Linear inequalities for Multiple Lines Questions in Hindi

(N/A) रैखिक समीकरण $x+y=5$ का आलेख खींचा गया है।
असमिका $(1)$ रेखा $x+y=5$ के ऊपर के छायांकित क्षेत्र द्वारा निरूपित होती है,जिसमें रेखा पर स्थित बिंदु भी शामिल हैं।
उन्हीं अक्षों पर,हम समीकरण $x-y=3$ का आलेख खींचते हैं। फिर हम देखते हैं कि असमिका $(2)$ रेखा $x-y=3$ के ऊपर के छायांकित क्षेत्र को दर्शाती है,जिसमें रेखा पर स्थित बिंदु भी शामिल हैं।
स्पष्ट रूप से,उपरोक्त दोनों छायांकित क्षेत्रों में उभयनिष्ठ (common) द्वि-छायांकित क्षेत्र ही दी गई असमिकाओं के निकाय का अभीष्ट हल क्षेत्र है।

(N/A) सबसे पहले,हम रेखाओं $5x + 4y = 40$,$x = 2$ और $y = 3$ के आलेख खींचते हैं।
$5x + 4y = 40$ के लिए,अंतःखंड $(8, 0)$ और $(0, 10)$ हैं। असमिका $5x + 4y \leq 40$ इस रेखा के नीचे या रेखा पर स्थित क्षेत्र को दर्शाती है।
असमिका $x \geq 2$ ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 2$ के दाईं ओर या रेखा पर स्थित क्षेत्र को दर्शाती है।
असमिका $y \geq 3$ क्षैतिज रेखा $y = 3$ के ऊपर या रेखा पर स्थित क्षेत्र को दर्शाती है।
निकाय का हल इन तीनों रेखाओं द्वारा घिरा हुआ उभयनिष्ठ छायांकित क्षेत्र है,जो $(2, 3)$,$(5.6, 3)$ और $(2, 7.5)$ शीर्षों वाला एक त्रिभुज बनाता है।

(N/A) असमिकाओं के निकाय को आलेखीय रूप से हल करने के लिए,हम पहले रेखाओं $x + 2y = 8$ और $2x + y = 8$ को खींचते हैं।
रेखा $x + 2y = 8$ के लिए:
यदि $x = 0$,तो $y = 4$। यदि $y = 0$,तो $x = 8$। यह रेखा $(0, 4)$ और $(8, 0)$ से होकर गुजरती है।
रेखा $2x + y = 8$ के लिए:
यदि $x = 0$,तो $y = 8$। यदि $y = 0$,तो $x = 4$। यह रेखा $(0, 8)$ और $(4, 0)$ से होकर गुजरती है।
असमिकाएं $x + 2y \leqslant 8$ और $2x + y \leqslant 8$ क्रमशः इन रेखाओं के नीचे के क्षेत्र को दर्शाती हैं।
चूंकि $x \geqslant 0$ और $y \geqslant 0$,इसलिए हल क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश तक सीमित है।
दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $x + 2y = 8$ और $2x + y = 8$ को हल करके प्राप्त किया जाता है। पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर $2x + 4y = 16$ प्राप्त होता है। दूसरे समीकरण को घटाने पर $3y = 8$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = 8/3$। तब $x = 8 - 2(8/3) = 8/3$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(8/3, 8/3)$ है।
आलेख में छायांकित क्षेत्र दी गई असमिकाओं के निकाय का सामान्य हल समुच्चय दर्शाता है।

(N/A) दिए गए असमिकाओं का निकाय है:
$x \geq 3$ ..... $(1)$
$y \geq 2$ ..... $(2)$
रेखाओं $x=3$ और $y=2$ का आलेख कार्तीय तल में खींचा गया है।
असमिका $(1)$ रेखा $x=3$ के दाईं ओर के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा $x=3$ सहित)।
असमिका $(2)$ रेखा $y=2$ के ऊपर के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा $y=2$ सहित)।
अतः,दिए गए रैखिक असमिकाओं के निकाय का हल उभयनिष्ठ छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है,जिसमें संबंधित रेखाओं पर स्थित बिंदु भी सम्मिलित हैं।

(N/A) $3x + 2y \leq 12$ ...... $(1)$
$x \geq 1$ ...... $(2)$
$y \geq 2$ ...... $(3)$
रेखाओं $3x + 2y = 12$,$x = 1$ और $y = 2$ के आलेख नीचे दिए गए चित्र में खींचे गए हैं।
असमिका $(1)$ रेखा $3x + 2y = 12$ के नीचे के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा $3x + 2y = 12$ को सम्मिलित करते हुए)।
असमिका $(2)$ रेखा $x = 1$ के दाईं ओर के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा $x = 1$ को सम्मिलित करते हुए)।
असमिका $(3)$ रेखा $y = 2$ के ऊपर के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा $y = 2$ को सम्मिलित करते हुए)।
अतः,दिए गए रैखिक असमिकाओं के निकाय का हल सामान्य छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है,जिसमें संबंधित रेखाओं पर स्थित बिंदु भी सम्मिलित हैं।

(N/A) $2x + y \geq 6$ ..... $(1)$
$3x + 4y \leq 12$ ..... $(2)$
रेखाओं $2x + y = 6$ और $3x + 4y = 12$ के आलेख चित्र में दर्शाए गए हैं। असमिका $(1)$ रेखा $2x + y = 6$ के ऊपर के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा $2x + y = 6$ सहित),और असमिका $(2)$ रेखा $3x + 4y = 12$ के नीचे के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा $3x + 4y = 12$ सहित)।
अतः,दी गई रैखिक असमिकाओं के निकाय का हल चित्र में दर्शाए गए अनुसार संबंधित रेखाओं पर स्थित बिंदुओं सहित उभयनिष्ठ छायांकित क्षेत्र द्वारा निरूपित होता है।

(N/A) $x+y \geq 4$ ..... $(1)$
$2x-y > 0$ ..... $(2)$
रेखाओं $x+y=4$ और $2x-y=0$ के आलेख नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए गए हैं।
असमिका $(1)$ रेखा $x+y=4$ के ऊपर के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा $x+y=4$ को सम्मिलित करते हुए)।
यह देखा गया है कि $(1,0)$ असमिका $2x-y > 0$ को संतुष्ट करता है क्योंकि $2(1)-0 = 2 > 0$। अतः,असमिका $(2)$ रेखा $2x-y=0$ के संगत उस अर्ध-तल को दर्शाती है जिसमें बिंदु $(1,0)$ स्थित है।
अतः,दिए गए रैखिक असमिकाओं के निकाय का हल उस उभयनिष्ठ छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है जिसमें रेखा $x+y=4$ के बिंदु सम्मिलित हैं और रेखा $2x-y=0$ के बिंदु सम्मिलित नहीं हैं।

