Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि व्यास $AC$ का ढाल $m = \frac{3}{4}$ है।
चूंकि $\tan \theta = \frac{3}{4}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{4}{5}$ और $\sin \theta = \frac{3}{5}$ है।
वृत्त का केंद्र $(h, k) = (3, 2)$ है और त्रिज्या $r = 25$ है।
व्यास के अंतिम बिंदुओं के निर्देशांक $(h \pm r \cos \theta, k \pm r \sin \theta)$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
$C = (x_2, y_2)$ के लिए,धनात्मक चिह्न का उपयोग करने पर:
$x_2 = 3 + 25 \times \frac{4}{5} = 3 + 20 = 23$
$y_2 = 2 + 25 \times \frac{3}{5} = 2 + 15 = 17$
$A = (x_1, y_1)$ के लिए,ऋणात्मक चिह्न का उपयोग करने पर:
$x_1 = 3 - 25 \times \frac{4}{5} = 3 - 20 = -17$
$y_1 = 2 - 25 \times \frac{3}{5} = 2 - 15 = -13$
अतः,$\frac{x_1 x_2}{y_1 y_2} = \frac{(-17) \times 23}{(-13) \times 17} = \frac{-17 \times 23}{-13 \times 17} = \frac{23}{13}$.

(B) माना वृत्त का केंद्र $O = (x, y)$ है। चूँकि वृत्त $A(-1, 1)$,$B(2, -1)$ और $C(1, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $OA^2 = OB^2 = OC^2 = r^2$ होगा।
$OA^2 = OB^2$ से:
$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x - 2)^2 + (y + 1)^2$
$6x - 4y = 3$ ... $(i)$
$OA^2 = OC^2$ से:
$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x - 1)^2 + y^2$
$4x - 2y = -1$ ... $(ii)$
समीकरणों को हल करने पर,$x = -\frac{5}{2}$ और $y = -\frac{9}{2}$ प्राप्त होता है।
केंद्र $O = (-\frac{5}{2}, -\frac{9}{2})$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{(-\frac{5}{2} - 1)^2 + (-\frac{9}{2})^2} = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{81}{4}} = \frac{\sqrt{130}}{2}$।

(A) रेखा परिधि को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करती है,जो $\frac{1}{1+2} \times 360^{\circ} = 120^{\circ}$ के चाप कोण के अनुरूप है।
माना $O(5, 3)$ केंद्र है और $d$ केंद्र से रेखा $4x + 3y - 4 = 0$ की लंबवत दूरी है।
$d = \frac{|4(5) + 3(3) - 4|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|20 + 9 - 4|}{5} = \frac{25}{5} = 5$.
केंद्र,जीवा के मध्य बिंदु और परिधि पर एक बिंदु द्वारा निर्मित त्रिभुज में,केंद्र पर कोण चाप कोण का आधा यानी $60^{\circ}$ होता है।
त्रिकोणमिति का उपयोग करते हुए,$\cos(60^{\circ}) = \frac{d}{R}$,जहाँ $R$ त्रिज्या है।
$\frac{1}{2} = \frac{5}{R} \Rightarrow R = 10$.
केंद्र $(5, 3)$ और त्रिज्या $10$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 10^2$ है।

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$C_1: x^2+y^2+4x-6y-3=0$
$C_2: x^2+y^2+4x-2y+1=0$
सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर:
$C_1$ के लिए: $g=2, f=-3, c=-3$. केंद्र $O_1 = (-2, 3)$,त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+9+3} = \sqrt{16} = 4$.
$C_2$ के लिए: $g=2, f=-1, c=1$. केंद्र $O_2 = (-2, 1)$,त्रिज्या $r_2 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+1-1} = \sqrt{4} = 2$.
केंद्रों के बीच की दूरी $O_1O_2 = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$.
यहाँ $|r_1 - r_2| = |4 - 2| = 2$ है।
चूँकि केंद्रों के बीच की दूरी $O_1O_2 = |r_1 - r_2|$ है,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,तो केवल $1$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा होती है।

