Ellipse Questions in Gujarati

(A) શંકુ $S=0$ માટે મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ છે.
આપેલ ઉપવલય: $S = x^2+4y^2-2x+20y = 0$.
મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1) = (2, -4)$.
$T = x(x_1) + 4y(y_1) - (x+x_1) + 10(y+y_1) = 0$.
$(x_1, y_1) = (2, -4)$ મુકતા:
$T = 2x + 4y(-4) - (x+2) + 10(y-4) = 2x - 16y - x - 2 + 10y - 40 = x - 6y - 42$.
$S_1 = (2)^2 + 4(-4)^2 - 2(2) + 20(-4) = 4 + 64 - 4 - 80 = -16$.
$T = S_1$ લેતા:
$x - 6y - 42 = -16$.
$x - 6y = 42 - 16$.
$x - 6y = 26$.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરનું બિંદુ $P$ એ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે. અહીં $a^2=9$ અને $b^2=4$ છે,તેથી $a=3, b=2$. આમ $P = (3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$.
સહાયક વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2 = 9$ છે. $P$ ને અનુરૂપ સહાયક વર્તુળ પરનું બિંદુ $Q$ એ $(3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ છે.
$P(3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ આગળ ઉપવલયનો અભિલંબ $\frac{3x}{\cos \theta} - \frac{2y}{\sin \theta} = 5$ છે.
$Q(3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ આગળ વર્તુળનો અભિલંબ $x \sin \theta - y \cos \theta = 0$ છે.
$R = (h, k)$ લેતા,બંને સમીકરણો ઉકેલતા આપણને $\cos \theta = \frac{h}{5}$ અને $\sin \theta = \frac{k}{5}$ મળે છે.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$h^2 + k^2 = 25$ મળે છે.
આમ,$R$ નો બિંદુપથ $x^2 + y^2 = 25$ છે.

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના યામ $P = (a \cos \theta, b \sin \theta)$ અને $Q = (-a \sin \theta, b \cos \theta)$ છે.
ધારો કે $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $(x, y)$ છે. તેથી,
$x = \frac{a(\cos \theta - \sin \theta)}{2} \Rightarrow \frac{2x}{a} = \cos \theta - \sin \theta$
$y = \frac{b(\sin \theta + \cos \theta)}{2} \Rightarrow \frac{2y}{b} = \sin \theta + \cos \theta$
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\frac{2x}{a})^2 + (\frac{2y}{b})^2 = (\cos \theta - \sin \theta)^2 + (\sin \theta + \cos \theta)^2$
$\frac{4x^2}{a^2} + \frac{4y^2}{b^2} = 2$
$\frac{x^2}{a^2/2} + \frac{y^2}{b^2/2} = 1$
આને $\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{a}{\sqrt{2}}$ અને $\beta = \frac{b}{\sqrt{2}}$ મળે.
તેથી,$\frac{a+b}{\alpha+\beta} = \frac{a+b}{\frac{a}{\sqrt{2}} + \frac{b}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}$.

(B) આપેલ શાંકવનું સમીકરણ:
$a^2 x^2 + b^2 y^2 = a^2(a^2 + b^2 - y^2)$
$\Rightarrow a^2 x^2 + y^2(a^2 + b^2) = a^2(a^2 + b^2)$
$\frac{x^2}{a^2 + b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$
આ એક ઉપવલય છે જેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{a^2 + b^2}} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
શાંકવની વ્યાખ્યા મુજબ,$SP = e \cdot PM$ થાય.
તેથી,$PM = \frac{1}{e} SP$.
આમ,$K = \frac{1}{e} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{b}$.

