Mix Examples-Complex numbers Questions in Hindi

(A) दिया गया है,$x=p+q$,$y=p \omega+q \omega^2$ और $z=p \omega^2+q \omega$ है।
हम जानते हैं कि $\omega^3=1$ और $1+\omega+\omega^2=0$,जिसका अर्थ है कि $\omega+\omega^2=-1$ है।
अब,$xyz = (p+q)(p \omega+q \omega^2)(p \omega^2+q \omega)$
$xyz = (p+q)(p^2 \omega^3 + pq \omega^2 + pq \omega^4 + q^2 \omega^3)$
$xyz = (p+q)(p^2(1) + pq \omega^2 + pq \omega + q^2(1))$
$xyz = (p+q)(p^2 + pq(\omega^2+\omega) + q^2)$
$xyz = (p+q)(p^2 + pq(-1) + q^2)$
$xyz = (p+q)(p^2 - pq + q^2)$
$xyz = p^3+q^3$.

(B) दिया गया है $f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_n x^n$ जहाँ $a_i \in \mathbb{Z}$ है।
चूंकि गुणांक पूर्णांक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल संयुग्मी युग्मों में होने चाहिए और $a+\sqrt{b}$ रूप के अपरिमेय मूल अपने संयुग्मी $a-\sqrt{b}$ के साथ होने चाहिए।
दिए गए मूल $x_1 = 3+i$ और $x_2 = 2-\sqrt{3}$ हैं।
इसलिए,उनके संयुग्मी $x_3 = 3-i$ और $x_4 = 2+\sqrt{3}$ भी मूल होने चाहिए।
चूंकि कम से कम $4$ मूल हैं,इसलिए न्यूनतम घात $n=4$ है।
$4$ घात वाले बहुपद के लिए,अचर पद $a_0$ मूलों के गुणनफल के बराबर होता है: $a_0 = x_1 x_2 x_3 x_4$.
$a_0 = (3+i)(3-i) \times (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$
$a_0 = (9+1) \times (4-3) = 10 \times 1 = 10$.
अतः,$n=4$ और $a_0=10$।

(D) दिया गया है कि $3 + i\sqrt{6}$ एक मूल है,इसलिए इसका संयुग्मी $3 - i\sqrt{6}$ भी एक मूल होगा।
मान लीजिए कि अन्य दो वास्तविक मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
बहुपद $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ के चारों मूलों का गुणनफल $e/a$ होता है।
यहाँ,मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta \cdot (3 + i\sqrt{6}) \cdot (3 - i\sqrt{6}) = -45/4$ है।
सम्मिश्र मूलों का गुणनफल: $(3 + i\sqrt{6})(3 - i\sqrt{6}) = 3^2 + (\sqrt{6})^2 = 9 + 6 = 15$ है।
अतः,$\alpha \cdot \beta \cdot 15 = -45/4$ है।
इसलिए,$\alpha \cdot \beta = -45 / (4 \times 15) = -45 / 60 = -3/4$।

(A) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2 i}{3}$ है।
चूंकि $|r| = |\frac{2 i}{3}| = \frac{2}{3} < 1$,योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।
$S = \frac{1}{1-\frac{2 i}{3}} = \frac{1}{\frac{3-2 i}{3}} = \frac{3}{3-2 i}$.
सरल बनाने के लिए,अंश और हर को संयुग्मी $(3+2 i)$ से गुणा करें:
$S = \frac{3(3+2 i)}{(3-2 i)(3+2 i)} = \frac{9+6 i}{3^2 - (2 i)^2} = \frac{9+6 i}{9 - (-4)} = \frac{9+6 i}{13}$.

(B) दिया गया है $z = x + iy$ और $x^2 + y^2 = 1$।
हम जानते हैं कि $|z|^2 = x^2 + y^2 = 1$,इसलिए $z\bar{z} = 1$,जिसका अर्थ है $\bar{z} = \frac{1}{z}$।
व्यंजक $E = \frac{1 + x + iy}{1 + x - iy}$ पर विचार करें।
$x + iy = z$ और $x - iy = \bar{z}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{1 + z}{1 + \bar{z}}$।
चूंकि $\bar{z} = \frac{1}{z}$ है,हमें प्राप्त होता है:
$E = \frac{1 + z}{1 + \frac{1}{z}} = \frac{1 + z}{\frac{z + 1}{z}}$।
$E = \frac{(1 + z) \cdot z}{z + 1} = z$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है कि $x+\frac{1}{x}=2 \sin \alpha$। द्विघात सूत्र $x^2 - (2 \sin \alpha)x + 1 = 0$ का उपयोग करके $x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \sin \alpha \pm i \cos \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) \pm i \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = e^{\pm i(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$ प्राप्त होता है।
$x = e^{i(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$ लेने पर,$x^3 = e^{i(\frac{3\pi}{2} - 3\alpha)}$।
दिया गया है कि $y+\frac{1}{y}=2 \cos \beta$। $y$ के लिए हल करने पर,हमें $y = \cos \beta \pm i \sin \beta = e^{\pm i\beta}$ प्राप्त होता है।
$y = e^{i\beta}$ लेने पर,$y^3 = e^{i3\beta}$।
अतः,$x^3 y^3 = e^{i(\frac{3\pi}{2} - 3\alpha + 3\beta)} = \cos(\frac{3\pi}{2} + 3(\beta - \alpha)) + i \sin(\frac{3\pi}{2} + 3(\beta - \alpha)) = \sin(3(\beta - \alpha)) - i \cos(3(\beta - \alpha))$।
इसी प्रकार,$\frac{1}{x^3 y^3} = \sin(3(\beta - \alpha)) + i \cos(3(\beta - \alpha))$।
इनका योग करने पर,$x^3 y^3 + \frac{1}{x^3 y^3} = 2 \sin(3(\beta - \alpha))$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया है $\cos A+\cos B+\cos C=0$ और $\sin A+\sin B+\sin C=0$.
माना $x_1 = \cos A + i \sin A$,$x_2 = \cos B + i \sin B$,और $x_3 = \cos C + i \sin C$.
तब $x_1 + x_2 + x_3 = 0$.
सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्म से,$x_1+x_2+x_3=0$ का अर्थ है $x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=0$.
अतः,$x_1, x_2, x_3$ समीकरण $z^3 - k = 0$ के मूल हैं जहाँ $k = x_1x_2x_3$.
$x_1+x_2 = -x_3$ का वर्ग करने पर,$x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 = x_3^2$.
$x_1x_2$ से भाग देने पर,$x_1/x_2 + x_2/x_1 + 2 = x_3^2/(x_1x_2) = x_3^3/k = 1$.
अतः $2 \cos(A-B) + 2 = 1$,जिसका अर्थ है $2 \cos(A-B) = -1$.
इसलिए,$\cos(A-B) = -\frac{1}{2}$.

