Hyperbola Questions in Hindi

(A) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{\cos^2 \alpha} - \frac{y^2}{\sin^2 \alpha} = 4$ है।
$4$ से भाग देने पर,$\frac{x^2}{4\cos^2 \alpha} - \frac{y^2}{4\sin^2 \alpha} = 1$ प्राप्त होता है।
मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 4\cos^2 \alpha$ और $b^2 = 4\sin^2 \alpha$ है।
अतः,$a = 2|\cos \alpha|$ और $b = 2|\sin \alpha|$।
नाभिलंब की लंबाई $LR = \frac{2b^2}{a}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$LR = \frac{2(4\sin^2 \alpha)}{2|\cos \alpha|} = \frac{4\sin^2 \alpha}{|\cos \alpha|}$।
सर्वसमिका $2\sin^2 \alpha = 1 - \cos 2\alpha$ का उपयोग करने पर,$LR = \frac{2(1 - \cos 2\alpha)}{|\cos \alpha|} = 2\left| \frac{1 - \cos 2\alpha}{\cos \alpha} \right|$।

(D) दिया गया अतिपरवलय $4x^2 - y^2 = 12$ है,जिसे $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{12} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 3$ और $b^2 = 12$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होता है।
ढाल $m = 4$ दिया गया है,मान रखने पर:
$c = \pm \sqrt{3(4)^2 - 12} = \pm \sqrt{3(16) - 12} = \pm \sqrt{48 - 12} = \pm \sqrt{36} = \pm 6$.
अतः,समीकरण $y = 4x + 6$ और $y = 4x - 6$ हैं,इसलिए $c_1 = 6$ और $c_2 = -6$ है।
इसलिए,$|c_1 - c_2| = |6 - (-6)| = |12| = 12$.

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $C(0, -b)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{0 \cdot x_1}{a^2} - \frac{(-b)y_1}{b^2} = 1$,जो सरल होकर $\frac{y_1}{b} = 1$ अर्थात $y_1 = b$ देता है।
अतिपरवलय के समीकरण में $y_1 = b$ रखने पर: $\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{b^2}{b^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{x_1^2}{a^2} = 2$ $\Rightarrow x_1 = \pm a\sqrt{2}$।
अतः,स्पर्श बिंदु $A(a\sqrt{2}, b)$ और $B(-a\sqrt{2}, b)$ हैं।
त्रिभुज $\Delta ABC$ के शीर्ष $C(0, -b)$,$A(a\sqrt{2}, b)$ और $B(-a\sqrt{2}, b)$ हैं।
आधार $AB$ की लंबाई $2a\sqrt{2}$ है। $C$ से $AB$ पर ऊंचाई $h = b - (-b) = 2b$ है।
यदि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,तो कोण $C$ का मान $90^{\circ}$ होना चाहिए।
यदि $\angle ACB = 90^{\circ}$ है,तो $CA$ की ढाल $m_1 = \frac{2b}{a\sqrt{2}} = \frac{b\sqrt{2}}{a}$ है।
$CB$ की ढाल $m_2 = -\frac{b\sqrt{2}}{a}$ है।
चूंकि $m_1 \cdot m_2 = -1$,इसलिए $-(\frac{b\sqrt{2}}{a})^2 = -1$ $\Rightarrow \frac{2b^2}{a^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{a^2}{b^2} = 2$।

(C) दिया गया समीकरण $(a - 2)x^2 + ay^2 = 4$ है।
$4$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{\frac{4}{a-2}} + \frac{y^2}{\frac{4}{a}} = 1$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांक विपरीत चिन्ह के होने चाहिए। समीकरण $\frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ या $\frac{y^2}{A^2} - \frac{x^2}{B^2} = 1$ के रूप में होना चाहिए।
आयताकार अतिपरवलय के लिए,अर्ध-अक्षों का परिमाण समान होना चाहिए,अर्थात $A^2 = B^2$।
यहाँ,समीकरण $\frac{x^2}{\frac{4}{a-2}} - \frac{y^2}{-\frac{4}{a}} = 1$ है।
हरों की तुलना करने पर: $\frac{4}{a-2} = -\frac{4}{a}$।
$a = -(a - 2)$।
$a = -a + 2$।
$2a = 2$।
$a = 1$।

(C) अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ के बिंदु $P(a \sec \theta, a \tan \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण:
$x \sec \theta - y \tan \theta = a$ --- $(1)$
अन्य दो रेखाएँ हैं:
$x - y = 0$ --- $(2)$
$x + y = 0$ --- $(3)$
$(1)$ और $(2)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$x = a(\sec \theta + \tan \theta), y = a(\sec \theta + \tan \theta)$
$(1)$ और $(3)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$x = a(\sec \theta - \tan \theta), y = -a(\sec \theta - \tan \theta)$
$(2)$ और $(3)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1| = a^2$.

(A) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $25x^2 - 16y^2 = 400$ है।
दोनों पक्षों को $400$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{25x^2}{400} - \frac{16y^2}{400} = 1$
$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{25} = 1$
इसे मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 16$ और $b^2 = 25$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 4$ और $b = 5$ है।
नाभिलंब की लंबाई का सूत्र $\frac{2b^2}{a}$ है।
लंबाई $= \frac{2 \times 25}{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$.

