Relation between roots and coefficients Questions in Hindi

(C) माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3-3x^2+2x-1=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,मूलों का योग $\alpha+\beta+\gamma = -(-3)/1 = 3$ है।
नए समीकरण $x^3-x-1=0$ के मूल $(\alpha-K), (\beta-K), (\gamma-K)$ हैं।
समीकरण $x^3+0x^2-x-1=0$ के लिए,मूलों का योग $0$ है।
अतः,$(\alpha-K)+(\beta-K)+(\gamma-K) = 0$.
$(\alpha+\beta+\gamma) - 3K = 0$.
मूलों का योग प्रतिस्थापित करने पर: $3 - 3K = 0$.
$3K = 3$,जिससे $K = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $x^3-2x^2+4x-1=0$ है,जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। विएटा के सूत्रों से,$\alpha+\beta+\gamma=2$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=4$,और $\alpha\beta\gamma=1$ है।
चूंकि $\alpha\beta\gamma=1$,इसलिए $\beta\gamma=\frac{1}{\alpha}$,$\alpha\gamma=\frac{1}{\beta}$,और $\alpha\beta=\frac{1}{\gamma}$ है।
नए समीकरण के मूल $\beta\gamma+\frac{1}{\alpha} = \frac{2}{\alpha}$,$\alpha\gamma+\frac{1}{\beta} = \frac{2}{\beta}$,और $\alpha\beta+\frac{1}{\gamma} = \frac{2}{\gamma}$ हैं।
माना $y = \frac{2}{x}$,तो $x = \frac{2}{y}$। मूल समीकरण में यह मान रखने पर: $(\frac{2}{y})^3 - 2(\frac{2}{y})^2 + 4(\frac{2}{y}) - 1 = 0$।
$\frac{8}{y^3} - \frac{8}{y^2} + \frac{8}{y} - 1 = 0$।
$-y^3$ से गुणा करने पर,हमें $y^3 - 8y^2 + 8y - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^3-8x^2+8x-8=0$ है।

(A) दिया गया है कि $a, b$ और $c$ समीकरण $x^3+qx+r=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$a+b+c=0$
$ab+bc+ca=q$
$abc=-r$
चूंकि $a+b+c=0$,इसलिए $(a+b+c)^2=0$।
$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0$
$a^2+b^2+c^2+2(q)=0$
$a^2+b^2+c^2=-2q$
अब,व्यंजक $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ पर विचार करें:
$= a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+c^2+a^2-2ca$
$= 2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca)$
$= 2(-2q) - 2(q)$
$= -4q - 2q$
$= -6q$

(A) माना कि त्रिघात समीकरण के मूल $\alpha, -\alpha,$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + (-\alpha) + \beta = 2p \Rightarrow \beta = 2p$.
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $\alpha(-\alpha) + (-\alpha)\beta + \alpha\beta = 3q$.
$-\alpha^2 - \alpha\beta + \alpha\beta = 3q \Rightarrow -\alpha^2 = 3q$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha(-\alpha)\beta = 4r$.
$-\alpha^2 \beta = 4r$.
$\beta = 2p$ और $-\alpha^2 = 3q$ का मान गुणनफल समीकरण में रखने पर:
$(3q)(2p) = 4r$.
$6pq = 4r$.
$r = \frac{6pq}{4} = \frac{3pq}{2}$.

(B) मान लीजिए समीकरण $x^3 - ax^2 + ax - 1 = 0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha + \beta + \gamma = a$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = a$
$\alpha\beta\gamma = 1$
नए समीकरण के मूल $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ हैं।
चूंकि नया समीकरण मूल समीकरण के समान है,इसलिए मूलों का समुच्चय ${\alpha^2, \beta^2, \gamma^2}$,${\alpha, \beta, \gamma}$ के समान होना चाहिए।
$\alpha\beta\gamma = 1$ दिया गया है,यदि हम $\alpha = \beta = \gamma = 1$ लेते हैं,तो $x^3 - ax^2 + ax - 1 = (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ प्राप्त होता है।
गुणांकों की तुलना करने पर,$a = 3$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया त्रिघात समीकरण $2x^3+3x^2-5x-7=0$ है।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -\frac{3}{2}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -\frac{5}{2}$
$\alpha\beta\gamma = \frac{7}{2}$
हमें $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2} = \frac{\beta^2\gamma^2+\alpha^2\gamma^2+\alpha^2\beta^2}{(\alpha\beta\gamma)^2}$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)$ की गणना करें।
मान रखने पर:
$= (-\frac{5}{2})^2 - 2(\frac{7}{2})(-\frac{3}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{21}{2} = \frac{25+42}{4} = \frac{67}{4}$.
अब,$(\alpha\beta\gamma)^2 = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$.
अतः,$\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2} = \frac{67/4}{49/4} = \frac{67}{49}$.