(C) माना $z_1 = \cos \alpha + i \sin \alpha$,$z_2 = 3(\cos 3 \beta + i \sin 3 \beta)$,और $z_3 = 5(\cos 5 \gamma + i \sin 5 \gamma)$ है।
दिए गए समीकरणों से पता चलता है कि $z_1 + z_2 + z_3 = 0$ है।
सर्वसमिका $z_1^3 + z_2^3 + z_3^3 = 3z_1 z_2 z_3$ का उपयोग करते हुए,जब $z_1 + z_2 + z_3 = 0$ हो:
$(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3 + (3(\cos 3 \beta + i \sin 3 \beta))^3 + (5(\cos 5 \gamma + i \sin 5 \gamma))^3 = 3(z_1)(z_2)(z_3)$।
$(\cos 3 \alpha + i \sin 3 \alpha) + 27(\cos 9 \beta + i \sin 9 \beta) + 125(\cos 15 \gamma + i \sin 15 \gamma) = 3(1 \cdot 3 \cdot 5) [\cos(\alpha + 3 \beta + 5 \gamma) + i \sin(\alpha + 3 \beta + 5 \gamma)]$।
वास्तविक भागों की तुलना करने पर:
$\cos 3 \alpha + 27 \cos 9 \beta + 125 \cos 15 \gamma = 45 \cos(\alpha + 3 \beta + 5 \gamma)$।
इसे दिए गए समीकरण $\cos 3 \alpha + 27 \cos 9 \beta + 125 \cos 15 \gamma = (\lambda^2 - 4) \cos(\alpha + 3 \beta + 5 \gamma)$ के साथ तुलना करने पर:
$\lambda^2 - 4 = 45 \implies \lambda^2 = 49 \implies \lambda = \pm 7$।

(C) दिया गया है कि, $\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$.
इसका तात्पर्य है कि $\tan \alpha + \tan \beta = -\tan \gamma (1 - \tan \alpha \tan \beta)$.
$(1 - \tan \alpha \tan \beta)$ से विभाजित करने पर, हमें $\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \tan(-\gamma)$ प्राप्त होता है।
अतः, $\tan(\alpha + \beta) = \tan(-\gamma)$, जिसका अर्थ है कि किसी पूर्णांक $n \in \mathbb{Z}$ के लिए $\alpha + \beta = n\pi - \gamma$ है।
इसलिए, $\alpha + \beta + \gamma = n\pi$.
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए, $x = e^{i\alpha}$, $y = e^{i\beta}$, और $z = e^{i\gamma}$.
तब $xyz = e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta} \cdot e^{i\gamma} = e^{i(\alpha + \beta + \gamma)} = e^{in\pi}$.
चूंकि $e^{in\pi} = \cos(n\pi) + i\sin(n\pi) = \cos(n\pi)$, और $\cos(n\pi)$ का मान $1$ होता है यदि $n$ सम है और $-1$ होता है यदि $n$ विषम है।
अतः, $xyz = \pm 1$.

(B) दिया गया है $a = |Z_1|, b = |Z_2|, c = |Z_3|$। चूँकि $Z_1, Z_2, Z_3$ शून्येतर हैं,इसलिए $a, b, c > 0$ है।
सारणिक $\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $a(bc - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = 0$।
$abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3 = 0$।
$3abc - (a^3 + b^3 + c^3) = 0$,जिसका अर्थ है $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$।
सर्वसमिका $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ का उपयोग करने पर।
इसे $\frac{1}{2}(a + b + c)((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि $a, b, c > 0$ है,इसलिए $a + b + c \neq 0$।
अतः,$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$,जिसका अर्थ है $a = b = c$।

(A) दिया गया समीकरण $x^4-3x^3+8x^2-7x+5=0$ वास्तविक गुणांकों वाला है,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
चूंकि $1+2i$ एक मूल है,इसलिए इसका संयुग्मी $1-2i$ भी एक मूल होगा।
मान लीजिए मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं। मान लीजिए $\alpha = 1+2i$ और $\beta = 1-2i$ है।
मूलों का योग $\alpha+\beta+\gamma+\delta = -(-3)/1 = 3$ है।
$(1+2i) + (1-2i) + \gamma + \delta = 3 \implies 2 + \gamma + \delta = 3 \implies \gamma + \delta = 1$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma \delta = 5/1 = 5$ है।
$(1+2i)(1-2i) \gamma \delta = 5 \implies (1^2+2^2) \gamma \delta = 5 \implies 5 \gamma \delta = 5 \implies \gamma \delta = 1$ है।
हमें अन्य मूलों के वर्गों का योग ज्ञात करना है,जो $\gamma^2 + \delta^2$ है।
सर्वसमिका $\gamma^2 + \delta^2 = (\gamma+\delta)^2 - 2\gamma\delta$ का उपयोग करने पर:
$\gamma^2 + \delta^2 = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$ प्राप्त होता है।