(N/A) $2x - y > 1$ ..... $(1)$
$x - 2y < -1$ ..... $(2)$
रेखाओं $2x - y = 1$ और $x - 2y = -1$ का आलेख नीचे दी गई आकृति में खींचा गया है।
असमिका $(1)$ रेखा $2x - y = 1$ के नीचे के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा $2x - y = 1$ को छोड़कर),और असमिका $(2)$ रेखा $x - 2y = -1$ के ऊपर के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा $x - 2y = -1$ को छोड़कर)।
अतः,दी गई रैखिक असमिकाओं के निकाय का हल आकृति में दिखाए गए अनुसार संबंधित रेखाओं पर स्थित बिंदुओं को छोड़कर उभयनिष्ठ छायांकित क्षेत्र द्वारा निरूपित होता है।

(N/A) $x+y \leq 6$ ..... $(1)$
$x+y \geq 4$ ..... $(2)$
रेखाओं $x+y=6$ और $x+y=4$ के आलेख नीचे दी गई आकृति में खींचे गए हैं।
असमिका $(1)$ रेखा $x+y=6$ के नीचे के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा $x+y=6$ सहित),और असमिका $(2)$ रेखा $x+y=4$ के ऊपर के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा $x+y=4$ सहित)।
अतः,दिए गए रैखिक असमिकाओं के निकाय का हल उस उभयनिष्ठ छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है जिसमें संबंधित रेखाओं पर स्थित बिंदु भी शामिल हैं,जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।

(N/A) असमिकाओं $2x + y \geq 8$ और $x + 2y \geq 10$ को आलेखीय रूप से हल करने के लिए,हम पहले संबंधित समीकरणों पर विचार करते हैं:
$2x + y = 8$ ... $(1)$
$x + 2y = 10$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ के लिए,यदि $x = 0$,तो $y = 8$. यदि $y = 0$,तो $x = 4$. यह रेखा $(0, 8)$ और $(4, 0)$ से होकर गुजरती है।
समीकरण $(2)$ के लिए,यदि $x = 0$,तो $y = 5$. यदि $y = 0$,तो $x = 10$. यह रेखा $(0, 5)$ और $(10, 0)$ से होकर गुजरती है।
चूंकि दोनों असमिकाएं $\geq$ प्रकार की हैं,इसलिए प्रत्येक असमिका के लिए हल क्षेत्र संबंधित रेखाओं के ऊपर का क्षेत्र है।
दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरणों को हल करके प्राप्त किया जाता है:
$2(2x + y = 8) \Rightarrow 4x + 2y = 16$
इसमें से $(2)$ घटाने पर: $(4x + 2y) - (x + 2y) = 16 - 10$ $\Rightarrow 3x = 6$ $\Rightarrow x = 2$.
$x = 2$ को $(1)$ में रखने पर: $2(2) + y = 8$ $\Rightarrow 4 + y = 8$ $\Rightarrow y = 4$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 4)$ है।
निकाय का हल वह सामान्य छायांकित क्षेत्र है जो रेखाओं $2x + y = 8$ और $x + 2y = 10$ द्वारा परिबद्ध है,जिसमें रेखाओं पर स्थित बिंदु भी शामिल हैं।

(N/A) $x+y \leq 9$ .... $(1)$
$y>x$ .... $(2)$
$x \geq 0$ .... $(3)$
रेखाओं $x+y=9$ और $y=x$ का आलेख नीचे दी गई आकृति में खींचा गया है।
असमिका $(1)$ रेखा $x+y=9$ के नीचे के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा $x+y=9$ को सम्मिलित करते हुए)। यह देखा गया है कि $(0,1)$ असमिका $y>x$ $[1>0]$ को संतुष्ट करता है। इसलिए,असमिका $(2)$ रेखा $y=x$ के संगत अर्ध-तल को दर्शाती है,जिसमें बिंदु $(0,1)$ सम्मिलित है (रेखा $y=x$ को छोड़कर)। असमिका $(3)$ रेखा $x=0$ या $y$-अक्ष के दाईं ओर के क्षेत्र को दर्शाती है ($y$-अक्ष को सम्मिलित करते हुए)।
अतः,दिए गए रैखिक असमिकाओं के निकाय का हल सामान्य छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है,जिसमें रेखाओं $x+y=9$ और $x=0$ पर स्थित बिंदु सम्मिलित हैं,और रेखा $y=x$ पर स्थित बिंदुओं को आकृति में दिखाए अनुसार छोड़ दिया गया है।

(N/A) दी गई असमिकाओं का निकाय है:
$5x + 4y \leq 20$ .....$(1)$
$x \geq 1$ .....$(2)$
$y \geq 2$ .....$(3)$
सबसे पहले,हम संबंधित समीकरणों $5x + 4y = 20$,$x = 1$ और $y = 2$ के आलेख खींचते हैं।
$1$. $5x + 4y = 20$ के लिए,यदि $x = 0$ है,तो $y = 5$; यदि $y = 0$ है,तो $x = 4$ है। यह रेखा $(0, 5)$ और $(4, 0)$ से होकर गुजरती है। चूँकि असमिका $\leq$ है,इसलिए क्षेत्र रेखा के नीचे का भाग है।
$2$. $x = 1$ के लिए,क्षेत्र ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 1$ के दाईं ओर है।
$3$. $y = 2$ के लिए,क्षेत्र क्षैतिज रेखा $y = 2$ के ऊपर का भाग है।
सामान्य छायांकित क्षेत्र दिए गए असमिकाओं के निकाय का हल है,जो $(1, 2)$,$(2.4, 2)$ और $(1, 3.75)$ शीर्षों वाला एक त्रिभुज है।

(N/A) $3x + 4y \leq 60$ ...... $(1)$
$x + 3y \leq 30$ ...... $(2)$
रेखाओं $3x + 4y = 60$ और $x + 3y = 30$ का आलेख नीचे दी गई आकृति में खींचा गया है।
असमिका $(1)$ रेखा $3x + 4y = 60$ के नीचे के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा $3x + 4y = 60$ सहित),और असमिका $(2)$ रेखा $x + 3y = 30$ के नीचे के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा $x + 3y = 30$ सहित)।
चूंकि $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है,इसलिए प्रथम चतुर्थांश में उभयनिष्ठ छायांकित क्षेत्र का प्रत्येक बिंदु,जिसमें संबंधित रेखाओं और अक्षों पर स्थित बिंदु भी शामिल हैं,दी गई रैखिक असमिकाओं के निकाय का हल है।