(C) नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ पर हैं,इसलिए $ae = 2$ है।
दी गई उत्केंद्रता $e = 2$ है,इसलिए $a(2) = 2$,जिसका अर्थ है $a = 1$ है।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
मान रखने पर,$b^2 = 1^2(2^2 - 1) = 4 - 1 = 3$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$a^2 = 1$ और $b^2 = 3$ रखने पर,हमें $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
$3$ से गुणा करने पर,हमें $3x^2 - y^2 = 3$ प्राप्त होता है।

(B) आयताकार अतिपरवलय के लिए,उत्केंद्रता $e = \sqrt{2}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 2$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = a$।
आयताकार अतिपरवलय के लिए,$a^2 = b^2$,इसलिए $a^2 = a$,जिससे $a = 1$ प्राप्त होता है (चूंकि $a > 0$)।
अतः,$a = 1$ और $b = 1$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 2(1)(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$ है।
मान लीजिए दूसरी नाभि $(h, k)$ है। दी गई नाभि $S_1 = (1, 0)$ है और अतिपरवलय पर स्थित बिंदु $P = (0, 0)$ है।
अतिपरवलय की परिभाषा के अनुसार,$|PS_1 - PS_2| = 2a$।
$|\sqrt{(0-1)^2 + (0-0)^2} - \sqrt{(0-h)^2 + (0-k)^2}| = 2(1)$।
$|1 - \sqrt{h^2 + k^2}| = 2$।
इसका अर्थ है $\sqrt{h^2 + k^2} = 3$ या $\sqrt{h^2 + k^2} = -1$ (असंभव)।
इसलिए,$h^2 + k^2 = 9$,जो वक्र $x^2 + y^2 = 9$ को दर्शाता है।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के लिए,नाभियों से किसी भी स्पर्शरेखा पर खींचे गए लंबों की लंबाई का गुणनफल $b^{2}$ होता है।
दिए गए समीकरण $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ के लिए,$a^{2} = 1$ और $b^{2} = 4$ है।
अतः,लंबों की लंबाई का गुणनफल $b^{2} = 4$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\frac{(3x - 4y - 1)^2}{100} - \frac{(4x + 3y - 1)^2}{225} = 1$ है।
अंश को $25$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{(\frac{3x - 4y - 1}{5})^2}{4} - \frac{(\frac{4x + 3y - 1}{5})^2}{9} = 1$।
यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 9$ है।
अतः,$a = 2$ और $b = 3$।
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{2} = 9$।

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{p^2} - \frac{y^2}{q^2} = 1$ के बिंदु $(p \sec \theta, q \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $px \cos \theta + qy \cot \theta = p^2 + q^2$ होता है।
दिए गए अभिलंब समीकरण $ax + by = 1$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{p \cos \theta}{a} = \frac{q \cot \theta}{b} = p^2 + q^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sec \theta = \frac{p}{a(p^2 + q^2)}$ और $\tan \theta = \frac{q}{b(p^2 + q^2)}$।
सर्वसमिका $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\frac{p^2}{a^2(p^2 + q^2)^2} - \frac{q^2}{b^2(p^2 + q^2)^2} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = (p^2 + q^2)^2$।

(B) दिया गया समीकरण: $16x^2 - 9y^2 - 32x - 36y - 164 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $16(x^2 - 2x) - 9(y^2 + 4y) = 164$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $16(x - 1)^2 - 9(y + 2)^2 = 144$
$144$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 1)^2}{9} - \frac{(y + 2)^2}{16} = 1$
यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 16$ है। संयुग्मी अतिपरवलय के लिए उत्केंद्रता $e' = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $4x^2 - 9y^2 - 8x - 18y = 41$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$4(x - 1)^2 - 9(y + 1)^2 = 36$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{(x - 1)^2}{9} - \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतिपरवलय की किसी भी स्पर्शरेखा पर नाभि से खींचे गए लंब का लंबपाद उसके सहायक वृत्त (auxiliary circle) पर स्थित होता है।
सहायक वृत्त का समीकरण $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 9$ होगा।
अतः,$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 9$,जो $x^2 + y^2 - 2x + 2y = 7$ में सरल हो जाता है।

(D) दिया गया वक्र $\sqrt{(x + 5\sqrt{2})^2 + y^2} - \sqrt{(x - 5\sqrt{2})^2 + y^2} = 10$ है। यह अतिपरवलय की दाईं शाखा को दर्शाता है।
दी गई शर्तों के अनुसार,$|y| \geq |x|$ और $x^2 + y^2 < 10$ वाले पूर्णांक बिंदुओं की गणना करने पर:
$x = 0$ के लिए,$y \in \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}$ ($6$ बिंदु)।
$x = 1$ के लिए,$y \in \{-2, -1, 1, 2\}$ ($4$ बिंदु)।
$x = -1$ के लिए,$y \in \{-2, -1, 1, 2\}$ ($4$ बिंदु)।
$x = 2$ के लिए,$y \in \{-2, 2\}$ ($2$ बिंदु)।
$x = -2$ के लिए,$y \in \{-2, 2\}$ ($2$ बिंदु)।
कुल बिंदु = $6 + 4 + 4 + 2 + 2 = 18$।