(C) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ છે,જ્યાં $a^2=2$ અને $b^2=1$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(\sqrt{2}\cos \theta, \sin \theta)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} + y \sin \theta = 1$ છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને બિંદુ $A$ પર છેદે છે જ્યાં $y=0$,તેથી $A = (\frac{\sqrt{2}}{\cos \theta}, 0)$.
સ્પર્શક $y$-અક્ષને બિંદુ $B$ પર છેદે છે જ્યાં $x=0$,તેથી $B = (0, \frac{1}{\sin \theta})$.
ધારો કે $(h, k)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $h = \frac{\sqrt{2}}{2 \cos \theta}$ અને $k = \frac{1}{2 \sin \theta}$ મળે.
આના પરથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}h}$ અને $\sin \theta = \frac{1}{2k}$ મળે.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\frac{1}{2k})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}h})^2 = 1$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{1}{4k^2} + \frac{1}{2h^2} = 1$ થાય છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ મળે છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a}+\frac{y \sin \theta}{b}=1$ છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A\left(\frac{a}{\cos \theta}, 0\right)$ અને $y$-અક્ષને $B\left(0, \frac{b}{\sin \theta}\right)$ માં મળે છે.
ધારો કે $(x, y)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તો:
$x = \frac{a}{2 \cos \theta} \Rightarrow \cos \theta = \frac{a}{2x}$
$y = \frac{b}{2 \sin \theta} \Rightarrow \sin \theta = \frac{b}{2y}$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{b}{2y}\right)^2 + \left(\frac{a}{2x}\right)^2 = 1$
$\frac{b^2}{4y^2} + \frac{a^2}{4x^2} = 1$
$\frac{a^2}{x^2} + \frac{b^2}{y^2} = 4$.
આમ,મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ $\frac{a^2}{x^2} + \frac{b^2}{y^2} = 4$ છે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^2 + 4y^2 = 12$ છે,જેને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 3$,તેથી $a = 2$ અને $b = \sqrt{3}$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$.
ત્રીજા ચરણમાં નાભિલંબના અંત્યબિંદુના યામ $(-ae, -\frac{b^2}{a}) = (-2 \times \frac{1}{2}, -\frac{3}{2}) = (-1, -\frac{3}{2})$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પર બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
$(x_1, y_1) = (-1, -\frac{3}{2})$,$a^2 = 4$,અને $b^2 = 3$ મૂકતા:
$\frac{4x}{-1} - \frac{3y}{-3/2} = 4 - 3$ $\Rightarrow -4x + 2y = 1$ $\Rightarrow y = 2x + \frac{1}{2}$.
$y = 2x + \frac{1}{2}$ ને ઉપવલયના સમીકરણ $3x^2 + 4y^2 = 12$ માં મૂકતા:
$3x^2 + 4(2x + \frac{1}{2})^2 = 12$ $\Rightarrow 3x^2 + 4(4x^2 + 2x + \frac{1}{4}) = 12$ $\Rightarrow 19x^2 + 8x - 11 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(x + 1)(19x - 11) = 0$.
ઉકેલ $x = -1$ ($L_1^{\prime}$ બિંદુ) અને $x = \frac{11}{19}$ ($P$ બિંદુ) મળે છે.
તેથી,$a = \frac{11}{19}$.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ અને રેખા $y = x + 1$ છે.
$y = x + 1$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x^2}{4} + (x + 1)^2 = 1$
$\frac{x^2}{4} + x^2 + 2x + 1 = 1$
$\frac{5x^2}{4} + 2x = 0$
$x(\frac{5x}{4} + 2) = 0$
તેથી,$x_1 = 0$ અને $x_2 = -\frac{8}{5}$.
અનુરૂપ $y$ કિંમતો $y_1 = 1$ અને $y_2 = -\frac{3}{5}$ છે.
છેદબિંદુઓ $P(0, 1)$ અને $Q(-\frac{8}{5}, -\frac{3}{5})$ છે.
જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
લંબાઈ $= \sqrt{(-\frac{8}{5})^2 + (-\frac{8}{5})^2} = \sqrt{\frac{128}{25}} = \frac{8\sqrt{2}}{5}$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ માટે,$a^2=9$ અને $b^2=4$ છે.
તેથી,$a=3$ અને $b=2$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ છે.
ધન $X$-અક્ષ પરનું નાભિ $S = (ae, 0) = (\sqrt{5}, 0)$ છે.
ઉપવલય પરનું બિંદુ $P = (3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ છે.
નાભિ અંતરનું સૂત્ર $SP = a - ex$ મુજબ,$SP = 3 - (\frac{\sqrt{5}}{3})(3 \cos \theta) = 3 - \sqrt{5} \cos \theta$.
$SP = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 = 3 - \sqrt{5} \cos \theta$.
$\sqrt{5} \cos \theta = 2$.
$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

(C) આપેલ વક્ર $4x^2 + 9y^2 = 36$ છે. $36$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ મળે છે.
આ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપનું ઉપવલય છે જ્યાં $a^2 = 9$ $(a = 3)$ અને $b^2 = 4$ $(b = 2)$.
ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુના પ્રાચલિત યામ $(a \cos \theta, b \sin \theta) = (3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ છે.
બિંદુ $\theta$ આગળ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \sec \theta - by \operatorname{cosec} \theta = a^2 - b^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a = 3$,$b = 2$,અને $\theta = \frac{7\pi}{4}$ મૂકતા:
$3x \sec(\frac{7\pi}{4}) - 2y \operatorname{cosec}(\frac{7\pi}{4}) = 9 - 4$
કારણ કે $\sec(\frac{7\pi}{4}) = \sqrt{2}$ અને $\operatorname{cosec}(\frac{7\pi}{4}) = -\sqrt{2}$:
$3x(\sqrt{2}) - 2y(-\sqrt{2}) = 5$
$3\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}y = 5$
આમ,અભિલંબનું સમીકરણ $3\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}y - 5 = 0$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે બે શંકુચ્છેદ $\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1$ અને $\frac{x^2}{a_2^2}+\frac{y^2}{b_2^2}=1$ એકબીજાને લંબરૂપે છેદે તો તેની શરત $a_1^2-b_1^2 = a_2^2-b_2^2$ છે,જેને $a_1^2-a_2^2 = b_1^2-b_2^2$ તરીકે પણ લખી શકાય.
અહીં આપેલા વક્રો $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ અને $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ છે.
લંબરૂપે છેદવાની શરત લાગુ પાડતા:
$a^2-25 = b^2-16$
$a^2-b^2$ ની કિંમત મેળવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$a^2-b^2 = 25-16$
$a^2-b^2 = 9$
આમ,જવાબ $9$ છે.