(A) चूंकि गुणांक परिमेय माने गए हैं,इसलिए संयुग्मी मूल भी मौजूद होंगे। अतः,मूल $1+i, 1-i, 1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}$ हैं।
मूल $1+i$ और $1-i$ के लिए:
योग $= (1+i) + (1-i) = 2$
गुणनफल $= (1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1+1 = 2$
द्विघात गुणनखंड $x^2 - 2x + 2 = 0$ है।
मूल $1-\sqrt{2}$ और $1+\sqrt{2}$ के लिए:
योग $= (1-\sqrt{2}) + (1+\sqrt{2}) = 2$
गुणनफल $= (1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1-2 = -1$
द्विघात गुणनखंड $x^2 - 2x - 1 = 0$ है।
चतुर्थघात समीकरण $(x^2-2x+2)(x^2-2x-1) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x - 2 = 0$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{i}{3}\right)^n = 1 + \frac{i}{3} + \left(\frac{i}{3}\right)^2 + \dots \infty$.
एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a=1$ और $r=\frac{i}{3}$ है।
$S = \frac{1}{1-\frac{i}{3}} = \frac{1}{\frac{3-i}{3}} = \frac{3}{3-i}$.
सरल करने के लिए,अंश और हर को संयुग्मी $(3+i)$ से गुणा करें:
$S = \frac{3}{3-i} \times \frac{3+i}{3+i} = \frac{3(3+i)}{3^2 - i^2} = \frac{9+3i}{9 - (-1)} = \frac{9+3i}{10}$.

(A) $\theta=\frac{\pi}{2}$ पर,$\cos \theta = 0$ और $\sin \theta = 1$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\left(\frac{0+i(1)}{1+i(0)}\right)^{2020} + \left(\frac{1+0+i(1)}{1-0+i(1)}\right)^{2021}$
$= (i)^{2020} + \left(\frac{1+i}{1+i}\right)^{2021}$
$= (i^4)^{505} + (1)^{2021}$
$= (1)^{505} + 1 = 1 + 1 = 2$.
चूँकि $x+iy = 2$ है,इसलिए $x=2$ और $y=0$ प्राप्त होता है।
अतः $x+y = 2+0 = 2$।

(A) दिया गया है: $\frac{(2-i) x+(1+i)}{2+i}+\frac{(1-2 i) y+(1-i)}{1+2 i}=1-2 i$
प्रथम पद को $\frac{2-i}{2-i}$ से और दूसरे पद को $\frac{1-2i}{1-2i}$ से गुणा करने पर:
$\frac{(2-i)^2 x+(1+i)(2-i)}{5}+\frac{(1-2 i)^2 y+(1-i)(1-2 i)}{5}=1-2 i$
$\Rightarrow \frac{(3-4i)x + (3+i)}{5} + \frac{(-3-4i)y + (-1-3i)}{5} = 1-2i$
$\Rightarrow (3x-3y-1) + i(-4x-4y-2) = 5-10i$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$3x-3y-1 = 5 \Rightarrow 3x-3y = 6 \Rightarrow x-y = 2 \quad (i)$
$-4x-4y-2 = -10 \Rightarrow -4x-4y = -8 \Rightarrow x+y = 2 \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
$x=2$ को $(ii)$ में रखने पर,$2+y = 2 \Rightarrow y = 0$.
अतः,$2x+4y = 2(2) + 4(0) = 4$.

(A) दिया गया है $x+iy = \frac{13 \sqrt{-5+12i}}{(2-3i)(3+2i)}$.
हर का सरलीकरण करने पर: $(2-3i)(3+2i) = 12-5i$.
$\sqrt{-5+12i} = 2+3i$ लेने पर (चूँकि $x, y > 0$ है)।
अतः $x+iy = \frac{13(2+3i)}{12-5i} = \frac{13(2+3i)(12+5i)}{169} = \frac{9+46i}{13} = \frac{9}{13} + i\frac{46}{13}$.
अतः $x = \frac{9}{13}$ और $y = \frac{46}{13}$.
अंत में,$13y-26x = 13(\frac{46}{13}) - 26(\frac{9}{13}) = 46 - 18 = 28$.

(C) माना $Z = \frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$.
$Z$ को पूर्णतः वास्तविक बनाने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1+2i \cos \theta)$ से गुणा करते हैं:
$Z = \frac{(1+i \cos \theta)(1+2i \cos \theta)}{(1-2i \cos \theta)(1+2i \cos \theta)}$
$Z = \frac{1 + 2i \cos \theta + i \cos \theta + 2i^2 \cos^2 \theta}{1 + 4 \cos^2 \theta}$
चूंकि $i^2 = -1$,हमें प्राप्त होता है:
$Z = \frac{(1 - 2 \cos^2 \theta) + i(3 \cos \theta)}{1 + 4 \cos^2 \theta}$
$Z$ के पूर्णतः वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$\operatorname{Im}(Z) = \frac{3 \cos \theta}{1 + 4 \cos^2 \theta} = 0$
इसका अर्थ है कि $\cos \theta = 0$.
यदि $\cos \theta = 0$ है,तो $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\cos^3 \theta + \sin^2 \theta + \cos \theta + 1 = (0)^3 + 1 + 0 + 1 = 2$.

