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Question

(B) दिया गया है $z = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + i\frac{1}{2}} \right)^5} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - i\frac{1}{2}} \right)^5}$.हम जानते हैं

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$	ext{Im}(z) = 0$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $z = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + i\frac{1}{2}} ight)^5} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - i\frac{1}{2}} ight)^5}$.हम जानते हैं कि $\frac{{\sqrt 3 }}{2} + i\frac{1}{2} = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} ight) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6}} ight) = e^{i\pi/6}$.इसी प्रकार,$\frac{{\sqrt 3 }}{2} - i\frac{1}{2} = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} ight) - i\sin \left( {\frac{\pi }{6}} ight) = e^{-i\pi/6}$.डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z = (e^{i\pi/6})^5 + (e^{-i\pi/6})^5 = e^{i5\pi/6} + e^{-i5\pi/6}$.यह $z = 2\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} ight)$ में सरल हो जाता है।चूंकि $\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} ight) = -\frac{{\sqrt 3 }}{2}$,इसलिए $z = 2 	imes \left( -\frac{{\sqrt 3 }}{2} ight) = -\sqrt 3$.चूंकि $z$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए इसका काल्पनिक भाग $	ext{Im}(z) = 0$ है।

यदि $z = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{i}{2}} \right)^5} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{i}{2}} \right)^5}$,तो

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यदि ${\left( {\frac{{1 + \cos \theta + i\sin \theta }}{{i + \sin \theta + i\cos \theta }}} \right)^4} = \cos n\theta + i\sin n\theta $ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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