(B) ધારો કે નાભિઓ $F_1 = (ae, 0)$ અને $F_2 = (-ae, 0)$ છે અને ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B = (0, b)$ છે.
રેખાઓ $BF_1$ અને $BF_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી $y$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $30^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\frac{ae}{b} = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આથી,$b = ae\sqrt{3}$.
સંબંધ $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$e^2 = 1 - \frac{3a^2e^2}{a^2} = 1 - 3e^2$.
$4e^2 = 1 \Rightarrow e = \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ છે.
તેને $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2}=25$ અને $b^{2}=9$ મળે,તેથી $a=5$ અને $b=3$.
ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $B(0, 3)$ અને $B^{\prime}(0, -3)$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ છે.
નાભિઓ $S$ અને $S^{\prime}$ એ $(\pm ae, 0) = (\pm 5 \times \frac{4}{5}, 0) = (\pm 4, 0)$ છે.
આમ,$S(4, 0)$ અને $S^{\prime}(-4, 0)$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણ $SBS^{\prime}B^{\prime}$ ના વિકર્ણો $SS^{\prime}$ અને $BB^{\prime}$ છે.
વિકર્ણ $SS^{\prime}$ ની લંબાઈ $= 4 - (-4) = 8$.
વિકર્ણ $BB^{\prime}$ ની લંબાઈ $= 3 - (-3) = 6$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{વિકર્ણોનો ગુણાકાર} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે.
નાભિઓ $S(ae, 0)$ અને $T(-ae, 0)$ છે.
$B(0, b)$ એ ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ છે.
$\triangle STB$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$SB = ST = TB$ થાય.
$ST = ae - (-ae) = 2ae$.
$SB = \sqrt{(ae-0)^{2} + (0-b)^{2}} = \sqrt{a^{2}e^{2} + b^{2}}$.
$SB = ST$ હોવાથી,$SB^{2} = ST^{2}$ થાય.
$a^{2}e^{2} + b^{2} = (2ae)^{2} = 4a^{2}e^{2}$.
$b^{2} = 3a^{2}e^{2}$.
સંબંધ $b^{2} = a^{2}(1-e^{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a^{2}(1-e^{2}) = 3a^{2}e^{2}$.
$1 - e^{2} = 3e^{2}$.
$4e^{2} = 1$.
$e^{2} = \frac{1}{4}$.
$e = \frac{1}{2}$ (કારણ કે ઉત્કેન્દ્રતા $e > 0$).

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^{2} + 4y^{2} = 48$ છે.
$48$ વડે ભાગતા,$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ મળે.
અહીં,$a^{2} = 16$ અને $b^{2} = 12$,તેથી $a = 4$ અને $b = 2\sqrt{3}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{12}{16}} = \sqrt{\frac{4}{16}} = \frac{1}{2}$.
પ્રથમ ચરણમાં નાભિલંબના અંત્યબિંદુ $P$ ના યામ $(ae, \frac{b^{2}}{a}) = (4 \times \frac{1}{2}, \frac{12}{4}) = (2, 3)$ છે.
ધારો કે $P$ નો ઉત્કેન્દ્રિય કોણ $\theta$ છે. તો $P = (a \cos \theta, b \sin \theta) = (4 \cos \theta, 2\sqrt{3} \sin \theta)$.
યામ સરખાવતા: $4 \cos \theta = 2 \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$ અને $2\sqrt{3} \sin \theta = 3 \Rightarrow \sin \theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{25}=1$ છે.
અહીં,$a^{2}=144$ અને $b^{2}=25$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1-\frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{119}{144}} = \frac{\sqrt{119}}{12}$.
ઉપવલયની નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 12 \times \frac{\sqrt{119}}{12}, 0) = (\pm \sqrt{119}, 0)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, \sqrt{2})$ છે અને તે નાભિઓ $(\pm \sqrt{119}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(0, \sqrt{2})$ અને નાભિ $(\sqrt{119}, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$r = \sqrt{(\sqrt{119}-0)^{2} + (0-\sqrt{2})^{2}}$
$r = \sqrt{119 + 2} = \sqrt{121} = 11$.

(C) આપેલ છે કે ઉપવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ જેટલું છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે અને લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a}$ છે.
તેથી,$2ae = \frac{2b^2}{a} \implies ae = \frac{b^2}{a} \implies b^2 = a^2e$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે,$b^2 = a^2(1 - e^2)$.
આ સમીકરણમાં $b^2 = a^2e$ મૂકતા,આપણને $a^2e = a^2(1 - e^2)$ મળે છે.
$a^2$ વડે ભાગતા,$e = 1 - e^2$ મળે.
આથી દ્વિઘાત સમીકરણ $e^2 + e - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$e = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ ધન હોવી જોઈએ $(0 < e < 1)$,તેથી $e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

(B) ધારો કે $P(\sqrt{10} \cos \theta, \sqrt{8} \sin \theta)$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{10}+\frac{y^{2}}{8}=1$ પરનું બિંદુ છે.
આપેલ છે કે કેન્દ્ર $(0,0)$ થી બિંદુ $P$ નું અંતર $3$ એકમ છે.
તેથી,$OP^2 = 3^2 = 9$.
$10 \cos^2 \theta + 8 \sin^2 \theta = 9$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$9 = 9(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$ લખી શકાય.
$10 \cos^2 \theta + 8 \sin^2 \theta = 9 \sin^2 \theta + 9 \cos^2 \theta$.
પદોને ગોઠવતા,$\cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ મળે.
$\tan^2 \theta = 1$.
બિંદુ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $16x^2 + 25y^2 = 400$.
બંને બાજુ $400$ વડે ભાગતા પ્રમાણિત સ્વરૂપ મળે છે: $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$ મળે છે.
ઉપવલયના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈનું સૂત્ર $\frac{2b^2}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{લંબાઈ} = \frac{2 \times 16}{5} = \frac{32}{5}$ એકમ.