(D) माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। दिए गए समीकरण $x^3-12x^2+kx-18=0$ से,हमारे पास संबंध हैं:
$\alpha+\beta+\gamma = 12$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = k$
$\alpha\beta\gamma = 18$
दिया गया है कि एक मूल अन्य दो मूलों के योग का तीन गुना है,माना $\alpha = 3(\beta+\gamma)$।
इसे मूलों के योग में प्रतिस्थापित करने पर: $\alpha + \frac{\alpha}{3} = 12 \implies \frac{4\alpha}{3} = 12 \implies \alpha = 9$।
तब $\beta+\gamma = 3$ और $\beta\gamma = \frac{18}{\alpha} = \frac{18}{9} = 2$।
हमें $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-k$ ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 12^2 - 2k = 144 - 2k$।
अतः,$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-k = 144 - 2k - k = 144 - 3k$।
चूंकि $\beta+\gamma=3$ और $\beta\gamma=2$,मूल $\beta$ और $\gamma$ समीकरण $t^2-3t+2=0$ के मूल हैं,जो $1$ और $2$ हैं।
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = k$ का उपयोग करके,हमें $k = 9(3) + 2 = 27 + 2 = 29$ प्राप्त होता है।
अंत में,$144 - 3(29) = 144 - 87 = 57$।

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ त्रिघात समीकरण $x^3+a x^2+b x+c=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = b$ है और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = -c$ है।
हमें $\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1}$ का मान ज्ञात करना है।
$\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\beta \gamma + \alpha \gamma + \alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}$.
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$ प्राप्त होता है।

(C) माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। दिया है कि $\alpha + \beta = \gamma$.
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha + \beta + \gamma = -p$.
$\alpha + \beta = \gamma$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2\gamma = -p$ प्राप्त होता है,अतः $\gamma = -\frac{p}{2}$.
चूंकि $\gamma$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करता है: $(-\frac{p}{2})^3 + p(-\frac{p}{2})^2 + q(-\frac{p}{2}) - 5 = 0$.
$-\frac{p^3}{8} + \frac{p^3}{4} - \frac{pq}{2} - 5 = 0$.
$8$ से गुणा करने पर,हमें $-p^3 + 2p^3 - 4pq - 40 = 0$ प्राप्त होता है।
$p^3 - 4pq = 40$.
$p(p^2 - 4q) = 40$.

(C) चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 - 6x - 2 = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha^2 = 6\alpha + 2$ और $\beta^2 = 6\beta + 2$ है।
$\alpha^8$ से गुणा करने पर,$\alpha^{10} = 6\alpha^9 + 2\alpha^8$,जिसका अर्थ है $\alpha^{10} - 2\alpha^8 = 6\alpha^9$।
इसी प्रकार,$\beta$ के लिए,$\beta^{10} - 2\beta^8 = 6\beta^9$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(\alpha^{10} - \beta^{10}) - 2(\alpha^8 - \beta^8) = 6(\alpha^9 - \beta^9)$।
परिभाषा के अनुसार,$a_n = \alpha^n - \beta^n$,अतः $a_{10} - 2a_8 = 6a_9$।
इसलिए,$\frac{a_{10} - 2a_8}{2a_9} = \frac{6a_9}{2a_9} = 3$।