(N/A) $2x + y \geq 4$ ...... $(1)$
$x + y \leq 3$ ...... $(2)$
$2x - 3y \leq 6$ ...... $(3)$
रेखाओं $2x + y = 4$,$x + y = 3$ और $2x - 3y = 6$ के आलेख चित्र में दर्शाए गए हैं।
असमिका $(1)$ रेखा $2x + y = 4$ के ऊपर के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा सहित)।
असमिका $(2)$ रेखा $x + y = 3$ के नीचे के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा सहित)।
असमिका $(3)$ रेखा $2x - 3y = 6$ के ऊपर के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा सहित)।
अतः,दी गई रैखिक असमिकाओं के निकाय का हल आलेख में सामान्य छायांकित त्रिभुजाकार क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है,जिसमें संबंधित सीमा रेखाओं पर स्थित बिंदु भी सम्मिलित हैं।

(N/A) दी गई असमिकाओं का निकाय इस प्रकार है:
$x-2y \leq 3$ .....$(1)$
$3x+4y \geq 12$ .....$(2)$
$y \geq 1$ .....$(3)$
$x \geq 0$ .....$(4)$
सबसे पहले,हम रेखाओं $x-2y=3$,$3x+4y=12$,$y=1$ और $x=0$ ($y$-अक्ष) के आलेख खींचते हैं।
असमिका $(1)$ के लिए,बिंदु $(0,0)$ की जाँच करने पर: $0-0 \leq 3$ सत्य है,इसलिए क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है। रेखा $x-2y=3$ बिंदुओं $(3,0)$ और $(0,-1.5)$ से होकर गुजरती है।
असमिका $(2)$ के लिए,बिंदु $(0,0)$ की जाँच करने पर: $0+0 \geq 12$ असत्य है,इसलिए क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है। रेखा $3x+4y=12$ बिंदुओं $(4,0)$ और $(0,3)$ से होकर गुजरती है।
असमिका $(3)$ के लिए,क्षेत्र रेखा $y=1$ के ऊपर है।
असमिका $(4)$ के लिए,क्षेत्र $y$-अक्ष के दाईं ओर है।
इन सभी असमिकाओं को संतुष्ट करने वाला उभयनिष्ठ छायांकित क्षेत्र ही आलेख में दर्शाया गया सुसंगत क्षेत्र है।

(N/A) दी गई असमिकाओं का निकाय है:
$4x + 3y \leq 60$ .....$(1)$
$y \geq 2x$ .....$(2)$
$x \geq 3$ .....$(3)$
इसे आलेखीय रूप से हल करने के लिए,हम पहले संबंधित रेखाएं खींचते हैं:
$1$. $4x + 3y = 60$ के लिए: यदि $x=0, y=20$; यदि $y=0, x=15$. यह रेखा $(0, 20)$ और $(15, 0)$ से होकर गुजरती है।
$2$. $y = 2x$ के लिए: यह रेखा $(0, 0)$ और $(3, 6)$ से होकर गुजरती है।
$3$. $x = 3$ के लिए: यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है जो $(3, 0)$ से होकर गुजरती है।
क्षेत्रों का विश्लेषण:
- असमिका $(1)$ रेखा $4x + 3y = 60$ के नीचे का क्षेत्र दर्शाती है।
- असमिका $(2)$ रेखा $y = 2x$ के ऊपर का क्षेत्र दर्शाती है।
- असमिका $(3)$ रेखा $x = 3$ के दाईं ओर का क्षेत्र दर्शाती है।
आलेख में सामान्य छायांकित क्षेत्र दिए गए रैखिक असमिकाओं के निकाय का हल है।

(N/A) $3x + 2y \leq 150$ .... $(1)$
$x + 4y \leq 80$ .... $(2)$
$x \leq 15$ .... $(3)$
रेखाओं $3x + 2y = 150$,$x + 4y = 80$ और $x = 15$ के आलेख चित्र में दर्शाए गए हैं।
असमिका $(1)$ रेखा $3x + 2y = 150$ के नीचे के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा सहित)।
असमिका $(2)$ रेखा $x + 4y = 80$ के नीचे के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा सहित)।
असमिका $(3)$ रेखा $x = 15$ के बाईं ओर के क्षेत्र को दर्शाती है (रेखा सहित)।
चूंकि $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है,इसलिए हल प्रथम चतुर्थांश में उभयनिष्ठ छायांकित क्षेत्र है,जिसमें संबंधित रेखाओं और अक्षों पर स्थित बिंदु भी शामिल हैं।

(N/A) दिए गए असमिकाओं का निकाय है:
$x+2y \leq 10$ .....$(1)$
$x+y \geq 1$ .....$(2)$
$x-y \leq 0$ .....$(3)$
$x \geq 0, y \geq 0$ .....$(4)$
इसे आलेखीय रूप से हल करने के लिए,हम पहले रेखाओं $x+2y=10$,$x+y=1$,और $x-y=0$ को खींचते हैं।
$1$. $x+2y=10$ के लिए: यदि $x=0, y=5$; यदि $y=0, x=10$। रेखा $(0, 5)$ और $(10, 0)$ से गुजरती है। चूँकि $(0,0)$ असमिका $x+2y \leq 10$ को संतुष्ट करता है,इसलिए क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।
$2$. $x+y=1$ के लिए: यदि $x=0, y=1$; यदि $y=0, x=1$। रेखा $(0, 1)$ और $(1, 0)$ से गुजरती है। चूँकि $(0,0)$ असमिका $x+y \geq 1$ को संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है।
$3$. $x-y=0$ के लिए: यह रेखा मूल बिंदु $(0,0)$ और $(2,2)$ से गुजरती है। $(0,1)$ जैसे बिंदु का परीक्षण करने पर,$0-1 \leq 0$ सत्य है,इसलिए क्षेत्र रेखा $x-y=0$ के ऊपर है।
प्रथम चतुर्थांश में इन रेखाओं द्वारा घिरा हुआ सामान्य छायांकित क्षेत्र दिए गए रैखिक असमिकाओं के निकाय का हल है।

(B) चरण $1$: सीमा रेखाओं $x - y + 2 = 0$ और $2x + y - 5 = 0$ पर विचार करें।
चरण $2$: $x - y + 2 = 0$ के लिए,यदि $x = 0$,तो $y = 2$; यदि $y = 0$,तो $x = -2$। रेखा $(0, 2)$ और $(-2, 0)$ से गुजरती है। $(0, 0)$ का परीक्षण करने पर,$0 - 0 + 2 \geq 0$ सत्य है,अतः क्षेत्र में मूल बिंदु शामिल है।
चरण $3$: $2x + y - 5 = 0$ के लिए,यदि $x = 0$,तो $y = 5$; यदि $y = 0$,तो $x = 2.5$। रेखा $(0, 5)$ और $(2.5, 0)$ से गुजरती है। $(0, 0)$ का परीक्षण करने पर,$2(0) + 0 - 5 \leq 0$ सत्य है,अतः क्षेत्र में मूल बिंदु शामिल है।
चरण $4$: हल वह उभयनिष्ठ छायांकित क्षेत्र है जो दोनों असमिकाओं को एक साथ संतुष्ट करता है।