(C) अनंतस्पर्शियों का संयुक्त समीकरण $(3x - 4y + 7)(4x + 3y + 1) = 0$ है।
अतिपरवलय का समीकरण और उसके अनंतस्पर्शियों का संयुक्त समीकरण एक स्थिरांक $k$ से भिन्न होता है।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $(3x - 4y + 7)(4x + 3y + 1) + k = 0$ है।
चूंकि अतिपरवलय मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
$(7)(1) + k = 0
k = -7$.
अतः समीकरण $(3x - 4y + 7)(4x + 3y + 1) - 7 = 0$ है।
सरल करने पर: $12x^2 - 7xy - 12y^2 + 31x + 17y = 0$।

(C) माना अतिपरवलय $xy = c^2$ पर बिंदु $P(ct, c/t)$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x}{ct} + \frac{y}{c/t} = 2$ है,जिसे $\frac{x}{t} + ty = 2c$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$-अंतःखंड $a_1 = 2ct$ और $y$-अंतःखंड $b_1 = 2c/t$ है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \frac{c}{t} = t^2(x - ct)$ है,जिसे $t^2x - y = ct^3 - c/t$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$-अंतःखंड $a_2 = \frac{ct^3 - c/t}{t^2} = ct - \frac{c}{t^3}$ है।
$y$-अंतःखंड $b_2 = -(ct^3 - c/t) = \frac{c}{t} - ct^3$ है।
अब,$a_1a_2 + b_1b_2$ की गणना करते हैं:
$a_1a_2 = (2ct)(ct - \frac{c}{t^3}) = 2c^2t^2 - \frac{2c^2}{t^2}$.
$b_1b_2 = (\frac{2c}{t})(\frac{c}{t} - ct^3) = \frac{2c^2}{t^2} - 2c^2t^2$.
इनका योग करने पर $a_1a_2 + b_1b_2 = (2c^2t^2 - \frac{2c^2}{t^2}) + (\frac{2c^2}{t^2} - 2c^2t^2) = 0$ प्राप्त होता है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $4x^2 - 3y^2 = 1$ है,जिसे $\frac{x^2}{1/4} - \frac{y^2}{1/3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
यहाँ,$m = h$,$c = k$,$a^2 = \frac{1}{4}$,और $b^2 = \frac{1}{3}$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर,हमें $k^2 = \frac{1}{4}h^2 - \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{h^2}{4} - k^2 = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है,जो एक अतिपरवलय को दर्शाता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $\frac{x^2}{4/3} - \frac{y^2}{1/3} = 1$ है,जो एक अतिपरवलय है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $2x^2 + 3y^2 = 6$ है,जिसे $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^2 = 3$ और $b^2 = 2$ है।
रेखा $y = kx + 2h$ दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा है यदि $c^2 = a^2m^2 + b^2$ हो,जहाँ $y = mx + c$ है।
$y = kx + 2h$ की तुलना $y = mx + c$ से करने पर,हमें $m = k$ और $c = 2h$ प्राप्त होता है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $(2h)^2 = 3(k)^2 + 2$,जो सरल होकर $4h^2 = 3k^2 + 2$ हो जाता है।
$P(h, k)$ का बिंदु पथ $4x^2 - 3y^2 = 2$ है,या $\frac{x^2}{1/2} - \frac{y^2}{2/3} = 1$ है।
यह एक अतिपरवलय है जिसमें $a^2 = \frac{1}{2}$ और $b^2 = \frac{2}{3}$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ है।
$e^2 = 1 + \frac{2/3}{1/2} = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$।
अतः,$e = \sqrt{\frac{7}{3}}$।

(C) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{4a^2} - \frac{y^2}{12} = 1$ है।
यहाँ,$A^2 = 4a^2$ और $B^2 = 12$,इसलिए $A = 2a$ और $B = 2\sqrt{3}$।
अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $\theta = 2 \tan^{-1}(\frac{B}{A}) = \frac{\pi}{3}$ है।
अतः,$\tan^{-1}(\frac{B}{A}) = \frac{\pi}{6}$,जिसका अर्थ है $\frac{B}{A} = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
मान रखने पर,$\frac{2\sqrt{3}}{2a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow a = 3$।
तब $A^2 = 4(3)^2 = 36$।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{12} = 1$ है।
अतः संयुग्मी अतिपरवलय $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{12} = -1$ अर्थात $\frac{y^2}{12} - \frac{x^2}{36} = 1$ होगा।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,वह क्षेत्र जिससे दो अलग-अलग शाखाओं पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं,वह दो अनंतस्पर्शी $y = \pm \frac{b}{a}x$ के बीच का क्षेत्र है। यहाँ,$a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ है,इसलिए अनंतस्पर्शी $y = \pm \frac{4}{5}x$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1)$ के इस क्षेत्र में होने के लिए,इसे $\left| \frac{y_1}{x_1} \right| > \frac{4}{5}$ को संतुष्ट करना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(1, 6) \implies |6/1| = 6 > 0.8$ (सही)
$(1, 3) \implies |3/1| = 3 > 0.8$ (सही)
$(7, 1) \implies |1/7| \approx 0.14 < 0.8$ (गलत)
$(1, 0.5) \implies |0.5/1| = 0.5 < 0.8$ (गलत)
अब,वृत्त $x^2 + y^2 = 36$ के लिए,यदि बिंदु $(x_1, y_1)$ वृत्त के बाहर है तो $x_1^2 + y_1^2 > 36$ होगा और दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
$(1, 6)$ के लिए,$1^2 + 6^2 = 37 > 36$। अतः,वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
$(1, 3)$ के लिए,$1^2 + 3^2 = 10 < 36$। अतः,बिंदु वृत्त के अंदर है और कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती।
इसलिए,सही उत्तर $(1, 3)$ है।