(C) दिया गया समीकरण $x^5 - 5x^4 + 9x^3 - 9x^2 + 5x - 1 = 0$ है।
निरीक्षण द्वारा,$x = 1$ एक मूल है,अतः $\alpha_1 = 1$ है।
बहुपद को $(x-1)$ से विभाजित करने पर,हमें अपचयित समीकरण प्राप्त होता है: $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 = 0$।
$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 4(x + \frac{1}{x}) + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $x + \frac{1}{x} = a$ है। तब $x^2 + \frac{1}{x^2} = a^2 - 2$ होगा।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(a^2 - 2) - 4a + 5 = 0$ प्राप्त होता है,जो $a^2 - 4a + 3 = 0$ में सरल हो जाता है।
$a$ के लिए हल करने पर,हमें $(a - 3)(a - 1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $a = 1$ या $a = 3$ है।
$a = 1$ के लिए,$x + \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x^2 - x + 1 = 0$ है। मूल $\alpha_2, \alpha_3$ हैं। चूँकि $x^2 - x + 1 = 0$ है,इसलिए $\frac{1}{x^2} = x - 1$ है। अतः $\frac{1}{\alpha_2^2} + \frac{1}{\alpha_3^2} = (\alpha_2 + \alpha_3) - 2 = 1 - 2 = -1$ है।
$a = 3$ के लिए,$x + \frac{1}{x} = 3 \Rightarrow x^2 - 3x + 1 = 0$ है। मूल $\alpha_4, \alpha_5$ हैं। चूँकि $x^2 - 3x + 1 = 0$ है,इसलिए $\frac{1}{x^2} = 3x - 1$ है। अतः $\frac{1}{\alpha_4^2} + \frac{1}{\alpha_5^2} = 3(\alpha_4 + \alpha_5) - 2 = 3(3) - 2 = 7$ है।
अंत में,$\frac{1}{\alpha_1^2} + \frac{1}{\alpha_2^2} + \frac{1}{\alpha_3^2} + \frac{1}{\alpha_4^2} + \frac{1}{\alpha_5^2} = \frac{1}{1^2} + (-1) + 7 = 1 - 1 + 7 = 7$ है।

(C) माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $12x^3-20x^2+x+3=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha+\beta+\gamma = \frac{5}{3}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{1}{12}$
$\alpha\beta\gamma = -\frac{1}{4}$
हमें $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ मूलों वाला समीकरण चाहिए।
मूलों का योग: $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = \frac{376}{144}$.
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma) = \frac{121}{144}$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha^2\beta^2\gamma^2 = (\alpha\beta\gamma)^2 = \frac{9}{144}$.
अभीष्ट समीकरण $x^3 - (\sum \alpha^2)x^2 + (\sum \alpha^2\beta^2)x - (\alpha^2\beta^2\gamma^2) = 0$ है।
मान रखने पर: $144x^3 - 376x^2 + 121x - 9 = 0$.

(B) माना समीकरण $ax^3+bx+c=0$ के मूल $2\alpha, \alpha, \beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,मूलों का योग $2\alpha + \alpha + \beta = 0$ है (क्योंकि $x^2$ का गुणांक $0$ है),इसलिए $\beta = -3\alpha$।
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $(2\alpha)(\alpha) + (\alpha)(\beta) + (2\alpha)(\beta) = \frac{b}{a}$ है।
$\beta = -3\alpha$ प्रतिस्थापित करने पर: $2\alpha^2 + \alpha(-3\alpha) + 2\alpha(-3\alpha) = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow 2\alpha^2 - 3\alpha^2 - 6\alpha^2 = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow -7\alpha^2 = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow \alpha^2 = -\frac{b}{7a}$।
मूलों का गुणनफल $(2\alpha)(\alpha)(\beta) = -\frac{c}{a}$ $\Rightarrow 2\alpha^2(-3\alpha) = -\frac{c}{a}$ $\Rightarrow -6\alpha^3 = -\frac{c}{a}$ $\Rightarrow \alpha^3 = \frac{c}{6a}$।
गुणनफल समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\alpha^3)^2 = (\frac{c}{6a})^2 \Rightarrow \alpha^6 = \frac{c^2}{36a^2}$।
योग समीकरण के दोनों पक्षों का घन करने पर: $(\alpha^2)^3 = (-\frac{b}{7a})^3 \Rightarrow \alpha^6 = -\frac{b^3}{343a^3}$।
$\alpha^6$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{c^2}{36a^2} = -\frac{b^3}{343a^3}$ $\Rightarrow 343ac^2 = -36b^3$ $\Rightarrow 36b^3 + 343ac^2 = 0$।

(D) दिया गया समीकरण: $x^3-ax^2+bx-c=0$ $(i)$.
माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $(i)$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha+\beta+\gamma=a$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b$
$\alpha\beta\gamma=c$
दिया गया है कि मूलों के घनों का योग शून्य है: $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0$.
हम सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)$.
मान रखने पर: $0-3c = (\alpha+\beta+\gamma)((\alpha+\beta+\gamma)^2-3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha))$.
$-3c = a(a^2-3b)$.
$-3c = a^3-3ab$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $a^3+3c = 3ab$.

