Ellipse Questions in Gujarati

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ માટે,$a^2=9$ અને $b^2=5$. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1-\frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$. નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1$ માટે,$a^2=9$ અને $b^2=5$ ($y$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ). ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1-\frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$. નાભિઓ $(0, \pm ae) = (0, \pm 2)$ છે.
ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $(2, 0), (0, 2), (-2, 0),$ અને $(0, -2)$ છે.
આ ચતુષ્કોણ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણોની લંબાઈ $d_1 = 4$ અને $d_2 = 4$ છે.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ ચોરસ એકમ છે.

(D) આપેલ ઉપવલય $E: 4x^2 + 9y^2 - 36 = 0$ અને વર્તુળ $C: x^2 + y^2 - 9 = 0$.
બિંદુ $A(1, 2)$ માટે:
$E(1, 2) = 4(1)^2 + 9(2)^2 - 36 = 4 + 36 - 36 = 4 > 0$,તેથી $A$ એ $E$ ની બહાર છે.
$C(1, 2) = (1)^2 + (2)^2 - 9 = 1 + 4 - 9 = -4 < 0$,તેથી $A$ એ $C$ ની અંદર છે.
બિંદુ $B(2, 1)$ માટે:
$E(2, 1) = 4(2)^2 + 9(1)^2 - 36 = 16 + 9 - 36 = -11 < 0$,તેથી $B$ એ $E$ ની અંદર છે.
$C(2, 1) = (2)^2 + (1)^2 - 9 = 4 + 1 - 9 = -4 < 0$,તેથી $B$ એ $C$ ની અંદર છે.
આમ,$A$ એ $C$ ની અંદર છે પણ $E$ ની બહાર છે તે વિધાન સાચું છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+4y^2=64$ છે,જેને $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a^2=64$ $(a=8)$ અને $b^2=16$ $(b=4)$.
પ્રથમ ચરણમાં લંબચોરસનો એક શિરોબિંદુ $(x, y) = (a \cos \theta, b \sin \theta) = (8 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ ધારો.
લંબચોરસની બાજુઓ $2x$ અને $2y$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A = (2x)(2y) = 4xy = 4(8 \cos \theta)(4 \sin \theta) = 128 \sin \theta \cos \theta = 64 \sin(2\theta)$.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ ત્યારે થાય જ્યારે $\sin(2\theta) = 1$,એટલે કે $2\theta = 90^\circ$ અથવા $\theta = 45^\circ$.
$\theta = 45^\circ$ મૂકતા,આપણને $x = 8 \cos 45^\circ = 4\sqrt{2}$ અને $y = 4 \sin 45^\circ = 2\sqrt{2}$ મળે.
લંબચોરસની બાજુઓ $2x = 8\sqrt{2}$ અને $2y = 4\sqrt{2}$ છે.

(B) નાભિઓ $(-2,0)$ અને $(8,0)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 8 - (-2) = 10$ છે.
$\Rightarrow ae = 5$.
આપેલ છે કે $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $a \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 5 \Rightarrow a = 5\sqrt{2}$.
હવે,$b^2 = a^2(1 - e^2) = (5\sqrt{2})^2 \left(1 - \frac{1}{2}\right) = 50 \left(\frac{1}{2}\right) = 25$.
તેથી,$b = 5$.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર એ બે નાભિઓને જોડતી રેખાનું મધ્યબિંદુ છે: $\left(\frac{-2+8}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (3,0)$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-3)^2}{a^2} + \frac{(y-0)^2}{b^2} = 1$ છે,જે $\frac{(x-3)^2}{50} + \frac{y^2}{25} = 1$ થાય.
પ્રચલિત યામ $(x, y) = (h + a \cos \theta, k + b \sin \theta)$ છે,જ્યાં $(h, k)$ કેન્દ્ર છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(3 + 5\sqrt{2} \cos \theta, 5 \sin \theta)$ મળે છે.

