Relation between roots and coefficients Questions in Hindi

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $cx^2+bx+a=0$ है।
माना मूल $\alpha = \operatorname{cosec} \theta$ और $\beta = \cot \theta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,हमारे पास है:
$\alpha + \beta = -\frac{b}{c}$ और $\alpha \beta = \frac{a}{c}$.
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\operatorname{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$ है,जिसका अर्थ है $\alpha^2 - \beta^2 = 1$.
इसे $(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$,इसलिए $\alpha - \beta = \pm \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta}$.
मान रखने पर:
$1 = \left(-\frac{b}{c}\right) \left(\pm \sqrt{\frac{b^2}{c^2} - \frac{4a}{c}}\right)$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1 = \frac{b^2}{c^2} \left(\frac{b^2 - 4ac}{c^2}\right)$.
$1 = \frac{b^2(b^2 - 4ac)}{c^4}$.
अतः,$b^2(b^2 - 4ac) = c^4$.

(D) माना $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2+ax+b=0$ के मूल हैं और $\gamma, \delta$ समीकरण $x^2+bx+a=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंधों से:
$\alpha+\beta = -a, \alpha\beta = b$
$\gamma+\delta = -b, \gamma\delta = a$
दिया गया है कि मूलों के बीच का अंतर समान है:
$|\alpha-\beta| = |\gamma-\delta|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\alpha-\beta)^2 = (\gamma-\delta)^2$
$(\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = (\gamma+\delta)^2 - 4\gamma\delta$
$(-a)^2 - 4b = (-b)^2 - 4a$
$a^2 - 4b = b^2 - 4a$
$a^2 - b^2 + 4a - 4b = 0$
$(a-b)(a+b) + 4(a-b) = 0$
$(a-b)(a+b+4) = 0$
चूंकि $a \neq b$,इसलिए $a-b \neq 0$ है।
अतः,$a+b+4 = 0$.

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-10x-8=0$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$\alpha^2 - 10\alpha - 8 = 0 \implies \alpha^2 - 8 = 10\alpha$
$\beta^2 - 10\beta - 8 = 0 \implies \beta^2 - 8 = 10\beta$
हमें $\frac{a_{10}-8a_8}{5a_9}$ का मान ज्ञात करना है।
$a_n = \alpha^n - \beta^n$ रखने पर:
$\frac{(\alpha^{10}-\beta^{10}) - 8(\alpha^8-\beta^8)}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$= \frac{(\alpha^{10}-8\alpha^8) - (\beta^{10}-8\beta^8)}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$= \frac{\alpha^8(\alpha^2-8) - \beta^8(\beta^2-8)}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$\alpha^2-8=10\alpha$ और $\beta^2-8=10\beta$ संबंधों का उपयोग करने पर:
$= \frac{\alpha^8(10\alpha) - \beta^8(10\beta)}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$= \frac{10\alpha^9 - 10\beta^9}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$= \frac{10(\alpha^9-\beta^9)}{5(\alpha^9-\beta^9)} = 2$.

(B) माना द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^n$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,हमारे पास है:
$\alpha + \alpha^n = -\frac{b}{a}$ और $\alpha \cdot \alpha^n = \alpha^{n+1} = \frac{c}{a}$.
हमें व्यंजक $E = (ac^n)^{1/(n+1)} + (a^nc)^{1/(n+1)}$ का मान ज्ञात करना है।
$c = a\alpha^{n+1}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = (a(a\alpha^{n+1})^n)^{1/(n+1)} + (a^n(a\alpha^{n+1}))^{1/(n+1)}$
$E = (a^{n+1} \alpha^{n(n+1)})^{1/(n+1)} + (a^{n+1} \alpha^{n+1})^{1/(n+1)}$
$E = a\alpha^n + a\alpha$
$E = a(\alpha^n + \alpha)$
$\alpha^n + \alpha = -\frac{b}{a}$ रखने पर:
$E = a(-\frac{b}{a}) = -b$.