(D) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-2x-6y+6=0$ है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=-1, f=-3, c=6$ प्राप्त होता है।
इस वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (1, 3)$ है और इसकी त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{1+9-6} = \sqrt{4} = 2$ है।
इस वृत्त का एक व्यास $O(2, 1)$ केंद्र वाले बड़े वृत्त की जीवा है।
इस जीवा की लंबाई छोटे वृत्त के व्यास के बराबर है,जो $2r = 2(2) = 4$ है।
माना $A(1, 3)$ छोटे वृत्त का केंद्र है और $B$ छोटे वृत्त की परिधि पर एक बिंदु है ताकि $AB$ त्रिज्या $r=2$ हो।
केंद्रों $(2, 1)$ और $(1, 3)$ के बीच की दूरी $OA = \sqrt{(2-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ है।
बड़े वृत्त के केंद्र $O$,छोटे वृत्त के केंद्र $A$ और जीवा पर स्थित बिंदु $B$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,हमारे पास $R^2 = OA^2 + r^2$ है,जहाँ $R$ बड़े वृत्त की त्रिज्या है।
$R^2 = (\sqrt{5})^2 + 2^2 = 5 + 4 = 9$.
अतः,$R = \sqrt{9} = 3$.

(D) वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ की शक्ति $x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया वृत्त समीकरण $x^2 + y^2 + 4x - 6y - a = 0$ और बिंदु $(1, 6)$ है,शक्ति $-16$ है।
बिंदु $(1, 6)$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1)^2 + (6)^2 + 4(1) - 6(6) - a = -16$
$1 + 36 + 4 - 36 - a = -16$
$5 - a = -16$
$a = 5 + 16$
$a = 21$

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $4x^2+4y^2-12x-12y+9=0$ है।
$4$ से भाग देने पर,हमें $x^2+y^2-3x-3y+\frac{9}{4}=0$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(x^2-3x)+(y^2-3y)=-\frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}+(y-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}=-\frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$ हो जाता है,जो कि $(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2=(\frac{3}{2})^2$ है।
इसे मानक रूप $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ से तुलना करने पर,केंद्र $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ और त्रिज्या $r=\frac{3}{2}$ है।
चूंकि केंद्र की दोनों अक्षों से दूरी त्रिज्या के बराबर है (अर्थात $|h|=|k|=r=\frac{3}{2}$),इसलिए वृत्त दोनों अक्षों को स्पर्श करता है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+4y-23=0$ है। केंद्र $(3, -2)$ और त्रिज्या $r = 6$ है।
बिंदु $P(-1, -5)$ वृत्त के अंदर स्थित है क्योंकि $CP = 5 < 6$ है।
न्यूनतम दूरी वाला बिंदु $A$,रेखा $CP$ पर स्थित है।
$A = C + \frac{r}{CP} \vec{CP} = (3, -2) + \frac{6}{5}(-4, -3) = (-\frac{9}{5}, -\frac{28}{5})$.

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-4x+4y+4=0$ है।
केंद्र $O(2, -2)$ और त्रिज्या $r=2$ है।
बिंदु $P(3, 3)$ और केंद्र $O(2, -2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y+2 = \frac{3+2}{3-2}(x-2)$ अर्थात $y=5x-12$ है।
प्रतिलोम बिंदु $Q(a, b)$ इस रेखा पर स्थित है,इसलिए $b=5a-12$ होगा।
सूत्र $OQ \cdot OP = r^2$ का उपयोग करने पर,$OP = \sqrt{26}$ प्राप्त होता है।
अतः $OQ \cdot \sqrt{26} = 4 \Rightarrow OQ = \frac{4}{\sqrt{26}}$।
चूंकि $Q(a, b)$,$OP$ पर स्थित है और $OQ = \frac{4}{\sqrt{26}}$ है,गणना करने पर $a=\frac{28}{13}$ और $b=-\frac{16}{13}$ प्राप्त होता है।
अतः $a+5b = \frac{28}{13} + 5(-\frac{16}{13}) = \frac{28-80}{13} = -4$।