(B) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ છે.
અહીં $a^2 = 1$ અને $b^2 = 4$ છે,તેથી સમીકરણ $xh + \frac{yk}{4} = h^2 + \frac{k^2}{4}$ થાય.
આ જીવા રેખા $y = x + 1$ એટલે કે $x - y = -1$ છે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$\frac{h}{1} = \frac{k/4}{-1} = \frac{h^2 + k^2/4}{-1}$.
તેથી $k = -4h$ અને $-h = h^2 + 4h^2 = 5h^2$.
$h = -1/5$ અને $k = 4/5$ મળે.
આમ,મધ્યબિંદુ $(-\frac{1}{5}, \frac{4}{5})$ છે.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે નાભિ $S(ae, 0)$ માંથી પસાર થતી જીવા માટે,$\tan \left(\frac{\theta_1}{2}\right) \tan \left(\frac{\theta_2}{2}\right) = \frac{e-1}{e+1}$ સંબંધ મળે છે.
આપેલ છે કે $\tan \left(\frac{\theta_1}{2}\right) \tan \left(\frac{\theta_2}{2}\right) = -(2\sqrt{2}+3)$.
તેથી,$\frac{e-1}{e+1} = -(2\sqrt{2}+3)$.
ઉકેલતા,$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
આમ,$S = \left(\pm \frac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$ થાય છે.

(D) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $b > a$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
તેથી $b^2 = 2a^2$ મળે.
છેદબિંદુ માટે $2x^2 + y^2 = 2a^2$ અને $y^2 = 4ax$ ઉકેલતા $\theta = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
આથી ઉપવલય પરનું બિંદુ $(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{2}})$ છે.

(B) આપેલ રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = 2 \sqrt{3}$ છે અને ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$ છે.
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 8$ મળે છે.
રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $p^2 = a^2 \cos^2 \alpha + b^2 \sin^2 \alpha$ છે.
અહીં $p = 2 \sqrt{3}$,તેથી $p^2 = (2 \sqrt{3})^2 = 12$.
કિંમતો મૂકતા: $12 = 16 \cos^2 \alpha + 8 \sin^2 \alpha$.
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,$12 = 16(1 - \sin^2 \alpha) + 8 \sin^2 \alpha$ મળે.
$12 = 16 - 16 \sin^2 \alpha + 8 \sin^2 \alpha$.
$8 \sin^2 \alpha = 4$.
$\sin^2 \alpha = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
$\alpha$ લઘુકોણ હોવાથી,$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\alpha = \frac{\pi}{4}$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $y=mx+c$ છે,જ્યાં $m=4$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે,જ્યાં $a^2=4$ અને $b^2=1$.
રેખા $y=mx+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ને સ્પર્શે જો $c^2=a^2m^2+b^2$ હોય.
$a^2=4$,$b^2=1$,અને $m=4$ કિંમતો મૂકતા:
$c^2 = 4(4)^2 + 1$
$c^2 = 4(16) + 1$
$c^2 = 64 + 1 = 65$
તેથી,$c = \pm \sqrt{65}$.

(A) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ માટે,$a^2=16$ અને $b^2=12$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ માટે $b^2=a^2(1-e^2)$,તેથી $12=16(1-e^2)$,જે $1-e^2=\frac{3}{4}$ આપે છે,તેથી $e^2=\frac{1}{4}$ અને $e=\frac{1}{2}$.