(A) दिया गया है $\frac{x_1^5+x_2^5}{x_1^3+x_2^3} = \frac{11}{3}$.
सर्वसमिका $a^5+b^5 = (a^2+b^2)(a^3+b^3) - a^2b^2(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(x_1^2+x_2^2)(x_1^3+x_2^3) - x_1^2x_2^2(x_1+x_2)}{x_1^3+x_2^3} = \frac{11}{3}$
$(x_1^2+x_2^2) - \frac{x_1^2x_2^2(x_1+x_2)}{(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)} = \frac{11}{3}$
चूंकि $x_1^2+x_2^2 = 5$,हमें $5 - \frac{x_1^2x_2^2}{5-x_1x_2} = \frac{11}{3}$ प्राप्त होता है।
माना $x_1x_2 = t$. तब $5 - \frac{t^2}{5-t} = \frac{11}{3}$.
$3(25 - 5t - t^2) = 55 - 11t \Rightarrow 3t^2 + 4t - 20 = 0$.
$t$ के लिए हल करने पर,$t = 2$ या $t = -10/3$ प्राप्त होता है।
यदि $t = 2$ है,तो $(x_1+x_2)^2 = x_1^2+x_2^2 + 2x_1x_2 = 5 + 2(2) = 9$,अतः $x_1+x_2 = \pm 3$.
यदि $t = -10/3$ है,तो $(x_1+x_2)^2 = 5 + 2(-10/3) = -5/3 < 0$,जो वास्तविक मूलों के लिए संभव नहीं है।
अतः,द्विघात समीकरण $x^2 \pm 3x + 2 = 0$ है।

(A) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $a x^2+b x+c=0$ के मूल हैं।
माना नए समीकरण के मूल $t = \sqrt{5} \alpha$ और $t = \sqrt{5} \beta$ हैं।
अतः $\alpha = \frac{t}{\sqrt{5}}$.
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर:
$a(\frac{t}{\sqrt{5}})^2 + b(\frac{t}{\sqrt{5}}) + c = 0$
$\frac{a t^2}{5} + \frac{b t}{\sqrt{5}} + c = 0$
पूरे समीकरण को $5$ से गुणा करने पर:
$a t^2 + 5 \frac{b t}{\sqrt{5}} + 5 c = 0$
$a t^2 + \sqrt{5} b t + 5 c = 0$
$t$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट समीकरण $a x^2 + \sqrt{5} b x + 5 c = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण के मूल हैं।
दिया गया है $\alpha+\beta=11$ और $\alpha^2+\beta^2=61$।
हम जानते हैं कि $(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta$।
मान रखने पर: $(11)^2 = 61 + 2\alpha\beta$।
$121 = 61 + 2\alpha\beta$ $\Rightarrow 2\alpha\beta = 60$ $\Rightarrow \alpha\beta = 30$।
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x^2 - 11x + 30 = 0$।

(D) दिया गया है,$\alpha$ और $\beta$ समीकरण $2x^2 + 6x + k = 0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha + \beta = -\frac{6}{2} = -3$ और $\alpha\beta = \frac{k}{2}$.
अब,व्यंजक $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta}$.
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{(-3)^2 - 2(k/2)}{k/2} = \frac{9 - k}{k/2} = \frac{18 - 2k}{k} = \frac{18}{k} - 2$.
चूंकि $k < 0$,मान लीजिए $f(k) = \frac{18}{k} - 2$.
जैसे-जैसे $k$ अधिक ऋणात्मक होता है (अर्थात $k \to -\infty$),$\frac{18}{k} \to 0$,इसलिए $f(k) \to -2$.
$k < 0$ के लिए,व्यंजक $\frac{18}{k} - 2$ हमेशा $-2$ से कम होता है।
महत्तम पूर्णांक फलन $\left[\frac{18}{k} - 2\right]$ का $k < 0$ के लिए अधिकतम मान $-2$ है।

(A) दिया गया है कि $\tan 30^{\circ}$ और $\tan 15^{\circ}$ समीकरण $x^2+ax+b=0$ के मूल हैं।
हम जानते हैं कि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\tan 15^{\circ} = \tan(45^{\circ}-30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
मूलों का योग: $-a = \tan 30^{\circ} + \tan 15^{\circ} = \frac{4}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}$.
अतः,$a = -\frac{4}{3+\sqrt{3}}$.
मूलों का गुणनफल: $b = \tan 30^{\circ} \cdot \tan 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3}-1}{3+\sqrt{3}}$.
अब,$1+a-b = 1 - \frac{4}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} - \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+\sqrt{3}-4-\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = 0$.