(A) निकाय $x+y < 2, x > 0, y > 1$ को आलेखीय रूप से हल करने के लिए,हम संबंधित समीकरणों पर विचार करते हैं:
$1$. $x+y = 2$
$2$. $x = 0$
$3$. $y = 1$
चरण $1$: रेखा $x+y = 2$ को आलेखित करें। यह $(2, 0)$ और $(0, 2)$ से होकर गुजरती है। चूँकि असमिका $x+y < 2$ है,क्षेत्र रेखा के नीचे है।
चरण $2$: रेखा $x = 0$ $y$-अक्ष है। असमिका $x > 0$ $y$-अक्ष के दाईं ओर के क्षेत्र को दर्शाती है।
चरण $3$: रेखा $y = 1$ एक क्षैतिज रेखा है। असमिका $y > 1$ इस रेखा के ऊपर के क्षेत्र को दर्शाती है।
इन सबको मिलाने पर:
हमें $x > 0, y > 1$ और $x+y < 2$ की आवश्यकता है।
यदि $y > 1$ और $x > 0$ है,तो $x+y > 1$ होगा।
$y > 1$ और $x > 0$ होते हुए $x+y < 2$ को सत्य होने के लिए,क्षेत्र को इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बने त्रिभुज के भीतर होना चाहिए।
$x=0$ और $y=1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है।
$x+y=2$ और $y=1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
$x+y=2$ और $x=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 2)$ है।
चूँकि असमिकाएँ सख्त ($ < $ और $>$) हैं,इसलिए क्षेत्र $(0, 1), (1, 1), (0, 2)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का आंतरिक भाग है,जिसमें सीमाएँ शामिल नहीं हैं।

(N/A) असमिकाओं के निकाय को आलेखीय रूप से हल करने के लिए,हम पहले संबंधित समीकरणों पर विचार करते हैं:
$1$. $5x + 3y = 15$
$x = 0$ के लिए,$y = 5$. $y = 0$ के लिए,$x = 3$. यह रेखा $(0, 5)$ और $(3, 0)$ से होकर गुजरती है।
$2$. $4x + 5y = 20$
$x = 0$ के लिए,$y = 4$. $y = 0$ के लिए,$x = 5$. यह रेखा $(0, 4)$ और $(5, 0)$ से होकर गुजरती है।
$3$. $x \geq 0$ और $y \geq 0$ दर्शाते हैं कि हल प्रथम चतुर्थांश में है।
दोनों असमिकाओं के लिए मूल बिंदु $(0, 0)$ की जाँच करने पर:
$5(0) + 3(0) = 0 \leq 15$ (सत्य)
$4(0) + 5(0) = 0 \leq 20$ (सत्य)
चूंकि दोनों सत्य हैं,छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।
सुसंगत क्षेत्र वह चतुर्भुज है जो $(0, 0), (3, 0), (15/13, 40/13),$ और $(0, 4)$ शीर्षों द्वारा घिरा हुआ है।

(A) $1$. असमिका $2x + y \leq 12$ पर विचार करें। सीमा रेखा $2x + y = 12$ है। $x=0$ के लिए $y=12$; $y=0$ के लिए $x=6$। क्षेत्र में मूलबिंदु $(0,0)$ शामिल है क्योंकि $0 \leq 12$ है।
$2$. असमिका $x + 2y \leq 7$ पर विचार करें। सीमा रेखा $x + 2y = 7$ है। $x=0$ के लिए $y=3.5$; $y=0$ के लिए $x=7$। क्षेत्र में मूलबिंदु $(0,0)$ शामिल है क्योंकि $0 \leq 7$ है।
$3$. प्रतिबंध $x \geq 0$ और $y \geq 0$ हल को प्रथम चतुर्थांश तक सीमित करते हैं।
$4$. $2x + y = 12$ और $x + 2y = 7$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करें: $2x + 4y = 14$। इसमें से पहला समीकरण घटाने पर $3y = 2$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = 2/3$। तब $x = 7 - 2(2/3) = 17/3$।
$5$. सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(0,0), (6,0), (17/3, 2/3), (0, 3.5)$ हैं।

दी गई असमिकाएं इस प्रकार हैं:
$1. x > 0$ ($y$-अक्ष के दाईं ओर का क्षेत्र)
$2. y > 0$ ($x$-अक्ष के ऊपर का क्षेत्र)
$3. x \leq 3$ ($x = 3$ रेखा के बाईं ओर का क्षेत्र)
$4. y \leq 2$ ($y = 2$ रेखा के नीचे का क्षेत्र)
इसे आलेखीय रूप से हल करने के लिए,हम $x = 0$ ($y$-अक्ष),$y = 0$ ($x$-अक्ष),$x = 3$ और $y = 2$ रेखाएं खींचते हैं।
हल प्रथम चतुर्थांश में स्थित वह आयताकार क्षेत्र है जो शीर्षों $(0, 0), (3, 0), (3, 2)$ और $(0, 2)$ द्वारा घिरा हुआ है।

(N/A) असमिकाओं के निकाय को आलेखीय रूप से हल करने के लिए,हम संबंधित समीकरणों पर विचार करते हैं:
$1$. $x = 1$ (ऊर्ध्वाधर रेखा जो $(1, 0)$ से गुजरती है,बाईं ओर छायांकित करें)।
$2$. $y = 0$ ($x$-अक्ष,रेखा के नीचे छायांकित करें)।
$3$. $x = -3$ (ऊर्ध्वाधर रेखा जो $(-3, 0)$ से गुजरती है,दाईं ओर छायांकित करें)।
$4$. $x + y = 0$ या $y = -x$ (रेखा जो $(0, 0)$ और $(1, -1)$ से गुजरती है,रेखा के ऊपर छायांकित करें)।
हल क्षेत्र इन चार अर्ध-तलों का प्रतिच्छेदन है। परिणामी क्षेत्र के शीर्ष $(-3, 3)$,$(-3, 0)$ और $(1, -1)$ हैं।

(A) असमिकाओं $3x + y > 0$ और $3x + y < 3$ के निकाय को आलेखीय रूप से हल करने के लिए,हम पहले सीमा रेखाओं पर विचार करते हैं:
$1$. $3x + y = 0$ के लिए,हम $(0, 0)$ और $(1, -3)$ से गुजरने वाली रेखा खींचते हैं। चूँकि असमिका $3x + y > 0$ है,हल क्षेत्र इस रेखा के ऊपर का अर्ध-तल है।
$2$. $3x + y = 3$ के लिए,हम $(1, 0)$ और $(0, 3)$ से गुजरने वाली रेखा खींचते हैं। चूँकि असमिका $3x + y < 3$ है,हल क्षेत्र इस रेखा के नीचे का अर्ध-तल है।
$3$. इन दोनों क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन $3x + y = 0$ और $3x + y = 3$ समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी है।