(B) माना रेखा $CP$ का समीकरण $y = mx$ है। इसे अतिपरवलय के समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x^2}{a^2} - \frac{m^2 x^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।
$x^2$ के लिए हल करने पर,$x^2 = \frac{a^2 b^2}{b^2 - a^2 m^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y^2 = m^2 x^2$,इसलिए $y^2 = \frac{a^2 b^2 m^2}{b^2 - a^2 m^2}$ है।
अतः $(CP)^2 = x^2 + y^2 = x^2(1 + m^2) = \frac{a^2 b^2(1 + m^2)}{b^2 - a^2 m^2}$ है।
चूंकि $CP \perp CQ$,$CQ$ की ढाल $-\frac{1}{m}$ है। $(CP)^2$ के व्यंजक में $m$ को $-\frac{1}{m}$ से बदलने पर,$(CQ)^2 = \frac{a^2 b^2(1 + m^2)}{b^2 m^2 - a^2}$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{1}{(CP)^2} + \frac{1}{(CQ)^2} = \frac{b^2 - a^2 m^2}{a^2 b^2(1 + m^2)} + \frac{b^2 m^2 - a^2}{a^2 b^2(1 + m^2)} = \frac{b^2 - a^2}{a^2 b^2} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$।

(D) आयताकार अतिपरवलय $xy = c^2$ के बिंदु $t_1$ पर अभिलंब का समीकरण $x t_1^2 - y = c(t_1^4 - 1)/t_1$ होता है।
चूंकि यह अभिलंब वक्र को पुनः बिंदु $t_2$ पर मिलता है,इसलिए बिंदु $(c t_2, c/t_2)$ अभिलंब के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
$x = c t_2$ और $y = c/t_2$ को अभिलंब के समीकरण में रखने पर:
$(c t_2) t_1^2 - c/t_2 = c(t_1^4 - 1)/t_1$
$c$ से विभाजित करने पर:
$t_2 t_1^2 - 1/t_2 = (t_1^4 - 1)/t_1$
इस संबंध से यह सिद्ध होता है कि $t_1^3 t_2 = -1$।

(D) माना $P$ के निर्देशांक $(\alpha, \beta)$ हैं। चूँकि $PQ$ एक द्वि-कोटि है,$Q$ के निर्देशांक $(\alpha, -\beta)$ हैं।
$PQ = 2|\beta|$ और $OP = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$।
चूँकि $\triangle OPQ$ समबाहु है,$OP = PQ$,इसलिए $OP^2 = PQ^2$।
$\alpha^2 + \beta^2 = 4\beta^2 \Rightarrow \alpha^2 = 3\beta^2$।
चूँकि $P(\alpha, \beta)$ अतिपरवलय पर स्थित है,$\frac{\alpha^2}{a^2} - \frac{\beta^2}{b^2} = 1$।
$\alpha^2 = 3\beta^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{3\beta^2}{a^2} - \frac{\beta^2}{b^2} = 1$।
$\beta^2 \left( \frac{3}{a^2} - \frac{1}{b^2} \right) = 1$।
चूँकि $\beta^2 > 0$,इसलिए $\frac{3}{a^2} - \frac{1}{b^2} > 0$,जिसका अर्थ है $\frac{b^2}{a^2} > \frac{1}{3}$।
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर,$e^2 - 1 > \frac{1}{3}$।
$e^2 > \frac{4}{3} \Rightarrow e > \frac{2}{\sqrt{3}}$।

(B) दिया गया अतिपरवलय $x^2 - 2y^2 = 2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2} - y^2 = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अनंतस्पर्शी $\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b} = 0$ होते हैं।
यहाँ,$a^2 = 2$ और $b^2 = 1$,इसलिए $a = \sqrt{2}$ और $b = 1$ है।
अनंतस्पर्शी $x - \sqrt{2}y = 0$ और $x + \sqrt{2}y = 0$ हैं।
माना $P(x_1, y_1)$ अतिपरवलय पर कोई बिंदु है,इसलिए $x_1^2 - 2y_1^2 = 2$ है।
$P(x_1, y_1)$ से रेखाओं पर डाले गए लंबों का गुणनफल:
$p_1 p_2 = \frac{|x_1^2 - 2y_1^2|}{3} = \frac{2}{3}$.