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $11 x^2 + 12 x - 13 = 0$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha + \beta = -\frac{12}{11}$ और $\alpha \beta = -\frac{13}{11}$ प्राप्त होता है।
हमें $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2 \beta^2}$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta}{(\alpha \beta)^2} = \frac{(-\frac{12}{11})^2 - 2(-\frac{13}{11})}{(-\frac{13}{11})^2}$.
$= \frac{\frac{144}{121} + \frac{26}{11}}{\frac{169}{121}} = \frac{\frac{144 + 286}{121}}{\frac{169}{121}} = \frac{430}{169}$.
$\frac{430}{169} \approx 2.544$.
अतः,मान लगभग $2.54$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण: $i x^2 - 2(i + 1) x + (2 - i) = 0$ है।
माना समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
हमें एक मूल $\alpha = 2 - i$ दिया गया है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \times \beta = \frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,$a = i$ और $c = 2 - i$ है।
अतः,$(2 - i) \times \beta = \frac{2 - i}{i}$।
दोनों पक्षों को $(2 - i)$ से विभाजित करने पर,हमें $\beta = \frac{1}{i}$ प्राप्त होता है।
अंश और हर को $i$ से गुणा करने पर,$\beta = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$ प्राप्त होता है।
अतः,दूसरा मूल $-i$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = 2x^3 + mx^2 - 13x + n$.
चूंकि $2$ और $3$ समीकरण $f(x) = 0$ के मूल हैं,इसलिए $f(2) = 0$ और $f(3) = 0$ होगा।
$f(2) = 0$ के लिए: $2(2)^3 + m(2)^2 - 13(2) + n = 0$ $\Rightarrow 16 + 4m - 26 + n = 0$ $\Rightarrow 4m + n = 10 \dots (i)$.
$f(3) = 0$ के लिए: $2(3)^3 + m(3)^2 - 13(3) + n = 0$ $\Rightarrow 54 + 9m - 39 + n = 0$ $\Rightarrow 9m + n = -15 \dots (ii)$.
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर: $(9m + n) - (4m + n) = -15 - 10$ $\Rightarrow 5m = -25$ $\Rightarrow m = -5$.
$m = -5$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर: $4(-5) + n = 10$ $\Rightarrow -20 + n = 10$ $\Rightarrow n = 30$.
अतः,$m = -5$ और $n = 30$ है।

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण: $9x^3 + 112x^2 - 120x + a = 0$ है।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = 12$ दिया गया है।
त्रिघात समीकरण $Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $-\frac{D}{A}$ होता है।
यहाँ,$A = 9$ और $D = a$ है।
मान रखने पर: $-\frac{a}{9} = 12$।
दोनों पक्षों को $9$ से गुणा करने पर: $-a = 12 \times 9 = 108$।
अतः,$a = -108$।

(NONE) समीकरण $x^3-6x^2+11x-6=0$ के लिए,मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = 6$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 11$
$\alpha\beta\gamma = 6$
हमें $\Sigma \alpha^2 \beta + \Sigma \alpha \beta^2$ का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = \Sigma \alpha^2 \beta + \Sigma \alpha \beta^2 + 3\alpha\beta\gamma$.
अतः,$\Sigma \alpha^2 \beta + \Sigma \alpha \beta^2 = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) - 3\alpha\beta\gamma$.
मान रखने पर:
$= (6)(11) - 3(6) = 66 - 18 = 48$.

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ त्रिघात समीकरण $x^3+4x-19=0$ के मूल हैं।
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$\alpha^3 + 4\alpha - 19 = 0$
$\Rightarrow \alpha^3 = 19 - 4\alpha$
दोनों पक्षों को $(19 - 4\alpha)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\alpha^3}{19 - 4\alpha} = 1$
इसी प्रकार,चूंकि $\beta$ और $\gamma$ भी उसी समीकरण के मूल हैं:
$\frac{\beta^3}{19 - 4\beta} = 1$
$\frac{\gamma^3}{19 - 4\gamma} = 1$
इन तीनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$\frac{\alpha^3}{19-4\alpha} + \frac{\beta^3}{19-4\beta} + \frac{\gamma^3}{19-4\gamma} = 1 + 1 + 1 = 3$

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x^2-bx}{ax-c} = \frac{m-1}{m+1}$
वज्र-गुणन करने पर: $(x^2-bx)(m+1) = (m-1)(ax-c)$
पदों का विस्तार करने पर: $x^2(m+1) - bx(m+1) = ax(m-1) - c(m-1)$
मानक द्विघात रूप $Ax^2 + Bx + C = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$x^2(m+1) - x(b(m+1) + a(m-1)) + c(m-1) = 0$
मान लीजिए मूल $p$ और $-p$ हैं।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,मूलों का योग $-\frac{B}{A}$ होता है।
चूंकि मूलों का योग $p + (-p) = 0$ है,इसलिए $x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$b(m+1) + a(m-1) = 0$
$bm + b + am - a = 0$
$m(a+b) = a-b$
अतः,$m = \frac{a-b}{a+b}$