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+C=0$ है।
चूँकि वृत्त $(-1,-1)$ से गुजरता है,$2-2g-2f+C=0$,अर्थात $2g+2f-C=2$ $... (i)$.
बिंदु $(2,0)$ की शक्ति $-4$ है,इसलिए $4+4g+C=-4$,अर्थात $C=-8-4g$ $... (ii)$.
$(1,1)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $2$ है,इसलिए $2+2g+2f+C=4$,अर्थात $2g+2f+C=2$ $... (iii)$.
समीकरण $(ii)$ को $(iii)$ में रखने पर: $2g+2f-8-4g=2$,अर्थात $f-g=5$ $... (iv)$.
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर: $2g+2f+8+4g=2$,अर्थात $3g+f=-3$ $... (v)$.
$(iv)$ और $(v)$ को हल करने पर,$g=-2$ और $f=3$ प्राप्त होता है। समीकरण $(ii)$ से $C=0$.
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-C} = \sqrt{4+9-0} = \sqrt{13}$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x+8y+6=0$ है। केंद्र $(2, -4)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{14}$ है।
चूँकि $(2, \alpha)$ जीवा का मध्य-बिंदु है,यह वृत्त के अंदर स्थित होना चाहिए। अतः,$\alpha^2+8\alpha+2 < 0$ प्राप्त होता है।
$\alpha$ के मान $(-4-\sqrt{14}, -4+\sqrt{14})$ अंतराल में हैं।
जीवा $(2, \alpha)$ से गुजरती है और त्रिज्या के लंबवत है,इसलिए जीवा $y=\alpha$ रेखा है।
अतः,$y$-अंतःखंड $(-4-\sqrt{14}, -4+\sqrt{14})$ अंतराल में स्थित है।

(B) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 11 = 0$ है। $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -1$,$f = 2$,और $c = -11$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (1, -2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 - (-11)} = \sqrt{16} = 4$ है।
जीवा की लंबाई $L = 2\sqrt{3}$ है। माना $d$ केंद्र $(1, -2)$ से जीवा $2x + 3y + k = 0$ की लंबवत दूरी है।
सूत्र $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ का उपयोग करने पर,$d = \frac{|2(1) + 3(-2) + k|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|k - 4|}{\sqrt{13}}$ प्राप्त होता है।
वृत्त में,$r^2 = d^2 + (L/2)^2$ होता है। मान रखने पर,$16 = d^2 + 3$,जिससे $d^2 = 13$ और $d = \sqrt{13}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{|k - 4|}{\sqrt{13}} = \sqrt{13}$,जिसका अर्थ है $|k - 4| = 13$।
इससे $k = 17$ या $k = -9$ प्राप्त होता है।
$k$ के सभी संभावित मानों का योग $17 + (-9) = 8$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ है। वृत्त का केंद्र $C(2, -1)$ है।
माना $M(a, b)$ जीवा $AB$ का मध्य-बिंदु है। रेखा $CM$ जीवा $AB$ पर लंब है।
रेखा $x+y+1=0$ की प्रवणता $m_1 = -1$ है।
चूंकि $CM \perp AB$,इसलिए $CM$ की प्रवणता $m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1$ होगी।
$C(2, -1)$ से गुजरने वाली और $1$ प्रवणता वाली रेखा $CM$ का समीकरण $y - (-1) = 1(x - 2)$ है,जो $y = x - 3$ या $x - y = 3$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $M(a, b)$ रेखा $x+y+1=0$ और $x-y=3$ दोनों पर स्थित है,हम समीकरणों को हल करते हैं:
$a+b = -1$
$a-b = 3$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर $2a = 2$,जिससे $a = 1$ प्राप्त होता है।
$a=1$ को $a-b=3$ में रखने पर,$1-b=3$,जिससे $b = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a-b = 1 - (-2) = 3$.