(N/A) असमिकाओं के निकाय को आलेखीय रूप से हल करने के लिए,हम सीमा रेखाओं को खोजने के लिए संबंधित समीकरणों पर विचार करते हैं:
$1$. $x = 0$ ($y$-अक्ष)
$2$. $y = 0$ ($x$-अक्ष)
$3$. $x + y = 6$: यदि $x=0, y=6$; यदि $y=0, x=6$. रेखा $(0, 6)$ और $(6, 0)$ से होकर गुजरती है।
$4$. $3x + 4y = 12$: यदि $x=0, y=3$; यदि $y=0, x=4$. रेखा $(0, 3)$ और $(4, 0)$ से होकर गुजरती है।
इसके बाद,हम सुसंगत क्षेत्र निर्धारित करते हैं:
- $x \geq 0$ और $y \geq 0$ हल को प्रथम चतुर्थांश तक सीमित करते हैं।
- $x + y \leq 6$ के लिए,क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है क्योंकि $(0,0)$ समीकरण $0+0 \leq 6$ को संतुष्ट करता है।
- $3x + 4y \leq 12$ के लिए,क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है क्योंकि $(0,0)$ समीकरण $0+0 \leq 12$ को संतुष्ट करता है।
इन क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन वह बहुभुज है जो $(0, 0), (4, 0), (0, 3)$ शीर्षों द्वारा बनता है।

(C) पहली असमिका के लिए:
$x+5 > 2x+2$
$5-2 > 2x-x$
$3 > x$ या $x < 3$
दूसरी असमिका के लिए:
$2-x < 3x+6$
$2-6 < 3x+x$
$-4 < 4x$
$-1 < x$ या $x > -1$
दोनों असमिकाओं को मिलाने पर,हमें $-1 < x < 3$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई असमिकाएँ हैं:
$2(x-6) < 3x-7$
$2x - 12 < 3x - 7$
$-12 + 7 < 3x - 2x$
$-5 < x$ या $x > -5$
और $11-2x < 6-x$
$11 - 6 < 2x - x$
$5 < x$ या $x > 5$
दोनों असमिकाओं को संतुष्ट करने के लिए,हमें $x > -5$ और $x > 5$ का सर्वनिष्ठ (intersection) लेना होगा।
सर्वनिष्ठ $x > 5$ है।
अतः,हल समुच्चय $(5, \infty)$ है।

(A) दी गई असमिकाएं:
$|x-1| \leq 5$ $(i)$
$|x| \geq 2$ $(ii)$
$(i)$ को हल करने पर:
$|x-1| \leq 5$
$-5 \leq x-1 \leq 5$
$-5+1 \leq x \leq 5+1$
$-4 \leq x \leq 6$
अतः,$x \in [-4, 6]$।
$(ii)$ को हल करने पर:
$|x| \geq 2$
$x \leq -2$ या $x \geq 2$
अतः,$x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$।
$(i)$ और $(ii)$ के हलों को मिलाने पर:
हम $[-4, 6]$ और $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करते हैं।
सर्वनिष्ठ $= [-4, -2] \cup [2, 6]$।

(N/A) सबसे पहले,हम रेखा $3x + 2y = 48$ पर विचार करते हैं,जो $X$-अक्ष को $(16, 0)$ पर और $Y$-अक्ष को $(0, 24)$ पर काटती है।
चूंकि मूल बिंदु $(0, 0)$ छायांकित क्षेत्र के भीतर स्थित है,इसलिए यह असमिका $3x + 2y \leq 48$ को संतुष्ट करता है।
इसके बाद,हम रेखा $x + y = 20$ पर विचार करते हैं,जो $X$-अक्ष को $(20, 0)$ पर और $Y$-अक्ष को $(0, 20)$ पर काटती है।
चूंकि मूल बिंदु $(0, 0)$ छायांकित क्षेत्र के भीतर स्थित है,इसलिए यह असमिका $x + y \leq 20$ को संतुष्ट करता है।
आकृति से यह स्पष्ट है कि छायांकित क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,जिसका अर्थ है $x \geq 0$ और $y \geq 0$।
अतः,छायांकित क्षेत्र को निरूपित करने वाली रैखिक असमिकाएं $3x + 2y \leq 48$,$x + y \leq 20$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ हैं।

(N/A) $1$. रेखा $x+y=4$ पर विचार करें। यह रेखा $X$-अक्ष को $(4,0)$ पर और $Y$-अक्ष को $(0,4)$ पर काटती है। मूल बिंदु $(0,0)$ का परीक्षण करने पर,$0+0 \leq 4$ असत्य है,इसलिए क्षेत्र मूल बिंदु से दूर की ओर है,जिससे $x+y \geq 4$ प्राप्त होता है।
$2$. रेखा $x+y=8$ पर विचार करें। यह रेखा $X$-अक्ष को $(8,0)$ पर और $Y$-अक्ष को $(0,8)$ पर काटती है। मूल बिंदु $(0,0)$ का परीक्षण करने पर,$0+0 \leq 8$ सत्य है,इसलिए क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है,जिससे $x+y \leq 8$ प्राप्त होता है।
$3$. ऊर्ध्वाधर रेखा $x=5$,$X$-अक्ष को $(5,0)$ पर काटती है। छायांकित क्षेत्र इस रेखा के बाईं ओर है,जिससे $x \leq 5$ प्राप्त होता है।
$4$. क्षैतिज रेखा $y=5$,$Y$-अक्ष को $(0,5)$ पर काटती है। छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे है,जिससे $y \leq 5$ प्राप्त होता है।
$5$. चूंकि छायांकित क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है।
अतः,रैखिक असमिकाओं का निकाय $x+y \geq 4, x+y \leq 8, x \leq 5, y \leq 5, x \geq 0, y \geq 0$ है।

(N/A) हल:
हमारे पास रैखिक असमिकाओं का निकाय है: $2x + y \geq 8$,$x + 2y \geq 10$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$.
$1$. रेखा $2x + y = 8$ बिंदुओं $(0, 8)$ और $(4, 0)$ से होकर गुजरती है।
$2$. रेखा $x + 2y = 10$ बिंदुओं $(0, 5)$ और $(10, 0)$ से होकर गुजरती है।
$3$. मूल बिंदु $(0, 0)$ के लिए,हम असमिकाओं की जाँच करते हैं:
- $2x + y \geq 8$ के लिए: $2(0) + 0 = 0 < 8$. अतः,मूल बिंदु असमिका को संतुष्ट नहीं करता है,और क्षेत्र रेखा के मूल बिंदु से विपरीत दिशा में स्थित है।
- $x + 2y \geq 10$ के लिए: $0 + 2(0) = 0 < 10$. अतः,मूल बिंदु असमिका को संतुष्ट नहीं करता है,और क्षेत्र रेखा के मूल बिंदु से विपरीत दिशा में स्थित है।
$4$. शर्तें $x \geq 0$ और $y \geq 0$ हल को प्रथम चतुर्थांश में सीमित करती हैं।
$5$. इन रेखाओं को आलेखित करके और सभी असमिकाओं को संतुष्ट करने वाले सामान्य क्षेत्र की पहचान करके,हम देख सकते हैं कि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु से अनंत तक फैला हुआ है।
$6$. इसलिए,हल समुच्चय एक अपरिबद्ध क्षेत्र है।