(B) दिया गया बहुपद समीकरण: $x^4-3x^2+6x-12=0$ ... $(i)$
$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ से तुलना करने पर,$a=1, b=0, c=-3, d=6, e=-12$ प्राप्त होता है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha+\beta+\gamma+\delta = 0$ है।
अतः,$\alpha+\beta+\gamma = -\delta$,$\alpha+\delta+\gamma = -\beta$,$\alpha+\beta+\delta = -\gamma$,और $\delta+\beta+\gamma = -\alpha$ है।
साथ ही,$\Sigma \alpha\beta\gamma = -6$ और $\alpha\beta\gamma\delta = -12$ है।
इन मानों को रखने पर: $-(\frac{1}{\delta} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\alpha}) = -(\frac{\Sigma \alpha\beta\gamma}{\alpha\beta\gamma\delta}) = -(\frac{-6}{-12}) = -\frac{1}{2}$।

(D) दिया गया समीकरण $x^2+px+q=0$ है ... $(i)$
$ax^2+bx+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1, b=p, c=q$ प्राप्त होता है।
माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। दिया गया है कि $\alpha = \beta^2$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + \beta = -p \Rightarrow \beta^2 + \beta = -p$ ... (ii)
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = q$ $\Rightarrow \beta^2 \cdot \beta = q$ $\Rightarrow \beta^3 = q$ ... (iii)
समीकरण (ii) के दोनों पक्षों का घन करने पर:
$(\beta^2 + \beta)^3 = (-p)^3$
$\beta^6 + \beta^3 + 3\beta^2 \cdot \beta(\beta^2 + \beta) = -p^3$
$\beta^3 = q$ और $\beta^2 + \beta = -p$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(q)^2 + q + 3q(-p) = -p^3$
$q^2 + q - 3pq = -p^3$
$p^3 - 3pq = -q^2 - q$
$p(p^2 - 3q) = -q(q+1)$
$p(3q - p^2) = q(q+1)$

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ और $\gamma$ त्रिघात समीकरण $x^3-3x^2+x+5=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha+\beta+\gamma = 3$
$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = 1$
$\alpha \beta \gamma = -5$
अब,$y = \Sigma \alpha^2 + \alpha \beta \gamma = (\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) + \alpha \beta \gamma$.
सर्वसमिका $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)$ का उपयोग करने पर:
$y = (3)^2 - 2(1) + (-5) = 9 - 2 - 5 = 2$.
चूंकि $y=2$,हम जांचते हैं कि कौन सा समीकरण $y=2$ द्वारा संतुष्ट होता है:
विकल्प $B$ के लिए: $y^3-y^2-y-2 = (2)^3 - (2)^2 - 2 - 2 = 8 - 4 - 2 - 2 = 0$.
अतः,$y=2$ समीकरण $y^3-y^2-y-2=0$ को संतुष्ट करता है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2 + ax + c = 0$ है।
माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{a}{a} = -1$.
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a}$.
मूलों का अनुपात $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p}{q}$ दिया गया है।
हमें $\sqrt{\frac{p}{q}} + \sqrt{\frac{q}{p}} = \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$ ज्ञात करना है।
व्यंजक को सरल करने पर:
$\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} = \frac{\alpha + \beta}{\sqrt{\alpha \beta}}$.
मान रखने पर:
$\frac{-1}{\sqrt{\frac{c}{a}}} = -\sqrt{\frac{a}{c}}$.
विकल्पों के अनुसार धनात्मक मान लेने पर,उत्तर $\sqrt{\frac{a}{c}}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। यह दिया गया है कि $\alpha+\beta=1$ और $\alpha^2+\beta^2=13$ है।
हम जानते हैं कि $(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1^2 = 13 + 2\alpha\beta$।
$1 = 13 + 2\alpha\beta$ $\Rightarrow 2\alpha\beta = -12$ $\Rightarrow \alpha\beta = -6$।
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $x^2 - (1)x + (-6) = 0 \Rightarrow x^2-x-6=0$।

(C) दिया गया समीकरण $x^2+x+1=0$ है।
चूंकि मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,हम जानते हैं कि $\alpha$ और $\beta$ इकाई के अवास्तविक घनमूल हैं,अर्थात $\omega$ और $\omega^2$।
अतः,$\alpha^3 = 1$ और $\beta^3 = 1$।
समीकरण से,$\alpha + \beta = -1$ और $\alpha \beta = 1$।
हमें $\alpha^4 + \beta^4$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\alpha^3 = 1$,इसलिए $\alpha^4 = \alpha^3 \cdot \alpha = 1 \cdot \alpha = \alpha$।
इसी प्रकार,$\beta^4 = \beta^3 \cdot \beta = 1 \cdot \beta = \beta$।
इसलिए,$\alpha^4 + \beta^4 = \alpha + \beta$।
$\alpha + \beta$ का मान रखने पर,हमें $\alpha^4 + \beta^4 = -1$ प्राप्त होता है।