(C) माना $z = \frac{3+2 i \sin \theta}{1-2 i \sin \theta}$ है।
$z$ को शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1+2 i \sin \theta)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(3+2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}{(1-2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 6 i \sin \theta + 2 i \sin \theta + 4 i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
चूँकि $i^2 = -1$ है,इसलिए:
$z = \frac{(3 - 4 \sin^2 \theta) + i(8 \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z$ के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,$\text{Re}(z) = 0$:
$\frac{3 - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
$3 - 4 \sin^2 \theta = 0$
$\sin^2 \theta = \frac{3}{4}$
$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
अतः $\theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{x+i(x-2)}{3+i}-i=\frac{2y+i(1-3y)}{i-3}$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $x=3$ और $y=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+y = 3+(-1) = 2$.

(A) दिया है $x = \frac{4+3i}{5}$,तो $\frac{1}{x} = \frac{5}{4+3i} = \frac{5(4-3i)}{16+9} = \frac{4-3i}{5}$.
$x + \frac{1}{x} = \frac{4+3i+4-3i}{5} = \frac{8}{5}$.
$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = (\frac{8}{5})^2 - 2 = \frac{64}{25} - 2 = \frac{14}{25}$.
दिया है $y = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}i}{\sqrt{8}}$,तो $\frac{1}{y} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}i} = \frac{\sqrt{8}(\sqrt{3}+\sqrt{5}i)}{3+5} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}i}{\sqrt{8}}$.
$y + \frac{1}{y} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}i+\sqrt{3}+\sqrt{5}i}{\sqrt{8}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$.
$y - \frac{1}{y} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}i-(\sqrt{3}+\sqrt{5}i)}{\sqrt{8}} = \frac{-2\sqrt{5}i}{\sqrt{8}}$.
$y^2 - \frac{1}{y^2} = (y + \frac{1}{y})(y - \frac{1}{y}) = (\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8}})(\frac{-2\sqrt{5}i}{\sqrt{8}}) = \frac{-4\sqrt{15}i}{8} = \frac{-\sqrt{15}i}{2}$.
अतः,$(x^2 + \frac{1}{x^2})(y^2 - \frac{1}{y^2}) = (\frac{14}{25})(\frac{-\sqrt{15}i}{2}) = \frac{-7\sqrt{15}i}{25} = \frac{-7\sqrt{3}\sqrt{5}i}{5\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{-7\sqrt{3}}{5\sqrt{5}}i$.

(A) दिया गया है कि $z_1$ और $z_2$ समीकरण $x^2+2x+2=0$ के मूल हैं।
मूलों का योग $z_1+z_2 = -2$ है,जिसका अर्थ है $z_2 = -2-z_1$।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2z_2 = -2z_1-4$,या $2z_2+2 = -2z_1-2$।
माना दिया गया व्यंजक $E = \frac{-2^{11}(z_1+1+3i)^{11}}{2^5(z_2+1-3i)^{11}}$ है।
इसे $E = -2^6 \left( \frac{z_1+1+3i}{z_2+1-3i} \right)^{11}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
कोष्ठक के अंदर अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$E = -2^6 \left( \frac{2z_1+2+6i}{2z_2+2-6i} \right)^{11}$।
हर में $2z_2+2 = -2z_1-2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = -2^6 \left( \frac{2z_1+2+6i}{-2z_1-2-6i} \right)^{11} = -2^6 \left( \frac{2z_1+2+6i}{-(2z_1+2+6i)} \right)^{11}$।
$E = -2^6 (-1)^{11} = -2^6 (-1) = 2^6 = 64$।

(C) दिया गया है कि $z = e^{ix} = \cos x + i \sin x$ बहुपद समीकरण $z^n + p_1 z^{n-1} + \ldots + p_n = 0$ का एक हल है,जहाँ गुणांक $p_i$ वास्तविक हैं।
चूँकि गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए इसका सम्मिश्र संयुग्मी $z = e^{-ix} = \cos x - i \sin x$ भी समीकरण का एक हल होगा।
$z = e^{ix}$ को समीकरण में रखने पर:
$(e^{ix})^n + p_1 (e^{ix})^{n-1} + \ldots + p_{n-1} e^{ix} + p_n = 0$.
यूलर के सूत्र $e^{ikx} = \cos kx + i \sin kx$ का उपयोग करने पर:
$(\cos nx + i \sin nx) + p_1(\cos(n-1)x + i \sin(n-1)x) + \ldots + p_{n-1}(\cos x + i \sin x) + p_n = 0$.
काल्पनिक भाग को शून्य के बराबर करने पर:
$\sin nx + p_1 \sin(n-1)x + \ldots + p_{n-1} \sin x = 0$.

(A) दिया गया है कि $a^2+b^2+c^2=1$ और $b+ic=(1+a)z$.
$z = \frac{b+ic}{1+a}$.
अतः $iz = \frac{-c+ib}{1+a}$.
$\frac{1+iz}{1-iz} = \frac{1 + \frac{-c+ib}{1+a}}{1 - \frac{-c+ib}{1+a}} = \frac{1+a-c+ib}{1+a+c-ib}$.
अंश और हर को $(1+a+c)+ib$ से गुणा करने पर:
$= \frac{((1+a)+ib)^2 - c^2}{(1+a+c)^2+b^2} = \frac{2(1+a)(a+ib)}{2(1+a)(1+c)} = \frac{a+ib}{1+c}$.

