જે અતિવલયની નાભિલંબની લંબાઈ $8$ હોય અને તેના અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ તેની નાભિઓ વચ્ચેના અંતરથી અડધી હોય,તો તે અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો:

ધારો કે $P(3 \sec \theta, 2 \tan \theta)$ અને $Q(3 \sec \phi, 2 \tan \phi)$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ પરના બે બિંદુઓ છે,જ્યાં $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$ અને $0 < \theta, \phi < \frac{\pi}{2}$ છે. તો $P$ અને $Q$ આગળના અભિલંબના છેદબિંદુનો $y$-યામ (ordinate) શોધો.

જો એક અતિવલય એ ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ ના નાભિકેન્દ્રોમાંથી પસાર થાય અને તેની મુખ્ય અને અનુબદ્ધ અક્ષો અનુક્રમે ઉપવલયની પ્રધાન અક્ષ અને ગૌણ અક્ષ પર હોય,અને તેમની ઉત્કેન્દ્રતાઓનો ગુણાકાર $1$ હોય,તો .......

બિંદુ $P(-2 \sqrt{6}, \sqrt{3})$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ પર આવેલું છે,જેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ છે. જો $P$ આગળ અતિવલયનો સ્પર્શક અને અભિલંબ તેના અનુબદ્ધ અક્ષને અનુક્રમે $Q$ અને $R$ બિંદુઓમાં છેદે,તો $QR$ ની કિંમત શોધો:

અતિવલય $x^2-3y^2=3$ ના બિંદુ $(\sqrt{3}, 0)$ આગળના સ્પર્શક અને અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4} = 1$ ને દોરેલા બે સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 5$ પર આવેલું છે. જો આ સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ હોય,તો $a =$