(C) कथन $I$: वृत्त $x^2+y^2-2x-4y+1=0$ के लिए,$Y$-अक्ष पर अंतःखंड $2\sqrt{f^2-c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f = -2$ और $c = 1$ है। अतः,अंतःखंड $2\sqrt{(-2)^2-1} = 2\sqrt{4-1} = 2\sqrt{3}$ है। इसलिए,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$: वृत्त $x^2+y^2-4x-2y+6=0$ के लिए,$X$-अक्ष पर अंतःखंड $2\sqrt{g^2-c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g = -2$ और $c = 6$ है। अतः,अंतःखंड $2\sqrt{(-2)^2-6} = 2\sqrt{4-6} = 2\sqrt{-2}$ है। वर्गमूल के भीतर मान ऋणात्मक होने के कारण,वृत्त $X$-अक्ष को नहीं काटता है। इसलिए,कथन $II$ असत्य है।
कथन $III$: रेखा $y=2x+1$ या $2x-y+1=0$,वृत्त $x^2+y^2=9$ को दो भिन्न बिंदुओं पर काटती है यदि केंद्र $(0,0)$ से रेखा की लंबवत दूरी $p$,त्रिज्या $r=3$ से कम हो। यहाँ,$p = \frac{|2(0)-(0)+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है। चूँकि $p = \frac{1}{\sqrt{5}} < 3$,रेखा वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर काटती है। इसलिए,कथन $III$ सत्य है।
अतः,$I$ सत्य,$II$ असत्य और $III$ सत्य है। सही विकल्प $(c)$ है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2x+4y-20=0$ है। $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=1, f=2, c=-20$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f) = (-1, -2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{1^2+2^2-(-20)} = \sqrt{25} = 5$ है।
केंद्र $(-1, -2)$ से रेखा $3x+4y-6=0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|3(-1)+4(-2)-6|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|-3-8-6|}{5} = \frac{17}{5}$ है।
जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2-d^2} = 2\sqrt{5^2 - (\frac{17}{5})^2} = 2\sqrt{25 - \frac{289}{25}} = 2\sqrt{\frac{625-289}{25}} = 2\sqrt{\frac{336}{25}} = 2 \times \frac{\sqrt{16 \times 21}}{5} = 2 \times \frac{4\sqrt{21}}{5} = \frac{8}{5}\sqrt{21}$ है।

(A) माना $r$ वृत्त की त्रिज्या है। वृत्त का केंद्र $C(2,4)$ है।
केंद्र $C(2,4)$ से रेखा $x+y+2=0$ की लंबवत दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{|2+4+2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$.
जीवा की लंबाई $6$ है,इसलिए आधी जीवा की लंबाई $AB = \frac{6}{2} = 3$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle CAB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$r^2 = d^2 + (AB)^2$
$r^2 = (4\sqrt{2})^2 + 3^2$
$r^2 = 32 + 9 = 41$
$r = \sqrt{41}$.

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-4x-2y+c=0$ है,जिसका केंद्र $A(2,1)$ है।
सबसे पहले,हम दूरी $AP$ की गणना करते हैं:
$AP = \sqrt{(10-2)^2 + (7-1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$.
चूंकि $Q$,रेखाखंड $PA$ पर स्थित है और $PQ=5$ है,इसलिए दूरी $AQ = AP - PQ = 10 - 5 = 5$.
अतः,$Q$,$AP$ का मध्य-बिंदु है क्योंकि $AQ = PQ = 5$.
$Q$ के निर्देशांक $\left(\frac{10+2}{2}, \frac{7+1}{2}\right) = (6,4)$ हैं।
चूंकि $Q(6,4)$ वृत्त पर स्थित है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$6^2 + 4^2 - 4(6) - 2(4) + c = 0$
$36 + 16 - 24 - 8 + c = 0$
$20 + c = 0$
$c = -20$.