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होती है।
इस रेखा के अतिपरवलय $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करने के लिए,$y = mx + c$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(mx + c)^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$
$b^2(m^2x^2 + 2mcx + c^2) - a^2x^2 = a^2b^2$
$x^2(b^2m^2 - a^2) + 2b^2mcx + (b^2c^2 - a^2b^2) = 0$.
चूंकि यह स्पर्श रेखा है,इसलिए विविक्तकर (discriminant) शून्य होना चाहिए:
$D = (2b^2mc)^2 - 4(b^2m^2 - a^2)(b^2c^2 - a^2b^2) = 0$
$b^2m^2 + c^2 - a^2 = 0 \Rightarrow c^2 = a^2 - b^2m^2$.
$c^2$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$a^2m^2 - b^2 = a^2 - b^2m^2$
$m^2(a^2 + b^2) = a^2 + b^2$ $\Rightarrow m^2 = 1$ $\Rightarrow m = \pm 1$.
$m^2 = 1$ को $c^2 = a^2m^2 - b^2$ में रखने पर:
$c^2 = a^2 - b^2 \Rightarrow c = \pm \sqrt{a^2 - b^2}$.
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं $y = \pm x \pm \sqrt{a^2 - b^2}$ हैं।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{b^2 x}{a^2 y}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(6, 3)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{2b^2}{a^2}$ है।
अतः,अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{a^2}{2b^2}$ होगी।
$P(6, 3)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 3 = -\frac{a^2}{2b^2}(x - 6)$ है।
यह $(10, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $-3 = -\frac{a^2}{2b^2}(10 - 6)$ $\Rightarrow 3 = \frac{2a^2}{b^2}$ $\Rightarrow \frac{a^2}{b^2} = \frac{3}{2}$.
उत्केंद्रता $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ है।
अतः,$e = \sqrt{\frac{5}{3}}$।

(D) माना जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$ है। वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ के लिए मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $xh + yk = h^2 + k^2$ है।
इसे $y = -\frac{h}{k}x + \frac{h^2 + k^2}{k}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $y = mx + c$ से तुलना करने पर,$m = -\frac{h}{k}$ और $c = \frac{h^2 + k^2}{k}$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह जीवा अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करती है,इसलिए स्पर्शरेखा की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ संतुष्ट होनी चाहिए।
$m$ और $c$ के मान रखने पर:
$\left(\frac{h^2 + k^2}{k}\right)^2 = a^2\left(-\frac{h}{k}\right)^2 - b^2$
$(h^2 + k^2)^2 = a^2h^2 - b^2k^2$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $(x^2 + y^2)^2 = a^2x^2 - b^2y^2$ प्राप्त होता है।

(A) माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
संयुग्मी अक्ष की लंबाई $(2b)$ और अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $(2a)$ का अनुपात $3:2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{2b}{2a} = \frac{3}{2}$,जिसका अर्थ है $\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ है।
दो नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e}$ है।
नाभियों के बीच की दूरी और नियताओं के बीच की दूरी का अनुपात $\frac{2ae}{2a/e} = e^2$ है।
अतिपरवलय के लिए,$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ होता है।
$\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$ रखने पर,$e^2 = 1 + (\frac{3}{2})^2 = 1 + \frac{9}{4} = \frac{13}{4}$।
अतः,अभीष्ट अनुपात $13:4$ है।

(B) मान लीजिए $P(x, y)$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 4$ पर एक बिंदु है,इसलिए $x^2 = y^2 + 4$ है।
मान लीजिए $Q$ बिंदु $(0, -1)$ है। दूरी $PQ$ को $PQ^2 = (x - 0)^2 + (y - (-1))^2 = x^2 + (y + 1)^2$ द्वारा दिया गया है।
$x^2 = y^2 + 4$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $PQ^2 = y^2 + 4 + y^2 + 2y + 1 = 2y^2 + 2y + 5$ प्राप्त होता है।
$PQ^2$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $y$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $f(y) = 2y^2 + 2y + 5$।
$f'(y) = 4y + 2 = 0 \implies y = -\frac{1}{2}$।
$x$-अक्ष से $P$ की दूरी $|y| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ है।

(A) दिया गया अतिपरवलय $4x^2 - 9y^2 = 36$ है,जिसे $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
रेखा $5x + 2y - 10 = 0$ की ढाल $m_1 = -\frac{5}{2}$ है।
इस रेखा के लंबवत स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{m_1} = \frac{2}{5}$ होगी।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए स्पर्श रेखा की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
मान रखने पर: $c^2 = 9\left(\frac{2}{5}\right)^2 - 4 = \frac{36}{25} - 4 = -\frac{64}{25}$।
चूंकि $c^2 < 0$,इसलिए कोई वास्तविक स्पर्श रेखा संभव नहीं है।
अतः,संभावित स्पर्श रेखाओं की संख्या $0$ है।

(D) आयताकार अतिपरवलय के लिए,अनंतस्पर्शी परस्पर लंबवत होते हैं। दिया गया अनंतस्पर्शी $3x - 4y - 6 = 0$ है,अतः दूसरा अनंतस्पर्शी $4x + 3y + \lambda = 0$ के रूप में होगा।
अतिपरवलय का केंद्र दोनों अनंतस्पर्शी का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।
$3x - 4y - 6 = 0$ और $4x + 3y + \lambda = 0$ को हल करने पर,केंद्र $(\frac{18 - 4\lambda}{25}, \frac{-24 - 3\lambda}{25})$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह बिंदु $x - y - 1 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{18 - 4\lambda}{25} - (\frac{-24 - 3\lambda}{25}) - 1 = 0$ होगा।
इसे हल करने पर $\lambda = 17$ प्राप्त होता है।
अतः,दूसरे अनंतस्पर्शी का समीकरण $4x + 3y + 17 = 0$ है।

