परवलय $y^2 = 4ax$ की उन जीवाओं के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ क्या है जो मूल बिंदु से होकर गुजरती हैं?

वृत्त $C: x^2+y^2=4$ और परवलय $P: y^2=8x$ पर विचार करें। यदि $\alpha$ के उन सभी मानों का समुच्चय,जिनके लिए बिंदु $(\alpha, 0)$ से गुजरने वाली तीन अलग-अलग रेखाओं पर वृत्त $C$ की तीन जीवाएं परवलय $P$ द्वारा समद्विभाजित होती हैं,अंतराल $(p, q)$ है,तो $(2q-p)^2$ का मान............. है।

दो परवलयों की नाभि समान $(4, 3)$ है और उनकी नियताएँ क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष हैं। यदि ये परवलय बिंदुओं $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो $(AB)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A(1, 2)$ परवलय $y^2 = 4x$ पर एक बिंदु है। मान लीजिए $B$ और $C$ इस परवलय के बिंदु $P(5, -2)$ से गुजरने वाली एक चर रेखा के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। तब $\Delta ABC$ (यदि इसका अस्तित्व है):

परवलय $x^2 = 4y$ की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जिसका समीकरण $x - \sqrt{2}y + 4\sqrt{2} = 0$ है।

यदि परवलय $y^2=4ax$ के शीर्ष और परवलय पर स्थित एक बिंदु को जोड़ने वाला रेखाखंड धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है,तो उस रेखाखंड की लंबाई क्या है?