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+0x^2+2x+5=0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = 0$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 2$
$\alpha\beta\gamma = -5$
हमें $\sum \frac{\beta+\gamma}{\alpha^2}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\alpha+\beta+\gamma = 0$,इसलिए $\beta+\gamma = -\alpha$ है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum \frac{\beta+\gamma}{\alpha^2} = \sum \frac{-\alpha}{\alpha^2} = \sum -\frac{1}{\alpha} = -\left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}\right)$
$= -\left(\frac{\beta\gamma+\alpha\gamma+\alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}\right)$
$= -\left(\frac{2}{-5}\right) = \frac{2}{5}$

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3 - ax^2 + bx - c = 0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha + \beta + \gamma = a$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = c$
हमें $\alpha^{-2} + \beta^{-2} + \gamma^{-2} = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} + \frac{1}{\gamma^2}$ का मान ज्ञात करना है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{\beta^2\gamma^2 + \alpha^2\gamma^2 + \alpha^2\beta^2}{(\alpha\beta\gamma)^2} = \frac{(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha + \beta + \gamma)}{(\alpha\beta\gamma)^2}$.
मान रखने पर:
$= \frac{b^2 - 2(c)(a)}{c^2} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$.

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+3x^2+4x+5=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha+\beta+\gamma = -3$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 4$
$\alpha\beta\gamma = -5$
माना $A=1+4\alpha, B=1+4\beta, C=1+4\gamma$।
मूलों का योग: $A+B+C = 3+4(\alpha+\beta+\gamma) = 3+4(-3) = -9$।
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $AB+BC+CA = 3+8(\alpha+\beta+\gamma) + 16(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 3+8(-3)+16(4) = 43$।
मूलों का गुणनफल: $ABC = 1+4(\alpha+\beta+\gamma)+16(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)+64(\alpha\beta\gamma) = 1-12+64-320 = -267$।
अपेक्षित त्रिघात समीकरण $x^3 - (A+B+C)x^2 + (AB+BC+CA)x - ABC = 0$ है।
मान रखने पर: $x^3+9x^2+43x+267=0$ प्राप्त होता है।

(A) माना त्रिघात समीकरण $x^3-7x^2+36=0$ के मूल $a, 2a$ और $b$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $a + 2a + b = 7 \Rightarrow 3a + b = 7$ ... $(i)$
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $a(2a) + 2a(b) + b(a) = 0$ (क्योंकि $x$ का गुणांक $0$ है)
$2a^2 + 3ab = 0 \Rightarrow a(2a + 3b) = 0$
चूंकि $a$ शून्य नहीं हो सकता ($36 \neq 0$ है),इसलिए $2a + 3b = 0 \Rightarrow b = -\frac{2a}{3}$।
$b$ का मान $(i)$ में रखने पर: $3a - \frac{2a}{3} = 7$ $\Rightarrow \frac{7a}{3} = 7$ $\Rightarrow a = 3$।
तब $b = 7 - 3(3) = -2$।
मूल $a=3, 2a=6, b=-2$ हैं।
अतः,केवल $1$ ऋणात्मक मूल है।

(C) दिया गया है कि $2, 3, 6$ बहुपद $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ के मूल हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम लिख सकते हैं:
$f(x) = (x - 2)(x - 3)(x - 6)$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$f(x) = (x^2 - 5x + 6)(x - 6)$
$f(x) = x^3 - 6x^2 - 5x^2 + 30x + 6x - 36$
$f(x) = x^3 - 11x^2 + 36x - 36$
इसे $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = -11$,$b = 36$,$c = -36$
अब,$a - c$ की गणना करने पर:
$a - c = -11 - (-36) = -11 + 36 = 25$