(C) वृत्त $x^2+y^2=61$ का केंद्र $O(0,0)$ और त्रिज्या $r=\sqrt{61}$ है।
चूँकि $PA=PB=10$,$P$ जीवा $AB$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है। केंद्र $O$ भी $AB$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है। अतः,$OP \perp AB$ है।
$OP$ की ढाल $m_{OP} = \frac{6-0}{-5-0} = -\frac{6}{5}$ है।
$AB \perp OP$ होने के कारण,रेखा $l$ (अर्थात $AB$) की ढाल $m_l = \frac{5}{6}$ है।
रेखा $l$ का समीकरण $5x-6y+k=0$ के रूप में लेने पर,विकल्प $(c)$ $5x-6y+11=0$ सही है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=r^2$ है,जिसका केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r$ है।
रेखा का समीकरण $mx-y+c=0$ है।
रेखा वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है यदि केंद्र $(0,0)$ से रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई त्रिज्या $r$ से कम हो।
लंबवत दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{|m(0) - (0) + c|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}$.
$d < r$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}} < r$
$|c| < r \sqrt{m^2+1}$
यह असमिका दर्शाती है कि:
$-r \sqrt{m^2+1} < c < r \sqrt{m^2+1}$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+4x-2y+1=0$ है। केंद्र $C = (-2, 1)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
बिंदु $P(2, -1)$ और केंद्र $C$ के बीच की दूरी $PC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{r^3 \sqrt{PC^2-r^2}}{PC^2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{2^3 \times \sqrt{20-4}}{20} = \frac{8 \times 4}{20} = \frac{32}{20} = \frac{8}{5}$.

(C) वृत्त $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $A(x_1, y_1)$ की शक्ति (power) $S_1 = x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $A$ से होकर जाने वाली किसी भी छेदक रेखा के लिए जो वृत्त को बिंदुओं $P$ और $Q$ पर काटती है,रेखाखंडों की लंबाई का गुणनफल बिंदु की शक्ति के बराबर होता है,अर्थात $AP \cdot AQ = S_1$।
दिए गए बिंदु $A(5,7)$ और वृत्त $x^2+y^2-36=0$ के लिए,हमारे पास $S_1 = 5^2+7^2-36$ है।
$S_1 = 25+49-36 = 74-36 = 38$।
अतः,$AP \cdot AQ = 38$।

(C) रेखाएँ $x=0$ और $y=0$ रेखा $3x+4y-24=0$ के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं।
माना अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में है और दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(r, r)$ है।
केंद्र $(r, r)$ से रेखा $3x+4y-24=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
लंबवत दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर: $\left|\frac{3r+4r-24}{\sqrt{3^2+4^2}}\right| = r$.
$\left|\frac{7r-24}{5}\right| = r$.
स्थिति $1$: $7r-24 = 5r$ $\Rightarrow 2r = 24$ $\Rightarrow r = 12$.
स्थिति $2$: $7r-24 = -5r$ $\Rightarrow 12r = 24$ $\Rightarrow r = 2$.
चूंकि अंतःवृत्त को त्रिभुज के भीतर होना चाहिए,इसलिए त्रिज्या $r=12$ संभव नहीं है। अतः $r=2$.
वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2^2$ है।
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 4$.
$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दी गई समांतर स्पर्श रेखाओं के समीकरण $3x - 4y + 4 = 0$ और $6x - 8y - 7 = 0$ हैं।
$x$ और $y$ के गुणांकों को समान करने के लिए,पहले समीकरण को $2$ से गुणा करें:
$6x - 8y + 8 = 0$ और $6x - 8y - 7 = 0$.
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी वृत्त का व्यास है:
$d = \frac{|8 - (-7)|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{15}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
चूँकि व्यास $\frac{3}{2}$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{3}{4}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9\pi}{16}$ वर्ग इकाई है।