નાભિસ્થ જીવા માટે ઉત્કેન્દ્રિય ખૂણા $\alpha$ અને $\beta$ હોય,તો શરત $\tan(\frac{\alpha}{2}) \tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{e-1}{e+1}$ છે.
અહીં $\alpha = \frac{\pi}{3}$,તેથી $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{6}$.
$\tan(\frac{\pi}{6}) \tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{1/2 - 1}{1/2 + 1} = \frac{-1/2}{3/2} = -\frac{1}{3}$.
$\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{3}} \tan(\frac{\theta}{2}) = -\frac{1}{3}$,તેથી $\tan(\frac{\theta}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\frac{\theta}{2} = -\frac{\pi}{6}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = -\frac{\pi}{3}$.
તેથી,$\tan \theta = \tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+3y^2=3$ છે,જેને $\frac{x^2}{3}+y^2=1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2=3$ અને $b^2=1$ છે.
$lx+my+n=0$ એ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ નો અભિલંબ હોવાની શરત $\frac{a^2}{l^2}+\frac{b^2}{m^2}=\frac{(a^2-b^2)^2}{n^2}$ છે.
$l=1, m=1, a^2=3, b^2=1$ મૂકતા,આપણને $\frac{3}{1^2}+\frac{1}{1^2}=\frac{(3-1)^2}{n^2} \Rightarrow 4=\frac{4}{n^2} \Rightarrow n^2=1$ મળે છે.
$n>0$ હોવાથી,$n=1$. અભિલંબ $x+y+1=0$ છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+5y^2=5$ છે,અથવા $\frac{x^2}{5}+y^2=1$.
$lx+my+n=0$ એ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $n^2=a^2l^2+b^2m^2$ છે.
$l=1, n=3, a^2=5, b^2=1$ મૂકતા,આપણને $3^2=5(1)^2+1(m)^2 \Rightarrow 9=5+m^2 \Rightarrow m^2=4$ મળે છે.
$m<0$ હોવાથી,$m=-2$. સ્પર્શક $x-2y+3=0$ છે.
$x+y+1=0$ અને $x-2y+3=0$ ને ઉકેલતા: સમીકરણોની બાદબાકી કરતા $3y-2=0 \Rightarrow y=\frac{2}{3}$ મળે છે.
પછી $x=-1-y=-1-\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$.
વિકલ્પોમાં બિંદુ $(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3})$ તપાસતા: $x-5y+5=0$ માટે,આપણને $-\frac{5}{3}-5(\frac{2}{3})+5 = \frac{-5-10+15}{3} = 0$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $x-5y+5=0$ નું સમાધાન કરે છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ છે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(a, b)$ છે. ઉપવલય $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ માટે $(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{ax}{18} + \frac{by}{8} = 1$ થાય.
આપેલ સ્પર્શકનું સમીકરણ $8x + 3\sqrt{2}y = 36$ છે,જેને $\frac{8x}{36} + \frac{3\sqrt{2}y}{36} = 1$ એટલે કે $\frac{2x}{9} + \frac{\sqrt{2}y}{12} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
સ્પર્શકના બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$\frac{a}{18} = \frac{2}{9} \implies a = \frac{18 \times 2}{9} = 4$.
$\frac{b}{8} = \frac{\sqrt{2}}{12} \implies b = \frac{8\sqrt{2}}{12} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
હવે,$a + \sqrt{2}b = 4 + \sqrt{2} \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = 4 + \frac{4}{3} = \frac{12 + 4}{3} = \frac{16}{3}$.