(NONE) हमारे पास असमिकाओं का निकाय है:
$1) \ 3x + 2y \geq 24$
$2) \ 3x + y \leq 15$
$3) \ x \geq 4$
सबसे पहले,हम निर्देशांक तल पर संबंधित रेखाओं को आलेखित करते हैं:
- $3x + 2y = 24$ के लिए,अंतःखंड $(8, 0)$ और $(0, 12)$ हैं। $3x + 2y \geq 24$ वाला क्षेत्र मूल बिंदु से दूर का अर्ध-तल है।
- $3x + y = 15$ के लिए,अंतःखंड $(5, 0)$ और $(0, 15)$ हैं। $3x + y \leq 15$ वाला क्षेत्र मूल बिंदु को समाहित करने वाला अर्ध-तल है।
- $x = 4$ के लिए,यह $(4, 0)$ से गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। $x \geq 4$ वाला क्षेत्र इस रेखा के दाईं ओर का अर्ध-तल है।
ग्राफ का अवलोकन करने पर,हम देखते हैं कि $x \geq 4$ वाले क्षेत्र में $3x + 2y \geq 24$ और $3x + y \leq 15$ को संतुष्ट करने वाला कोई उभयनिष्ठ क्षेत्र नहीं है। अतः,असमिकाओं के दिए गए निकाय का कोई हल नहीं है।

(N/A) हमें रैखिक असमिकाएं दी गई हैं: $x + 2y \leq 3$,$3x + 4y \geq 12$,$x \geq 0$ और $y \geq 1$.
सबसे पहले,हम निर्देशांक तल में संबंधित रेखाओं $x + 2y = 3$,$3x + 4y = 12$,$x = 0$ और $y = 1$ को आलेखित करते हैं।
$1$. रेखा $x + 2y = 3$ बिंदुओं $(0, 1.5)$ और $(3, 0)$ से होकर गुजरती है। बिंदु $(0, 0)$ की जाँच करने पर,हमें $0 + 2(0) = 0 \leq 3$ प्राप्त होता है,जो सत्य है। अतः,$x + 2y \leq 3$ को संतुष्ट करने वाला क्षेत्र मूल बिंदु को समाहित करता है।
$2$. रेखा $3x + 4y = 12$ बिंदुओं $(0, 3)$ और $(4, 0)$ से होकर गुजरती है। बिंदु $(0, 0)$ की जाँच करने पर,हमें $3(0) + 4(0) = 0 \geq 12$ प्राप्त होता है,जो असत्य है। अतः,$3x + 4y \geq 12$ को संतुष्ट करने वाला क्षेत्र मूल बिंदु को समाहित नहीं करता है।
$3$. क्षेत्र $x \geq 0$ दाईं ओर का अर्ध-तल दर्शाता है।
$4$. क्षेत्र $y \geq 1$ रेखा $y = 1$ के ऊपर का अर्ध-तल दर्शाता है।
इन क्षेत्रों को आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि $x + 2y \leq 3$ के लिए छायांकित भाग रेखा $x + 2y = 3$ के नीचे है,जबकि $3x + 4y \geq 12$ के लिए क्षेत्र रेखा $3x + 4y = 12$ के ऊपर है। इसके अतिरिक्त,$x \geq 0$ और $y \geq 1$ की शर्तें हल को $y = 1$ के ऊपर प्रथम चतुर्थांश में सीमित करती हैं। जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,कोई भी सामान्य क्षेत्र नहीं है जो इन सभी असमिकाओं को एक साथ संतुष्ट करता हो। इसलिए,इस प्रणाली का कोई हल नहीं है (हल समुच्चय एक रिक्त समुच्चय है)।

(C) $1$. ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 1$ है। चूँकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के दाईं ओर है और रेखा ठोस (solid) है,इसलिए असमिका $x \geq 1$ है।
$2$. क्षैतिज रेखा $y = 2$ है। चूँकि रेखा बिंदुदार (dashed) है,यह क्षेत्र में शामिल नहीं है। छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे है,इसलिए असमिका $y < 2$ है।
$3$. दोनों को मिलाने पर,क्षेत्र को $x \geq 1$ और $y < 2$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(D) सुसंगत क्षेत्र (feasible region) ज्ञात करने के लिए,हम असमिकाओं $x+y \leq 1$ और $x-y \leq 1$ का विश्लेषण करते हैं।
$1$. रेखा $x+y = 1$,$(1, 0)$ और $(0, 1)$ से होकर गुजरती है। क्षेत्र $x+y \leq 1$ में मूल बिंदु $(0,0)$ शामिल है और यह चारों चतुर्थांशों में फैला हुआ है।
$2$. रेखा $x-y = 1$,$(1, 0)$ और $(0, -1)$ से होकर गुजरती है। क्षेत्र $x-y \leq 1$ में भी मूल बिंदु $(0,0)$ शामिल है और यह चारों चतुर्थांशों में फैला हुआ है।
$3$. चूंकि दोनों असमिकाएं ऐसे अर्ध-तलों को दर्शाती हैं जो अनंत तक फैले हुए हैं और जिनमें मूल बिंदु शामिल है,इसलिए उनका प्रतिच्छेदन (सुसंगत क्षेत्र) एक अपरिबद्ध क्षेत्र है जो कार्तीय तल के चारों चतुर्थांशों में स्थित है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) हल समुच्चय ज्ञात करने के लिए,हम दी गई असमिकाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $2x + 3y \leq 6$
$2$. $5x + 3y \leq 15$
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$
हम प्रत्येक बिंदु की असमिकाओं के साथ जाँच करते हैं:
बिंदु $(0, 2)$ के लिए: $2(0) + 3(2) = 6 \leq 6$ (सत्य) और $5(0) + 3(2) = 6 \leq 15$ (सत्य)।
बिंदु $(0, 0)$ के लिए: $2(0) + 3(0) = 0 \leq 6$ (सत्य) और $5(0) + 3(0) = 0 \leq 15$ (सत्य)।
बिंदु $(3, 0)$ के लिए: $2(3) + 3(0) = 6 \leq 6$ (सत्य) और $5(3) + 3(0) = 15 \leq 15$ (सत्य)।
बिंदु $(0, 5)$ के लिए: $2(0) + 3(5) = 15 \not\leq 6$ (असत्य) और $5(0) + 3(5) = 15 \leq 15$ (सत्य)।
चूंकि बिंदु $(0, 5)$ पहली असमिका का उल्लंघन करता है,इसलिए यह हल समुच्चय में शामिल नहीं है।

