Hyperbola Questions in Hindi

(C) अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
यहाँ $a = 6$ है,अतः समीकरण $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
बिंदु $P(10, 16)$ समीकरण में रखने पर: $\frac{100}{36} - \frac{256}{b^2} = 1$.
$\frac{25}{9} - 1 = \frac{256}{b^2} \implies \frac{16}{9} = \frac{256}{b^2} \implies b^2 = 144$.
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{144} = 1$ है।
अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2 x}{x_1} + \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 + b^2$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{36x}{10} + \frac{144y}{16} = 36 + 144 = 180$.
$3.6x + 9y = 180 \implies 2x + 5y = 100$.

(D) $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{2x}{a^{2}}-\frac{2y}{b^{2}}\frac{dy}{dx}=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx}=\frac{b^{2}x}{a^{2}y}$।
बिंदु $(x_{0}, y_{0})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_{t} = \frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y-y_{0} = \frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}(x-x_{0})$ है,जो सरल होकर $\frac{x x_{0}}{a^{2}}-\frac{y y_{0}}{b^{2}}=1$ हो जाता है।
अभिलंब की ढाल $m_{n} = -\frac{1}{m_{t}} = -\frac{a^{2}y_{0}}{b^{2}x_{0}}$ है।
अभिलंब का समीकरण $y-y_{0} = -\frac{a^{2}y_{0}}{b^{2}x_{0}}(x-x_{0})$ है,जिसे $\frac{y-y_{0}}{a^{2}y_{0}} + \frac{x-x_{0}}{b^{2}x_{0}} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) माना जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।
वृत्त $x^{2}+y^{2}=25$ के लिए मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $xh+yk=h^{2}+k^{2}$ है।
यह रेखा अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ को स्पर्श करती है।
रेखा $y=mx+c$ के अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ है।
यहाँ $m=-\frac{h}{k}$ और $c=\frac{h^{2}+k^{2}}{k}$ रखने पर,हमें $(h^{2}+k^{2})^{2} = 9h^{2}-16k^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $(x^{2}+y^{2})^{2}-9x^{2}+16y^{2}=0$ है।

(N/A) दिए गए समीकरण $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ की तुलना मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से करने पर:
$a^{2} = 9 \implies a = 3$
$b^{2} = 16 \implies b = 4$
अतिपरवलय के लिए,$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
$1$. नाभियों के निर्देशांक $(\pm c, 0) = (\pm 5, 0)$ हैं।
$2$. शीर्षों के निर्देशांक $(\pm a, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
$3$. उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}$ है।
$4$. नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 16}{3} = \frac{32}{3}$ है।

(N/A) समीकरण को दोनों पक्षों में $16$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{1}=1$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना मानक समीकरण $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$ से करने पर,हमें $a^{2}=16$ और $b^{2}=1$ प्राप्त होता है,अतः $a=4$ और $b=1$ है।
$c$ की गणना करने पर: $c = \sqrt{a^{2}+b^{2}} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$।
नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm c) = (0, \pm \sqrt{17})$ हैं।
शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm a) = (0, \pm 4)$ हैं।
उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{17}}{4}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2(1)}{4} = \frac{1}{2}$ है।

(A) चूँकि नाभियाँ $y$-अक्ष पर हैं,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ के रूप का है।
शीर्ष $(0, \pm \frac{\sqrt{11}}{2})$ दिए गए हैं,इसलिए $a = \frac{\sqrt{11}}{2}$,जिससे $a^{2} = \frac{11}{4}$ प्राप्त होता है।
नाभियाँ $(0, \pm 3)$ हैं,इसलिए $c = 3$,जिससे $c^{2} = 9$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय के लिए,$b^{2} = c^{2} - a^{2} = 9 - \frac{11}{4} = \frac{36 - 11}{4} = \frac{25}{4}$।
$a^{2}$ और $b^{2}$ के मानों को मानक समीकरण में रखने पर:
$\frac{y^{2}}{11/4} - \frac{x^{2}}{25/4} = 1$
$\frac{4y^{2}}{11} - \frac{4x^{2}}{25} = 1$
$275$ से गुणा करने पर:
$100y^{2} - 44x^{2} = 275$।

(A) चूँकि नाभियाँ $(0, \pm 12)$ हैं,अतिपरवलय ऊर्ध्वाधर है और $c = 12$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = 36$ है,जिसका अर्थ है $b^{2} = 18a$।
अतिपरवलय के लिए,$c^{2} = a^{2} + b^{2}$। मान रखने पर,$144 = a^{2} + 18a$ प्राप्त होता है।
इसे व्यवस्थित करने पर द्विघात समीकरण $a^{2} + 18a - 144 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(a + 24)(a - 6) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = -24$ या $a = 6$।
चूँकि $a$ धनात्मक होना चाहिए,हम $a = 6$ लेते हैं। तब $b^{2} = 18(6) = 108$।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^{2}}{36} - \frac{x^{2}}{108} = 1$ है।
$108$ से गुणा करने पर,$3y^{2} - x^{2} = 108$ प्राप्त होता है।

(N/A) दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{4^{2}}-\frac{y^{2}}{3^{2}}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से करने पर,हमें $a=4$ और $b=3$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ होता है।
मान रखने पर,$c^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25$,अतः $c=5$ है।
$1$. नाभियों के निर्देशांक $(\pm c, 0) = (\pm 5, 0)$ हैं।
$2$. शीर्षों के निर्देशांक $(\pm a, 0) = (\pm 4, 0)$ हैं।
$3$. उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4}$ है।
$4$. नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 9}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$ है।

(N/A) दिया गया समीकरण $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{27}=1$ है,जिसे $\frac{y^{2}}{3^{2}}-\frac{x^{2}}{(\sqrt{27})^{2}}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे ऊर्ध्वाधर अतिपरवलय के मानक समीकरण $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर,हमें $a=3$ और $b=\sqrt{27}$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय के लिए,$a, b,$ और $c$ के बीच संबंध $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ होता है।
मान रखने पर,$c^{2}=3^{2}+(\sqrt{27})^{2}=9+27=36$,अतः $c=6$।
नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm c) = (0, \pm 6)$ हैं।
शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm a) = (0, \pm 3)$ हैं।
उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{6}{3} = 2$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 27}{3} = 18$ है।

(N/A) दिया गया समीकरण $9 y^{2}-4 x^{2}=36$ है।
दोनों पक्षों को $36$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{9 y^{2}}{36} - \frac{4 x^{2}}{36} = 1$
$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$
यह अतिपरवलय का मानक रूप $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ है,जहाँ $a^{2} = 4$ और $b^{2} = 9$ है।
अतः,$a = 2$ और $b = 3$ है।
अतिपरवलय के लिए,$c^{2} = a^{2} + b^{2} = 4 + 9 = 13$,इसलिए $c = \sqrt{13}$ है।
$1$. नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm c) = (0, \pm \sqrt{13})$ हैं।
$2$. शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm a) = (0, \pm 2)$ हैं।
$3$. उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{2}$ है।
$4$. नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2 b^{2}}{a} = \frac{2 \times 9}{2} = 9$ है।

(N/A) दिया गया समीकरण $16 x^{2}-9 y^{2}=576$ है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64}=1$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{6^{2}}-\frac{y^{2}}{8^{2}}=1$ $(1)$
समीकरण $(1)$ की तुलना अतिपरवलय के मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से करने पर,हमें $a=6$ और $b=8$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ होता है।
$\therefore c^{2}=36+64=100$
$\Rightarrow c=10$.
अतः:
$1$. नाभियों के निर्देशांक $(\pm 10, 0)$ हैं।
$2$. शीर्षों के निर्देशांक $(\pm 6, 0)$ हैं।
$3$. उत्केंद्रता,$e = \frac{c}{a} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ है।
$4$. नाभिलंब जीवा की लंबाई $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 64}{6} = \frac{64}{3}$ है।

दिया गया समीकरण $5y^{2} - 9x^{2} = 36$ है।
$36$ से भाग देने पर,$\frac{y^{2}}{(36/5)} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक समीकरण $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ से तुलना करने पर,$a^{2} = \frac{36}{5}$ और $b^{2} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = \frac{6}{\sqrt{5}}$ और $b = 2$ है।
अतिपरवलय के लिए,$c^{2} = a^{2} + b^{2} = \frac{36}{5} + 4 = \frac{56}{5}$।
इसलिए,$c = \sqrt{\frac{56}{5}} = \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{5}}$।
नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm c) = (0, \pm \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{5}})$ हैं।
शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm a) = (0, \pm \frac{6}{\sqrt{5}})$ हैं।
उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{14}/\sqrt{5}}{6/\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{14}}{3}$।
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 4}{6/\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{3}$।

(N/A) दिया गया समीकरण $49 y^{2}-16 x^{2}=784$ है।
दोनों पक्षों को $784$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{49 y^{2}}{784} - \frac{16 x^{2}}{784} = 1$
$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{49} = 1$
$\frac{y^{2}}{4^{2}} - \frac{x^{2}}{7^{2}} = 1$ $(1)$
समीकरण $(1)$ की तुलना अतिपरवलय के मानक समीकरण $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ से करने पर,हमें $a = 4$ और $b = 7$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $c^{2} = a^{2} + b^{2}$।
$c^{2} = 16 + 49 = 65$
$c = \sqrt{65}$
नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm \sqrt{65})$ हैं।
शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm 4)$ हैं।
उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{65}}{4}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2 b^{2}}{a} = \frac{2 \times 49}{4} = \frac{49}{2} = 24.5$ है।

(A) शीर्ष $(\pm 2, 0)$ हैं,जो $x$-अक्ष पर स्थित हैं।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के रूप में है।
दिए गए शीर्ष $(\pm a, 0) = (\pm 2, 0)$ से,$a = 2$,इसलिए $a^{2} = 4$।
दी गई नाभियाँ $(\pm c, 0) = (\pm 3, 0)$ से,$c = 3$,इसलिए $c^{2} = 9$।
अतिपरवलय के लिए,हम जानते हैं कि $c^{2} = a^{2} + b^{2}$।
मान रखने पर,$9 = 4 + b^{2}$,जिससे $b^{2} = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ है।

(A) शीर्ष $(0, \pm 5)$ हैं,जो $y$-अक्ष पर स्थित हैं।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ के रूप का है।
शीर्ष $(0, \pm a) = (0, \pm 5)$ दिए गए हैं,इसलिए $a = 5$ और $a^{2} = 25$।
नाभियाँ $(0, \pm c) = (0, \pm 8)$ दी गई हैं,इसलिए $c = 8$ और $c^{2} = 64$।
अतिपरवलय के लिए,हम संबंध $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ जानते हैं।
मान रखने पर,$64 = 25 + b^{2}$,जिससे $b^{2} = 64 - 25 = 39$ प्राप्त होता है।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^{2}}{25} - \frac{x^{2}}{39} = 1$ है।

(A) शीर्ष $(0, \pm 3)$ हैं,जिसका अर्थ है कि अतिपरवलय $y$-अक्ष पर स्थित है।
मानक समीकरण $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ है।
शीर्ष $(0, \pm a) = (0, \pm 3)$ दिए गए हैं,इसलिए $a = 3$,और $a^{2} = 9$ है।
नाभियाँ $(0, \pm c) = (0, \pm 5)$ दी गई हैं,इसलिए $c = 5$,और $c^{2} = 25$ है।
अतिपरवलय के लिए,$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ होता है।
मान रखने पर: $25 = 9 + b^{2}$।
$b^{2} = 25 - 9 = 16$।
अतः,समीकरण $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{16} = 1$ है।

(A) नाभियाँ $(\pm 5, 0)$ हैं,जो $x$-अक्ष पर स्थित हैं। अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है।
दी गई नाभियाँ $(\pm c, 0) = (\pm 5, 0)$ से,$c = 5$ प्राप्त होता है।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 8$ है,जिससे $a = 4$ प्राप्त होता है।
संबंध $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ का उपयोग करने पर,$5^{2} = 4^{2} + b^{2}$।
$25 = 16 + b^{2} \Rightarrow b^{2} = 25 - 16 = 9$।
$a^{2} = 16$ और $b^{2} = 9$ का मान रखने पर,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) चूँकि नाभियाँ $(0, \pm 13)$ हैं,अतिपरवलय ऊर्ध्वाधर है और मूल बिंदु पर केंद्रित है। मानक रूप $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ है।
नाभियाँ $(0, \pm c)$ होने के कारण,$c = 13$ है।
संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b = 24$ है,जिसका अर्थ है $b = 12$ है।
संबंध $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ का उपयोग करने पर,$13^{2} = a^{2} + 12^{2}$ प्राप्त होता है।
$169 = a^{2} + 144 \Rightarrow a^{2} = 169 - 144 = 25$.
$a^{2} = 25$ और $b^{2} = 144$ को मानक समीकरण में रखने पर,$\frac{y^{2}}{25} - \frac{x^{2}}{144} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि नाभियाँ $(\pm 3 \sqrt{5}, 0)$ हैं। चूँकि नाभियाँ $x$-अक्ष पर स्थित हैं,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के रूप का है।
यहाँ,$c = 3 \sqrt{5}$,इसलिए $c^{2} = 45$.
नाभिलंब की लंबाई $8$ है,इसलिए $\frac{2b^{2}}{a} = 8$,जिसका अर्थ है $b^{2} = 4a$.
हम जानते हैं कि $c^{2} = a^{2} + b^{2}$। मान रखने पर,$a^{2} + 4a = 45$,या $a^{2} + 4a - 45 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(a + 9)(a - 5) = 0$। चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 5$.
तब $b^{2} = 4 \times 5 = 20$.
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{20} = 1$ है।

(A) नाभियाँ $(\pm 4, 0)$ हैं,जो $x$-अक्ष पर स्थित हैं। अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है।
यहाँ $c = 4$,इसलिए $c^{2} = 16$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = 12$ दी गई है,जिसका अर्थ है $b^{2} = 6a$ है।
संबंध $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ का उपयोग करने पर:
$a^{2} + 6a = 16$
$a^{2} + 6a - 16 = 0$
$(a + 8)(a - 2) = 0$
चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 2$ है।
अतः $b^{2} = 6(2) = 12$ है।
इस प्रकार,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ है।

(A) शीर्ष $(\pm 7, 0)$ हैं,जो $x$-अक्ष पर स्थित हैं। अतः,समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के रूप में है।
दिया गया है $a = 7$ और उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{3}$।
$a = 7$ रखने पर,$\frac{c}{7} = \frac{4}{3}$,जिससे $c = \frac{28}{3}$ प्राप्त होता है।
संबंध $c^2 = a^2 + b^2$ का उपयोग करते हुए,$b^2 = c^2 - a^2 = (\frac{28}{3})^2 - 7^2 = \frac{784}{9} - 49 = \frac{784 - 441}{9} = \frac{343}{9}$।
$a^2 = 49$ और $b^2 = \frac{343}{9}$ को मानक समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{x^2}{49} - \frac{y^2}{343/9} = 1$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{x^2}{49} - \frac{9y^2}{343} = 1$ मिलता है।

(A) नाभियाँ $(0, \pm \sqrt{10})$ हैं,जो $y$-अक्ष पर स्थित हैं।
अतः,समीकरण $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ के रूप में है।
यहाँ,$c = \sqrt{10}$,इसलिए $c^{2} = 10$ है।
हम जानते हैं कि $c^{2} = a^{2} + b^{2}$,इसलिए $a^{2} + b^{2} = 10$,जिसका अर्थ है $b^{2} = 10 - a^{2}$।
अतिपरवलय $(2, 3)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{9}{a^{2}} - \frac{4}{b^{2}} = 1$।
$b^{2} = 10 - a^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{9}{a^{2}} - \frac{4}{10 - a^{2}} = 1$।
$9(10 - a^{2}) - 4a^{2} = a^{2}(10 - a^{2})$।
$90 - 13a^{2} = 10a^{2} - a^{4}$।
$a^{4} - 23a^{2} + 90 = 0$।
$(a^{2} - 18)(a^{2} - 5) = 0$।
चूँकि $c^{2} > a^{2}$,इसलिए $10 > a^{2}$,अतः $a^{2} = 5$।
तब $b^{2} = 10 - 5 = 5$।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^{2}}{5} - \frac{x^{2}}{5} = 1$ है।

(B) रेखा $2x - y = 0$ की ढाल $2$ है। चूंकि स्पर्श रेखा इस रेखा के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $m = 2$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ के बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_{1}}{4} - \frac{yy_{1}}{2} = 1$ है।
इस स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{x_{1}/4}{y_{1}/2} = \frac{x_{1}}{2y_{1}}$ है।
ढाल की तुलना करने पर: $\frac{x_{1}}{2y_{1}} = 2 \Rightarrow x_{1} = 4y_{1} \quad (1)$.
चूंकि $(x_{1}, y_{1})$ अतिपरवलय पर स्थित है,इसलिए $\frac{x_{1}^{2}}{4} - \frac{y_{1}^{2}}{2} = 1 \quad (2)$.
$(1)$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{(4y_{1})^{2}}{4} - \frac{y_{1}^{2}}{2} = 1 \Rightarrow 4y_{1}^{2} - \frac{y_{1}^{2}}{2} = 1$.
$\frac{7y_{1}^{2}}{2} = 1 \Rightarrow y_{1}^{2} = \frac{2}{7}$.
अब,$x_{1}^{2} + 5y_{1}^{2} = (4y_{1})^{2} + 5y_{1}^{2} = 16y_{1}^{2} + 5y_{1}^{2} = 21y_{1}^{2}$.
$y_{1}^{2} = \frac{2}{7}$ रखने पर: $21 \times \frac{2}{7} = 3 \times 2 = 6$.

(B) दिया गया दीर्घवृत्त $3x^{2} + 4y^{2} = 12$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^{2} = 4$ और $b^{2} = 3$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ हैं।
अतिपरवलय के लिए,अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a_{h} = \sqrt{2}$ है,इसलिए $a_{h}^{2} = \frac{1}{2}$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{1/2} - \frac{y^{2}}{b_{h}^{2}} = 1$ है।
नाभियाँ $(\pm \sqrt{a_{h}^{2} + b_{h}^{2}}, 0) = (\pm \sqrt{\frac{1}{2} + b_{h}^{2}}, 0)$ हैं।
चूँकि नाभियाँ समान हैं,$\frac{1}{2} + b_{h}^{2} = 1$,जिससे $b_{h}^{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय का समीकरण $x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}$ है।
बिंदु $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ के लिए,$\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1 \neq \frac{1}{2}$ है।
अतः,यह बिंदु अतिपरवलय पर स्थित नहीं है।

(A) चूंकि बिंदु $(3,3)$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{9}{a^{2}}-\frac{9}{b^{2}}=1$ $(i)$.
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए $(x_{1}, y_{1})$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^{2}x}{x_{1}} + \frac{b^{2}y}{y_{1}} = a^{2} + b^{2}$ होता है।
$(x_{1}, y_{1}) = (3,3)$ रखने पर,अभिलंब $\frac{a^{2}x}{3} + \frac{b^{2}y}{3} = a^{2} + b^{2}$ है।
यह अभिलंब $(9,0)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{a^{2}(9)}{3} + 0 = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow 3a^{2} = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow b^{2} = 2a^{2}$ $(ii)$.
$(ii)$ को $(i)$ में रखने पर: $\frac{9}{a^{2}} - \frac{9}{2a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{18-9}{2a^{2}} = 1$ $\Rightarrow 9 = 2a^{2}$ $\Rightarrow a^{2} = \frac{9}{2}$.
अतः $b^{2} = 2(\frac{9}{2}) = 9$.
उत्केंद्रता $e$ के लिए $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} = 1 + \frac{9}{9/2} = 1 + 2 = 3$.
इस प्रकार,क्रमित युग्म $(a^{2}, e^{2})$ का मान $(\frac{9}{2}, 3)$ है।

(B) रेखा $y=mx+c$ के अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ है।
दिए गए अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{64}=1$ के लिए,$a^{2}=100$ और $b^{2}=64$ है,इसलिए $c^{2}=100m^{2}-64$ है।
रेखा $y=mx+c$ के वृत्त $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^{2}=r^{2}(1+m^{2})$ है।
दिए गए वृत्त $x^{2}+y^{2}=36$ के लिए,$r^{2}=36$ है,इसलिए $c^{2}=36(1+m^{2})$ है।
$c^{2}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$100m^{2}-64=36(1+m^{2})$
$100m^{2}-64=36+36m^{2}$
$64m^{2}=100$
$m^{2}=\frac{100}{64}=\frac{25}{16}$ है।
अब,$m^{2}$ का मान वृत्त की शर्त में रखने पर:
$c^{2}=36(1+\frac{25}{16})$
$c^{2}=36(\frac{16+25}{16})$
$c^{2}=36(\frac{41}{16})$
$c^{2}=\frac{9 \times 41}{4}$
$4c^{2}=369$।

(D) वक्र $x^{2}y^{2}=1$ है,जिसका अर्थ है $xy=1$ या $xy=-1$। माना शीर्ष $A(t_1, 1/t_1)$,$B(t_2, -1/t_2)$,$C(-t_1, -1/t_1)$,और $D(-t_2, 1/t_2)$ हैं।
चूंकि $ABCD$ एक वर्ग है,$AB$ का मध्य बिंदु वक्र $xy=1$ या $xy=-1$ पर स्थित होना चाहिए। $AB$ का मध्य बिंदु $M = (\frac{t_1+t_2}{2}, \frac{1/t_1 - 1/t_2}{2})$ है।
$M$ के $xy=1$ पर होने के लिए,$(\frac{t_1+t_2}{2})(\frac{t_2-t_1}{2t_1t_2}) = 1$,जो $t_2^2 - t_1^2 = 4t_1t_2$ में सरल हो जाता है।
साथ ही,$AB$ की ढाल $-1$ होनी चाहिए। $AB$ की ढाल $\frac{-1/t_2 - 1/t_1}{t_2 - t_1} = -1$ है,जिसका अर्थ है $t_1+t_2 = t_1t_2(t_2-t_1)$।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $t_1t_2 = 1$ और $t_2^2 - t_1^2 = 4$ प्राप्त होता है। अतः $t_2^2 + t_1^2 = \sqrt{4^2 + 4(1)^2} = 2\sqrt{5}$।
भुजा की लंबाई का वर्ग $AB^2 = (t_2-t_1)^2 + (-1/t_2 - 1/t_1)^2 = 4\sqrt{5}$ है।
$ABCD$ का क्षेत्रफल $= AB^2 = 4\sqrt{5}$।
अतः,क्षेत्रफल का वर्ग $(4\sqrt{5})^2 = 80$ है।

(C) दिया गया अतिपरवलय $x^{2}-2y^{2}=4$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^{2}=4$ और $b^{2}=2$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1+\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ है।
नाभि $F$ का मान $(ae, 0) = (2 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}, 0) = (\sqrt{6}, 0)$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$ के लिए बिंदु $P(4, \sqrt{6})$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{x x_{1}}{4}-\frac{y y_{1}}{2}=1$ है।
$(x_{1}, y_{1}) = (4, \sqrt{6})$ रखने पर,हमें $\frac{4x}{4}-\frac{\sqrt{6}y}{2}=1$ प्राप्त होता है,जो $x - \frac{\sqrt{6}}{2}y = 1$ या $2x - y\sqrt{6} = 2$ में सरल हो जाता है।
$Q$ ज्ञात करने के लिए,स्पर्शरेखा के समीकरण में $y=0$ रखें: $2x=2 \Rightarrow x=1$. अतः,$Q(1, 0)$.
$R$ ज्ञात करने के लिए,स्पर्शरेखा के समीकरण में $x=\sqrt{6}$ (नाभिलंब) रखें: $2(\sqrt{6}) - y\sqrt{6} = 2 \Rightarrow y\sqrt{6} = 2\sqrt{6}-2 \Rightarrow y = 2 - \frac{2}{\sqrt{6}}$.
अतः,$R(\sqrt{6}, 2 - \frac{2}{\sqrt{6}})$.
शीर्षों $Q(1, 0)$,$F(\sqrt{6}, 0)$,और $R(\sqrt{6}, 2 - \frac{2}{\sqrt{6}})$ वाले $\Delta QFR$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ है।
आधार $QF = |\sqrt{6}-1|$.
ऊंचाई $FR = |2 - \frac{2}{\sqrt{6}}|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (\sqrt{6}-1) \times 2(1 - \frac{1}{\sqrt{6}}) = (\sqrt{6}-1) \times \frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{6}-1)^{2}}{\sqrt{6}} = \frac{6+1-2\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{7}{\sqrt{6}}-2$.

(B) दी गई रेखाएँ $(\sqrt{3})kx + ky = 4\sqrt{3}$ और $\sqrt{3}x - y = 4\sqrt{3}k$ हैं।
प्रथम समीकरण से,$k = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}x + y}$।
दूसरे समीकरण से,$k = \frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}$।
$k$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}x + y} = \frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}$
$(\sqrt{3}x - y)(\sqrt{3}x + y) = 48$
$3x^2 - y^2 = 48$
$48$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1$ प्राप्त होता है।
यह एक अतिपरवलय का समीकरण है जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 48$ है।
उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$48 = 16(e^2 - 1)$
$3 = e^2 - 1$
$e^2 = 4$
$e = 2$.

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$ के लिए,$a^{2}=25$ और $b^{2}=16$ है।
उत्केंद्रता $e_{1} = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1-\frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm ae_{1}, 0) = (\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
दिया गया है कि दीर्घवृत्त और अतिपरवलय की उत्केंद्रताओं का गुणनफल $1$ है,इसलिए $e_{1} \times e_{2} = 1$ $\Rightarrow \frac{3}{5} \times e_{2} = 1$ $\Rightarrow e_{2} = \frac{5}{3}$ है।
माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।
चूँकि अतिपरवलय दीर्घवृत्त की नाभियों $(\pm 3, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{3^{2}}{a^{2}} = 1 \Rightarrow a^{2} = 9$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय के लिए,$b^{2} = a^{2}(e_{2}^{2}-1) = 9((\frac{5}{3})^{2}-1) = 9(\frac{25}{9}-1) = 9(\frac{16}{9}) = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ है।

(C) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है और उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
हम जानते हैं कि $b^{2} = a^{2}(e^{2}-1) = a^{2}(\frac{5}{4}-1) = \frac{a^{2}}{4}$,इसलिए $a^{2} = 4b^{2}$ है।
चूंकि $P(-2 \sqrt{6}, \sqrt{3})$ अतिपरवलय पर स्थित है,इसलिए $\frac{(-2 \sqrt{6})^{2}}{4b^{2}} - \frac{(\sqrt{3})^{2}}{b^{2}} = 1$.
$\frac{24}{4b^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{6}{b^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{3}{b^{2}} = 1 \Rightarrow b^{2} = 3$,इसलिए $b = \sqrt{3}$ और $a^{2} = 12$,इसलिए $a = 2 \sqrt{3}$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ है।
$P(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_{1}}{a^{2}} - \frac{yy_{1}}{b^{2}} = 1$ है।
$\frac{x(-2 \sqrt{6})}{12} - \frac{y(\sqrt{3})}{3} = 1 \Rightarrow -\frac{x \sqrt{6}}{6} - \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$.
संयुग्मी अक्ष के लिए,$x = 0$ रखने पर: $-\frac{y}{\sqrt{3}} = 1 \Rightarrow y = -\sqrt{3}$। अतः $Q = (0, -\sqrt{3})$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}} = \frac{3(-2 \sqrt{6})}{12(\sqrt{3})} = \frac{-6 \sqrt{6}}{12 \sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अभिलंब की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = \sqrt{2}$ है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \sqrt{3} = \sqrt{2}(x + 2 \sqrt{6})$ है।
संयुग्मी अक्ष के लिए,$x = 0$ रखने पर: $y - \sqrt{3} = \sqrt{2}(2 \sqrt{6}) = 2 \sqrt{12} = 4 \sqrt{3}$।
$y = 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$। अतः $R = (0, 5 \sqrt{3})$ है।
दूरी $QR = |5 \sqrt{3} - (-\sqrt{3})| = |6 \sqrt{3}| = 6 \sqrt{3}$ है।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $2x^2 - y^2 = 2$ है,जिसे $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 1$ और $b^2 = 2$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} + \frac{b^2y}{y_1} = a^2 + b^2$ है।
बिंदु $A(\sec \theta, 2 \tan \theta)$ के लिए,अभिलंब $\frac{1 \cdot x}{\sec \theta} + \frac{2 \cdot y}{2 \tan \theta} = 1 + 2 = 3$ है,जो $x \cos \theta + y \cot \theta = 3$ में सरल होता है।
बिंदु $B(\sec \phi, 2 \tan \phi)$ के लिए,अभिलंब $x \cos \phi + y \cot \phi = 3$ है।
दिया गया है कि $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,इसलिए $\cos \phi = \sin \theta$ और $\cot \phi = \tan \theta$.
अतः समीकरण हैं:
$1) x \cos \theta + y \cot \theta = 3$
$2) x \sin \theta + y \tan \theta = 3$
$x$ को विलुप्त करके $y = \beta$ के लिए हल करने पर:
$y(\cos \theta - \sin \theta) = 3(\sin \theta - \cos \theta)$
$y = -3$
अतः,$\beta = -3$. इसलिए $(2\beta)^2 = (2 \times -3)^2 = (-6)^2 = 36$.

(B) दिया गया अतिपरवलय $16(x+1)^{2}-9(y-2)^{2}=144$ है।
इसे $\frac{(x+1)^{2}}{9}-\frac{(y-2)^{2}}{16}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतिपरवलय का केंद्र $(-1, 2)$ है।
यहाँ $a^{2}=9$ और $b^{2}=16$,अतः $e=\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\frac{5}{3}$ है।
नाभियाँ $(h \pm ae, k) = (-1 \pm 3 \times \frac{5}{3}, 2) = (-1 \pm 5, 2)$ अर्थात $(4, 2)$ और $(-6, 2)$ हैं।
माना $P(\alpha, \beta)$ अतिपरवलय पर एक बिंदु है।
माना $G(x, y)$ त्रिभुज का केंद्रक है जो $P(\alpha, \beta)$,$(4, 2)$,और $(-6, 2)$ से बनता है।
तब $x=\frac{\alpha+4-6}{3} = \frac{\alpha-2}{3} \Rightarrow \alpha=3x+2$ है।
और $y=\frac{\beta+2+2}{3} = \frac{\beta+4}{3} \Rightarrow \beta=3y-4$ है।
चूँकि $P(\alpha, \beta)$ अतिपरवलय पर स्थित है,$\alpha$ और $\beta$ का मान रखने पर:
$16(3x+2+1)^{2}-9(3y-4-2)^{2}=144$
$16(3x+3)^{2}-9(3y-6)^{2}=144$
$144(x+1)^{2}-81(y-2)^{2}=144$
$9$ से विभाजित करने पर:
$16(x+1)^{2}-9(y-2)^{2}=16$
$16x^{2}+32x+16-9y^{2}+36y-36=16$
$16x^{2}-9y^{2}+32x+36y-36=0$.

(D) दिया गया अतिपरवलय $a^{2}x^{2} - y^{2} = b^{2}$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{(b/a)^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{A^{2}} - \frac{y^{2}}{B^{2}} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^{2} = A^{2}m^{2} - B^{2}$ है।
यहाँ,रेखा $\lambda x - 2y = \mu$ है,जिसे $y = \frac{\lambda}{2}x - \frac{\mu}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y = mx + c$ से तुलना करने पर,$m = \frac{\lambda}{2}$ और $c = -\frac{\mu}{2}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $A^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ और $B^{2} = b^{2}$ है।
शर्त $c^{2} = A^{2}m^{2} - B^{2}$ में मान रखने पर:
$(-\frac{\mu}{2})^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}}(\frac{\lambda}{2})^{2} - b^{2}$
$\frac{\mu^{2}}{4} = \frac{b^{2}\lambda^{2}}{4a^{2}} - b^{2}$
$\frac{4}{b^{2}}$ से गुणा करने पर:
$\frac{\mu^{2}}{b^{2}} = \frac{\lambda^{2}}{a^{2}} - 4$
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{\lambda^{2}}{a^{2}} - \frac{\mu^{2}}{b^{2}} = 4$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई उत्केंद्रता $e = \frac{5}{4}$,इसलिए $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{25}{16}$ $\Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{9}{16}$ $\Rightarrow b^{2} = \frac{9}{16}a^{2}$.
बिंदु $\left(\frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{12}{5}\right)$ अतिपरवलय पर स्थित है,इसलिए $\frac{64}{5a^{2}} - \frac{144}{25b^{2}} = 1$.
$b^{2} = \frac{9}{16}a^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a^{2} = \frac{64}{25}$ और $b^{2} = \frac{36}{25}$ प्राप्त होता है.
$(x_{1}, y_{1})$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^{2}x}{x_{1}} + \frac{b^{2}y}{y_{1}} = a^{2} + b^{2}$ है.
मान रखने पर: $8\sqrt{5}x + 15y = 100$ प्राप्त होता है.
$8\sqrt{5}x + \beta y = \lambda$ से तुलना करने पर,$\beta = 15$ और $\lambda = 100$ प्राप्त होता है.
अतः,$\lambda - \beta = 100 - 15 = 85$.

(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1$ है।
चूंकि बिंदु $(8, 3\sqrt{3})$ अतिपरवलय पर स्थित है:
$\frac{64}{a^{2}}-\frac{27}{9}=1$ $\Rightarrow \frac{64}{a^{2}}=4$ $\Rightarrow a^{2}=16$.
अभिलंब का समीकरण $\frac{a^{2}x}{x_{1}}+\frac{b^{2}y}{y_{1}}=a^{2}+b^{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{16x}{8}+\frac{9y}{3\sqrt{3}}=16+9 \Rightarrow 2x+\sqrt{3}y=25$.
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $2(-1)+\sqrt{3}(9\sqrt{3}) = -2+27 = 25$.
अतः,अभिलंब बिंदु $(-1, 9\sqrt{3})$ से होकर गुजरता है।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$ के बिंदु $(4 \sec \theta, 2 \tan \theta)$ पर स्पर्श रेखा $L_{1}$ का समीकरण $\frac{x \sec \theta}{4}-\frac{y \tan \theta}{2}=1$ है।
$L_{1}$ की ढाल $m_{1} = \frac{\sec \theta}{2 \tan \theta}$ है।
माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(h, k)$ है। चूँकि $L_{2}$,$(0, 0)$ और $(h, k)$ से गुजरती है,इसकी ढाल $m_{2} = \frac{k}{h}$ है।
चूँकि $L_{1} \perp L_{2}$,$m_{1} m_{2} = -1$,इसलिए $\frac{k}{h} \cdot \frac{\sec \theta}{2 \tan \theta} = -1$,जिससे $\sin \theta = -\frac{k}{2h}$ प्राप्त होता है।
अतः $\cos^{2} \theta = 1 - \frac{k^{2}}{4h^{2}} = \frac{4h^{2}-k^{2}}{4h^{2}}$,यानी $\cos \theta = \frac{\sqrt{4h^{2}-k^{2}}}{2h}$।
इन मानों को स्पर्श रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\frac{h}{4} \cdot \frac{2h}{\sqrt{4h^{2}-k^{2}}} - \frac{k}{2} \cdot \left( \frac{-k}{\sqrt{4h^{2}-k^{2}}} \right) = 1$
$\frac{2h^{2}+k^{2}}{2\sqrt{4h^{2}-k^{2}}} = 1 \implies 2h^{2}+k^{2} = 2\sqrt{4h^{2}-k^{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2h^{2}+k^{2})^{2} = 4(4h^{2}-k^{2}) = 16h^{2}-4k^{2}$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,हमें $(x^{2}+y^{2})^{2} = 16x^{2}-4y^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha=16$ और $\beta=-4$।
$\alpha+\beta = 16-4 = 12$.

(D) अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,$e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$ और $\ell=\frac{2b^{2}}{a}$ है।
दिया है $e^{2}=\frac{11}{14}\ell$,जिससे $1+\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{11}{14} \cdot \frac{2b^{2}}{a}$,जो सरल होकर $\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}=\frac{11b^{2}}{7a} \dots (1)$ देता है।
संयुग्मी अतिपरवलय $\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1$ के लिए,$e^{\prime}=\sqrt{1+\frac{a^{2}}{b^{2}}}$ और $\ell^{\prime}=\frac{2a^{2}}{b}$ है।
दिया है $(e^{\prime})^{2}=\frac{11}{8}\ell^{\prime}$,जिससे $1+\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{11}{8} \cdot \frac{2a^{2}}{b}$,जो सरल होकर $\frac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}}=\frac{11a^{2}}{4b} \dots (2)$ देता है।
$(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर,$\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{4b^{3}}{7a^{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$7a=4b \dots (3)$।
$(2)$ में $a=\frac{4b}{7}$ रखने पर,$b = \frac{65}{44}$ प्राप्त होता है।
अतः $a = \frac{65}{77}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$77a+44b = 77(\frac{65}{77}) + 44(\frac{65}{44}) = 65+65 = 130$।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए रेखा $y = mx + c$ के स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
यहाँ $m = 2$ है,इसलिए $c^2 = 4a^2 - b^2$ है।
उत्केंद्रता $e$ के लिए $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ होता है।
$e^2 = \frac{5}{2}$ रखने पर,$\frac{5}{2} = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,जिससे $\frac{b^2}{a^2} = \frac{3}{2}$ या $b^2 = \frac{3a^2}{2}$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 6\sqrt{2}$ है।
$b^2 = \frac{3a^2}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2}{a} \times \frac{3a^2}{2} = 6\sqrt{2}$,जो $3a = 6\sqrt{2}$ में सरल होता है,जिससे $a = 2\sqrt{2}$ मिलता है।
अतः $a^2 = 8$ और $b^2 = \frac{3}{2} \times 8 = 12$ है।
अंत में,$c^2 = 4a^2 - b^2 = 4(8) - 12 = 32 - 12 = 20$।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।
दी गई उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{11}}{2}$ के लिए,$e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$.
मान रखने पर,$\frac{11}{4} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$,जिसका अर्थ है $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{7}{4}$,इसलिए $b = \frac{\sqrt{7}}{2}a$.
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $(2a)$ और संयुग्मी अक्ष की लंबाई $(2b)$ का योग $2a + 2b = 4(2\sqrt{2} + \sqrt{14})$ है।
$b = \frac{\sqrt{7}}{2}a$ रखने पर,$2a + 2(\frac{\sqrt{7}}{2}a) = 4(2\sqrt{2} + \sqrt{14})$.
$2a + \sqrt{7}a = 4\sqrt{2}(2 + \sqrt{7})$.
$a(2 + \sqrt{7}) = 4\sqrt{2}(2 + \sqrt{7})$.
अतः,$a = 4\sqrt{2}$,जिसका अर्थ है $a^{2} = 32$.
$b^{2} = \frac{7}{4}a^{2} = \frac{7}{4} \times 32 = 56$.
इसलिए,$a^{2} + b^{2} = 32 + 56 = 88$.

(B) वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} - 2x + 2fy + 1 = 0$ है। वृत्त का केंद्र $(1, -f)$ है।
चूंकि व्यास केंद्र से गुजरते हैं,हम $(1, -f)$ को व्यास के समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2p(1) - (-f) = 1 \implies 2p + f = 1 \implies f = 1 - 2p$.
$2(1) + p(-f) = 4p \implies 2 - pf = 4p$.
दूसरे समीकरण में $f = 1 - 2p$ रखने पर:
$2 - p(1 - 2p) = 4p \implies 2 - p + 2p^{2} = 4p \implies 2p^{2} - 5p + 2 = 0$.
$p$ के लिए हल करने पर: $(2p - 1)(p - 2) = 0$,इसलिए $p = 1/2$ या $p = 2$.
यदि $p = 1/2$,तो $f = 1 - 2(1/2) = 0$. केंद्र $(1, 0)$ है।
यदि $p = 2$,तो $f = 1 - 2(2) = -3$. केंद्र $(1, 3)$ है।
अतिपरवलय $3x^{2} - y^{2} = 3$ है,जो $x^{2} - y^{2}/3 = 1$ है। स्पर्श रेखा $y = mx + c$ के लिए $c^{2} = a^{2}m^{2} - b^{2} = m^{2} - 3$.
स्थिति $1$: केंद्र $(1, 0)$. $0 = m(1) + c \implies c = -m$. तब $c^{2} = m^{2} = m^{2} - 3$,जो संभव नहीं है।
स्थिति $2$: केंद्र $(1, 3)$. $3 = m(1) + c \implies c = 3 - m$. तब $c^{2} = (3 - m)^{2} = m^{2} - 3$.
$9 - 6m + m^{2} = m^{2} - 3 \implies 6m = 12 \implies m = 2$.

(C) अतिपरवलय का समीकरण $kx^{2}-y^{2}=6$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{6/k} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^{2} = \frac{6}{k}$ और $b^{2} = 6$ है।
उत्केंद्रता $e$ के लिए $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} = 1 + \frac{6}{6/k} = 1 + k$ है।
अतः $e = \sqrt{1+k}$।
नियता का समीकरण $x = \frac{a}{e}$ है।
दी गई नियता $x = 1$ है,इसलिए $1 = \frac{\sqrt{6/k}}{\sqrt{1+k}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 = \frac{6}{k(1+k)} \Rightarrow k^{2} + k - 6 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर $(k+3)(k-2) = 0$,जिससे $k = 2$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय का समीकरण $2x^{2} - y^{2} = 6$ है।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $2(\sqrt{5})^{2} - (-2)^{2} = 2(5) - 4 = 6$। अतः बिंदु $(\sqrt{5}, -2)$ अतिपरवलय पर स्थित है।

(D) परवलय $y^2 = 24x$ के लिए $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y\beta = 12(x + \alpha)$ है। स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = \frac{12}{\beta}$ है।
रेखा $2x + 2y = 5$ की ढाल $m_2 = -1$ है। चूंकि स्पर्श रेखा लंबवत है,$m_1 \times m_2 = -1$,इसलिए $\frac{12}{\beta} \times (-1) = -1$,जिससे $\beta = 12$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(\alpha, \beta)$ परवलय पर स्थित है,$12^2 = 24\alpha$,इसलिए $144 = 24\alpha$,जिससे $\alpha = 6$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{144} = 1$ है। बिंदु $(\alpha + 4, \beta + 4) = (10, 16)$ है।
अभिलंब का समीकरण $\frac{36x}{10} + \frac{144y}{16} = 180$ अर्थात $2x + 5y = 100$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $(15, 13)$ के लिए $2(15) + 5(13) = 95 \neq 100$ है,इसलिए यह उस बिंदु से नहीं गुजरता है।

(B) आयताकार अतिपरवलय $x^2-y^2=a^2$ है।
माना $B$ के निर्देशांक $(a \sec \theta, a \tan \theta)$ और $C$ के निर्देशांक $(a \sec \theta, -a \tan \theta)$ हैं।
चूँकि $\triangle ABC$ समबाहु है,$AB^2 = BC^2$ होगा।
भुजा $BC = 2a \tan \theta$ है।
$AB^2 = (a \sec \theta + a)^2 + (a \tan \theta)^2 = a^2(\sec \theta + 1)^2 + a^2 \tan^2 \theta$।
$AB^2 = BC^2$ रखने पर:
$a^2(\sec \theta + 1)^2 + a^2 \tan^2 \theta = 4a^2 \tan^2 \theta$।
$(\sec \theta + 1)^2 = 3 \tan^2 \theta = 3(\sec^2 \theta - 1) = 3(\sec \theta + 1)(\sec \theta - 1)$।
$\sec \theta + 1 = 3 \sec \theta - 3 \implies 2 \sec \theta = 4 \implies \sec \theta = 2$।
अतः $\tan \theta = \sqrt{3}$।
भुजा की लंबाई $BC = 2a \sqrt{3}$ है।
भुजा की लंबाई $ka$ दी गई है,इसलिए $k = 2 \sqrt{3} \approx 3.464$।
अतः,$k \in (2, 4]$।