(B) $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण जो धनात्मक निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,$(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$ है।
दिया गया वृत्त: $x^2+y^2-12x-10y+52=0$।
इसे $(x-6)^2+(y-5)^2 = 9$ के रूप में लिखा जा सकता है,अतः केंद्र $C_2 = (6, 5)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों $C_1(r, r)$ और $C_2(6, 5)$ के बीच की दूरी $d = r_1+r_2 = r+3$ है।
अतः,$\sqrt{(r-6)^2+(r-5)^2} = r+3$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(r-6)^2+(r-5)^2 = (r+3)^2$।
$r^2-12r+36+r^2-10r+25 = r^2+6r+9$।
$r^2-28r+52 = 0$।
$(r-2)(r-26) = 0$,अतः $r=2$ या $r=26$।
$r=2$ के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $r+3 = 2+3 = 5$ है।
$r=26$ के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $r+3 = 26+3 = 29$ है।
विकल्पों में $5$ उपलब्ध होने के कारण,सही उत्तर $5$ है।

(C) अभिलंबों का समीकरण $x^2-3xy-3x+9y=0$ है।
इसका गुणनखंड करने पर,$x(x-3y)-3(x-3y)=0$,जिसका अर्थ है $(x-3y)(x-3)=0$।
अतः,दो अभिलंब $x-3y=0$ और $x=3$ हैं।
वृत्त का केंद्र इन दो अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है: $x=3$ और $x=3y$,जिससे $y=1$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट वृत्त का केंद्र $(3,1)$ है।
दिया गया वृत्त $x^2+y^2-6x+6y+17=0$ है।
इसका केंद्र $(3,-3)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{3^2+(-3)^2-17} = \sqrt{9+9-17} = \sqrt{1} = 1$ है।
चूँकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है: $r_1+r_2 = \sqrt{(3-3)^2+(1-(-3))^2} = \sqrt{0^2+4^2} = 4$।
$r_1=1$ रखने पर,$1+r_2=4$,जिससे $r_2=3$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(3,1)$ और त्रिज्या $3$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-3)^2+(y-1)^2=3^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2-6x+9+y^2-2y+1=9$,जो सरल होकर $x^2+y^2-6x-2y+1=0$ हो जाता है।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0$ है। इसका केंद्र $C(3, 2)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2\alpha$ मानिए। $\tan(2\alpha) = \frac{24}{7}$ होने पर,$\tan\alpha = 3/4$ प्राप्त होता है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PAC$ में,$\sin\alpha = \frac{r}{CP} = \frac{3}{CP} = 3/5$,जिससे $CP = 5$ मिलता है।
बिंदु $P(h, k)$ के लिए $(h-3)^2 + (k-2)^2 = 25$ होगा।
रेखा $4h - 3k = 6$ से $h = \frac{6 + 3k}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,$k^2 - 4k - 12 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $k = 6$ या $k = -2$ हैं।
अतः $P$ के निर्देशांक $(6, 6)$ या $(0, -2)$ हैं।

(A) दी गई स्पर्श रेखाएँ:
$5x - 12y + 10 = 0$ $\dots$ $(i)$
$-5x + 12y + 16 = 0$ $\dots$ $(ii)$
चूंकि दोनों रेखाओं की ढाल $\frac{5}{12}$ है,इसलिए रेखाएँ समांतर हैं।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी वृत्त का व्यास होती है।
$d = \frac{|10 - (-16)|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{26}{13} = 2$.
व्यास $2r = 2$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 1$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ है।
इसे मानक रूप में लिखने पर: $(x-1)^2+(y-1)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C=(1,1)$ और त्रिज्या $r=1$ है।
बिंदु $A=(0,-2)$ और केंद्र $C=(1,1)$ के बीच की दूरी $AC = \sqrt{(1-0)^2+(1-(-2))^2} = \sqrt{10}$ है।
अधिकतम दूरी $AB = AC+r = \sqrt{10}+1$ होगी।
अतः,$(AB)^2$ का अधिकतम मान $(\sqrt{10}+1)^2 = 11+2\sqrt{10}$ है।

(A) बाह्य बिंदु $P(x_1, y_1)$ से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 2 \tan^{-1}\left(\frac{r}{\sqrt{S_1}}\right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $S_1$ बिंदु की वृत्त के सापेक्ष शक्ति है।
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-5x+4y-2=0$ है,जिससे त्रिज्या $r = \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 2^2 - (-2)} = \frac{7}{2}$ प्राप्त होती है।
बिंदु $(-1, 0)$ के लिए $S_1 = (-1)^2 + (0)^2 - 5(-1) + 4(0) - 2 = 4$ है।
अतः,$\theta = 2 \tan^{-1}\left(\frac{7/2}{\sqrt{4}}\right) = 2 \tan^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)$।