(D) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. નાભિઓ $S(ae, 0)$ અને $S'(-ae, 0)$ છે,અને ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B(0, b)$ છે.
આપેલ છે કે ખૂણો $\angle SBS' = 90^{\circ}$.
ત્રિકોણ $\triangle SBS'$ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,$B$ માંથી $SS'$ પરનો વેધ ખૂણા $\angle SBS'$ ને દુભાગે છે.
તેથી,$\angle OBS = 45^{\circ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OBS$ માં,$\tan(45^{\circ}) = \frac{OB}{OS} = \frac{b}{ae}$.
$\tan(45^{\circ}) = 1$ હોવાથી,$1 = \frac{b}{ae}$,જેનો અર્થ છે $b = ae$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરીને,$b^2 = a^2e^2$ મૂકતા:
$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$
$e^2 = 1 - e^2$
$2e^2 = 1$
$e^2 = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$ છે.
નાભિઓના યામ $S(ae, 0)$ અને $S^{\prime}(-ae, 0)$ છે.
ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B(0, b)$ છે.
$SB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{b - 0}{0 - ae} = -\frac{b}{ae}$ છે.
$S^{\prime}B$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{b - 0}{0 - (-ae)} = \frac{b}{ae}$ છે.
$\angle SBS^{\prime} = 90^{\circ}$ હોવાથી,ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,તેથી $m_1 \times m_2 = -1$.
$(-\frac{b}{ae}) \times (\frac{b}{ae}) = -1$.
$\frac{b^2}{a^2 e^2} = 1 \Rightarrow b^2 = a^2 e^2$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $a^2(1 - e^2) = a^2 e^2$ મળે છે.
$1 - e^2 = e^2$ $\Rightarrow 2e^2 = 1$ $\Rightarrow e^2 = \frac{1}{2}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e > 0$ હોવાથી,$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^{2}+2y^{2}=4$ છે.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2}=4$,તેથી $a=2$ મળે છે.
ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ નું સહાયક વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,સહાયક વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=4$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિય કોણ $\theta$ ને અનુરૂપ સહાયક વર્તુળ પરના બિંદુના યામ $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\theta = 60^{\circ}$ અને $a=2$,તેથી યામ $(2 \cos 60^{\circ}, 2 \sin 60^{\circ})$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(2 \times \frac{1}{2}, 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) = (1, \sqrt{3})$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $16 x^{2}+25 y^{2}+32 x-100 y=284$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$16(x^{2}+2 x)+25(y^{2}-4 y)=284$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$16(x^{2}+2 x+1)+25(y^{2}-4 y+4)=284+16+100$ મળે.
$16(x+1)^{2}+25(y-2)^{2}=400$.
$400$ વડે ભાગતા,$\frac{(x+1)^{2}}{25}+\frac{(y-2)^{2}}{16}=1$ મળે.
અહીં,$a^{2}=25$. ઉપવલય $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ નું સહાયક વર્તુળ $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=a^{2}$ છે.
તેથી,સહાયક વર્તુળનું સમીકરણ $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=25$ થાય.
વિસ્તરણ કરતા,$x^{2}+2 x+1+y^{2}-4 y+4=25$ મળે.
આમ,$x^{2}+y^{2}+2 x-4 y-20=0$.

(A) ધારો કે જીવા $AB$ નું સમીકરણ $lx + my = 1$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સમીકરણને જીવાના સમીકરણ $lx + my = 1$ ની મદદથી સમઘાત બનાવતા:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = (lx + my)^2$
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = l^2x^2 + m^2y^2 + 2lmxy$
$x^2(\frac{1}{a^2} - l^2) + y^2(\frac{1}{b^2} - m^2) - 2lmxy = 0$
કારણ કે $AB$ ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ.
$(\frac{1}{a^2} - l^2) + (\frac{1}{b^2} - m^2) = 0$
$l^2 + m^2 = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$
આમ,$\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2}$ ની કિંમત $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ થાય છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ અને રેખા $y = 2t^2$.
$y = 2t^2$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x^2}{9} + \frac{(2t^2)^2}{4} = 1$
$\frac{x^2}{9} + \frac{4t^4}{4} = 1$
$\frac{x^2}{9} + t^4 = 1$
$x^2 = 9(1 - t^4)$
છેદબિંદુઓ વાસ્તવિક હોવા માટે,$x^2 \geq 0$ હોવું જોઈએ:
$9(1 - t^4) \geq 0$
$1 - t^4 \geq 0$
$t^4 \leq 1$
$(t^2 - 1)(t^2 + 1) \leq 0$
કારણ કે $t^2 + 1 > 0$ તમામ વાસ્તવિક $t$ માટે,તેથી $t^2 - 1 \leq 0$ હોવું જોઈએ.
$t^2 \leq 1$
$|t| \leq 1$

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે.
$x$-અંતઃખંડ $T$ મેળવવા માટે,$y = 0$ લેતા: $x = \frac{a}{\cos \theta}$. તેથી,$OT = \frac{a}{\cos \theta}$.
$y$-અંતઃખંડ $T_1$ મેળવવા માટે,$x = 0$ લેતા: $y = \frac{b}{\sin \theta}$. તેથી,$OT_1 = \frac{b}{\sin \theta}$.
ગુણાકાર $(OT)(OT_1) = \frac{ab}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2ab}{\sin 2\theta}$.
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે,$\sin 2\theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,તેથી $\frac{2ab}{\sin 2\theta}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2ab$ થાય.

(C) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે.
સ્પર્શક અને નિયામિકા વચ્ચેનો ભાગ નાભિ પર $\frac{\pi}{2}$ નો ખૂણો આંતરે છે,જે ઉપવલયનો એક પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે.

