मान लीजिए $z$ एक सम्मिश्र संख्या है जिसका काल्पनिक भाग शून्य नहीं है। यदि $\frac{2+3z+4z^2}{2-3z+4z^2}$ एक वास्तविक संख्या है,तो $|z|^2$ का मान क्या है?

यदि $-i$ और $\alpha$ समीकरण $iz^2 - 2(i+1)z + (2-i) = 0$ के मूल हैं,$\tan \theta = \frac{-1}{2}$ और $\theta \in 4^{\text{th}}$ चतुर्थांश में है,तो $5^3 \cos 6\theta =$

मान लीजिए $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ समीकरण $z^2 + 4z - (1 + 12i) = 0$ के भिन्न हल हैं। तो $|z_1|^2 + |z_2|^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

$z_1$ और $z_2$ दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं जैसे कि $|z_1 + z_2| = 1$ और $|z_1^2 + z_2^2| = 25$,तो $|z_1^3 + z_2^3|$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a = \cos \alpha + i\sin \alpha$,$b = \cos \beta + i\sin \beta$,$c = \cos \gamma + i\sin \gamma$ और $\frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} = 1$ है,तो $\cos (\beta - \gamma) + \cos (\gamma - \alpha) + \cos (\alpha - \beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $P, Q$ और $R$ एक समद्विबाहु त्रिभुज के कोण हैं और $\angle P = \frac{\pi}{2}$ है,तो $\left(\cos \frac{P}{3} - i \sin \frac{P}{3}\right)^3 + (\cos Q + i \sin Q) (\cos R - i \sin R) + (\cos P - i \sin P) (\cos Q - i \sin Q) (\cos R - i \sin R)$ का मान ज्ञात कीजिए।