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Question

(A) माना $z = \frac{1 + \sin 	heta + i\cos 	heta}{1 + \sin 	heta - i\cos 	heta}$.$\sin 	heta = \cos(\frac{\pi}{2} - 	heta)$ और $\cos 	heta = \s

Vedclass · Accepted Answer

$\cos \left( {\frac{{n\pi }}{2} - n	heta } ight) + i\sin \left( {\frac{{n\pi }}{2} - n	heta } ight)$

Vedclass · Answer

(A) माना $z = \frac{1 + \sin 	heta + i\cos 	heta}{1 + \sin 	heta - i\cos 	heta}$.$\sin 	heta = \cos(\frac{\pi}{2} - 	heta)$ और $\cos 	heta = \sin(\frac{\pi}{2} - 	heta)$ सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, माना $\alpha = \frac{\pi}{2} - 	heta$.तब $z = \frac{1 + \cos \alpha + i\sin \alpha}{1 + \cos \alpha - i\sin \alpha}$.अर्ध-कोण सूत्रों $1 + \cos \alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$ और $\sin \alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$ का उपयोग करते हुए:$z = \frac{2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) + i(2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}))}{2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) - i(2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}))} = \frac{\cos(\frac{\alpha}{2}) + i\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2}) - i\sin(\frac{\alpha}{2})}$.अतः, $z^n = e^{in\alpha} = \cos(n\alpha) + i\sin(n\alpha)$.$\alpha = \frac{\pi}{2} - 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\cos(\frac{n\pi}{2} - n	heta) + i\sin(\frac{n\pi}{2} - n	heta)$ प्राप्त होता है।

${\left( {\frac{{1 + \sin \theta + i\cos \theta }}{{1 + \sin \theta - i\cos \theta }}} \right)^n} = $

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