(A) दिया गया समीकरण $ax^2+bx+c=0$ है जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
मान लीजिए नए मूल $y_1 = \frac{1}{3\alpha-1}$ और $y_2 = \frac{1}{3\beta-1}$ हैं।
नए मूलों का योग $S = \frac{1}{3\alpha-1} + \frac{1}{3\beta-1} = \frac{3\beta-1+3\alpha-1}{(3\alpha-1)(3\beta-1)} = \frac{3(\alpha+\beta)-2}{9\alpha\beta-3(\alpha+\beta)+1}$ है।
मान रखने पर,$S = \frac{3(-\frac{b}{a})-2}{9(\frac{c}{a})-3(-\frac{b}{a})+1} = \frac{-3b-2a}{9c+3b+a} = -\frac{3b+2a}{a+3b+9c}$ प्राप्त होता है।
नए मूलों का गुणनफल $P = \frac{1}{(3\alpha-1)(3\beta-1)} = \frac{1}{9\alpha\beta-3(\alpha+\beta)+1} = \frac{1}{9(\frac{c}{a})-3(-\frac{b}{a})+1} = \frac{a}{a+3b+9c}$ है।
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^2 - Sx + P = 0$ है,जो $x^2 - (-\frac{3b+2a}{a+3b+9c})x + \frac{a}{a+3b+9c} = 0$ देता है।
$(a+3b+9c)$ से गुणा करने पर,हमें $(a+3b+9c)x^2 + (3b+2a)x + a = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया त्रिघात समीकरण: $x^3+3x^2-7x+5=0$ है।
माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha+\beta+\gamma = -3$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -7$
$\alpha\beta\gamma = -5$
हमें $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$ का मान ज्ञात करना है।
$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} = \frac{\beta\gamma+\alpha\gamma+\alpha\beta}{\alpha\beta\gamma} = \frac{-7}{-5} = \frac{7}{5}$.

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3 - p x^2 + q x - r = 0$ ... $(i)$ है।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha + \beta + \gamma = p$ ... $(ii)$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = q$ ... $(iii)$
$\alpha \beta \gamma = r$ ... $(iv)$
दिया गया है कि दो मूल परिमाण में समान लेकिन विपरीत चिह्न के हैं,माना $\alpha = -\beta$ है।
$\alpha = -\beta$ को $(ii)$ में रखने पर:
$-\beta + \beta + \gamma = p \implies \gamma = p$ प्राप्त होता है।
$\gamma = p$ को $(iv)$ में रखने पर:
$\alpha \beta (p) = r \implies -\beta^2 p = r \implies \beta^2 = -\frac{r}{p}$ प्राप्त होता है।
$\alpha = -\beta$ और $\gamma = p$ को $(iii)$ में रखने पर:
$-\beta^2 + \beta p - \beta p = q \implies -\beta^2 = q$ प्राप्त होता है।
$\beta^2$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$-\frac{r}{p} = -q \implies r = pq$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-2x^2+3x-4=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha+\beta+\gamma = 2$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 3$
$\alpha\beta\gamma = 4$
हमें $\sum \alpha\beta(\alpha+\beta) = \alpha\beta(\alpha+\beta) + \beta\gamma(\beta+\gamma) + \gamma\alpha(\gamma+\alpha)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\alpha+\beta+\gamma = 2$,इसलिए $\alpha+\beta = 2-\gamma$,$\beta+\gamma = 2-\alpha$,और $\gamma+\alpha = 2-\beta$ है।
मान रखने पर:
$\sum \alpha\beta(\alpha+\beta) = \alpha\beta(2-\gamma) + \beta\gamma(2-\alpha) + \gamma\alpha(2-\beta)$
$= 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) - 3(\alpha\beta\gamma)$
$= 2(3) - 3(4)$
$= 6 - 12 = -6$.

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+0x^2+4x+1=0$ है।
चूंकि $a, b,$ और $c$ मूल हैं,विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$a+b+c = 0$
$ab+bc+ca = 4$
$abc = -1$
$a+b+c=0$ से,हमें $a+b = -c$,$b+c = -a$,और $c+a = -b$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} = \frac{1}{-c} + \frac{1}{-a} + \frac{1}{-b}$
$= -(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$
$= -(\frac{bc+ac+ab}{abc})$
$= -(\frac{4}{-1}) = 4$.

