यदि z = (1 + isqrt{3})^{100} है,तो frac{text{ | vedclass

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Question

(C) माना $w = 1 + i\sqrt{3}$ है।ध्रुवीय रूप में बदलने पर,$r = |w| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$ है।$	heta = \arg(w) = 	an^{-1}(\sqrt{3}/1) = \fra

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$\frac{1}{\sqrt{3}}$

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(C) माना $w = 1 + i\sqrt{3}$ है।ध्रुवीय रूप में बदलने पर,$r = |w| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$ है।$	heta = \arg(w) = 	an^{-1}(\sqrt{3}/1) = \frac{\pi}{3}$ है।अतः,$w = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$ है।तब $z = w^{100} = 2^{100}(\cos \frac{100\pi}{3} + i \sin \frac{100\pi}{3})$ है।चूंकि $\frac{100\pi}{3} = 33\pi + \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\cos(\frac{100\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ और $\sin(\frac{100\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।इस प्रकार,$z = 2^{100}(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})$ है।$	ext{Re}(z) = -2^{99}$ और $	ext{Im}(z) = -2^{99}\sqrt{3}$ है।अतः,$\frac{	ext{Re}(z)}{	ext{Im}(z)} = \frac{-2^{99}}{-2^{99}\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

यदि $z = (1 + i\sqrt{3})^{100}$ है,तो $\frac{\text{Re}(z)}{\text{Im}(z)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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माना $z = \cos \theta + i \sin \theta$ है। तब,$\theta = 2^{\circ}$ पर $\sum_{m=1}^{15} \text{Im}(z^{2m-1})$ का मान क्या है?

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