(A) अतिपरवलय $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$ के बिंदु $(5 \sec \theta, 4 \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $5x \cos \theta + 4y \cot \theta = 41$ है।
यह रेखा $2x + y = 1$ के लंबवत है,जिसका ढाल $-2$ है।
अभिलंब का ढाल $m = -\frac{5 \sin \theta}{4}$ है।
लंबवत रेखाओं के लिए $m_1 m_2 = -1$ का उपयोग करने पर,$(-\frac{5 \sin \theta}{4})(-2) = -1$ प्राप्त होता है।
इससे $\sin \theta = -\frac{2}{5}$ प्राप्त होता है,जिससे $\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$ और $\cot \theta = \mp \frac{\sqrt{21}}{2}$ मिलता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,$\sqrt{21}(x - 2y) = 41$ प्राप्त होता है।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $4y^2 - x^2 = 1$ है।
स्पर्श बिंदु $P(x_1, y_1)$ मानिए। $P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $4yy_1 - xx_1 = 1$ है।
यह स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $A$ पर काटती है जहाँ $y=0$,अतः $-xx_1 = 1 \Rightarrow x = -1/x_1$। इस प्रकार,$A = (-1/x_1, 0)$।
यह स्पर्श रेखा $y$-अक्ष को $B$ पर काटती है जहाँ $x=0$,अतः $4yy_1 = 1 \Rightarrow y = 1/(4y_1)$। इस प्रकार,$B = (0, 1/(4y_1))$।
माना $AB$ का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।
तब $h = -1/(2x_1) \Rightarrow x_1 = -1/(2h)$ और $k = 1/(8y_1) \Rightarrow y_1 = 1/(8k)$।
चूँकि $(x_1, y_1)$ अतिपरवलय $4y_1^2 - x_1^2 = 1$ पर स्थित है,मान रखने पर:
$4(1/(8k))^2 - (-1/(2h))^2 = 1$
$4/(64k^2) - 1/(4h^2) = 1$
$1/(16k^2) - 1/(4h^2) = 1$
$16h^2k^2$ से गुणा करने पर:
$h^2 - 4k^2 = 16h^2k^2$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 - 4y^2 - 16x^2y^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $4x^2 - 9y^2 = 36$ है,जिसे $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(x_0, y_0)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_0} + \frac{b^2y}{y_0} = a^2 + b^2$ है।
यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है,अतः समीकरण $\frac{9x}{x_0} + \frac{4y}{y_0} = 13$ है।
यह अभिलंब $x$-अक्ष को $A(\frac{13x_0}{9}, 0)$ और $y$-अक्ष को $B(0, \frac{13y_0}{4})$ पर मिलता है।
चूंकि $OABP$ एक समांतर चतुर्भुज है,$P(x, y) = A + B = (\frac{13x_0}{9}, \frac{13y_0}{4})$ है।
अतः,$x_0 = \frac{9x}{13}$ और $y_0 = \frac{4y}{13}$ है।
चूंकि $(x_0, y_0)$ अतिपरवलय पर स्थित है,$4(\frac{9x}{13})^2 - 9(\frac{4y}{13})^2 = 36$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$9x^2 - 4y^2 = 169$ प्राप्त होता है।

(A) उत्केंद्रता के लिए समीकरण: $9e^2 - 18e + 5 = 0$.
$e$ के लिए हल करने पर: $(3e - 1)(3e - 5) = 0$,अतः $e = 1/3$ या $e = 5/3$. चूंकि अतिपरवलय के लिए $e > 1$ होता है,इसलिए $e = 5/3$ है।
नाभि $S(ae, 0)$ और नियता $x = a/e$ वाले अतिपरवलय के लिए,$ae = 5$ और $a/e = 9/5$ है।
इनका गुणा करने पर: $(ae)(a/e) = 5 \times (9/5) \Rightarrow a^2 = 9$.
$ae = 5$ और $e = 5/3$ का उपयोग करने पर,$a(5/3) = 5 \Rightarrow a = 3$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
$b^2 = 9((5/3)^2 - 1) = 9(25/9 - 1) = 9(16/9) = 16$.
अतः,$a^2 - b^2 = 9 - 16 = -7$.

(C) दिया गया शांकव $\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{16} = 1$ है।
इसकी नाभियाँ $(0, \pm 2)$ हैं।
अतिपरवलय के शीर्ष $(0, \pm 2)$ हैं,इसलिए $a = 2$ है।
उत्केंद्रता $e = \frac{3}{2}$ होने पर,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = 4(\frac{9}{4} - 1) = 5$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{5} = 1$ है।
बिंदु $(5, 2\sqrt{3})$ इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ होता है।
यहाँ $a=3$ और $b=2$ है,अतः $P$ पर अभिलंब का समीकरण $3x \cos \theta + 2y \cot \theta = 13$ है।
$Q$ पर अभिलंब का समीकरण $3x \cos \phi + 2y \cot \phi = 13$ है।
$\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$ रखने पर,समीकरण $3x \sin \theta + 2y \tan \theta = 13$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(h, k)$ के लिए,$3h \cos \theta + 2k \cot \theta = 13$ और $3h \sin \theta + 2k \tan \theta = 13$ की तुलना करने पर,सरल करने पर $k = -\frac{13}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ है।
यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 5$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ है।
प्रथम चतुर्थांश में नाभिलंब का सिरा $L = (ae, \frac{b^2}{a}) = (2 \times \frac{3}{2}, \frac{5}{2}) = (3, \frac{5}{2})$ है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है।
$(x_1, y_1) = (3, \frac{5}{2})$ रखने पर,हमें $\frac{3x}{4} - \frac{y(5/2)}{5} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{3x}{4} - \frac{y}{2} = 1$ हो जाता है।
इसे $\frac{x}{4/3} + \frac{y}{-2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$-अंतःखंड $OA = \frac{4}{3}$ और $y$-अंतःखंड $OB = -2$ है।
अतः,$(OA)^2 - (OB)^2 = (\frac{4}{3})^2 - (-2)^2 = \frac{16}{9} - 4 = \frac{16 - 36}{9} = -\frac{20}{9}$।