(C) माना जीवा का मध्यबिंदु $M(8, y_0)$ है। चूंकि जीवा वृत्त $x^2+y^2=75$ के भीतर स्थित है,मध्यबिंदु को $8^2+y_0^2 < 75$ को संतुष्ट करना चाहिए,जिसका अर्थ है $64+y_0^2 < 75$,यानी $y_0^2 < 11$. अतः,$y_0 \in (-3.31, 3.31)$.
मूलबिंदु $(0,0)$ को मध्यबिंदु $M(8, y_0)$ से जोड़ने वाली त्रिज्या का ढाल $m_r = \frac{y_0}{8}$ है।
जीवा इस त्रिज्या के लंबवत है,इसलिए इसका ढाल $m = -\frac{1}{m_r} = -\frac{8}{y_0}$ है।
हमें दिया गया है कि $m$ एक पूर्णांक है। अतः,$y_0 = -\frac{8}{m}$ जहाँ $m \neq 0$ एक पूर्णांक है।
यदि हम $y_0$ को पूर्णांक मानते हैं,तो $y_0 \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.
$y_0=0$ के लिए,$m$ अपरिभाषित है।
$y_0 \in \{-2, -1, 1, 2\}$ के लिए,$m = -8/y_0$ एक पूर्णांक है। ये मान $m \in \{4, 8, -8, -4\}$ हैं।
अतः,कुल $4$ जीवाएँ प्राप्त होती हैं।

(B) दिया है $\angle APB = \pi / 4$। जीवा $AB$ द्वारा केंद्र $O(h, k)$ पर अंतरित कोण $\angle AOB = 2 \angle APB = \pi / 2$ है।
चूंकि $OA = OB$,$\triangle OAB$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।
$AB$ का मध्यबिंदु $(\frac{-1+5}{2}, \frac{3+3}{2}) = (2, 3)$ है। $AB$ का लंब समद्विभाजक $x = 2$ है,इसलिए $h = 2$ है।
चूंकि $\angle AOB = 90^\circ$ है,$O(2, k)$ से $A(-1, 3)$ की दूरी $R$ है,और $OA^2 + OB^2 = AB^2$ है।
$AB^2 = (5 - (-1))^2 + (3 - 3)^2 = 6^2 = 36$ है।
$OA^2 = (2 - (-1))^2 + (k - 3)^2 = 9 + (k - 3)^2$ है।
चूंकि $OA = OB$,$OA^2 = OB^2 = R^2$,इसलिए $2R^2 = 36 \Rightarrow R^2 = 18$ है।
$9 + (k - 3)^2 = 18$ $\Rightarrow (k - 3)^2 = 9$ $\Rightarrow k - 3 = \pm 3$ है।
अतः,$k = 6$ या $k = 0$ है।
केंद्र $(2, 6)$ और $(2, 0)$ हैं।
केंद्र $(2, 6)$ के लिए,समीकरण $(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 18$ $\Rightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 - 12y + 36 = 18$ $\Rightarrow x^2 + y^2 - 4x - 12y + 22 = 0$ है।
केंद्र $(2, 0)$ के लिए,समीकरण $(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 18$ $\Rightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 = 18$ $\Rightarrow x^2 + y^2 - 4x - 14 = 0$ है।

