र $F = \frac{9}{5} C + 32$ को असमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$86 < \frac{9}{5} C + 32 < 95$
सभी भागों से $32$ घटाने पर:
$86 - 32 < \frac{9}{5} C < 95 - 32$
$54 < \frac{9}{5} C < 63$
$\frac{5}{9}$ से गुणा करने पर:
$54 \times \frac{5}{9} < C < 63 \times \frac{5}{9}$
$30 < C < 35$
अतः,सेल्सियस में तापमान का परिसर $30^{\circ} C$ और $35^{\circ} C$ के बीच है।

(N/A) न लाभ न हानि की स्थिति के लिए,राजस्व लागत के बराबर होना चाहिए,अर्थात $R(x) = C(x)$.
दिए गए फलनों को प्रतिस्थापित करने पर: $3x = 500 + \frac{5}{2}x$.
दोनों पक्षों से $\frac{5}{2}x$ घटाने पर: $3x - 2.5x = 500$.
$0.5x = 500$.
$x = \frac{500}{0.5} = 1000$.
अतः,न लाभ न हानि की स्थिति के लिए $1000$ वस्तुएं बेची जानी चाहिए।
लाभ तब होता है जब $R(x) > C(x)$,जिसका अर्थ है $3x > 500 + 2.5x$,या $0.5x > 500$,जिसका अर्थ है $x > 1000$. इसलिए,यदि $1000$ से अधिक वस्तुएं बेची जाती हैं तो लाभ होता है।

माना मिलाए गए एसिड की मात्रा $x \text{ लीटर}$ है।
प्रारंभिक एसिड की मात्रा $40 \% \text{ of } 1120 = 448 \text{ लीटर}$ है।
प्रारंभिक पानी की मात्रा $1120 - 448 = 672 \text{ लीटर}$ है।
$x \text{ लीटर}$ एसिड मिलाने के बाद,कुल आयतन $(1120 + x) \text{ लीटर}$ हो जाता है।
पानी की मात्रा $672 \text{ लीटर}$ ही रहती है।
नए मिश्रण में पानी का प्रतिशत $\frac{672}{1120 + x} \times 100$ है।
हमें दिया गया है कि $40 < \frac{672}{1120 + x} \times 100 < 50$.
$100$ से विभाजित करने पर: $0.4 < \frac{672}{1120 + x} < 0.5$.
पहली असमिका लेने पर: $0.4 < \frac{672}{1120 + x} \implies 1120 + x < 1680 \implies x < 560$.
दूसरी असमिका लेने पर: $\frac{672}{1120 + x} < 0.5 \implies 1120 + x > 1344 \implies x > 224$.
अतः,मिलाए जाने वाले एसिड की मात्रा $224 \text{ लीटर}$ और $560 \text{ लीटर}$ के बीच है।

(N/A) दिया गया सूत्र $I.Q. = \frac{MA}{CA} \times 100$ है और $CA = 16$ है।
मान रखने पर,$75 < \frac{MA}{16} \times 100 < 125$ प्राप्त होता है।
पूरी असमिका को $100$ से विभाजित करने पर: $0.75 < \frac{MA}{16} < 1.25$।
$16$ से गुणा करने पर: $0.75 \times 16 < MA < 1.25 \times 16$।
मानों की गणना करने पर: $12 < MA < 20$।
अतः,उनकी मानसिक आयु की सीमा $12$ और $20$ वर्ष के बीच है।

(N/A) असमिका का पहला भाग लें: $\frac{4}{x+1} \leq 3$.
चूँकि $x > 0$,इसलिए $x+1 > 0$ है,अतः असमिका के चिह्न को बदले बिना $(x+1)$ से गुणा करने पर:
$4 \leq 3(x+1)$
$4 \leq 3x + 3$
$1 \leq 3x$
$x \geq \frac{1}{3} \quad (i)$
असमिका का दूसरा भाग लें: $3 \leq \frac{6}{x+1}$.
चूँकि $x+1 > 0$,इसलिए:
$3(x+1) \leq 6$
$3x + 3 \leq 6$
$3x \leq 3$
$x \leq 1 \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को मिलाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{3} \leq x \leq 1$
अतः,हल समुच्चय $x \in [\frac{1}{3}, 1]$ है.