(A) રેખા $y=mx+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2=a^2m^2+b^2$ છે.
આપેલ $4x+y+p=0$ પરથી $y=-4x-p$.
ઉપવલય $x^2+3y^2=3$ એટલે કે $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{1}=1$ માટે,$a^2=3, b^2=1, m=-4, c=-p$.
આ કિંમતો મૂકતા: $(-p)^2 = 3(-4)^2 + 1 \Rightarrow p^2 = 49$.
$p>0$ હોવાથી,$p=7$.
રેખા $y=mx+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ નો અભિલંબ હોય તેની શરત $c^2=\frac{m^2(a^2-b^2)^2}{a^2+b^2m^2}$ છે.
આપેલ $16x+qy+14=0$ પરથી $y=-\frac{16}{q}x-\frac{14}{q}$.
ઉપવલય $x^2+8y^2=33$ એટલે કે $\frac{x^2}{33}+\frac{y^2}{33/8}=1$ માટે,$a^2=33, b^2=\frac{33}{8}, m=-\frac{16}{q}, c=-\frac{14}{q}$.
ગણતરી કરતા $q^2=1$ મળે છે.
$q>0$ હોવાથી,$q=1$.
તેથી,$p+q = 7+1 = 8$.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 4y^2 - 18x - 8y - 23 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$9(x^2 - 2x) + 4(y^2 - 2y) = 23$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$9(x - 1)^2 + 4(y - 1)^2 = 36$.
$36$ વડે ભાગતા,$\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{9} = 1$.
અહીં,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 9$,તેથી $a < b$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
નાભિલંબના સમીકરણો $y - k = \pm be$ છે,જ્યાં $(h, k) = (1, 1)$.
$y - 1 = \pm 3 \times \frac{\sqrt{5}}{3} = \pm \sqrt{5}$.
તેથી,$y = 1 \pm \sqrt{5}$.

(B) લંબવૃત્તનું સમીકરણ $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{25} = 1$ છે.
$(-8, 3)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x x_1}{a^2} + \frac{y y_1}{b^2} = 1$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x(-8)}{100} + \frac{y(3)}{25} = 1$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ: $-\frac{2x}{25} + \frac{3y}{25} = 1$,જે $-2x + 3y = 25$ આપે છે.
કણ $Y$-અક્ષને જ્યાં છેદે તે બિંદુ શોધવા માટે,$x = 0$ લેતા.
સ્પર્શકના સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા: $3y = 25$,જે $y = \frac{25}{3}$ આપે છે.
આમ,બિંદુ $\left(0, \frac{25}{3}\right)$ છે.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a})$ છે.
આપેલ $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ માટે,$a^2=9, b^2=5$.
$e^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \Rightarrow e = \frac{2}{3}$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm 2, \pm \frac{5}{3})$ છે.
બિંદુ $P(2, \frac{5}{3})$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{2x}{9} + \frac{y}{3} = 1$ છે.
આ રેખા અક્ષોને $A(\frac{9}{2}, 0)$ અને $C(0, 3)$ માં છેદે છે.
પ્રથમ ચરણમાં બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = \frac{27}{4}$ છે.
નાભિલંબના ચાર અંત્યબિંદુઓ પરના સ્પર્શકો દ્વારા આવા ચાર સમાન ત્રિકોણ બને છે,તેથી કુલ ક્ષેત્રફળ $4 \times \frac{27}{4} = 27$ ચોરસ એકમ થાય.