(B) हमारे पास है,$x+iy = (1+i)^6 - (1-i)^6$.
सबसे पहले,$(1+i)^2 = 1 + i^2 + 2i = 1 - 1 + 2i = 2i$ की गणना करें।
तब,$(1+i)^6 = ((1+i)^2)^3 = (2i)^3 = 8i^3 = -8i$.
इसी प्रकार,$(1-i)^2 = 1 + i^2 - 2i = 1 - 1 - 2i = -2i$.
तब,$(1-i)^6 = ((1-i)^2)^3 = (-2i)^3 = -8i^3 = 8i$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x+iy = (-8i) - (8i) = -16i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $x = 0$ और $y = -16$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+y = 0 + (-16) = -16$.

(C) दिया गया है $z_n = (1 + i \sqrt{2})^n$.
तब $z_4 = (1 + i \sqrt{2})^4$ और $\bar{z}_5 = (1 - i \sqrt{2})^5$ है।
गुणनफल $z_4 \bar{z}_5 = (1 + i \sqrt{2})^4 (1 - i \sqrt{2})^5$ पर विचार करें।
हम इसे $z_4 \bar{z}_5 = [(1 + i \sqrt{2})(1 - i \sqrt{2})]^4 (1 - i \sqrt{2})$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूँकि $(1 + i \sqrt{2})(1 - i \sqrt{2}) = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$, इसलिए:
$z_4 \bar{z}_5 = 3^4 (1 - i \sqrt{2}) = 81(1 - i \sqrt{2}) = 81 - 81i \sqrt{2}$।
वास्तविक भाग $\operatorname{Re}(z_4 \bar{z}_5) = 81$ है।
अतः, $\frac{1}{9} \operatorname{Re}(z_4 \bar{z}_5) = \frac{81}{9} = 9$।

(A) माना $z = \frac{(1-i)^3(2-i)}{(2+i)(1+i)}$.
अंश का सरलीकरण: $(1-i)^2 = -2i$,अतः $(1-i)^3 = -2i(1-i) = -2-2i$.
अब,$(1-i)^3(2-i) = (-2-2i)(2-i) = -6-2i$.
हर का सरलीकरण: $(2+i)(1+i) = 1+3i$.
अतः,$z = \frac{-6-2i}{1+3i} = -1.2 + 1.6i$.
मापांक $r = \sqrt{(-1.2)^2 + (1.6)^2} = 2$.
कोणांक $\theta = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$ (द्वितीय चतुर्थांश में होने के कारण)।
अतः,मापांक-कोणांक रूप $2 \operatorname{cis}\left(\pi - \tan^{-1} \frac{4}{3}\right)$ है।

(B) दिया गया है $(x-iy)^{\frac{1}{3}} = a+ib$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,$x-iy = (a+ib)^3$.
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर,$x-iy = a^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 + (ib)^3$.
चूँकि $i^2 = -1$ और $i^3 = -i$,इसलिए $x-iy = a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$x = a^3-3ab^2$ और $y = b^3-3a^2b$.
अब,इन मानों को $\frac{ax-by}{a-b}$ में रखने पर:
$\frac{a(a^3-3ab^2) - b(b^3-3a^2b)}{a-b} = \frac{a^4-3a^2b^2 - b^4+3a^2b^2}{a-b}$.
$= \frac{a^4-b^4}{a-b} = \frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{a-b}$.
$= (a+b)(a^2+b^2) = a^3+a^2b+ab^2+b^3$.

(B) दिया गया है,$\bar{z}^{\frac{1}{3}} = a+ib$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें $\bar{z} = (a+ib)^3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\bar{z} = x-iy$,इसलिए $x-iy = (a+ib)^3$.
दाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $x-iy = a^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 + (ib)^3$.
$x-iy = a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर: $x-iy = (a^3-3ab^2) + i(3a^2b-b^3)$.
तुलना करने पर,$x = a^3-3ab^2$ और $-y = 3a^2b-b^3$,जिसका अर्थ है $y = b^3-3a^2b$.
अब,$\frac{x}{a} = a^2-3b^2$ और $\frac{y}{b} = b^2-3a^2$.
इनका योग करने पर,$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = (a^2-3b^2) + (b^2-3a^2) = -2a^2-2b^2 = -2(a^2+b^2)$.
अतः,$\frac{1}{a^2+b^2}\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right) = \frac{-2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = -2$.

(A) दिया गया है,$z^3+\bar{z}=0$. मान लीजिए $z=x+iy$.
समीकरण में $z$ का मान रखने पर: $(x+iy)^3 + (x-iy) = 0$.
विस्तार करने पर: $x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3 + x - iy = 0$.
$x^3 + 3x^2yi - 3xy^2 - iy^3 + x - iy = 0$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर: $(x^3 - 3xy^2 + x) + i(3x^2y - y^3 - y) = 0$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
$1) x(x^2 - 3y^2 + 1) = 0$
$2) y(3x^2 - y^2 - 1) = 0$
स्थिति $1$: यदि $x=0$,तो $-y(y^2+1)=0 \Rightarrow y=0$. हल: $(0,0)$.
स्थिति $2$: यदि $y=0$,तो $x(x^2+1)=0 \Rightarrow x=0$. हल: $(0,0)$.
स्थिति $3$: यदि $x \neq 0$ और $y \neq 0$,तो $x^2 - 3y^2 + 1 = 0$ और $3x^2 - y^2 - 1 = 0$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $4x^2 - 4y^2 = 0 \Rightarrow x^2 = y^2$.
$x^2 = y^2$ को $x^2 - 3y^2 + 1 = 0$ में रखने पर: $y^2 - 3y^2 + 1 = 0$ $\Rightarrow 2y^2 = 1$ $\Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $x^2 = y^2$,इसलिए $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
संभावित जोड़े $(x,y)$ हैं: $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$.
कुल हल: $(0,0)$ और ऊपर दिए गए $4$ जोड़े,इस प्रकार कुल $5$ हल प्राप्त होते हैं।