(B, D) ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^{2} + 9y^{2} = 1$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$8x + 18yy' = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $y' = -\frac{8x}{18y} = -\frac{4x}{9y}$.
રેખા $8x = 9y$ નો ઢાળ $y = \frac{8}{9}x$ પરથી $m = \frac{8}{9}$ મળે છે.
સ્પર્શકો રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ: $-\frac{4x}{9y} = \frac{8}{9}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $-4x = 8y$ અથવા $x = -2y$ મળે છે.
$x = -2y$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $4(-2y)^{2} + 9y^{2} = 1$.
$4(4y^{2}) + 9y^{2} = 1$ $\Rightarrow 16y^{2} + 9y^{2} = 1$ $\Rightarrow 25y^{2} = 1$.
આમ,$y^{2} = \frac{1}{25}$,જે $y = \pm \frac{1}{5}$ આપે છે.
જો $y = \frac{1}{5}$ હોય,તો $x = -2(\frac{1}{5}) = -\frac{2}{5}$.
જો $y = -\frac{1}{5}$ હોય,તો $x = -2(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$.
માગેલ બિંદુઓ $\left(-\frac{2}{5}, \frac{1}{5}\right)$ અને $\left(\frac{2}{5}, -\frac{1}{5}\right)$ છે.

(C) ઉપવલય $E_1: 3x^2 + 5y^2 = 32$ માટે,બિંદુ $(3,5)$ નું સ્થાન ચકાસો: $3(3)^2 + 5(5)^2 = 27 + 125 = 152$. $152 > 32$ હોવાથી,બિંદુ $(3,5)$ એ $E_1$ ની બહાર છે. તેથી,$E_1$ પર $2$ સ્પર્શકો દોરી શકાય.
ઉપવલય $E_2: 25x^2 + 9y^2 = 450$ માટે,બિંદુ $(3,5)$ નું સ્થાન ચકાસો: $25(3)^2 + 9(5)^2 = 225 + 225 = 450$. પરિણામ $450$ હોવાથી,બિંદુ $(3,5)$ એ $E_2$ પર છે. તેથી,$E_2$ પર માત્ર $1$ સ્પર્શક દોરી શકાય.
સ્પર્શકોની કુલ સંખ્યા $2 + 1 = 3$ છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $y=x+\lambda$ છે.
તેને $y=mx+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m=1$ અને $c=\lambda$ મળે છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $2x^{2}+3y^{2}=1$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{1/2} + \frac{y^{2}}{1/3} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેને $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2}=\frac{1}{2}$ અને $b^{2}=\frac{1}{3}$ મળે છે.
જો રેખા ઉપવલયને સ્પર્શતી હોય,તો સ્પર્શકની શરત $c^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\lambda^{2} = \frac{1}{2}(1)^{2} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$.
તેથી,$\lambda = \pm \sqrt{\frac{5}{6}}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\lambda = \sqrt{\frac{5}{6}}$ છે.

(A) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$ માટે,$a^{2}=9$ અને $b^{2}=5$ છે,તેથી $a=3$ અને $b=\sqrt{5}$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1-\frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 3 \times \frac{2}{3}, 0) = (\pm 2, 0)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm 2, \pm \frac{5}{3})$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $P(2, \frac{5}{3})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x(2)}{9} + \frac{y(5/3)}{5} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{2x}{9} + \frac{y}{3} = 1$ એટલે કે $2x + 3y = 9$ થાય.
આ રેખા $x$-અક્ષને $A(\frac{9}{2}, 0)$ અને $y$-અક્ષને $B(0, 3)$ માં છેદે છે.
ચાર સ્પર્શકો દ્વારા બનતો ચતુષ્કોણ બંને અક્ષોની સાપેક્ષ સંમિત છે. ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $4 \times \text{Area}(\Delta OAB) = 4 \times (\frac{1}{2} \times OA \times OB) = 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = 27 \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(C) ધારો કે બે લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો છે. રેખાખંડના અંત્યબિંદુઓ $A(0, m)$ અને $B(n, 0)$ છે.
રેખાખંડની લંબાઈ $AB = \sqrt{m^2 + n^2} = a + b$ છે,તેથી $m^2 + n^2 = (a + b)^2$.
ધારો કે $P(h, k)$ એ રેખાખંડ $AB$ પરનું બિંદુ છે જે તેને $a$ અને $b$ લંબાઈના ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજનના સૂત્ર મુજબ,$P$ એ $AB$ ને $b : a$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે (કારણ કે $AP = a$ અને $PB = b$).
તેથી,$h = \frac{b(0) + a(n)}{a + b} = \frac{an}{a + b} \Rightarrow n = \frac{(a + b)h}{a}$.
અને $k = \frac{b(m) + a(0)}{a + b} = \frac{bm}{a + b} \Rightarrow m = \frac{(a + b)k}{b}$.
આ કિંમતોને $m^2 + n^2 = (a + b)^2$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\left(\frac{(a + b)k}{b}\right)^2 + \left(\frac{(a + b)h}{a}\right)^2 = (a + b)^2$.
$(a + b)^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{k^2}{b^2} + \frac{h^2}{a^2} = 1$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ મળે છે,જે એક ઉપવલય છે.