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ है।
$y=0$ रखने पर,$x = a \cos \theta$ प्राप्त होता है,अतः $P = (a \cos \theta, 0)$.
$x=0$ रखने पर,$y = -b \cot \theta$ प्राप्त होता है,अतः $Q = (0, -b \cot \theta)$.
चूँकि $OPRQ$ मूलबिंदु $O(0,0)$ के साथ एक आयत है,$R$ के निर्देशांक $(h, k) = (a \cos \theta, -b \cot \theta)$ हैं।
इससे,$\cos \theta = \frac{h}{a}$ और $\cot \theta = -\frac{k}{b}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\csc^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\frac{a^2}{h^2} - \frac{b^2}{k^2} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 2$ दिया गया है,इसलिए $R(x, y)$ का बिंदुपथ $\frac{4}{x^2} - \frac{2}{y^2} = 1$ है।

(A) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि यह $(K, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{K^2}{9} - \frac{4}{b^2} = 1$ $(1).$
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$ दी गई है।
यहाँ $a^2 = 9$ है,इसलिए $\sqrt{1 + \frac{b^2}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 + \frac{b^2}{9} = \frac{13}{9}.$
$\frac{b^2}{9} = \frac{13}{9} - 1 = \frac{4}{9},$ जिससे $b^2 = 4$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ में $b^2 = 4$ रखने पर,$\frac{K^2}{9} - \frac{4}{4} = 1.$
$\frac{K^2}{9} - 1 = 1 \Rightarrow \frac{K^2}{9} = 2.$
अतः,$K^2 = 18.$

(A) अतिपरवलय का समीकरण: $\frac{x^2}{\cos^2 \theta} - \frac{y^2}{\sin^2 \theta} = 1$.
यहाँ,$a^2 = \cos^2 \theta$ और $b^2 = \sin^2 \theta$ है।
उत्केन्द्रता $e$ के लिए $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ है।
दिया है $e > 2$,अतः $e^2 > 4$,जिसका अर्थ है $\sec^2 \theta > 4$,या $\tan^2 \theta > 3$ है।
चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\tan \theta > \sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $\theta \in (\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$ है।
नाभिलंब की लंबाई $L = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \sin^2 \theta}{\cos \theta} = 2 \tan \theta \sin \theta$ है।
जैसे-जैसे $\theta$,$\frac{\pi}{3}$ से $\frac{\pi}{2}$ की ओर बढ़ता है,$L = 2 \tan \theta \sin \theta > 2(\sqrt{3})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 3$ होता है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $(3, \infty)$ अंतराल में स्थित है।

(A) मूल बिंदु पर केंद्र और $x$-अक्ष पर अनुप्रस्थ अक्ष वाले अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 4$ दी गई है,इसलिए $a = 2$ और $a^2 = 4$ है।
समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ हो जाता है।
चूंकि अतिपरवलय $(4, 2)$ बिंदु से होकर गुजरता है,हम इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{4^2}{4} - \frac{2^2}{b^2} = 1$
$4 - \frac{4}{b^2} = 1$
$3 = \frac{4}{b^2}$
$b^2 = \frac{4}{3}$.
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ है।
$a^2$ और $b^2$ के मान रखने पर:
$e = \sqrt{1 + \frac{4/3}{4}} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(A) दिया गया अतिपरवलय $4x^2 - 5y^2 = 20$ है,जिसे $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{4} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 5$ और $b^2 = 4$ प्राप्त होता है।
दी गई रेखा $x - y = 2$ है,जिसे $y = x - 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m = 1$ है।
ढाल $m$ वाली अतिपरवलय की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होता है।
$m = 1$,$a^2 = 5$,और $b^2 = 4$ रखने पर,$y = 1(x) \pm \sqrt{5(1)^2 - 4} = x \pm \sqrt{5 - 4} = x \pm 1$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श रेखाएं $y = x + 1$ या $y = x - 1$ हैं,जिन्हें $x - y + 1 = 0$ या $x - y - 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,$x - y + 1 = 0$ सही विकल्प है।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{y^2}{1+r} - \frac{x^2}{1-r} = 1$ है।
स्थिति $1$: यदि $r > 1$,तो $1-r < 0$ है। समीकरण $\frac{y^2}{1+r} + \frac{x^2}{r-1} = 1$ बन जाता है,जो एक दीर्घवृत्त है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ होती है।
यहाँ $a^2 = 1+r$ और $b^2 = r-1$ है,इसलिए $e = \sqrt{1 - \frac{r-1}{r+1}} = \sqrt{\frac{2}{r+1}}$।
स्थिति $2$: यदि $0 < r < 1$,तो $1-r > 0$ है। यह एक अतिपरवलय है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ होती है।
यहाँ $a^2 = 1+r$ और $b^2 = 1-r$ है,इसलिए $e = \sqrt{1 + \frac{1-r}{1+r}} = \sqrt{\frac{2}{1+r}}$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b = 5$ है,इसलिए $b = \frac{5}{2}$।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 13$ है,इसलिए $ae = \frac{13}{2}$।
अतिपरवलय के लिए,$a$,$b$ और $e$ के बीच का संबंध $a^2e^2 = a^2 + b^2$ है।
मान रखने पर,$(ae)^2 = a^2 + b^2$।
$\left(\frac{13}{2}\right)^2 = a^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2$।
$\frac{169}{4} = a^2 + \frac{25}{4}$।
$a^2 = \frac{169 - 25}{4} = \frac{144}{4} = 36$।
अतः,$a = 6$।
उत्केंद्रता $e = \frac{ae}{a} = \frac{13/2}{6} = \frac{13}{12}$।