(A) माना $z = \frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \sin \theta}$.
$z$ को शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,इसका वास्तविक भाग $0$ होना चाहिए।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $1-2i \sin \theta$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(1-i \cos \theta)(1-2i \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta} = \frac{(1 - \sin(2 \theta)) - i(2 \sin \theta + \cos \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$.
वास्तविक भाग को $0$ रखने पर,$1 - \sin(2 \theta) = 0 \Rightarrow \sin(2 \theta) = 1$.
अतः,$2 \theta = 2n \pi + \frac{\pi}{2}$,जिससे $\theta = n \pi + \frac{\pi}{4}$ जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(A) दिया गया है कि $|Z_1| = |Z_2| = |Z_3| = 1$।
हम जानते हैं कि $|Z|^2 = Z \overline{Z}$।
दिया गया है $|Z_1-Z_2|^2+|Z_1-Z_3|^2=4$।
इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(Z_1-Z_2)(\overline{Z_1}-\overline{Z_2}) + (Z_1-Z_3)(\overline{Z_1}-\overline{Z_3}) = 4$।
$Z_1\overline{Z_1} - Z_1\overline{Z_2} - \overline{Z_1}Z_2 + Z_2\overline{Z_2} + Z_1\overline{Z_1} - Z_1\overline{Z_3} - \overline{Z_1}Z_3 + Z_3\overline{Z_3} = 4$।
चूंकि $|Z_1|^2 = |Z_2|^2 = |Z_3|^2 = 1$,इसलिए:
$1 - (Z_1\overline{Z_2} + \overline{Z_1}Z_2) + 1 + 1 - (Z_1\overline{Z_3} + \overline{Z_1}Z_3) + 1 = 4$।
$4 - (Z_1\overline{Z_2} + \overline{Z_1}Z_2 + Z_1\overline{Z_3} + \overline{Z_1}Z_3) = 4$।
अतः,$Z_1\overline{Z_2} + \overline{Z_1}Z_2 + Z_1\overline{Z_3} + \overline{Z_1}Z_3 = 0$।

(B) दिया गया समीकरण: $z\bar{z}^3 + \bar{z}z^3 = 350$
$z\bar{z}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$z\bar{z}(\bar{z}^2 + z^2) = 350$
चूँकि $z\bar{z} = |z|^2 = x^2 + y^2$,हमारे पास है:
$|z|^2((x - iy)^2 + (x + iy)^2) = 350$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$|z|^2(x^2 - y^2 - 2xyi + x^2 - y^2 + 2xyi) = 350$
$|z|^2(2x^2 - 2y^2) = 350$
$2|z|^2(x^2 - y^2) = 350$
$|z|^2(x^2 - y^2) = 175$
चूँकि $|z|^2 = x^2 + y^2$,हमारे पास $(x^2 + y^2)(x^2 - y^2) = 175$ है।
$x^4 - y^4 = 175$
$x$ और $y$ के लिए पूर्णांक मानों की जाँच करने पर:
यदि $x = 4, y = 3$ है,तो $4^4 - 3^4 = 256 - 81 = 175$
अतः,$|z|^2 = x^2 + y^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
इसलिए,$|z| = \sqrt{25} = 5$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $iz^2 - 2(i+1)z + (2-i) = 0$ है।
चूंकि $-i$ एक मूल है,मूलों का योग $\alpha + (-i) = -\frac{b}{a} = \frac{2(i+1)}{i} = 2(1-i) = 2-2i$ है।
अतः,$\alpha = 2-i$।
हालांकि,प्रश्न $\tan \theta = -\frac{1}{2}$ के आधार पर $5^3 \cos 6\theta$ का मान पूछता है।
सूत्र $\tan 3\theta = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta} = \frac{3(-1/2) - (-1/8)}{1 - 3(1/4)} = \frac{-3/2 + 1/8}{1/4} = \frac{-11/8}{1/4} = -\frac{11}{2}$ का उपयोग करते हुए।
अब,$5^3 \cos 6\theta = 125 \left( \frac{1 - \tan^2 3\theta}{1 + \tan^2 3\theta} \right) = 125 \left( \frac{1 - (-11/2)^2}{1 + (-11/2)^2} \right) = 125 \left( \frac{1 - 121/4}{1 + 121/4} \right) = 125 \left( \frac{-117/4}{125/4} \right) = -117$।

(D) कथन $(A)$ के लिए: दिया गया है $|z| \geq 3$.
हम असमिका $|z_1 + z_2| \geq ||z_1| - |z_2||$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$|z + \frac{3}{z}| \geq ||z| - |\frac{3}{z}|| = ||z| - \frac{3}{|z|}||$.
माना $f(t) = t - \frac{3}{t}$ जहाँ $t = |z| \geq 3$.
चूँकि $f(t)$,$t \geq 3$ के लिए एक वर्धमान फलन है,इसलिए न्यूनतम मान $t = 3$ पर प्राप्त होता है।
$f(3) = 3 - \frac{3}{3} = 3 - 1 = 2$.
अतः,$|z + \frac{3}{z}| \geq 2$.
कथन में न्यूनतम मान $1$ दिया गया है,जो कि असत्य है।
कारण $(R)$ के लिए: त्रिभुज असमिका के अनुसार $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ होता है। कथन $|z_1 - z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ त्रिभुज असमिका का ही एक मान्य रूप है,जो सत्य है।
अतः,$A$ असत्य है लेकिन $R$ सत्य है।