(B) माना बहुपद $f(x) = x^3 - 9x^2 + 26x - 24$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
वह समीकरण जिसके मूल $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ हैं,प्राप्त करने के लिए मूल समीकरण $f(x) = 0$ में $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
$\left(\frac{1}{x}\right)^3 - 9\left(\frac{1}{x}\right)^2 + 26\left(\frac{1}{x}\right) - 24 = 0$.
पूरे समीकरण को $-x^3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-1 + 9x - 26x^2 + 24x^3 = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $24x^3 - 26x^2 + 9x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $p x^2 + q x + r = 0$ के मूल हैं। चूंकि $p, q, r$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,इसलिए $2q = p + r$ है।
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 4$ से,हमें $\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = 4$ प्राप्त होता है।
विएटा के सूत्रों का उपयोग करते हुए,$\alpha + \beta = -\frac{q}{p}$ और $\alpha \beta = \frac{r}{p}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{-q/p}{r/p} = -\frac{q}{r} = 4$,जिससे $q = -4r$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + r = 2q$ है,इसलिए $p + r = 2(-4r) = -8r$,जिसका अर्थ है $p = -9r$।
अब,$|\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{D}}{|p|} = \frac{\sqrt{q^2 - 4pr}}{|p|}$।
$q = -4r$ और $p = -9r$ रखने पर:
$|\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{(-4r)^2 - 4(-9r)(r)}}{|-9r|} = \frac{\sqrt{16r^2 + 36r^2}}{9|r|} = \frac{\sqrt{52r^2}}{9|r|} = \frac{2|r|\sqrt{13}}{9|r|} = \frac{2\sqrt{13}}{9}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+p x+q=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta = -p$ और $\alpha \beta = q$ है।
$\alpha^3+\beta^3$ के लिए:
$\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha \beta+\beta^2) = (\alpha+\beta)[(\alpha+\beta)^2-3 \alpha \beta] = (-p)[(-p)^2-3 q] = -p(p^2-3 q) = 3 p q-p^3$.
$\alpha^4+\alpha^2 \beta^2+\beta^4$ के लिए:
$\alpha^4+\alpha^2 \beta^2+\beta^4 = (\alpha^2+\beta^2)^2 - \alpha^2 \beta^2 = [(\alpha+\beta)^2-2 \alpha \beta]^2 - (\alpha \beta)^2 = [(-p)^2-2 q]^2 - q^2 = (p^2-2 q)^2 - q^2$.
सर्वसमिका $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,$(p^2-2 q-q)(p^2-2 q+q) = (p^2-3 q)(p^2-q)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $x^4+3x^3-6x^2+2x-4=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं।
$\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ और $\frac{1}{\delta}$ मूलों वाला समीकरण प्राप्त करने के लिए,मूल समीकरण में $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करें:
$(\frac{1}{x})^4 + 3(\frac{1}{x})^3 - 6(\frac{1}{x})^2 + 2(\frac{1}{x}) - 4 = 0$
पूरे समीकरण को $x^4$ से गुणा करने पर:
$1 + 3x - 6x^2 + 2x^3 - 4x^4 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$-4x^4 + 2x^3 - 6x^2 + 3x + 1 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर:
$4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 3x - 1 = 0$

(B) दिया गया समीकरण $x^3-6x^2+11x-6=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
माना $y = x^2$,तो $x = \sqrt{y}$।
मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(\sqrt{y})^3 - 6(\sqrt{y})^2 + 11\sqrt{y} - 6 = 0$।
$y\sqrt{y} - 6y + 11\sqrt{y} - 6 = 0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{y}(y+11) = 6(y+1)$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y(y+11)^2 = 36(y+1)^2$।
$y(y^2 + 22y + 121) = 36(y^2 + 2y + 1)$।
$y^3 + 22y^2 + 121y = 36y^2 + 72y + 36$।
$y^3 - 14y^2 + 49y - 36 = 0$।
$y$ को $x$ से बदलने पर,अभीष्ट समीकरण $x^3-14x^2+49x-36=0$ है।

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $3x^3 - 9x^2 + 5x - 7 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 3$,$b = -9$,$c = 5$ और $d = -7$ प्राप्त होता है।
त्रिघात समीकरण के लिए मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$ होता है।
मान रखने पर,$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{-9}{3} = \frac{9}{3} = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma$ का मान $3$ है।