(A) माना समीकरण $x^3+p x^2+q x+r=0$ के मूल $\alpha, \beta, \text{ और } \gamma$ हैं।
मूलों के गुणों से,$\alpha+\beta+\gamma = -p$ $(i)$ है।
दिया गया है कि दो मूलों का योग शून्य है,अतः $\beta+\gamma=0$ लें।
इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\alpha = -p$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\alpha$ समीकरण का एक मूल है,यह $x^3+p x^2+q x+r=0$ को संतुष्ट करेगा।
$x = -p$ रखने पर:
$(-p)^3 + p(-p)^2 + q(-p) + r = 0$
$-p^3 + p^3 - p q + r = 0$
$-p q + r = 0$
$r = p q$.

(D) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+p x^2+q x+r=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$ $(i)$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$ $(ii)$
$\alpha\beta\gamma = -r$ $(iii)$
हम जानते हैं कि $(1+\alpha^2)(1+\beta^2)(1+\gamma^2) = |(1+i\alpha)(1+i\beta)(1+i\gamma)|^2$.
माना $f(x) = x^3+px^2+qx+r = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$.
तब $f(i) = (i-\alpha)(i-\beta)(i-\gamma) = i^3+pi^2+qi+r = -i-p+qi+r = (r-p) + i(q-1)$.
साथ ही $f(-i) = (-i-\alpha)(-i-\beta)(-i-\gamma) = -i^3+pi^2-qi+r = i-p-qi+r = (r-p) - i(q-1)$.
अतः,$(1+\alpha^2)(1+\beta^2)(1+\gamma^2) = (i-\alpha)(i-\beta)(i-\gamma) \times (-i-\alpha)(-i-\beta)(-i-\gamma) = f(i) \times f(-i)$.
$= ((r-p) + i(q-1))((r-p) - i(q-1)) = (r-p)^2 + (q-1)^2$.

(B) माना दिया गया समीकरण $x^3+\frac{1}{4} x^2-\frac{1}{16} x+\frac{1}{144}=0$ $(i)$ है।
यदि नए समीकरण के मूल समीकरण $(i)$ के मूलों के $k$ गुना हैं,तो हम $x$ को $\frac{x}{k}$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
$\left(\frac{x}{k}\right)^3+\frac{1}{4}\left(\frac{x}{k}\right)^2-\frac{1}{16}\left(\frac{x}{k}\right)+\frac{1}{144}=0$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $k^3$ से गुणा करने पर:
$x^3+\frac{k}{4} x^2-\frac{k^2}{16} x+\frac{k^3}{144}=0$
गुणांकों के पूर्णांक होने के लिए,$k$ ऐसा होना चाहिए कि $4$,$k$ को विभाजित करे,$16$,$k^2$ को विभाजित करे,और $144$,$k^3$ को विभाजित करे।
विकल्पों की जाँच करने पर:
यदि $k=12$ है,तो $\frac{k}{4} = \frac{12}{4} = 3$,$\frac{k^2}{16} = \frac{144}{16} = 9$,और $\frac{k^3}{144} = \frac{1728}{144} = 12$.
चूंकि सभी गुणांक $(1, 3, -9, 12)$ पूर्णांक हैं,इसलिए $k=12$ एक संभावित मान है।

(A) माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3-2x^2+10x-8=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha+\beta+\gamma = 2$,
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 10$,
$\alpha\beta\gamma = 8$.
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ हैं।
नए मूलों का योग $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (2)^2 - 2(10) = 4 - 20 = -16$ है।
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma) = (10)^2 - 2(8)(2) = 100 - 32 = 68$ है।
नए मूलों का गुणनफल $\alpha^2\beta^2\gamma^2 = (\alpha\beta\gamma)^2 = (8)^2 = 64$ है।
अपेक्षित त्रिघात समीकरण $x^3 - (\text{मूलों का योग})x^2 + (\text{दो-दो मूलों के गुणनफल का योग})x - (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर: $x^3 - (-16)x^2 + 68x - 64 = 0$,जो $x^3+16x^2+68x-64=0$ के रूप में सरल होता है।