(A) व्यंजक को पूर्णतः वास्तविक बनाने के लिए,इसका काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए $z = \frac{1-10 i \cos \theta}{1-10 \sqrt{3} i \sin \theta}$ है।
अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate) से गुणा करने पर:
$z = \frac{(1-10 i \cos \theta)(1+10 \sqrt{3} i \sin \theta)}{(1-10 \sqrt{3} i \sin \theta)(1+10 \sqrt{3} i \sin \theta)}$
$z = \frac{1 + 10 \sqrt{3} i \sin \theta - 10 i \cos \theta + 100 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta}{1 + 300 \sin^2 \theta}$
काल्पनिक भाग $\frac{10 \sqrt{3} \sin \theta - 10 \cos \theta}{1 + 300 \sin^2 \theta}$ है।
काल्पनिक भाग को $0$ के बराबर रखने पर:
$10 \sqrt{3} \sin \theta - 10 \cos \theta = 0$
$10 \sqrt{3} \sin \theta = 10 \cos \theta$
$\tan \theta = \frac{10}{10 \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
अतः,$\theta = \frac{\pi}{6}$।

(B) दिया गया है $a = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
तब $\bar{a} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$(i)$ $a \bar{a} = |a|^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$. यह $(D)$ से मेल खाता है।
$(ii)$ $\arg \left(\frac{1}{\bar{a}}\right) = \arg(a) = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}/2}{1/2}\right) = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$. यह $(A)$ से मेल खाता है।
$(iii)$ $a - \bar{a} = \left(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -i \sqrt{3}$. यह $(B)$ से मेल खाता है।
$(iv)$ $\frac{4}{3a} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{a} = \frac{4}{3} \cdot \frac{\bar{a}}{|a|^2} = \frac{4}{3} \left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{2}{3} + i \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} + i \frac{2}{\sqrt{3}}$.
अतः, $\operatorname{Im}\left(\frac{4}{3a}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}$. यह $(F)$ से मेल खाता है।
इसलिए, सही मिलान $(i)-D, (ii)-A, (iii)-B, (iv)-F$ है।

(B) दिया गया है $z=1-\sqrt{3} i$।
हम जानते हैं कि $(z-1)^3 = z^3 - 3z^2 + 3z - 1$।
अतः,$z^3 - 3z^2 + 3z = (z-1)^3 + 1$।
व्यंजक में $z = 1 - \sqrt{3} i$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(z-1) = (1 - \sqrt{3} i - 1) = -\sqrt{3} i$।
अब,$(z-1)^3$ की गणना करें:
$(-\sqrt{3} i)^3 = -(\sqrt{3})^3 \times i^3 = -3\sqrt{3} \times (-i) = 3\sqrt{3} i$।
अंततः,$z^3 - 3z^2 + 3z = 3\sqrt{3} i + 1 = 1 + 3\sqrt{3} i$।

(A) दिया गया है $Z_1 = \sqrt{3} + i \sqrt{3} = \sqrt{6} e^{i \frac{\pi}{4}}$ और $Z_2 = \sqrt{3} + i = 2 e^{i \frac{\pi}{6}}$.
तब $\frac{Z_1}{Z_2} = \frac{\sqrt{6}}{2} e^{i \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\sqrt{6}}{2} e^{i \frac{\pi}{12}}$.
अब,$\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^{50} = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{50} e^{i \frac{50\pi}{12}} = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{50} e^{i \frac{25\pi}{6}}$.
चूंकि $\frac{25\pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6}$,इसलिए $\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^{50} = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{50} e^{i \frac{\pi}{6}}$.
यह $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ के रूप में है जहाँ $\theta = \frac{\pi}{6}$.
चूंकि $\frac{\pi}{6}$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए बिंदु $(x, y)$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।

(B) दिया गया है $z=e^{i \theta}$,इसलिए $\cos n \theta = \frac{z^n+z^{-n}}{2}$ और $\sin n \theta = \frac{z^n-z^{-n}}{2i}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3(\frac{z^3+z^{-3}}{2})+2(\frac{z^2+z^{-2}}{2})+5(\frac{z^5+z^{-5}}{2})}{3(\frac{z^3-z^{-3}}{2i})+2(\frac{z^2-z^{-2}}{2i})+5(\frac{z^5-z^{-5}}{2i})} = i \frac{5z^{10}+3z^8+2z^7+2z^3+3z^2+5}{5z^{10}+3z^8+2z^7-2z^3-3z^2-5} = i \frac{\sum_{r=0}^{10} a_r z^r}{\sum_{r=0}^{10} b_r z^r}$.
गुणांकों की तुलना करने पर,गुणांकों का योग $\sum (a_r+b_r) = 2+3+5 = 10$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\sum_{r=0}^{10} (a_r+b_r)}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

(B) माना $z_1 = \frac{\cos \theta+i \sin \theta}{\sin \theta+i \cos \theta} = \frac{\cos \theta+i \sin \theta}{i(\cos \theta-i \sin \theta)} = \frac{1}{i} \cdot \frac{e^{i \theta}}{e^{-i \theta}} = -i e^{i 2 \theta}$.
अतः $z_1^8 = (-i)^8 (e^{i 2 \theta})^8 = 1 \cdot e^{i 16 \theta} = \cos 16 \theta + i \sin 16 \theta$.
माना $z_2 = \frac{1+\cos \theta-i \sin \theta}{1+\cos \theta+i \sin \theta} = \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - i 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + i 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} = \frac{\cos \frac{\theta}{2} - i \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2}} = \frac{e^{-i \theta/2}}{e^{i \theta/2}} = e^{-i \theta}$.
अतः $z_2^{16} = (e^{-i \theta})^{16} = e^{-i 16 \theta} = \cos 16 \theta - i \sin 16 \theta$.
दोनों पदों को जोड़ने पर: $z_1^8 + z_2^{16} = (\cos 16 \theta + i \sin 16 \theta) + (\cos 16 \theta - i \sin 16 \theta) = 2 \cos 16 \theta$.