(D) माना $y = \frac{2\alpha}{3-4\alpha}$ है। तब $2\alpha = 3y - 4\alpha y$,जिसका अर्थ है $\alpha(2+4y) = 3y$,इसलिए $\alpha = \frac{3y}{2+4y}$ है।
चूंकि $\alpha$,$x^2+7x+3=0$ का एक मूल है,हम $\alpha$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\frac{3y}{2+4y})^2 + 7(\frac{3y}{2+4y}) + 3 = 0$.
$(2+4y)^2 = 16y^2+16y+4$ से गुणा करने पर:
$9y^2 + 21y(2+4y) + 3(16y^2+16y+4) = 0$.
$9y^2 + 42y + 84y^2 + 48y^2 + 48y + 12 = 0$.
$141y^2 + 90y + 12 = 0$.
$3$ से विभाजित करने पर: $47y^2 + 30y + 4 = 0$.
$ax^2+bx+c=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=47, b=30, c=4$ प्राप्त होता है। चूंकि $GCD(47, 30, 4) = 1$ है,ये मान मान्य हैं।
अतः,$a+b+c = 47+30+4 = 81$।

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-ax^2+bx-c=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = a$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = c$
हमें $\Sigma \alpha^2(\beta+\gamma)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\alpha+\beta+\gamma = a$,इसलिए $\beta+\gamma = a-\alpha$ होगा।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Sigma \alpha^2(a-\alpha) = a\Sigma \alpha^2 - \Sigma \alpha^3$
हम जानते हैं कि $\Sigma \alpha^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = a^2-2b$.
साथ ही,त्रिघात समीकरण के लिए घनों का योग $\Sigma \alpha^3$ इस प्रकार है:
$\Sigma \alpha^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\Sigma \alpha^2 - \Sigma \alpha\beta)$
$\Sigma \alpha^3 = a(a^2-2b-b) + 3c = a^3-3ab+3c$.
अब,इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$a(a^2-2b) - (a^3-3ab+3c) = a^3-2ab-a^3+3ab-3c = ab-3c$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^3-6x^2+11x-6=0$ है।
त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x-1)(x-2)(x-3)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $\alpha=1, \beta=2, \gamma=3$ हैं।
अब,नए मूलों की गणना करें:
$\alpha' = \alpha^2+\beta^2 = 1^2+2^2 = 5$
$\beta' = \beta^2+\gamma^2 = 2^2+3^2 = 13$
$\gamma' = \gamma^2+\alpha^2 = 3^2+1^2 = 10$
अभीष्ट समीकरण $x^3 - (\alpha'+\beta'+\gamma')x^2 + (\alpha'\beta'+\beta'\gamma'+\gamma'\alpha')x - \alpha'\beta'\gamma' = 0$ है।
मूलों का योग: $5+13+10 = 28$.
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $(5 \times 13) + (13 \times 10) + (10 \times 5) = 65 + 130 + 50 = 245$.
मूलों का गुणनफल: $5 \times 13 \times 10 = 650$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^3 - 28x^2 + 245x - 650 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2+4kx+12e^{3\log k}-1=0$ है।
$e^{\log a} = a$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$e^{3\log k} = e^{\log k^3} = k^3$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $x^2+4kx+12k^3-1=0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,गुणनफल $12k^3-1$ है।
चूंकि मूलों का गुणनफल $323$ दिया गया है,इसलिए $12k^3-1 = 323$।
$12k^3 = 324$ $\Rightarrow k^3 = 27$ $\Rightarrow k = 3$।
मूलों का योग $-\frac{b}{a} = -4k$ होता है।
$k=3$ रखने पर,मूलों का योग $-4(3) = -12$ प्राप्त होता है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2-4x+5=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,हमें $\alpha+\beta=4$ और $\alpha\beta=5$ प्राप्त होता है।
माना नए मूल $S_1 = \alpha^2+\beta$ और $S_2 = \alpha+\beta^2$ हैं।
नए मूलों का योग:
$S_1+S_2 = (\alpha^2+\beta)+(\alpha+\beta^2) = (\alpha^2+\beta^2)+(\alpha+\beta)$
$= ((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta)+(\alpha+\beta)$
$= (4^2-2(5))+4 = (16-10)+4 = 6+4 = 10$.
नए मूलों का गुणनफल:
$S_1 \times S_2 = (\alpha^2+\beta)(\alpha+\beta^2) = \alpha^3+\alpha^2\beta^2+\alpha\beta+\beta^3$
$= (\alpha^3+\beta^3)+(\alpha\beta)^2+\alpha\beta$
$= ((\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta))+(\alpha\beta)^2+\alpha\beta$
$= (4^3-3(5)(4))+(5)^2+5$
$= (64-60)+25+5 = 4+30 = 34$.
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^2-(S_1+S_2)x+(S_1 \times S_2) = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^2-10x+34=0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $ax^2+bx+c=0$ है जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
समीकरण $ax^2-bx(x-1)+c(x-1)^2=0$ को $(x-1)^2$ से विभाजित करने पर:
$a(\frac{x}{x-1})^2 - b(\frac{x}{x-1}) + c = 0$.
माना $y = \frac{x}{x-1}$,तो $ay^2 - by + c = 0$.
इस समीकरण के मूल $y = \alpha$ और $y = \beta$ होंगे।
अतः,$\frac{x}{x-1} = \alpha \implies x = \frac{\alpha}{\alpha-1}$ और $\frac{x}{x-1} = \beta \implies x = \frac{\beta}{\beta-1}$।