(A) $1$. ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 3$ का अवलोकन करें। छायांकित क्षेत्र इस रेखा के बाईं ओर स्थित है,जो $x \leq 3$ के अनुरूप है। चूंकि रेखा ठोस (solid) है,इसलिए असमिका में सीमा शामिल है।
$2$. क्षैतिज रेखा $y = 1$ का अवलोकन करें। छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे स्थित है,जो $y < 1$ के अनुरूप है। चूंकि रेखा खंडित (dashed) है,इसलिए असमिका सख्त (strict) है।
$3$. इन दोनों को मिलाने पर,छायांकित क्षेत्र $x \leq 3$ और $y < 1$ असमिकाओं के निकाय को दर्शाता है।

(B) छायांकित क्षेत्र के लिए सही असमिकाओं की प्रणाली निर्धारित करने के लिए,हम आकृति में दिखाई गई सीमा रेखाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $(0, 3)$ और $(6, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 1$ है,जो सरल होकर $x + 2y = 6$ हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के ऊपर है,इसलिए असमिका $x + 2y \geq 6$ है।
$2$. $(0, 5)$ और $(3, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = 1$ है,जो सरल होकर $5x + 3y = 15$ हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के ऊपर है,इसलिए असमिका $5x + 3y \geq 15$ है।
$3$. ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 7$ है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के बाईं ओर है,इसलिए असमिका $x \leq 7$ है।
$4$. क्षैतिज रेखा $y = 6$ है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे है,इसलिए असमिका $y \leq 6$ है।
$5$. क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$.
इन सबको मिलाने पर,प्रणाली $x + 2y \geq 6, 5x + 3y \geq 15, x \leq 7, y \leq 6, x, y \geq 0$ प्राप्त होती है। यह विकल्प $(B)$ के अनुरूप है।

(A) छायांकित क्षेत्र रेखाओं $x-y=0$ और $x+y=0$ द्वारा परिबद्ध है।
रेखा $x-y=0$ के लिए,छायांकित क्षेत्र में एक बिंदु,जैसे $(1, 0)$ लेने पर,$1-0=1 > 0$ प्राप्त होता है। चूँकि क्षेत्र में रेखा भी शामिल है,इसलिए हम $y=x$ रेखा के नीचे के क्षेत्र के लिए $x-y \leq 0$ पर विचार करते हैं।
ग्राफ को देखने पर,छायांकित क्षेत्र $y=x$ रेखा के नीचे (अर्थात $y \geq x$ या $x-y \leq 0$) और $y=-x$ रेखा के ऊपर (अर्थात $y \geq -x$ या $x+y \geq 0$) स्थित है।
अतः,छायांकित क्षेत्र को दर्शाने वाली असमिकाएँ $x-y \leq 0$ और $x+y \geq 0$ हैं।

(A) सुसंगत क्षेत्र (feasible region) ज्ञात करने के लिए,हम दी गई असमिकाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $2x + 3y \leq 6$: सीमा रेखा $2x + 3y = 6$ है। $(0,0)$ के लिए,$0 \leq 6$ सत्य है,इसलिए क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।
$2$. $x + 4y \geq 4$: सीमा रेखा $x + 4y = 4$ है। $(0,0)$ के लिए,$0 \geq 4$ असत्य है,इसलिए क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है।
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$: यह क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश (1st quadrant) तक सीमित करता है।
इन शर्तों को मिलाने पर,सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में उन रेखाओं द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र है जो दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करता है। दिए गए चित्रों को देखने पर,चित्र $1$ इन बाधाओं द्वारा घिरे क्षेत्र को दर्शाता है।
अतः,विकल्प $(A)$ सही उत्तर है।

(C) छायांकित क्षेत्र के लिए सही रैखिक असमिकाओं को निर्धारित करने के लिए,हम सीमा रेखाओं और मूल बिंदु $(0,0)$ के सापेक्ष छायांकित क्षेत्र की दिशा का विश्लेषण करते हैं।
$1$. यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है।
$2$. रेखा $3x + 4y = 18$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ असमिका $3(0) + 4(0) = 0 < 18$ को संतुष्ट करता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के मूल बिंदु वाली ओर है,इसलिए असमिका $3x + 4y \leq 18$ है।
$3$. रेखा $x - 6y = 3$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ असमिका $0 - 0 = 0 < 3$ को संतुष्ट करता है। छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है,इसलिए असमिका $x - 6y \leq 3$ है।
$4$. रेखा $2x + 3y = 3$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ असमिका $2(0) + 3(0) = 0 < 3$ को संतुष्ट करता है। हालांकि,छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत दिशा में है,इसलिए असमिका $2x + 3y \geq 3$ है।
$5$. रेखा $-7x + 14y = 14$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ असमिका $-7(0) + 14(0) = 0 < 14$ को संतुष्ट करता है। छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है,इसलिए असमिका $-7x + 14y \leq 14$ है।
इन शर्तों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $C$ सभी शर्तों को पूरा करता है।