(C) दिया गया है $|z_1|=1 \implies x_1^2+y_1^2=1$ और $|z_2|=2 \implies x_2^2+y_2^2=4$.
$\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$.
माना $z_1 = \cos \theta + i \sin \theta$. तब $x_1 = \cos \theta, y_1 = \sin \theta$.
चूँकि $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$, हमारे पास $x_2 \cos \theta + y_2 \sin \theta = 0$ है।
यह इंगित करता है कि $(x_2, y_2) = \pm 2(-\sin \theta, \cos \theta)$.
$x_2 = -2 \sin \theta$ और $y_2 = 2 \cos \theta$ लेने पर:
$z_3 = x_1 + i \frac{x_2}{2} = \cos \theta - i \sin \theta = \bar{z}_1 \implies |z_3|=1$.
$z_4 = 2 y_1 + i y_2 = 2 \sin \theta + i 2 \cos \theta = 2i(\cos \theta - i \sin \theta) = 2i \bar{z}_1 \implies |z_4|=2$.
$z_3 z_4 = (\bar{z}_1)(2i \bar{z}_1) = 2i \bar{z}_1^2 = 2i(\cos 2\theta - i \sin 2\theta) = 2 \sin 2\theta + 2i \cos 2\theta$.
हालाँकि, शर्त $\operatorname{Re}(z_1 z_2)=0$ की जाँच करने पर ($\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2)=0$ के बजाय):
यदि $\operatorname{Re}(z_1 z_2)=0$, तो $x_1 x_2 - y_1 y_2 = 0 \implies x_1 x_2 = y_1 y_2$.
$z_1 = e^{i\theta}$, $z_2 = 2e^{i(\pi/2 - \theta)} = 2i \bar{z}_1 = 2 \sin \theta + 2i \cos \theta$ का उपयोग करने पर।
तब $z_3 = \cos \theta + i \sin \theta = z_1$ और $z_4 = 2 \sin \theta + 2i \cos \theta = 2i \bar{z}_1$.
$z_3 z_4 = z_1 (2i \bar{z}_1) = 2i |z_1|^2 = 2i$.
अतः, $\operatorname{Re}(z_3 z_4) = 0$ और $|z_3|=1, |z_4|=2$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ है।
अतः,$\frac{1-\sqrt{3}i}{2} = -\omega^2$ और $\frac{1+\sqrt{3}i}{2} = -\omega$ है।
तब,$\left(-\omega^2\right)^{2020} + (-\omega)^{2026} = \omega^{4040} + \omega^{2026} = \omega^2 + \omega = -1$ है।
अब,योग $\sum_{j=1}^6 (j+\omega)(j+\omega^2) = \sum_{j=1}^6 (j^2 + j(\omega+\omega^2) + \omega^3) = \sum_{j=1}^6 (j^2 - j + 1)$ पर विचार करें।
योग सूत्रों का उपयोग करते हुए: $\sum_{j=1}^6 j^2 = 91$,$\sum_{j=1}^6 j = 21$,और $\sum_{j=1}^6 1 = 6$ है।
अतः,योग $91 - 21 + 6 = 76$ है।
साइन पद $\sin\left(76 \times \frac{3\pi}{152}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$ हो जाता है।
अंत में,कुल व्यंजक $-1 + (-1) = -2$ है।

(A) दिया गया है कि $a_1, a_2, a_3$ समीकरण $x^3 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $a_1 + a_2 + a_3 = 0$ है।
$a_k = e^{i \alpha_k}$ होने के कारण,$\sum a_k = 0$ और $\sum \bar{a_k} = 0$ है।
$b = a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1$ है।
$(a_1 + a_2 + a_3)^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + 2b = 0$।
अतः $b = -\frac{1}{2}(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)$।
इकाई वृत्त पर स्थित सम्मिश्र संख्याओं के लिए यदि उनका योग शून्य है,तो उनके वर्गों का योग भी शून्य होता है।
इसलिए $b = 0$।

(C) दी गई सम्मिश्र संख्या $z = \sqrt{5} - i \sqrt{15}$ है।
$r(\cos \theta + i \sin \theta)$ से तुलना करने पर,$r = |z| = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (-\sqrt{15})^2} = \sqrt{5 + 15} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$r^2 = 20$.
हमें $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}} = \frac{1}{2}$ और $\sin \theta = \frac{-\sqrt{15}}{2 \sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = 2$.
और $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\operatorname{cosec}^2 \theta = \frac{4}{3}$.
इन मानों को व्यंजक $r^2(\sec \theta + 3 \operatorname{cosec}^2 \theta)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$20 \times (2 + 3 \times \frac{4}{3}) = 20 \times (2 + 4) = 20 \times 6 = 120$.

(B) हम जानते हैं कि $\cosh(A \pm B) = \cosh A \cosh B \pm \sinh A \sinh B$ होता है।
इस सूत्र का उपयोग करने पर:
$\cosh(x + iy) = \cosh x \cosh(iy) + \sinh x \sinh(iy)$
$\cosh(x - iy) = \cosh x \cosh(iy) - \sinh x \sinh(iy)$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$\cosh(x + iy) - \cosh(x - iy) = (\cosh x \cosh(iy) + \sinh x \sinh(iy)) - (\cosh x \cosh(iy) - \sinh x \sinh(iy))$
$= 2 \sinh x \sinh(iy)$
चूंकि $\sinh(iy) = i \sin y$ होता है,इसलिए:
$= 2i \sinh x \sin y$.