(D) अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
यहाँ शीर्ष $(\pm 2, 0)$ पर हैं,इसलिए $a = 2$ और $a^2 = 4$ है।
नाभि $(\pm ae, 0)$ पर होती है,इसलिए $ae = 3$ है।
अतिपरवलय के लिए $b^2 = a^2e^2 - a^2$ होता है,इसलिए $b^2 = 3^2 - 2^2 = 5$ है।
अतः अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ है।
विकल्प $D$ के लिए: $\frac{6^2}{4} - \frac{(5\sqrt{2})^2}{5} = 9 - 10 = -1 \neq 1$ है।
अतः,बिंदु $(6, 5\sqrt{2})$ अतिपरवलय पर स्थित नहीं है।

(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि यह $(4, 6)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{16}{a^2} - \frac{36}{b^2} = 1 \dots (i)$।
दी गई उत्केंद्रता $e = 2$ है,इसलिए $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow 4 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow b^2 = 3a^2 \dots (ii)$।
$(ii)$ को $(i)$ में रखने पर,$\frac{16}{a^2} - \frac{36}{3a^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{16 - 12}{a^2} = 1$ $\Rightarrow a^2 = 4$।
अतः $b^2 = 3(4) = 12$।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ है।
$(x_1, y_1) = (4, 6)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है।
$\frac{4x}{4} - \frac{6y}{12} = 1$ $\Rightarrow x - \frac{y}{2} = 1$ $\Rightarrow 2x - y = 2$ $\Rightarrow 2x - y - 2 = 0$।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{24} - \frac{y^2}{18} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 24$ और $b^2 = 18$ है।
अभिलंब की शर्त के अनुसार,$c^2 = \frac{m^2(a^2 + b^2)^2}{a^2 - b^2m^2}$ है।
यहाँ $c = 7\sqrt{3}$ है,इसलिए $c^2 = 147$ है।
मान रखने पर: $147 = \frac{m^2(24 + 18)^2}{24 - 18m^2} = \frac{1764m^2}{24 - 18m^2}$।
सरल करने पर: $24 - 18m^2 = 12m^2$ $\Rightarrow 30m^2 = 24$ $\Rightarrow m^2 = \frac{4}{5}$।
अतः,$m = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$।

(B) माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। चूँकि यह $(4, -2\sqrt{3})$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{16}{a^2} - \frac{12}{b^2} = 1 \dots (i)$ है।
नियता $x = \frac{a}{e}$ दी गई है,इसलिए $\frac{a}{e} = \frac{4\sqrt{5}}{5} = \frac{4}{\sqrt{5}}$,जिससे $a^2 = \frac{16e^2}{5} \dots (ii)$ प्राप्त होता है।
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करके,$(i)$ में $a^2$ और $b^2$ का मान रखने पर:
$\frac{16}{a^2} - \frac{12}{a^2(e^2 - 1)} = 1$.
$a^2 = \frac{16e^2}{5}$ रखने पर:
$\frac{5}{e^2} - \frac{60}{16e^2(e^2 - 1)} = 1$.
$4e^2(e^2 - 1)$ से गुणा करने पर:
$20(e^2 - 1) - 15 = 4e^2(e^2 - 1) \Rightarrow 20e^2 - 35 = 4e^4 - 4e^2$.
अतः $4e^4 - 24e^2 + 35 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $16x^2 - 9y^2 = 144$ है। $144$ से भाग देने पर,$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 16,$ इसलिए $a = 3$ और $b = 4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{16}{9}} = \frac{5}{3}$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की नियता $x = \pm \frac{a}{e}$ होती है।
दी गई नियता $5x + 9 = 0$ अर्थात $x = -\frac{9}{5}$ है।
चूंकि $\frac{a}{e} = \frac{3}{5/3} = \frac{9}{5},$ इसलिए नियता $x = -\frac{9}{5}$ नाभि $(-ae, 0)$ के संगत है।
अतः,नाभि $(-3 \times \frac{5}{3}, 0) = (-5, 0)$ है।