परवलय y=x^{2} से बिंदु (0, c) की न्यूनतम दूरी | vedclass

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Question

(A) माना $(h, k)$ परवलय $y=x^{2}$ पर कोई बिंदु है। माना $D$ बिंदु $(h, k)$ और $(0, c)$ के बीच की दूरी है।$D = \sqrt{(h-0)^{2} + (k-c)^{2}} = \sqrt{h^{

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$\frac{\sqrt{4c-1}}{2}$

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(A) माना $(h, k)$ परवलय $y=x^{2}$ पर कोई बिंदु है। माना $D$ बिंदु $(h, k)$ और $(0, c)$ के बीच की दूरी है।$D = \sqrt{(h-0)^{2} + (k-c)^{2}} = \sqrt{h^{2} + (k-c)^{2}}$.चूंकि $(h, k)$ परवलय $y=x^{2}$ पर स्थित है,इसलिए $k=h^{2}$ है,अर्थात $h^{2}=k$.इस मान को दूरी के सूत्र में रखने पर,हमें $D(k) = \sqrt{k + (k-c)^{2}}$ प्राप्त होता है।न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $f(k) = k + (k-c)^{2} = k + k^{2} - 2kc + c^{2} = k^{2} + k(1-2c) + c^{2}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करेंगे।$k$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(k) = 2k + 1 - 2c$.$f'(k) = 0$ रखने पर,हमें $2k = 2c - 1$,या $k = \frac{2c-1}{2}$ प्राप्त होता है।यदि $c \leq \frac{1}{2}$ है,तो न्यूनतम दूरी शीर्ष $(0, 0)$ पर होती है,जो $c$ है। यदि $c > \frac{1}{2}$ है,तो न्यूनतम दूरी $k = \frac{2c-1}{2}$ पर होती है।$k = \frac{2c-1}{2}$ को $D(k)$ में रखने पर:$D = \sqrt{\frac{2c-1}{2} + (\frac{2c-1}{2} - c)^{2}} = \sqrt{\frac{2c-1}{2} + (-\frac{1}{2})^{2}} = \sqrt{\frac{2c-1}{2} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4c-2+1}{4}} = \frac{\sqrt{4c-1}}{2}$.

परवलय $y=x^{2}$ से बिंदु $(0, c)$ की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए,जहाँ $0 \leq c \leq 5$.

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