(D) ઉપવલયની બે નાભિઓમાંથી કોઈપણ સ્પર્શક પર દોરેલા લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર એ અર્ધ-ગૌણ અક્ષના વર્ગ જેટલો હોય છે.
આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ માટે,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 25$ છે. અહીં $b^2 > a^2$ હોવાથી,અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b = \sqrt{9} = 3$ છે.
તેથી,લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $b^2 = 3^2 = 9$ થાય.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+2y^2=2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2=2$ અને $b^2=1$ છે,તેથી $a=\sqrt{2}$ અને $b=1$ થાય.
બિંદુ $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળ ઉપવલયના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} + y \sin \theta = 1$ મળે છે.
$x$-અંત:ખંડ $(A)$ માટે,$y=0$ લેતા: $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} = 1 \Rightarrow x = \sqrt{2} \sec \theta$. તેથી,$A = (\sqrt{2} \sec \theta, 0)$.
$y$-અંત:ખંડ $(B)$ માટે,$x=0$ લેતા: $y \sin \theta = 1 \Rightarrow y = \operatorname{cosec} \theta$. તેથી,$B = (0, \operatorname{cosec} \theta)$.
ધારો કે $M(h, k)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તો:
$h = \frac{\sqrt{2} \sec \theta + 0}{2} = \frac{\sec \theta}{\sqrt{2}} \Rightarrow \sec \theta = \sqrt{2}h$
$k = \frac{0 + \operatorname{cosec} \theta}{2} = \frac{\operatorname{cosec} \theta}{2} \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta = 2k$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sec^2 \theta} + \frac{1}{\operatorname{cosec}^2 \theta} = 1$.
$\sec \theta$ અને $\operatorname{cosec} \theta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{(\sqrt{2}h)^2} + \frac{1}{(2k)^2} = 1$
$\frac{1}{2h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $(x-1)^2+y^2=r^2 \dots (i)$ છે.
અહીં,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1,0)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ ઉપવલય $x^2+4y^2=16$ છે,જેને $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ તરીકે લખી શકાય.
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ સાથે સરખાવતા,$a=4$ અને $b=2$ મળે છે.
વર્તુળ ઉપવલયને અંદરની તરફ સ્પર્શતું હોવાથી,સ્પર્શબિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ વર્તુળના કેન્દ્ર $(1,0)$ માંથી પસાર થશે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $P(4\cos\theta, 2\sin\theta)$ છે.
ઉપવલયના અભિલંબનું સમીકરણ $ax\sec\theta - by\operatorname{cosec}\theta = a^2-b^2$ છે.
$a=4, b=2$ અને $a^2-b^2 = 12$ મૂકતા,$4x\sec\theta - 2y\operatorname{cosec\theta} = 12$ મળે.
આ અભિલંબ $(1,0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$4(1)\sec\theta - 2(0)\operatorname{cosec\theta} = 12$,એટલે કે $4\sec\theta = 12$,તેથી $\sec\theta = 3$.
આમ,$\cos\theta = \frac{1}{3}$ અને $\sin\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
બિંદુ $P$ એ $\left(\frac{4}{3}, \frac{4\sqrt{2}}{3}\right)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1,0)$ અને બિંદુ $P\left(\frac{4}{3}, \frac{4\sqrt{2}}{3}\right)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$r^2 = \left(\frac{4}{3}-1\right)^2 + \left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-0\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{32}{9} = \frac{33}{9} = \frac{11}{3}$.
તેથી,$r = \sqrt{\frac{11}{3}}$.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ છે.
ધારો કે $P(5 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ એ ઉપવલય પરનું બિંદુ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{5} + \frac{y \sin \theta}{4} = 1$ છે.
આ સ્પર્શક $X$-અક્ષને $A(5 \sec \theta, 0)$ બિંદુમાં છેદે છે.
રેખા $y=x$ ની સાપેક્ષે $A(5 \sec \theta, 0)$ નું પ્રતિબિંબ $A^{\prime} = (0, 5 \sec \theta)$ છે.
$AA^{\prime}$ ને વ્યાસ તરીકે લેતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 5 \sec \theta)(x - 0) + (y - 0)(y - 5 \sec \theta) = 0$ થાય.
જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 5 \sec \theta (x + y) = 0$ મળે છે.
આ વર્તુળ હંમેશા $(0, 0)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના કોઈપણ સ્પર્શક પર નાભિઓમાંથી દોરેલા લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $b^2$ થાય છે.
આપેલ છે કે ગુણાકાર $9$ છે,તેથી $b^2 = 9$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = \frac{-3}{4}x + 3\sqrt{2}$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $m = \frac{-3}{4}$,આપણને $3\sqrt{2} = \sqrt{a^2(\frac{-3}{4})^2 + b^2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$18 = a^2(\frac{9}{16}) + 9$.
બંને બાજુથી $9$ બાદ કરતા,$9 = \frac{9a^2}{16}$,જે આપણને $a^2 = 16$ આપે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $2x^2+y^2=2$,જેને $x^2+\frac{y^2}{2}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2=1$ અને $b^2=2$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $x+2y+k=0$ છે,જેનો અર્થ છે $y=-\frac{1}{2}x-\frac{k}{2}$.
આને $y=mx+c$ સાથે સરખાવતા,$m=-\frac{1}{2}$ અને $c=-\frac{k}{2}$ મળે છે.
રેખા $y=mx+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2=a^2m^2+b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(-\frac{k}{2})^2 = (1)(-\frac{1}{2})^2 + 2$.
$\frac{k^2}{4} = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}$.
$k^2=9$,તેથી $k=\pm 3$. $k>0$ હોવાથી,$k=3$.
સ્પર્શબિંદુ $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{3}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right)$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1}-\frac{b^2y}{y_1}=a^2-b^2$ છે.
$a^2=1, b^2=2, x_1=\frac{1}{\sqrt{2}}, y_1=1$ મૂકતા:
$\frac{1 \cdot x}{1/\sqrt{2}} - \frac{2 \cdot y}{1} = 1-2$.
$\sqrt{2}x - 2y = -1$,જેનું સાદું રૂપ $\sqrt{2}x-2y+1=0$ થાય છે.

