मान लीजिए A(1, 2) परवलय y^2 = 4x पर एक बिंदु | vedclass

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Question

(A) परवलय $y^2 = 4x$ पर बिंदुओं $B$ और $C$ के निर्देशांक क्रमशः $(t_1^2, 2t_1)$ और $(t_2^2, 2t_2)$ मान लीजिए।$B(t_1^2, 2t_1)$ और $C(t_2^2, 2t_2)$ से ग

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हमेशा समकोण त्रिभुज है

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(A) परवलय $y^2 = 4x$ पर बिंदुओं $B$ और $C$ के निर्देशांक क्रमशः $(t_1^2, 2t_1)$ और $(t_2^2, 2t_2)$ मान लीजिए।$B(t_1^2, 2t_1)$ और $C(t_2^2, 2t_2)$ से गुजरने वाली रेखा $P(5, -2)$ से भी गुजरती है।रेखा $BC$ की ढाल $m = \frac{2t_1 - 2t_2}{t_1^2 - t_2^2} = \frac{2}{t_1 + t_2}$ है।चूंकि रेखा $P(5, -2)$ से गुजरती है,ढाल $m = \frac{2t_1 - (-2)}{t_1^2 - 5} = \frac{2(t_1 + 1)}{t_1^2 - 5}$ भी है।ढालों की तुलना करने पर: $\frac{2}{t_1 + t_2} = \frac{2(t_1 + 1)}{t_1^2 - 5}$ $\Rightarrow t_1^2 - 5 = (t_1 + t_2)(t_1 + 1) = t_1^2 + t_1 + t_1t_2 + t_2$.यह सरल होकर $t_1t_2 + t_1 + t_2 = -5$ हो जाता है।रेखाओं $AB$ और $AC$ की ढाल $m_{AB} = \frac{2}{t_1 + 1}$ और $m_{AC} = \frac{2}{t_2 + 1}$ हैं।ढालों का गुणनफल $m_{AB} \cdot m_{AC} = \frac{4}{(t_1 + 1)(t_2 + 1)} = \frac{4}{t_1t_2 + t_1 + t_2 + 1}$ है।$t_1t_2 + t_1 + t_2 = -5$ प्रतिस्थापित करने पर,$m_{AB} \cdot m_{AC} = \frac{4}{-5 + 1} = \frac{4}{-4} = -1$ प्राप्त होता है।चूंकि ढालों का गुणनफल $-1$ है,रेखाएं $AB$ और $AC$ लंबवत हैं,जिसका अर्थ है $\angle BAC = 90^\circ$। अतः,$\Delta ABC$ हमेशा एक समकोण त्रिभुज है।

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