Ellipse Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે નાભિ $S(ae, 0) = (4, 0)$ અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = 4/5$ છે.
તેથી, $ae = 4 \implies a(4/5) = 4 \implies a = 5$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $b^2 = 25(1 - 16/25) = 25(9/25) = 9$ મળે છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
બિંદુ $P(3, \alpha)$ ઉપવલય પર હોવાથી, આપણે સમીકરણમાં $x=3$ અને $y=\alpha$ મૂકીએ:
$\frac{3^2}{25} + \frac{\alpha^2}{9} = 1 \implies \frac{9}{25} + \frac{\alpha^2}{9} = 1 \implies \frac{\alpha^2}{9} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
$\alpha^2 = \frac{16 \times 9}{25} \implies \alpha = \pm \frac{12}{5}$.
$\alpha = 12/5$ લેતા, યામ $O(0, 0)$, $S(4, 0)$, અને $P(3, 12/5)$ મળે છે.
$\triangle POS$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_O(y_S - y_P) + x_S(y_P - y_O) + x_P(y_O - y_S)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(0 - 12/5) + 4(12/5 - 0) + 3(0 - 0)| = \frac{1}{2} |48/5| = 24/5$.

(B) y-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતા ઉપવલય માટે,$y^2$ પદનો છેદ $x^2$ પદના છેદ કરતા મોટો હોવો જોઈએ અને બંને ધન હોવા જોઈએ: $f(3a+15) > f(a^2+7a+3) > 0$.
કારણ કે $f$ એ ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે,તેથી $f(x_1) > f(x_2) \implies x_1 < x_2$.
તેથી,$3a+15 < a^2+7a+3$.
અસમતાને ગોઠવતા $a^2 + 4a - 12 > 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,$(a+6)(a-2) > 0$ મળે છે.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $a \in (-\infty, -6) \cup (2, \infty)$ હોય.
$a$ ની કિંમતોનો ગણ $R - [-6, 2]$ છે.
$R - [\alpha, \beta]$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = -6$ અને $\beta = 2$ મળે છે.
આમ,$\alpha^2 + \beta^2 = (-6)^2 + (2)^2 = 36 + 4 = 40$.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a < b$ છે.
$a < b$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2}$ થાય.
અહીં $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ આપેલ છે,તેથી $e^2 = \frac{5}{9}$.
આમ,$1 - \frac{a^2}{b^2} = \frac{5}{9} \implies \frac{a^2}{b^2} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
ધારો કે $a^2 = 4k$ અને $b^2 = 9k$,જ્યાં $k > 0$ અચળાંક છે.
ઉપવલય બિંદુ $(4, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{16}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{16}{4k} + \frac{9}{9k} = 1 \implies \frac{4}{k} + \frac{1}{k} = 1 \implies \frac{5}{k} = 1 \implies k = 5$.
તેથી,$a^2 = 4(5) = 20$ અને $b^2 = 9(5) = 45$.
આથી $a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ અને $b = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ મળે.
$a < b$ હોય તેવા ઉપવલય માટે નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2a^2}{b}$ થાય.
લંબાઈ $= \frac{2(20)}{3\sqrt{5}} = \frac{40}{3\sqrt{5}} = \frac{40\sqrt{5}}{3 \times 5} = \frac{8\sqrt{5}}{3}$.

(C) પરવલય $P : y^2 = 4x$ નું નાભિ $(1, 0)$ પર છે અને તેનો નાભિલંબ $x = 1$ રેખા છે.
$P$ અને $E$ ના છેદબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ બંનેનો નાભિલંબ હોવાથી,$x = 1$ રેખા એ ઉપવલય $E$ નો નાભિલંબ હોવો જોઈએ.
ઉપવલય માટે,નાભિલંબ $x = ae$ પર હોય છે,તેથી $ae = 1$.
છેદબિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(1, -2)$ છે. આ બિંદુઓ ઉપવલય પર હોવાથી,આપણે $x = 1$ અને $y = 2$ ને $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માં મૂકીએ:
$\frac{1}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $b^2$ ને બદલીએ:
$\frac{1}{a^2} + \frac{4}{a^2(1 - e^2)} = 1$.
$a = 1/e$ હોવાથી,$a^2 = 1/e^2$ થાય,તેથી $e^2 + \frac{4e^2}{1 - e^2} = 1$.
$e^2(1 - e^2) + 4e^2 = 1 - e^2 \implies e^2 - e^4 + 4e^2 = 1 - e^2 \implies e^4 - 6e^2 + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $e^2$ માટે ઉકેલતા: $e^2 = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$.
$e < 1$ હોવાથી,$e^2 = 3 - 2\sqrt{2}$.
તેથી $e^2 + 2\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2}) + 2\sqrt{2} = 3$.