(D) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ છે. અહીં $a^2=16$ અને $b^2=12$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1-\frac{12}{16}} = \frac{1}{2}$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a}) = (\pm 2, \pm 3)$ છે.
$(2, 3)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{2x}{16}+\frac{3y}{12}=1$ એટલે કે $\frac{x}{8}+\frac{y}{4}=1$ છે.
આ રેખા $x$-અક્ષને $(8, 0)$ અને $y$-અક્ષને $(0, 4)$ માં છેદે છે.
સંમિતિને કારણે,ચાર સ્પર્શકો દ્વારા બનતો ચતુષ્કોણ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $(\pm 8, 0)$ અને $(0, \pm 4)$ છે.
આ સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $4 \times (\frac{1}{2} \times 8 \times 4) = 64$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+2y^2=2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ તરીકે લખી શકાય.
ઉપવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(\sqrt{2}\cos\theta, \sin\theta)$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x\cos\theta}{\sqrt{2}} + y\sin\theta = 1$ છે.
સ્પર્શક દ્વારા યામ અક્ષો પર બનતા અંતઃખંડો $A\left(\frac{\sqrt{2}}{\cos\theta}, 0\right)$ અને $B\left(0, \frac{1}{\sin\theta}\right)$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $h = \frac{\sqrt{2}}{2\cos\theta}$ અને $k = \frac{1}{2\sin\theta}$.
આથી $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}h}$ અને $\sin\theta = \frac{1}{2k}$.
નિત્યસમ $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\left(\frac{1}{\sqrt{2}h}\right)^2 + \left(\frac{1}{2k}\right)^2 = 1$ મળે.
આમ,બિંદુપથ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ છે.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{1}=1$ પર બિંદુ $(3 \sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x(3 \sqrt{3} \cos \theta)}{27} + \frac{y \sin \theta}{1} = 1$ છે,જે $\frac{x \cos \theta}{3 \sqrt{3}} + y \sin \theta = 1$ તરીકે સરળ બને છે.
$x$-અંતઃખંડ $a = 3 \sqrt{3} \sec \theta$ અને $y$-અંતઃખંડ $b = \operatorname{cosec} \theta$ છે.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $L(\theta) = 3 \sqrt{3} \sec \theta + \operatorname{cosec} \theta$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dL}{d\theta} = 3 \sqrt{3} \sec \theta \tan \theta - \operatorname{cosec} \theta \cot \theta$.
$\frac{dL}{d\theta} = 0$ લેતા,આપણને $3 \sqrt{3} \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan^3 \theta = \frac{1}{3 \sqrt{3}} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3$.
આમ,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,જે $\theta = \frac{\pi}{6}$ આપે છે.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે,તેથી $a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ છે.
$P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે. તે મુખ્ય અક્ષ $(y=0)$ ને $Q(\frac{a}{\cos \theta}, 0)$ માં મળે છે.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{ax}{\cos \theta} - \frac{by}{\sin \theta} = a^2 - b^2$ છે. તે મુખ્ય અક્ષને $R(\frac{(a^2 - b^2) \cos \theta}{a}, 0)$ માં મળે છે.
અંતર $QR = \left| \frac{a}{\cos \theta} - \frac{(a^2 - b^2) \cos \theta}{a} \right| = \left| \frac{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}{a \cos \theta} \right|$ થાય.
આમ,કારણ $(R)$ સાચું છે.
$a=4, b=3, \theta = \frac{\pi}{3}$ માટે,$QR = \frac{57}{8}$ મળે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ પણ સાચું છે અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{4}=1$ છે.
ઉપવલય પરનું પ્રાચલ બિંદુ $P(8 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ લો.
બિંદુ $P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{8}+\frac{y \sin \theta}{2}=1$ છે.
આને $\frac{x}{8/\cos \theta} + \frac{y}{2/\sin \theta} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
યામ અક્ષો વચ્ચે બનતા અંતઃખંડની લંબાઈ $l = \sqrt{(\frac{8}{\cos \theta})^2 + (\frac{2}{\sin \theta})^2} = \sqrt{64 \sec^2 \theta + 4 \operatorname{cosec}^2 \theta}$ છે.
$\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ અને $\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$l = \sqrt{68 + 64 \tan^2 \theta + 4 \cot^2 \theta}$ મળે.
$AM-GM$ અસમતા મુજબ,$64 \tan^2 \theta + 4 \cot^2 \theta \geq 2 \sqrt{64 \tan^2 \theta \cdot 4 \cot^2 \theta} = 32$.
તેથી,$l$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\sqrt{68 + 32} = 10$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ છે,જ્યાં $a^2=25$ અને $b^2=16$,તેથી $a=5$ અને $b=4$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a}) = (\pm 3, \pm \frac{16}{5})$ છે.
$(x_1, y_1)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે.
બિંદુ $(3, \frac{16}{5})$ માટે,સ્પર્શક $\frac{3x}{25} + \frac{y}{5} = 1$ મળે છે.
આ રેખા $x$-અક્ષને $P(\frac{25}{3}, 0)$ અને $y$-અક્ષને $Q(0, 5)$ માં છેદે છે.
પ્રથમ ચરણમાં ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \frac{25}{3} \times 5 = \frac{125}{6}$ છે.
સંમિતિ દ્વારા,ચારેય સ્પર્શકો દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણનું કુલ ક્ષેત્રફળ $4 \times \frac{125}{6} = \frac{250}{3}$ ચોરસ એકમ થાય.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $9x^2 + 16y^2 = 144$ છે. $144$ વડે ભાગતા,$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ મળે. આ એક ઉપવલય છે જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$,તેથી $a = 4$ અને $b = 3$. ઉપવલયનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે. ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે. કિંમતો મૂકતા,$\frac{16x}{x_1} - \frac{9y}{y_1} = 7$ મળે. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખાનું અંતર $d = \frac{7}{\sqrt{\frac{256}{x_1^2} + \frac{81}{y_1^2}}}$ છે. $x_1 = 4\cos\theta$ અને $y_1 = 3\sin\theta$ લેતા,$d = \frac{7}{\sqrt{16\sec^2\theta + 9\csc^2\theta}}$ મળે. છેદનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધતા,મહત્તમ અંતર $1$ મળે છે.

(C) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ માટે,$a=5$ અને $b=4$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ $(ae, \frac{b^2}{a}) = (3, 3.2)$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{25x}{3} - \frac{16y}{3.2} = 9 \implies 25x - 15y = 27$.
અહીં $l=25, m=-15$ હોવાથી $l+m=10$ મળે.
$e=0.6$ હોવાથી,$\frac{6}{e} = \frac{6}{0.6} = 10$.
આમ,$l+m = \frac{6}{e}$.

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx \pm \frac{m(a^2 - b^2)}{\sqrt{a^2 + b^2m^2}}$ છે.
આપેલ અભિલંબનું સમીકરણ $6x - 5y - 20 = 0$ ને $y = \frac{6}{5}x - 4$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$m = \frac{6}{5}$ અને અચળ પદ $-4$ છે.
ઉપવલય $x^2 + 3y^2 = k$ માટે,$\frac{x^2}{k} + \frac{y^2}{k/3} = 1$,તેથી $a^2 = k$ અને $b^2 = \frac{k}{3}$ મળે.
અભિલંબના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{m(a^2 - b^2)}{\sqrt{a^2 + b^2m^2}} = 4$.
$\frac{\frac{6}{5}(k - \frac{k}{3})}{\sqrt{k + \frac{k}{3} \cdot (\frac{6}{5})^2}} = 4$.
$\frac{\frac{4k}{5}}{\sqrt{k(1 + \frac{12}{25})}} = 4 \Rightarrow \frac{4\sqrt{k}}{\sqrt{37}} = 4$.
તેથી,$\sqrt{k} = \sqrt{37} \Rightarrow k = 37$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
$(x_1, y_1) = (2, -1)$,$a^2 = 8$ અને $b^2 = 2$ મૂકતા:
$\frac{8x}{2} - \frac{2y}{-1} = 8 - 2
$ $\Rightarrow 4x + 2y = 6
$ $\Rightarrow y = 3 - 2x$.
$y = 3 - 2x$ ને ઉપવલયના સમીકરણ $x^2 + 4y^2 = 8$ માં મૂકતા:
$x^2 + 4(3 - 2x)^2 = 8
\Rightarrow 17x^2 - 48x + 28 = 0$.
બિંદુ $(2, -1)$ એ ઉપવલય પર હોવાથી,$x = 2$ એ આ દ્વિઘાત સમીકરણનું એક બીજ છે.
ધારો કે બીજું બીજ $a$ છે. બીજનો ગુણાકાર $x_1 x_2 = \frac{c}{A}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \times a = \frac{28}{17}
$ $\Rightarrow a = \frac{14}{17}
$ $\Rightarrow 17a = 14$.

(D) રેખાનું સમીકરણ $4x + 2y + n = 0$ છે,જેને $y = -2x - \frac{n}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
$y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,$m = -2$ અને $c = -\frac{n}{2}$ મળે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1$ છે,તેથી $a^2 = 36$ અને $b^2 = 16$.
રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો અભિલંબ હોવાની શરત $c^2 = \frac{(a^2 - b^2)^2 m^2}{a^2 + b^2 m^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(-\frac{n}{2})^2 = \frac{(36 - 16)^2 (-2)^2}{36 + 16(-2)^2}$.
$\frac{n^2}{4} = \frac{(20)^2 \times 4}{36 + 64} = \frac{1600}{100} = 16$.
$n^2 = 64$,તેથી $n = \pm 8$.

(C) આપેલ સમીકરણો $x = 1 + 2 \cos \theta$ અને $y = 2 + \sin \theta$ છે.
આ એક ઉપવલય દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ છે અને $a = 2, b = 1$ છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-2)^2}{1} = 1$ છે.
$\theta = \pi/4$ આગળ બિંદુ $P$ ના યામ $(1 + \sqrt{2}, 2 + 1/\sqrt{2})$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $2\sqrt{2}(x-1) - \sqrt{2}(y-2) = 3$ મળે છે.
મુખ્ય અક્ષ $y = 2$ હોવાથી,છેદબિંદુ માટે $y = 2$ મૂકતા,$x = 1 + \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{4+3\sqrt{2}}{4}$ મળે છે.

(D) આપેલ સ્પર્શક $x+\sqrt{3} y=3$ ... $(i)$ અને ઉપવલય $2 x^2+3 y^2=k$.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $2 x x_1+3 y y_1=k$ ... (ii) છે.
$(i)$ અને (ii) ની સરખામણી કરતા,$\frac{2 x_1}{1} = \frac{3 y_1}{\sqrt{3}} = \frac{k}{3}$.
તેથી,$x_1 = \frac{k}{6}$ અને $y_1 = \frac{k}{3 \sqrt{3}}$.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ ઉપવલય પર હોવાથી,$2(\frac{k}{6})^2 + 3(\frac{k}{3 \sqrt{3}})^2 = k$.
$\frac{k^2}{18} + \frac{k^2}{9} = k$ $\Rightarrow \frac{k^2}{6} = k$ $\Rightarrow k = 6$.
તેથી,$x_1 = 1$ અને $y_1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = \sqrt{3}$ થાય.
$P(1, \frac{2}{\sqrt{3}})$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - \frac{2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}(x - 1)$ છે.
$\sqrt{3} y - 2 = 3x - 3 \Rightarrow 3x - \sqrt{3} y = 1$.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $9x^2+4y^2-18x+16y-11=0$.
બિંદુ $P(1, k)$ ઉપવલય પર હોવાથી,$x=1$ મૂકતા:
$9(1)^2+4k^2-18(1)+16k-11=0$
$4k^2+16k-20=0$
$k^2+4k-5=0$
$(k+5)(k-1)=0$.
$k>0$ હોવાથી,$k=1$ મળે. તેથી,$P(1, 1)$ છે.
ઉપવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ:
$9(x-1)^2+4(y+2)^2 = 36$
$\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1$.
અહીં $a^2=4$ અને $b^2=9$,તેથી $b>a$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1-\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
નિયામિકાઓ: $y+2 = \pm \frac{9}{\sqrt{5}}$.
$P(1, 1)$ થી નિયામિકાઓનું અંતર:
$d_1 = |1 - (-2 + \frac{9}{\sqrt{5}})| = |3 - \frac{9}{\sqrt{5}}| = \frac{9}{\sqrt{5}} - 3$.
$d_2 = |3 + \frac{9}{\sqrt{5}}|$.
લઘુત્તમ અંતર $\frac{9}{\sqrt{5}} - 3$ છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{7} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 7$ છે.
આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1) = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}, \sqrt{\frac{7}{2}}\right)$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{9x}{3/\sqrt{2}} - \frac{7y}{\sqrt{7/2}} = 2$.
જેનું સાદું રૂપ $3\sqrt{2}x - \sqrt{14}y = 2$ થાય છે.
મુખ્ય અક્ષ ($x$-અક્ષ) પર છેદબિંદુ શોધવા માટે $y = 0$ લેતા:
$3\sqrt{2}x = 2 \implies x = \sqrt{\frac{2}{9}}$.
તેથી,છેદબિંદુ $\left(\sqrt{\frac{2}{9}}, 0\right)$ છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
નાભિલંબનું એક અંત્યબિંદુ $(ae, \frac{b^2}{a})$ છે.
$(x_1, y_1)$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
$(ae, \frac{b^2}{a})$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ: $\frac{ax}{e} - ay = a^2 - b^2$ મળે.
આ અભિલંબ $(0, -b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $ab = a^2 - b^2$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ હોવાથી,$a^2 - b^2 = a^2 e^2$.
તેથી $ab = a^2 e^2 \Rightarrow b = ae^2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$b^2 = a^2 e^4$.
$a^2(1 - e^2) = a^2 e^4$ $\Rightarrow 1 - e^2 = e^4$ $\Rightarrow e^4 + e^2 = 1$.

(C) આપેલ વક્ર $2x^2+y^2=2x$ છે.
તેને પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$2(x-\frac{1}{2})^2+y^2=\frac{1}{2}$ મળે છે.
આ એક ઉપવલય (ellipse) છે.
બિંદુ $P(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos\theta, \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta)$ અને $Q(a, 0)$ વચ્ચેનું અંતર શોધતા,મહત્તમ અંતર $\sqrt{1-2a+2a^2}$ મળે છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નું નિયામક વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25$ છે.
આમ,આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 25$ એ ઉપવલયનું નિયામક વર્તુળ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલયના લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ તેનું નિયામક વર્તુળ છે.
તેથી,નિયામક વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુથી ઉપવલય પર દોરેલા સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$ છે.
આપેલ રેખા $2x - 3y + 4 = 0$ પરથી $y = \frac{2x + 4}{3}$ મળે.
આ કિંમત ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $25x^2 + 9(\frac{2x + 4}{3})^2 = 225$.
$25x^2 + (2x + 4)^2 = 225 \Rightarrow 29x^2 + 16x - 209 = 0$.
$x$-યામનું મધ્યબિંદુ $\alpha = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-16/29}{2} = -\frac{8}{29}$.
તે જ રીતે,$y$-યામ માટે $x = \frac{3y - 4}{2}$ મૂકતા: $261y^2 - 600y - 500 = 0$.
$y$-યામનું મધ્યબિંદુ $\beta = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{600/261}{2} = \frac{100}{87}$.
હવે,$3\beta - 2\alpha = 3(\frac{100}{87}) - 2(-\frac{8}{29}) = \frac{100}{29} + \frac{16}{29} = \frac{116}{29} = 4$.