(B) उभयनिष्ठ क्षेत्र निर्धारित करने के लिए,हम दी गई असमिकाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x+2y \geq 4$: सीमा रेखा $x+2y=4$ है। मूलबिंदु $(0,0)$ का परीक्षण करने पर,हमें $0+0 \geq 4$ प्राप्त होता है,जो असत्य है। अतः,क्षेत्र रेखा के मूलबिंदु से विपरीत ओर है।
$2$. $2x-y \leq 6$: सीमा रेखा $2x-y=6$ है। मूलबिंदु $(0,0)$ का परीक्षण करने पर,हमें $0-0 \leq 6$ प्राप्त होता है,जो सत्य है। अतः,क्षेत्र रेखा के मूलबिंदु की ओर है।
$3$. $x, y > 0$: यह क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश में सीमित करता है।
इन क्षेत्रों के प्रतिच्छेदन को देखने पर,सुसंगत क्षेत्र किसी परिमित सीमा द्वारा घिरा हुआ नहीं है,जिसका अर्थ है कि यह अपरिबद्ध है। चूंकि क्षेत्र में मूलबिंदु शामिल नहीं है और यह प्रथम चतुर्थांश में इन अर्ध-तलों के प्रतिच्छेदन द्वारा परिभाषित है,यह मूलबिंदु की विपरीत ओर का एक अपरिबद्ध क्षेत्र है। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) क्षेत्र की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम दी गई असमिकाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x \geq 6$: यह ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 6$ के दाईं ओर का क्षेत्र दर्शाता है।
$2$. $y \geq 3$: यह क्षैतिज रेखा $y = 3$ के ऊपर का क्षेत्र दर्शाता है।
$3$. $2x + y \geq 10$: यह रेखा $2x + y = 10$ पर या उसके ऊपर का क्षेत्र दर्शाता है।
$4$. $x \geq 0, y \geq 0$: ये प्रथम चतुर्थांश को दर्शाते हैं।
इन रेखाओं को आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि इन क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु $(6, 3)$ से शुरू होता है और धनात्मक $x$ और $y$ दिशाओं में अनंत तक फैला हुआ है।
चूंकि क्षेत्र का क्षेत्रफल परिमित नहीं है और यह अनंत तक फैला हुआ है,इसलिए यह एक अपरिबद्ध (unbounded) क्षेत्र है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दी गई असमिका प्रणाली $x \geq 0$,$y \geq 0$,$y \leq 6$,और $x+y \leq 3$ है।
$1$. शर्तें $x \geq 0$ और $y \geq 0$ क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश तक सीमित करती हैं।
$2$. रेखा $x+y = 3$,$(3, 0)$ और $(0, 3)$ से होकर गुजरती है। असमिका $x+y \leq 3$ इस रेखा पर या इसके नीचे के क्षेत्र को दर्शाती है।
$3$. शर्त $y \leq 6$ प्रथम चतुर्थांश में $x+y \leq 3$ द्वारा परिभाषित क्षेत्र द्वारा संतुष्ट होती है,क्योंकि इस क्षेत्र में $y$ का अधिकतम मान $3$ है।
$4$. चूंकि यह क्षेत्र अक्षों और रेखा $x+y=3$ द्वारा घिरा हुआ है,इसलिए यह प्रथम चतुर्थांश में एक परिबद्ध (bounded) क्षेत्र है।

(D) $1$. $A(7, 0)$ और $(0, 7)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x + y = 7$ है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है,इसलिए असमिका $x + y \leq 7$ है।
$2$. $C(0, 2)$ और $B(3, 4)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $2x - 3y + 6 = 0$ है। छायांकित क्षेत्र में स्थित बिंदु $(3, 0)$ के लिए जाँच करने पर,$2(3) - 3(0) + 6 = 12 \geq 0$ प्राप्त होता है। अतः,असमिका $2x - 3y + 6 \geq 0$ है।
$3$. चूंकि क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है।
$4$. अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(A) $1$. रेखा बिंदुओं $(0, 5)$ और $(4, 0)$ से होकर गुजरती है। इस रेखा का समीकरण अंतःखंड रूप में $\frac{x}{4} + \frac{y}{5} = 1$ है,जिसे सरल करने पर $5x + 4y = 20$ प्राप्त होता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र रेखा के ऊपर है,इसलिए असमिका $5x + 4y \geq 20$ है।
$2$. क्षेत्र दाईं ओर ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 6$ द्वारा परिबद्ध है,और चूंकि छायांकित भाग इस रेखा के बाईं ओर है,इसलिए $x \leq 6$ है।
$3$. क्षेत्र ऊपर की ओर क्षैतिज रेखा $y = 3$ द्वारा परिबद्ध है,और चूंकि छायांकित भाग इस रेखा के नीचे है,इसलिए $y \leq 3$ है।
$4$. क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है।
$5$. इन सभी को संयोजित करने पर,असमिकाओं का निकाय $5x + 4y \geq 20, x \leq 6, y \leq 3, x \geq 0, y \geq 0$ प्राप्त होता है।

(A) छायांकित त्रिभुजाकार क्षेत्र के शीर्ष $A(0, 14)$,$B(5, 0)$ और $C(19, 14)$ हैं।
$1$. $A(0, 14)$ और $B(5, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{5} + \frac{y}{14} = 1$ है,जो $14x + 5y = 70$ में सरल हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के ऊपर स्थित है,इसलिए असमिका $14x + 5y \geq 70$ है।
$2$. $A(0, 14)$ और $C(19, 14)$ से गुजरने वाली रेखा $y = 14$ है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे स्थित है,इसलिए असमिका $y \leq 14$ है।
$3$. $B(5, 0)$ और $C(19, 14)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{14 - 0}{19 - 5} = 1$ है। बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करने पर,$y - 0 = 1(x - 5)$ अर्थात $x - y = 5$ प्राप्त होता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के बाईं ओर स्थित है,इसलिए असमिका $x - y \leq 5$ है।
अतः,सही विकल्प $14x + 5y \geq 70$,$y \leq 14$ और $x - y \leq 5$ है।

(C) $1$. बिंदुओं $(0, 5)$ और $(4, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $l_1$ का विश्लेषण करें। अंतःखंड रूप में इस रेखा का समीकरण $\frac{x}{4} + \frac{y}{5} = 1$ है,जो सरल होकर $5x + 4y = 20$ हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र में मूल बिंदु $(0, 0)$ शामिल नहीं है,इसलिए असमिका $5x + 4y \geq 20$ है।
$2$. क्षैतिज रेखा $l_2$ का विश्लेषण करें। छायांकित क्षेत्र रेखा $y = 3$ के नीचे स्थित है,इसलिए असमिका $y \leq 3$ है।
$3$. ऊर्ध्वाधर रेखा $l_3$ का विश्लेषण करें। छायांकित क्षेत्र रेखा $x = 6$ के बाईं ओर स्थित है,इसलिए असमिका $x \leq 6$ है।
$4$. यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है।
$5$. इन सबको मिलाने पर,असमिकाओं का निकाय $5x + 4y \geq 20, x \leq 6, y \leq 3, x \geq 0, y \geq 0$ प्राप्त होता है। यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(C) $1$. रेखाओं के अंतःखंडों से उनके समीकरण ज्ञात कीजिए:
- $(0, 4)$ और $(5, 0)$ से गुजरने वाली रेखा: $\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = 1 \Rightarrow 4x + 5y = 20$.
- $(0, 3)$ और $(10, 0)$ से गुजरने वाली रेखा: $\frac{x}{10} + \frac{y}{3} = 1 \Rightarrow 3x + 10y = 30$.
- $(6, 0)$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा: $x = 6$.
$2$. छायांकित क्षेत्र के आधार पर असमिकाएं निर्धारित करें:
- छायांकित क्षेत्र रेखा $4x + 5y = 20$ के ऊपर है,इसलिए असमिका $4x + 5y \geq 20$ है।
- छायांकित क्षेत्र रेखा $3x + 10y = 30$ के नीचे है,इसलिए असमिका $3x + 10y \leq 30$ है।
- छायांकित क्षेत्र रेखा $x = 6$ के बाईं ओर है,इसलिए असमिका $x \leq 6$ है।
- चूंकि क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x, y \geq 0$ है।
अतः,सही असमिकाओं का समुच्चय $4x + 5y \geq 20, 3x + 10y \leq 30, x \leq 6, x, y \geq 0$ है।