परवलय $y^2 = 4ax$ की समांतर जीवाओं के समूह के मध्य-बिंदु कहाँ स्थित होते हैं?

एक बाहरी बिंदु $P$ से परवलय $y^2 = 4x$ पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म खींचा जाता है। यदि $\theta_1$ और $\theta_2$ स्पर्श रेखाओं द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाए गए कोण हैं,जैसे कि $\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{4}$,तो $P$ का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $x+y=k$ परवलय $y^2=12x$ का एक अभिलंब है। यदि $p$ परवलय की नाभि से इस अभिलंब पर डाले गए लंब की लंबाई है,तो $4k-2p^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

परवलय $y^2 = 12x$ पर किसी बिंदु और नाभि को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ $(m+n \neq 0)$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु का बिंदुपथ एक परवलय है। तो उस परवलय के नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

यदि शांकव $y^{2}-4y=4x-4a$ का शीर्ष हमेशा सरल रेखाओं $x+y=3$ और $2x+2y-1=0$ के बीच स्थित है,तो:

परवलयों $x^2=108y$ और $y^2=32x$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण है