अतिपरवलय xy = c^2 के बिंदु P(ct, c/t) पर स्पर | vedclass

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Question

(D) अतिपरवलय $xy = c^2$ के लिए बिंदु $P(ct, c/t)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x}{ct} + \frac{yt}{c} = 2$ है।$y=0$ रखने पर,$x=2ct$ प्राप्त होता है,

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$\frac{2}{c^2}$ के बराबर

Vedclass · Answer

(D) अतिपरवलय $xy = c^2$ के लिए बिंदु $P(ct, c/t)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x}{ct} + \frac{yt}{c} = 2$ है।$y=0$ रखने पर,$x=2ct$ प्राप्त होता है,अतः $T(2ct, 0)$.$x=0$ रखने पर,$y=\frac{2c}{t}$ प्राप्त होता है,अतः $T'(0, \frac{2c}{t})$.$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \frac{c}{t} = t^2(x - ct)$ है,जिसे सरल करने पर $y = t^2x - ct^3 + \frac{c}{t}$ प्राप्त होता है।$y=0$ रखने पर,$x = ct - \frac{c}{t^3}$ प्राप्त होता है,अतः $N(ct - \frac{c}{t^3}, 0)$.$x=0$ रखने पर,$y = \frac{c}{t} - ct^3$ प्राप्त होता है,अतः $N'(0, \frac{c}{t} - ct^3)$.त्रिभुज $PNT$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |x_P(y_N - y_T) + x_N(y_T - y_P) + x_T(y_P - y_N)| = \frac{c^2(t^4+1)}{2t^4}$ है।त्रिभुज $PN'T'$ का क्षेत्रफल $\Delta' = \frac{1}{2} |x_P(y_{N'} - y_{T'}) + x_{N'}(y_{T'} - y_P) + x_{T'}(y_P - y_{N'})| = \frac{c^2(1+t^4)}{2}$ है।अतः,$\frac{1}{\Delta} + \frac{1}{\Delta'} = \frac{2t^4}{c^2(1+t^4)} + \frac{2}{c^2(1+t^4)} = \frac{2(t^4+1)}{c^2(1+t^4)} = \frac{2}{c^2}$.

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