(A) माना तोप की स्थिति $P$ है और ध्वनि की गति $S$ है।
माना तोप की आवाज़ $A$ पर सुनाई देने का समय $t$ है।
इसलिए,$B$ पर यह $t+1$ समय पर सुनाई देती है।
अतः,दूरी $PA = \text{गति} \times \text{समय} = St$ है।
इसी प्रकार,दूरी $PB = S(t+1) = St + S$ है।
दोनों दूरियों को घटाने पर,$PB - PA = (St + S) - St = S$ प्राप्त होता है।
चूंकि $S$ ध्वनि की गति (स्थिरांक) है,इसलिए $PB - PA = \text{स्थिरांक}$ है।
अतिपरवलय की परिभाषा के अनुसार,उस बिंदु का बिंदुपथ जिसका दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों) से दूरियों का अंतर स्थिर होता है,एक अतिपरवलय होता है।
अतः,$A$ और $B$ अतिपरवलय की नाभियाँ हैं और तोप की स्थिति $P$ अतिपरवलय की एक शाखा पर स्थित है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $xy=1$ है,जिसे $y = \frac{1}{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, 1/2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 1/2)} = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$ है।
$(2, 1/2)$ पर अभिलंब की ढाल $n = -\frac{1}{(-1/4)} = 4$ है।
मान लीजिए आपतित प्रकाश किरण की ढाल $m$ है। परावर्तित किरण $Y$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $\infty$ है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतित किरण और अभिलंब के बीच का कोण,परावर्तित किरण और अभिलंब के बीच के कोण के बराबर होता है। दो रेखाओं जिनकी ढाल $m_1$ और $m_2$ है,उनके बीच के कोण का सूत्र $\tan \theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$ का उपयोग करने पर:
$\left|\frac{4 - m}{1 + 4m}\right| = \left|\frac{\infty - 4}{1 + 4(\infty)}\right| = \left|\frac{1}{4}\right|$.
$\frac{4 - m}{1 + 4m} = \frac{1}{4}$ को हल करने पर:
$16 - 4m = 1 + 4m$
$8m = 15 \Rightarrow m = \frac{15}{8}$.
$\frac{4 - m}{1 + 4m} = -\frac{1}{4}$ को हल करने पर:
$16 - 4m = -1 - 4m$
$16 = -1$,जो असंभव है।
अतः,आपतित किरण की ढाल $\frac{15}{8}$ है।

(B) अतिपरवलय के शीर्ष $(\pm 6, 0)$ दिए गए हैं,इसलिए $a = 6$ है।
उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ दी गई है।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1) = 36 \left( \frac{5}{4} - 1 \right) = 36 \left( \frac{1}{4} \right) = 9$ है।
अतः,अतिपरवलय $H$ का समीकरण $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{9} = 1$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{ax}{\sec \theta} + \frac{by}{\tan \theta} = a^2 + b^2$ होता है।
$a=6, b=3$ रखने पर,समीकरण $\frac{6x}{\sec \theta} + \frac{3y}{\tan \theta} = 36 + 9 = 45$ प्राप्त होता है,जो $6x \cos \theta + 3y \cot \theta = 45$ में सरल हो जाता है।
इस अभिलंब की ढाल $-\frac{6 \cos \theta}{3 \cot \theta} = -2 \sin \theta$ है।
अभिलंब रेखा $\sqrt{2}x + y = 2\sqrt{2}$ के समांतर है,जिसकी ढाल $-\sqrt{2}$ है।
अतः,$-2 \sin \theta = -\sqrt{2} \Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$ है।
अभिलंब के समीकरण में $\theta = \frac{\pi}{4}$ रखने पर: $6x \cos(\frac{\pi}{4}) + 3y \cot(\frac{\pi}{4}) = 45 \Rightarrow 6x(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 3y(1) = 45 \Rightarrow 3\sqrt{2}x + 3y = 45 \Rightarrow \sqrt{2}x + y = 15$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय पर बिंदु $P$,$(6 \sec(\frac{\pi}{4}), 3 \tan(\frac{\pi}{4})) = (6\sqrt{2}, 3)$ है।
अभिलंब का $y$-अक्ष $(x=0)$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $K(0, 15)$ है।
लंबाई $d$,$P(6\sqrt{2}, 3)$ और $K(0, 15)$ के बीच की दूरी है।
$d^2 = (6\sqrt{2} - 0)^2 + (3 - 15)^2 = (6\sqrt{2})^2 + (-12)^2 = 72 + 144 = 216$।

(A) नाभियाँ $(h \pm ae, k) = (1 \pm \sqrt{2}, 0)$ द्वारा दी गई हैं।
तुलना करने पर,हमें केंद्र $(h, k) = (1, 0)$ और $ae = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
दी गई उत्केंद्रता $e = \sqrt{2}$ है,इसलिए $a(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$,जिसका अर्थ है $a = 1$।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
मान रखने पर,$b^2 = 1^2((\sqrt{2})^2 - 1) = 1(2 - 1) = 1$।
अतः,$b = 1$।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)^2}{1} = 2$ है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{12} - \frac{y^2}{9} = 1$ है।
बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल रेखा $3x + 2y = 1$ की ढाल $(m = -\frac{3}{2})$ के बराबर होनी चाहिए।
अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{3x_0}{4y_0} = -\frac{3}{2} \implies x_0 = -2y_0$.
अतिपरवलय के समीकरण में मान रखने पर,$3(-2y_0)^2 - 4y_0^2 = 36 \implies 8y_0^2 = 36 \implies y_0 = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$.
$y_0 = -\frac{3}{\sqrt{2}}$ लेने पर,$x_0 = \frac{6}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\sqrt{2}(y_0 - x_0) = \sqrt{2}(-\frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{6}{\sqrt{2}}) = -9$.

(B) आयत $R$ का क्षेत्रफल $2 \times 5 = 10$ वर्ग इकाई है।
रेखाखंड $AB$ आयत से एक त्रिभुज $OAB$ काटता है,जहाँ $O$ मूलबिंदु $(0,0)$ है।
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \alpha \times \beta = \frac{\alpha \beta}{2}$ है।
रेखाखंड $AB$ आयत को $4:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। त्रिभुज $OAB$ छोटा भाग है,इसलिए इसका क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का $\frac{1}{5}$ होना चाहिए।
$\frac{\text{Area}(OAB)}{\text{Area}(R)} = \frac{1}{5} \implies \frac{\alpha \beta / 2}{10} = \frac{1}{5} \implies \frac{\alpha \beta}{20} = \frac{1}{5} \implies \alpha \beta = 4$.
मान लीजिए $M(h, k)$ $AB$ का मध्य-बिंदु है। तब $h = \frac{\alpha}{2}$ और $k = \frac{\beta}{2}$,जिसका अर्थ है $\alpha = 2h$ और $\beta = 2k$.
इन्हें $\alpha \beta = 4$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2h)(2k) = 4 \implies 4hk = 4 \implies hk = 1$ प्राप्त होता है।
मध्य-बिंदु $M(x, y)$ का बिंदुपथ $xy = 1$ है,जो एक अतिपरवलय को दर्शाता है।