(B) दिया गया समीकरण $x^3-6x^2+11x-6=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = 6$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 11$
$\alpha\beta\gamma = 6$
$a, b, c$ का मान ज्ञात करने पर:
$b = \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 11$
$a = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 6^2 - 2(11) = 36 - 22 = 14$
$c = (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = (6-\gamma)(6-\alpha)(6-\beta)$
चूंकि $x^3-6x^2+11x-6 = (x-1)(x-2)(x-3)$,इसलिए मूल $1, 2, 3$ हैं।
$c = (6-1)(6-2)(6-3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$
मानों की तुलना करने पर: $b=11, a=14, c=60$।
अतः,$b < a < c$।

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण: $x^3-b x^2+c x-d=0$.
माना गुणोत्तर श्रेणी में मूल $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$1$. मूलों का योग: $\frac{a}{r} + a + ar = b \Rightarrow a(\frac{1}{r} + 1 + r) = b$ ... $(i)$
$2$. दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $\frac{a}{r} \cdot a + a \cdot ar + ar \cdot \frac{a}{r} = c \Rightarrow a^2(\frac{1}{r} + r + 1) = c$ ... (ii)
$3$. मूलों का गुणनफल: $\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = d \Rightarrow a^3 = d$ ... (iii)
(ii) को $(i)$ से विभाजित करने पर: $\frac{a^2(\frac{1}{r} + 1 + r)}{a(\frac{1}{r} + 1 + r)} = \frac{c}{b} \Rightarrow a = \frac{c}{b}$.
$a = \frac{c}{b}$ को (iii) में रखने पर: $(\frac{c}{b})^3 = d$ $\Rightarrow \frac{c^3}{b^3} = d$ $\Rightarrow c^3 = b^3 d$.

(D) माना दिए गए समीकरण $x^3+2x^2-4x+1=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
हम वह समीकरण ज्ञात करना चाहते हैं जिसके मूल $3\alpha, 3\beta, 3\gamma$ हैं।
माना $y = 3x$,जिसका अर्थ है $x = \frac{y}{3}$।
मूल समीकरण में $x = \frac{y}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{y}{3})^3 + 2(\frac{y}{3})^2 - 4(\frac{y}{3}) + 1 = 0$
$\frac{y^3}{27} + \frac{2y^2}{9} - \frac{4y}{3} + 1 = 0$
पूरे समीकरण को $27$ से गुणा करने पर:
$y^3 + 6y^2 - 36y + 27 = 0$
$y$ को $x$ से बदलने पर,अभीष्ट समीकरण $x^3+6x^2-36x+27=0$ है।

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+ax^2+bx+c=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -a$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = -c$
हमें $\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$ का मान ज्ञात करना है।
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर:
$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}$.
मान रखने पर:
$\frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$.

(B) दिया गया त्रिघात समीकरण $2x^3 + 0x^2 - 2x - 1 = 0$ है।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
त्रिघात समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के लिए विएटा के सूत्रों के अनुसार,दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\Sigma \alpha \beta = \frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,$a = 2$,$b = 0$,$c = -2$,और $d = -1$ है।
अतः,$\Sigma \alpha \beta = \frac{-2}{2} = -1$.
हमें $(\Sigma \alpha \beta)^2$ का मान ज्ञात करना है।
$(\Sigma \alpha \beta)^2 = (-1)^2 = 1$.

(C) माना द्विघात समीकरण $\sqrt{2}x^2 - bx + (8 - 2\sqrt{5}) = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = \frac{b}{\sqrt{2}}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{8 - 2\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} - \sqrt{10}$ है।
दो मूलों का हरात्मक माध्य $(HM)$ $HM = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $HM = 4$,इसलिए $4 = \frac{2(4\sqrt{2} - \sqrt{10})}{\frac{b}{\sqrt{2}}}$.
$4 = \frac{2(4\sqrt{2} - \sqrt{10}) \cdot \sqrt{2}}{b}$.
$4 = \frac{2(8 - \sqrt{20})}{b} = \frac{2(8 - 2\sqrt{5})}{b} = \frac{16 - 4\sqrt{5}}{b}$.
$4b = 16 - 4\sqrt{5}$.
$4$ से भाग देने पर,$b = 4 - \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $x^3-13x^2+kx+189=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha+\beta+\gamma=13$ और $\alpha\beta\gamma=-189$ है।
$\beta-\gamma=2$ दिया गया है,जिससे $\beta+\gamma=16$ और $\alpha=-3$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $\alpha=-3$ रखने पर,$k=15$ प्राप्त होता है।
अतः $\beta+\gamma : k+\alpha = 16 : (15-3) = 16 : 12 = 4:3$.