(B) माना दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया है,गुणोत्तर माध्य ($G$.$M$.) $= \sqrt{ab} = 2$,अतः $ab = 4$ (समीकरण $i$)।
हरात्मक माध्य ($H$.$M$.) $= \frac{2ab}{a+b} = -\frac{8}{5}$।
$H$.$M$. के सूत्र में $ab = 4$ रखने पर:
$\frac{2(4)}{a+b} = -\frac{8}{5} \implies \frac{8}{a+b} = -\frac{8}{5} \implies a+b = -5$।
अभीष्ट द्विघात समीकरण के मूल $2a$ और $2b$ हैं।
मूलों का योग $= 2a + 2b = 2(a+b) = 2(-5) = -10$।
मूलों का गुणनफल $= (2a)(2b) = 4ab = 4(4) = 16$।
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$x^2 - (-10)x + 16 = 0$,जो सरल होकर $x^2 + 10x + 16 = 0$ हो जाता है।

(C) दिया गया है कि $\tan \alpha$ और $\tan \beta$ समीकरण $x^2+px+q=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\tan \alpha + \tan \beta = -p$ और $\tan \alpha \tan \beta = q$ है।
माना $E = \sin^2(\alpha+\beta) + p\cos(\alpha+\beta)\sin(\alpha+\beta) + q\cos^2(\alpha+\beta)$ है।
व्यंजक को $\cos^2(\alpha+\beta)$ से विभाजित करने पर,$E = \cos^2(\alpha+\beta) [\tan^2(\alpha+\beta) + p\tan(\alpha+\beta) + q]$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{-p}{1-q} = \frac{p}{q-1}$ है।
इस मान को कोष्ठक के अंदर रखने पर: $\tan^2(\alpha+\beta) + p\tan(\alpha+\beta) + q = \frac{p^2}{(q-1)^2} + p(\frac{p}{q-1}) + q = \frac{q((q-1)^2 + p^2)}{(q-1)^2}$ प्राप्त होता है।
अब,$\cos^2(\alpha+\beta) = \frac{1}{1+\tan^2(\alpha+\beta)} = \frac{(q-1)^2}{(q-1)^2+p^2}$ है।
अतः,$E = \frac{(q-1)^2}{(q-1)^2+p^2} \times \frac{q((q-1)^2 + p^2)}{(q-1)^2} = q$।

(B) माना त्रिघात समीकरण $x^3-7x^2+0x+36=0$ के मूल $\alpha, 2\alpha,$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + 2\alpha + \beta = 7 \implies 3\alpha + \beta = 7 \implies \beta = 7 - 3\alpha$.
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $\alpha(2\alpha) + 2\alpha\beta + \beta\alpha = 0 \implies 2\alpha^2 + 3\alpha\beta = 0$.
चूंकि $\alpha \neq 0$,$\alpha$ से विभाजित करने पर: $2\alpha + 3\beta = 0$.
$\beta = 7 - 3\alpha$ को समीकरण में रखने पर: $2\alpha + 3(7 - 3\alpha) = 0$.
$2\alpha + 21 - 9\alpha = 0 \implies -7\alpha = -21 \implies \alpha = 3$.
अतः मूल $\alpha = 3$ और $2\alpha = 6$ हैं।
इन दो मूलों का योग $3 + 6 = 9$ है।

(D) दिया गया समीकरण $(5+\sqrt{2}) x^2-b x+(8+2 \sqrt{5})=0$ है।
मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ इस समीकरण के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha+\beta = \frac{b}{5+\sqrt{2}}$
$\alpha \beta = \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}$
मूलों के बीच हरात्मक माध्य $(HM)$ $HM = \frac{2 \alpha \beta}{\alpha+\beta}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $HM = 4$,इसलिए:
$\frac{2 \alpha \beta}{\alpha+\beta} = 4$
$\alpha+\beta$ और $\alpha \beta$ के मान रखने पर:
$\frac{2 \times \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}}{\frac{b}{5+\sqrt{2}}} = 4$
$\frac{2(8+2 \sqrt{5})}{b} = 4$
$\frac{8+2 \sqrt{5}}{b} = 2$
$b = \frac{8+2 \sqrt{5}}{2} = 4+\sqrt{5}$.