(B) ધારો કે નાભિ $F(0, 0)$ છે અને નિયામિકા $x = 4$ છે. ધારો કે લઘુ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B(h, k)$ છે.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,નાભિથી બિંદુ $B$ નું અંતર એ $B$ થી નિયામિકાના અંતરના $e$ ગણું છે.
$BF = e \cdot BM$
$BF = \sqrt{h^2 + k^2}$ અને $BM = |4 - h|$.
તેથી,$\sqrt{h^2 + k^2} = e(4 - h)$.
ઉપવલય માટે,કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $ae$ છે અને કેન્દ્રથી નિયામિકાનું અંતર $a/e$ છે. નાભિ $(0,0)$ પર છે અને નિયામિકા $x=4$ છે,તેથી તેમની વચ્ચેનું અંતર $a/e - ae = 4$ છે.
લઘુ અક્ષના અંત્યબિંદુ માટે,કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $ae$ છે,તેથી $h = -ae$ અને $k = b$.
$a/e - ae = 4$ પરથી,આપણને $a(1 - e^2) = 4e$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $b^2/a = 4e$,તેથી $b^2 = 4ae$.
$h = -ae$ અને $k = b$ મૂકતા,આપણને $k^2 = 4(-h) = -4h$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = -4x$ મળે છે,જે એક પરવલય છે.

(C) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. ગૌણ અક્ષનું ધન અંત્યબિંદુ $P(0, b)$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ $(0, b)$ અને ઉપવલય પરના કોઈ બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી જીવાનું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$h = \frac{x_1 + 0}{2} \Rightarrow x_1 = 2h$ અને $k = \frac{y_1 + b}{2} \Rightarrow y_1 = 2k - b$.
ચૂંક $(x_1, y_1)$ ઉપવલય પર આવેલું છે,તેથી $\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1$.
$x_1$ અને $y_1$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{(2h)^2}{a^2} + \frac{(2k - b)^2}{b^2} = 1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{4h^2}{a^2} + \frac{4(k - b/2)^2}{b^2} = 1$ થાય છે,જેને $\frac{h^2}{(a/2)^2} + \frac{(k - b/2)^2}{(b/2)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{x^2}{(a/2)^2} + \frac{(y - b/2)^2}{(b/2)^2} = 1$ મળે છે,જે એક ઉપવલય દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે ઉપવલય પરનું બિંદુ $P(x_0, y_0)$ છે. $P$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x x_0}{2} + y y_0 = 1$ છે.
આ સ્પર્શકના $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $y=0$ અને $x=0$ મૂકીને મેળવી શકાય છે.
$y=0$ માટે,$x = \frac{2}{x_0}$. $x=0$ માટે,$y = \frac{1}{y_0}$.
ધારો કે કપાયેલા ભાગનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે. તેથી $h = \frac{1}{x_0}$ અને $k = \frac{1}{2 y_0}$.
આથી $x_0 = \frac{1}{h}$ અને $y_0 = \frac{1}{2 k}$ મળે.
કારણ કે $(x_0, y_0)$ એ ઉપવલય $\frac{x_0^2}{2} + y_0^2 = 1$ પર આવેલું છે,આપણે કિંમતો મૂકીએ:
$\frac{(1/h)^2}{2} + (1/2k)^2 = 1$
$\frac{1}{2h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ મળે છે.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^{2}+4y^{2}=4$ છે.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1$ મળે છે.
ગૌણ અક્ષનો ધન છેડો $B(0, 1)$ છે.
ધારો કે જીવા $BP$ નું મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ છે,જ્યાં $P(x, y)$ એ ઉપવલય પરનું બિંદુ છે.
તેથી,$(h, k) = \left(\frac{0+x}{2}, \frac{1+y}{2}\right)$.
આનો અર્થ એ છે કે $h = \frac{x}{2} \Rightarrow x = 2h$ અને $k = \frac{1+y}{2} \Rightarrow y = 2k-1$.
કારણ કે $P(x, y)$ એ ઉપવલય $x^{2}+4y^{2}=4$ પર આવેલું છે,$x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(2h)^{2} + 4(2k-1)^{2} = 4$
$4h^{2} + 4(4k^{2} - 4k + 1) = 4$
$4h^{2} + 16k^{2} - 16k + 4 = 4$
$4h^{2} + 16k^{2} - 16k = 0$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $h^{2} + 4k^{2} - 4k = 0$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^{2} + 4(y^{2} - y) = 0$ છે.
પૂર્ણ વર્ગ બનાવતા: $x^{2} + 4(y^{2} - y + \frac{1}{4}) = 4(\frac{1}{4}) = 1$.
$x^{2} + 4(y - \frac{1}{2})^{2} = 1$.
$1$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{1} + \frac{(y - 1/2)^{2}}{1/4} = 1$ મળે છે.
આ એક ઉપવલય છે જેનું કેન્દ્ર $(0, 1/2)$,અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a=1$ અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b=1/2$ છે.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{1}=1$ છે.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2}=9$ અને $b^{2}=1$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ છે.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 2\sqrt{2}, 0)$ છે.
ધારો કે $P(h, k)$ એવું બિંદુ છે કે જેથી નાભિઓ $F_{1}(2\sqrt{2}, 0)$ અને $F_{2}(-2\sqrt{2}, 0)$ બિંદુ $P$ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે.
તેથી,$PF_{1}$ અને $PF_{2}$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$\frac{k-0}{h-2\sqrt{2}} \times \frac{k-0}{h+2\sqrt{2}} = -1$.
$\frac{k^{2}}{h^{2}-8} = -1$.
$h^{2}+k^{2} = 8$.
આમ,$P$ નો બિંદુપથ $x^{2}+y^{2}=8$ છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $x^{2}+9y^{2}=9$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{1}=1$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$1$. $x+y=1$ અને $3y=x+3$ નું છેદબિંદુ: $x=1-y$ ને $3y=x+3$ માં મૂકતા,$3y=(1-y)+3$ $\Rightarrow 4y=4$ $\Rightarrow y=1$. તેથી $x=0$. આમ,બિંદુ $P$ એ $(0, 1)$ છે.
$2$. $x+y=1$ અને $x^{2}+9y^{2}=9$ નું છેદબિંદુ: $x=1-y$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા,$(1-y)^{2}+9y^{2}=9$ $\Rightarrow 10y^{2}-2y-8=0$ $\Rightarrow 5y^{2}-y-4=0$ $\Rightarrow (5y+4)(y-1)=0$. તેથી $y=1$ (જે $P(0,1)$ આપે છે) અથવા $y=-4/5$. જો $y=-4/5$ હોય,તો $x=1-(-4/5)=9/5$. આમ,બિંદુ $R$ એ $(9/5, -4/5)$ છે.
$3$. $3y=x+3$ અને $x^{2}+9y^{2}=9$ નું છેદબિંદુ: $y=(x+3)/3$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા,$x^{2}+(x+3)^{2}=9$ $\Rightarrow 2x^{2}+6x=0$ $\Rightarrow 2x(x+3)=0$. તેથી $x=0$ (જે $P(0,1)$ આપે છે) અથવા $x=-3$. જો $x=-3$ હોય,તો $y=0$. આમ,બિંદુ $Q$ એ $(-3, 0)$ છે.
$\triangle PQR$ ના શિરોબિંદુઓ $P(0, 1)$,$Q(-3, 0)$ અને $R(9/5, -4/5)$ છે.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(0 - (-4/5)) + (-3)(-4/5 - 1) + (9/5)(1 - 0)| = \frac{1}{2} |27/5 + 9/5| = \frac{18}{5}$.

