मान लीजिए S={a+b sqrt{2}: a, b in Z },T_1={(- | vedclass

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Question

(C) द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(-1+\sqrt{2})^n$ और $(1+\sqrt{2})^n$ को $m+n\sqrt{2}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $m, n \in Z$,और चूंकि $Z

Vedclass · Accepted Answer

$A, C, D$

Vedclass · Answer

(C) द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(-1+\sqrt{2})^n$ और $(1+\sqrt{2})^n$ को $m+n\sqrt{2}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $m, n \in Z$,और चूंकि $Z \subset S$,इसलिए $Z \cup T_1 \cup T_2 \subset S$ होता है। अतः,$(A)$ सत्य है।$(B)$ मान लीजिए $x_n = (-1+\sqrt{2})^n$ है। चूंकि $0 $(C)$ चूंकि $1+\sqrt{2} > 1$,$(1+\sqrt{2})^n$ एक बढ़ती हुई अनुक्रम है जो $\infty$ की ओर जाती है। अतः,ऐसा $n$ मौजूद है कि $(1+\sqrt{2})^n > 2024$। इसलिए,$T_2 \cap (2024, \infty) 
eq \phi$। अतः,$(C)$ सत्य है।$(D)$ मान लीजिए $z = \cos(\pi(a+b\sqrt{2})) + i\sin(\pi(a+b\sqrt{2})) = e^{i\pi(a+b\sqrt{2})}$ है। $z \in Z$ के लिए,काल्पनिक भाग $0$ होना चाहिए,इसलिए $\sin(\pi(a+b\sqrt{2})) = 0$। इसका अर्थ है कि $\pi(a+b\sqrt{2}) = k\pi$ किसी $k \in Z$ के लिए,जिसका अर्थ है $a+b\sqrt{2} = k$। चूंकि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है,यह केवल तभी संभव है जब $b=0$ हो। अतः,$(D)$ सत्य है।इसलिए,सही कथन $(A), (C), (D)$ हैं।

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