(C) दिया गया है कि,$\alpha$ और $\beta$,$x^2-2x+4=0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,हमारे पास है:
$\alpha+\beta = 2$ ...$(i)$
$\alpha\beta = 4$ ...$(ii)$
अब,हम $\alpha^6+\beta^6 = (\alpha^2)^3 + (\beta^2)^3$ लिख सकते हैं।
वैकल्पिक रूप से,ध्यान दें कि $x^2-2x+4=0$ के मूल $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$ हैं।
ध्रुवीय रूप में,$1 \pm \sqrt{3}i = 2(\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2e^{\pm i\pi/3}$ है।
अतः,$\alpha = 2e^{i\pi/3}$ और $\beta = 2e^{-i\pi/3}$ है।
तब,$\alpha^6 = (2e^{i\pi/3})^6 = 2^6 e^{i2\pi} = 64(1) = 64$।
इसी प्रकार,$\beta^6 = (2e^{-i\pi/3})^6 = 2^6 e^{-i2\pi} = 64(1) = 64$।
इसलिए,$\alpha^6+\beta^6 = 64+64 = 128$।

(D) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों के $m:n$ अनुपात में होने की शर्त $mnb^2 = ac(m+n)^2$ है।
$(i)$ यदि $\alpha = \beta$ है,तो अनुपात $1:1$ है। सूत्र में $m=1, n=1$ रखने पर: $(1)(1)b^2 = ac(1+1)^2 \Rightarrow b^2 = 4ac$. यह $(E)$ से मेल खाता है।
$(ii)$ यदि $\alpha = 2\beta$ है,तो अनुपात $2:1$ है। $m=2, n=1$ रखने पर: $(2)(1)b^2 = ac(2+1)^2 \Rightarrow 2b^2 = 9ac$. यह $(B)$ से मेल खाता है।
$(iii)$ यदि $\alpha = 3\beta$ है,तो अनुपात $3:1$ है। $m=3, n=1$ रखने पर: $(3)(1)b^2 = ac(3+1)^2 \Rightarrow 3b^2 = 16ac$. यह $(D)$ से मेल खाता है।
$(iv)$ यदि $\alpha = \beta^2$ है,तो $\alpha + \beta = -b/a$ और $\alpha\beta = c/a$. $\alpha = \beta^2$ रखने पर,हमें $\beta^2 + \beta = -b/a$ और $\beta^3 = c/a$ प्राप्त होता है। अतः $\beta = (c/a)^{1/3}$. इसे $\beta^2 + \beta = -b/a$ में रखने पर: $(c/a)^{2/3} + (c/a)^{1/3} = -b/a$. $a$ से गुणा करने पर: $a(c/a)^{2/3} + a(c/a)^{1/3} = -b \Rightarrow (ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} + b = 0$. यह $(A)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(i)-E, (ii)-B, (iii)-D, (iv)-A$ है।

(D) माना समीकरण $x^3-13x^2+15x+189=0$ के मूल $\alpha, \alpha+2$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$1) \alpha + (\alpha+2) + \beta = 13 \implies 2\alpha + \beta = 11 \implies \beta = 11 - 2\alpha$
$2) \alpha(\alpha+2) + (\alpha+2)\beta + \alpha\beta = 15$
$3) \alpha(\alpha+2)\beta = -189$
तीसरे समीकरण में $\beta = 11 - 2\alpha$ रखने पर:
$\alpha(\alpha+2)(11-2\alpha) = -189$
$\alpha = 7$ रखने पर,समीकरण संतुष्ट होता है।
अतः,मूल $-3, 7, 9$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण $x^3 - 10x^2 + 7x + 8 = 0$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha + \beta + \gamma = 10$ ($A$-$5$)
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 7$
$\alpha\beta\gamma = -8$
अब,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) = (10)^2 - 2(7) = 100 - 14 = 86$ ($B$-$3$)
आगे,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma} = \frac{7}{-8} = -\frac{7}{8}$ ($C$-$2$)
अंत में,$\frac{\alpha}{\beta\gamma} + \frac{\beta}{\gamma\alpha} + \frac{\gamma}{\alpha\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}{\alpha\beta\gamma} = \frac{86}{-8} = -\frac{43}{4}$ ($D$-$1$)
अतः,सही मिलान $A-5, B-3, C-2, D-1$ है।