(D) આપેલ છે કે $f$ એ $\mathbb{R}$ પર ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
સમીકરણ $\frac{x^2}{f(a^2+5a+3)} + \frac{y^2}{f(a+15)} = 1$ એ $y$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતું ઉપવલય દર્શાવે તે માટે,$y^2$ પદનો છેદ એ $x^2$ પદના છેદ કરતા મોટો હોવો જોઈએ.
તેથી,$f(a+15) > f(a^2+5a+3)$.
કારણ કે $f$ એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે,$f(x_1) > f(x_2)$ નો અર્થ છે કે $x_1 < x_2$.
તેથી,$a+15 < a^2+5a+3$.
અસમતાને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $a^2+4a-12 > 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,$(a+6)(a-2) > 0$ મળે છે.
આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને $a < -6$ અથવા $a > 2$ મળે છે.
આમ,$a$ માટેનો અંતરાલ $(-\infty, -6) \cup (2, \infty)$ છે.

(B) આપેલ કેન્દ્ર $C = (1, -2)$,નાભિ $F_1 = (3, -2)$,અને શિરોબિંદુ $A_1 = (5, -2)$ છે.
$y$-યામ સમાન હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ સમક્ષિતિજ છે.
કેન્દ્રથી શિરોબિંદુનું અંતર $a = |5 - 1| = 4$ છે.
કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $ae = |3 - 1| = 2$ છે.
તેથી,$e = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 4^2(1 - (\frac{1}{2})^2) = 16(1 - \frac{1}{4}) = 16(\frac{3}{4}) = 12$ મળે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 12}{4} = \frac{24}{4} = 6$ થાય.

(B) $E_1$ માટે,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 8$ છે. આપેલ છે $e = \frac{4}{5}$,તેથી $2a(\frac{4}{5}) = 8 \Rightarrow a = 5$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 25(1 - \frac{16}{25}) = 25(\frac{9}{25}) = 9$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\ell_1 = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{5} = \frac{18}{5}$.
$E_2$ માટે,$A < B$,તેથી ઉત્કેન્દ્રતાનું સૂત્ર $A^2 = B^2(1 - e^2) = B^2(1 - \frac{16}{25}) = \frac{9}{25}B^2$ છે,જે $A = \frac{3}{5}B$ આપે છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\ell_2 = \frac{2A^2}{B} = \frac{2(9/25)B^2}{B} = \frac{18}{25}B$.
આપેલ છે $2\ell_1^2 = 9\ell_2$,તેથી $2(\frac{18}{5})^2 = 9(\frac{18}{25}B) \Rightarrow 2 \times \frac{324}{25} = \frac{162}{25}B$.
$B$ માટે ઉકેલતા,$B = \frac{2 \times 324}{162} = 4$.
$E_2$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2Be = 2 \times 4 \times \frac{4}{5} = \frac{32}{5}$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ પરનું બિંદુ $(h, k)$ એ $(2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $(x, y) = (2h + 1, 3k + 2)$.
$h = 2 \cos \theta$ અને $k = 2 \sin \theta$ મૂકતા,આપણને $x = 4 \cos \theta + 1$ અને $y = 6 \sin \theta + 2$ મળે છે.
ગોઠવતા,$\cos \theta = \frac{x - 1}{4}$ અને $\sin \theta = \frac{y - 2}{6}$ મળે છે.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\frac{x - 1}{4})^2 + (\frac{y - 2}{6})^2 = 1$ મળે છે.
આ $a = 6$ અને $b = 4$ અર્ધ-અક્ષો ધરાવતા ઉપવલયનું સમીકરણ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{16}{36} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
તેથી,$\frac{5}{e^2} = \frac{5}{5/9} = 9$.

