પરવલય y=x^{2} થી બિંદુ (0, c) નું લઘુત્તમ અંત | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $(h, k)$ એ પરવલય $y=x^{2}$ પરનું કોઈ બિંદુ છે. ધારો કે $D$ એ $(h, k)$ અને $(0, c)$ વચ્ચેનું અંતર છે.$D = \sqrt{(h-0)^{2} + (k-c)^{2}} = \s

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\sqrt{4c-1}}{2}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $(h, k)$ એ પરવલય $y=x^{2}$ પરનું કોઈ બિંદુ છે. ધારો કે $D$ એ $(h, k)$ અને $(0, c)$ વચ્ચેનું અંતર છે.$D = \sqrt{(h-0)^{2} + (k-c)^{2}} = \sqrt{h^{2} + (k-c)^{2}}$.કારણ કે $(h, k)$ એ $y=x^{2}$ પર આવેલું છે,તેથી $k=h^{2}$ થાય,એટલે કે $h^{2}=k$.આ કિંમત અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $D(k) = \sqrt{k + (k-c)^{2}}$ મળે છે.લઘુત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $f(k) = k + (k-c)^{2} = k + k^{2} - 2kc + c^{2} = k^{2} + k(1-2c) + c^{2}$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધીશું.$k$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f'(k) = 2k + 1 - 2c$.$f'(k) = 0$ લેતા,આપણને $2k = 2c - 1$,અથવા $k = \frac{2c-1}{2}$ મળે છે.જો $c \leq \frac{1}{2}$ હોય,તો લઘુત્તમ અંતર શિરોબિંદુ $(0, 0)$ પર મળે છે,જે $c$ છે. જો $c > \frac{1}{2}$ હોય,તો લઘુત્તમ અંતર $k = \frac{2c-1}{2}$ પર મળે છે.$k = \frac{2c-1}{2}$ ને $D(k)$ માં મૂકતા:$D = \sqrt{\frac{2c-1}{2} + (\frac{2c-1}{2} - c)^{2}} = \sqrt{\frac{2c-1}{2} + (-\frac{1}{2})^{2}} = \sqrt{\frac{2c-1}{2} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4c-2+1}{4}} = \frac{\sqrt{4c-1}}{2}$.

પરવલય $y=x^{2}$ થી બિંદુ $(0, c)$ નું લઘુત્તમ અંતર શોધો,જ્યાં $0 \leq c \leq 5$.

Similar Questions

પરવલય $4y^2 - 6x - 4y = 5$ ની નિયામિકા અને અક્ષ અનુક્રમે કયા હોઈ શકે?

પરવલય $y^2 = 4ax$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ આગળના સ્પર્શકોના સમીકરણો છે-

સીધી રેખા $y + x = 1$ એ નીચેનામાંથી કયા પરવલયને સ્પર્શે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module