(B) माना समीकरण $x^4+2x^3-7x^2-8x+12=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं।
दिया है कि दो मूलों का योग शून्य है,माना $\alpha + \beta = 0$,जिसका अर्थ है $\beta = -\alpha$।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma + \delta = -2$ है।
चूंकि $\alpha + \beta = 0$,इसलिए $\gamma + \delta = -2$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma \delta = 12$ है।
$\beta = -\alpha$ रखने पर,$-\alpha^2 \gamma \delta = 12$ या $\alpha^2 \gamma \delta = -12$ प्राप्त होता है।
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\alpha \beta + \alpha \gamma + \alpha \delta + \beta \gamma + \beta \delta + \gamma \delta = -7$ है।
$\beta = -\alpha$ प्रतिस्थापित करने पर,$-\alpha^2 + \gamma \delta = -7$ प्राप्त होता है,इसलिए $\gamma \delta = \alpha^2 - 7$।
गुणनफल समीकरण में मान रखने पर: $\alpha^2(\alpha^2 - 7) = -12$,जिससे $\alpha^4 - 7\alpha^2 + 12 = 0$ प्राप्त होता है।
$y = \alpha^2$ लेने पर,$y^2 - 7y + 12 = 0$,जिससे $(y-3)(y-4) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha^2 = 4$ लेने पर $\gamma \delta = -3$ प्राप्त होता है।
$\gamma^2 + \delta^2 = (\gamma + \delta)^2 - 2\gamma \delta = (-2)^2 - 2(-3) = 4 + 6 = 10$।

(B) माना समीकरण $x^3-2x^2+3x-4=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
तब $\alpha+\beta+\gamma=2$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=3$,और $\alpha\beta\gamma=4$ है।
हमें वह समीकरण चाहिए जिसके मूल $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ हों।
माना $y=x^2$,अतः $x=\sqrt{y}$ है।
मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(\sqrt{y})^3-2(\sqrt{y})^2+3\sqrt{y}-4=0$।
$y\sqrt{y}-2y+3\sqrt{y}-4=0$।
$\sqrt{y}(y+3)=2y+4$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y(y+3)^2=(2y+4)^2$।
$y(y^2+6y+9)=4y^2+16y+16$।
$y^3+6y^2+9y=4y^2+16y+16$।
$y^3+2y^2-7y-16=0$।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^3+2x^2-7x-16=0$ है।

(A) दिए गए समीकरण:
$1) \alpha+\beta = 5\gamma$ और $\alpha\beta = -6\delta$
$2) \gamma+\delta = 5\alpha$ और $\gamma\delta = -6\beta$
योग समीकरणों को जोड़ने पर: $(\alpha+\beta) + (\gamma+\delta) = 5(\gamma+\alpha) \implies \beta+\delta = 4(\alpha+\gamma)$.
योग समीकरणों को घटाने पर: $(\alpha+\beta) - (\gamma+\delta) = 5(\gamma-\alpha) \implies \alpha+\beta-\gamma-\delta = 5\gamma-5\alpha \implies 6\alpha+\beta = 6\gamma+\delta$.
$\alpha\beta = -6\delta$ और $\gamma\delta = -6\beta$ से,हमें $\alpha\beta\gamma\delta = 36\beta\delta$ प्राप्त होता है। यदि $\beta\delta \neq 0$ है,तो $\alpha\gamma = 36$.
इस प्रणाली को हल करने पर $\alpha=\gamma$ और $\beta=\delta$ प्राप्त होता है। मूल समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर: $\alpha+\alpha = 5\alpha \implies 3\alpha=0 \implies \alpha=0$. अतः $\alpha=\beta=\gamma=\delta=0$.
हालाँकि,यदि हम शून्येतर मूलों पर विचार करें,तो भी योग $\alpha+\beta+\gamma+\delta = 0$ प्राप्त होता है।