(N/A) दी गई असमिका: $\frac{1}{|x|-3} \leq \frac{1}{2}$.
स्थिति $1$: यदि $|x|-3 > 0$,तो $|x| > 3$. दोनों पक्षों को $2(|x|-3)$ से गुणा करने पर,हमें $2 \leq |x|-3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $|x| \geq 5$. चूंकि $|x| \geq 5$,$|x| > 3$ को संतुष्ट करता है,इस स्थिति के लिए हल $x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$ है।
स्थिति $2$: यदि $|x|-3 < 0$,तो $|x| < 3$. दोनों पक्षों को $2(|x|-3)$ से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है: $2 \geq |x|-3$,जिसका अर्थ है $|x| \leq 5$. चूंकि हमें $|x| < 3$ को संतुष्ट करना है,इस स्थिति के लिए हल $x \in (-3, 3)$ है।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,अंतिम हल $x \in (-\infty, -5] \cup (-3, 3) \cup [5, \infty)$ है।

(NONE) हमारे पास $4x + 3 \geq 2x + 17$ है।
$\therefore 4x - 2x \geq 17 - 3$
$\therefore 2x \geq 14$
$\therefore x \geq 7$
$...(i)$
अब,$3x - 5 < -2$ है।
$\therefore 3x < -2 + 5$
$\therefore 3x < 3$
$\therefore x < 1$
$...(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,हमें $x$ के ऐसे मान ज्ञात करने हैं जो $x \geq 7$ और $x < 1$ दोनों को एक साथ संतुष्ट करते हों।
चूंकि कोई भी वास्तविक संख्या $x$ ऐसी नहीं है जो $7$ से बड़ी या उसके बराबर हो और $1$ से छोटी हो,इसलिए हल समुच्चय एक रिक्त समुच्चय है,जिसे $\emptyset$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(A) लाभ = राजस्व - लागत
$P(x) = R(x) - C(x)$
$P(x) = 43x - (26000 + 30x)$
$P(x) = 43x - 26000 - 30x$
$P(x) = 13x - 26000$
लाभ प्राप्त करने के लिए,$P(x) > 0$ होना चाहिए।
$13x - 26000 > 0$
$13x > 26000$
$x > 2000$
अतः,लाभ प्राप्त करने के लिए कंपनी को $2000$ से अधिक कैसेट का उत्पादन करना होगा।

(N/A) माना कि तीसरा $pH$ माप $x$ है।
तीनों मापों का औसत $8.2$ और $8.5$ के बीच होना चाहिए।
$\therefore 8.2 < \frac{8.48 + 8.35 + x}{3} < 8.5$
पूरी असमिका को $3$ से गुणा करने पर:
$\therefore 3 \times 8.2 < 16.83 + x < 8.5 \times 3$
$\therefore 24.6 < 16.83 + x < 25.5$
सभी भागों से $16.83$ घटाने पर:
$\therefore 24.6 - 16.83 < x < 25.5 - 16.83$
$\therefore 7.77 < x < 8.67$
अतः,तीसरा $pH$ माप $(7.77, 8.67)$ की सीमा में होना चाहिए।

(N/A) माना $460 \text{ L}$ के $9 \%$ एसिड घोल में $x \text{ L}$ का $3 \%$ एसिड घोल मिलाया जाता है।
मिश्रण की कुल मात्रा $= (460 + x) \text{ L}$.
मिश्रण में कुल एसिड की मात्रा $= 460 \times \frac{9}{100} + x \times \frac{3}{100}$.
यह दिया गया है कि परिणामी मिश्रण में एसिड की मात्रा $5 \%$ से अधिक और $7 \%$ से कम होनी चाहिए।
$\therefore 5 \% \text{ of } (460 + x) < \left( 460 \times \frac{9}{100} + \frac{3x}{100} \right) < 7 \% \text{ of } (460 + x)$.
$\therefore 5(460 + x) < 4140 + 3x < 7(460 + x)$.
$\therefore 2300 + 5x < 4140 + 3x < 3220 + 7x$.
अब,$2300 + 5x < 4140 + 3x$ को हल करने पर:
$2x < 1840 \implies x < 920 \quad \dots(i)$.
$4140 + 3x < 3220 + 7x$ को हल करने पर:
$4x > 920 \implies x > 230 \quad \dots(ii)$.
अतः,$3 \%$ एसिड घोल की मात्रा $230 \text{ L}$ से अधिक और $920 \text{ L}$ से कम होनी चाहिए।

(A) दिया गया है कि तापमान $C$,$40^{\circ} C$ और $45^{\circ} C$ के बीच है,इसलिए असमिका: $40 < C < 45$ है।
रूपांतरण सूत्र $F = \frac{9}{5} C + 32$ है।
फारेनहाइट में परिसर ज्ञात करने के लिए,$C = \frac{5}{9}(F - 32)$ को असमिका में रखने पर:
$40 < \frac{5}{9}(F - 32) < 45$.
पूरी असमिका को $\frac{9}{5}$ से गुणा करने पर:
$40 \times \frac{9}{5} < F - 32 < 45 \times \frac{9}{5}$.
$72 < F - 32 < 81$.
असमिका के सभी भागों में $32$ जोड़ने पर:
$72 + 32 < F < 81 + 32$.
$104 < F < 113$.
अतः,डिग्री फारेनहाइट में तापमान का परिसर $104^{\circ} F$ और $113^{\circ} F$ के बीच है।