(C) વિધેય $f(t) = -t^{2} + 2t - \frac{3}{4}$ છે.
મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $f(t) = -(t-1)^{2} + \frac{1}{4}$.
મહત્તમ મૂલ્ય $e = \frac{1}{4}$ છે,તેથી $e^{2} = \frac{1}{16}$.
ઉપવલય માટે,$e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,તેથી $\frac{b^{2}}{a^{2}} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \Rightarrow b^{2} = \frac{15}{16}a^{2}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = 30$ છે,તેથી $b^{2} = 15a$.
$b^{2}$ માટેના સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{15}{16}a^{2} = 15a$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$\frac{a}{16} = 1 \Rightarrow a = 16$.
તેથી $b^{2} = 15(16) = 240$.
આમ,$a^{2} + b^{2} = 16^{2} + 240 = 256 + 240 = 496$.

(D) રેખાનું સમીકરણ $\alpha x+4y-\sqrt{7}=0$ છે. આ રેખા ઉપવલય $3x^{2}+4y^{2}=1$ ને સ્પર્શે છે.
સ્પર્શકની શરત $c^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\alpha = \pm 3$ મળે છે.
પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $P$ માટે,સ્પર્શક $3x+4y=\sqrt{7}$ છે.
સ્પર્શબિંદુ $P$ ના યામ $(\frac{1}{\sqrt{7}}, \frac{1}{\sqrt{7}})$ મળે છે.
ઉપવલય માટે ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \frac{1}{2}$ છે.
નાભિ અંતરો $a \pm ex_{1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જે $\frac{1}{\sqrt{3}} \pm \frac{1}{2\sqrt{7}}$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ માટે,$a=5$ અને $b=3$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \frac{4}{5}$ છે.
નાભિઓ $S(4, 0)$ અને $S^{\prime}(-4, 0)$ છે.
$P(\alpha, \beta)$ ઉપવલય પર હોવાથી $SP+S^{\prime}P=10$.
આપેલ સમીકરણ $(SP)^2+(S^{\prime}P)^2-SP \cdot S^{\prime}P=37$ માં $(SP+S^{\prime}P)^2-3SP \cdot S^{\prime}P=37$ મૂકતા,
$100-3SP \cdot S^{\prime}P=37 \Rightarrow SP \cdot S^{\prime}P=21$.
$SP \cdot S^{\prime}P = a^2-e^2\alpha^2 = 25-\frac{16}{25}\alpha^2 = 21$.
$\frac{16}{25}\alpha^2 = 4 \Rightarrow \alpha^2 = \frac{25}{4}$.
$\frac{\alpha^2}{25}+\frac{\beta^2}{9}=1$ માં કિંમત મૂકતા,$\beta^2=\frac{27}{4}$.
તેથી $\alpha^2+\beta^2 = \frac{25}{4}+\frac{27}{4} = 13$.

(B) રેખાનું સમીકરણ $y = x + 1$ છે. તેને ઉપવલયના સમીકરણ $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ માં મૂકતા:
$\frac{x^2}{2} + (x+1)^2 = 1$
$\frac{x^2}{2} + x^2 + 2x + 1 = 1$
$\frac{3x^2}{2} + 2x = 0$
$x(\frac{3x}{2} + 2) = 0$
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = -\frac{4}{3}$.
જો $x = 0$,તો $y = 1$,તેથી $A = (0, 1)$.
જો $x = -\frac{4}{3}$,તો $y = -\frac{4}{3} + 1 = -\frac{1}{3}$,તેથી $B = (-\frac{4}{3}, -\frac{1}{3})$.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર $O(0, 0)$ છે.
$OA$ નો ઢાળ $m_1 = \infty$ છે (ઊભી રેખા,ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે).
$OB$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{1}{4}$ છે.
ખૂણો $\angle AOB = \frac{\pi}{2} + \tan^{-1}(\frac{1}{4})$.

(A) આપેલ નિયામિકા $x = a/e = 9$ અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = 1/3$ પરથી,આપણને $a = 9 \times (1/3) = 3$ મળે છે.
નાભિ $P$ એ $(ae, 0) = (3 \times 1/3, 0) = (1, 0)$ પર છે,તેથી $\alpha = 1$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ છે,જ્યાં $b^2 = a^2(1 - e^2) = 9(1 - 1/9) = 8$.
આમ,ઉપવલય $x^2/9 + y^2/8 = 1$ છે.
ઉપવલય $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ માટે $(x_0, y_0)$ માંથી પસાર થતી જીવાના મધ્યબિંદુ $(h, k)$ નો બિંદુપથ $T = S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $xh/a^2 + yk/b^2 = h^2/a^2 + k^2/b^2$ છે.
જીવા $(1, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $xh/9 + yk/8 = h^2/9 + k^2/8$ છે.
આ સમીકરણમાં $(x, y) = (1, 0)$ મૂકતા,આપણને $h/9 = h^2/9 + k^2/8$ મળે છે.
$72$ વડે ગુણતા,$8h = 8h^2 + 9k^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $9k^2 = 8h(1 - h)$ થાય છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $9y^2 = 8x(1 - x)$ મળે છે.