(A) दिए गए वृत्त के प्राचलिक समीकरण $x = 12 \cos \theta$ और $y = 12 \sin \theta$ हैं।
बिंदु $A$ के लिए,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{3}$:
$x_A = 12 \cos \frac{\pi}{3} = 6$
$y_A = 12 \sin \frac{\pi}{3} = 6\sqrt{3}$
अतः,$A = (6, 6\sqrt{3})$।
बिंदु $B$ के लिए,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{6}$:
$x_B = 12 \cos \frac{\pi}{6} = 6\sqrt{3}$
$y_B = 12 \sin \frac{\pi}{6} = 6$
अतः,$B = (6\sqrt{3}, 6)$।
जीवा $AB$ की लंबाई दूरी सूत्र द्वारा:
$AB = \sqrt{(6\sqrt{3} - 6)^2 + (6 - 6\sqrt{3})^2}$
$AB = 6\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1) = 6(\sqrt{6} - \sqrt{2})$।

(B) दिया गया वृत्त: $x^2+y^2-6x+2y-28=0$.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-3, f=1, c=-28$ प्राप्त होता है।
केंद्र $O = (-g, -f) = (3, -1)$।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-3)^2+(1)^2-(-28)} = \sqrt{9+1+28} = \sqrt{38}$ इकाई।
माना $OD$ केंद्र $O(3, -1)$ से रेखा $2x-5y+18=0$ पर लंबवत दूरी है।
$OD = \left|\frac{2(3)-5(-1)+18}{\sqrt{2^2+(-5)^2}}\right| = \left|\frac{6+5+18}{\sqrt{4+25}}\right| = \frac{29}{\sqrt{29}} = \sqrt{29}$ इकाई।
$\triangle OAD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AD^2 = r^2 - OD^2 = (\sqrt{38})^2 - (\sqrt{29})^2 = 38 - 29 = 9$।
$AD = 3$ इकाई।
चूंकि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए जीवा की लंबाई $\lambda = AB = 2AD = 2 \times 3 = 6$ इकाई।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ है। केंद्र $C$ $(3, -2)$ है और त्रिज्या $r = 5$ है।
$(-1, 1)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{4}{3}$ है। स्पर्शरेखा का समीकरण $4x-3y+7=0$ है।
समानांतर जीवा का समीकरण $4x-3y+k=0$ है। स्पर्शरेखा और जीवा के बीच की दूरी $1$ है,इसलिए $|k-7|=5$,जिससे $k=12$ या $k=2$ प्राप्त होता है।
केंद्र से दूरी की जाँच करने पर,$k=2$ के लिए जीवा प्राप्त होती है। जीवा का समीकरण $4x-3y+2=0$ है।
$CP$ रेखा का समीकरण $3x+4y=1$ है।
दोनों समीकरणों को हल करने पर,मध्य-बिंदु $\left(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) माना $C_2$ की त्रिज्या $r_2 = r$ है और $C_1$ की त्रिज्या $r_1 = 3r$ है।
केंद्र $O_1(1, 2)$ और $O_2(3, -2)$ हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $d$ के लिए $d^2 = (3-1)^2 + (-2-2)^2 = 2^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20$ है।
चूंकि वृत्त लंबकोणीय काटते हैं,शर्त $d^2 = r_1^2 + r_2^2$ है।
मान रखने पर: $20 = (3r)^2 + r^2 = 9r^2 + r^2 = 10r^2$.
अतः,$10r^2 = 20$,जिसका अर्थ है $r^2 = 2$.
केंद्र $(1, -2)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 2$ है।
विस्तार करने पर: $x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 2$.
$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$.

(A) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2-4x+2y-4=0$ और $C_2: x^2+y^2-2x+4y-11=0$ हैं।
$C_1$ के लिए,केंद्र $O_1 = (2, -1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{2^2 + (-1)^2 - (-4)} = 3$ है।
$C_2$ के लिए,केंद्र $O_2 = (1, -2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - (-11)} = 4$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2-1)^2 + (-1 - (-2))^2} = \sqrt{2}$ है।
दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2r_1r_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = \frac{2 - 9 - 16}{2(3)(4)} = \frac{-23}{24}$।
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{-23}{24})^2 = \frac{47}{576}$।
अतः,$\sin \theta = \frac{\sqrt{47}}{24}$।

(B) वृत्त $x^2+y^2+2x-6y-6=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-1, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = 4$ है।
वृत्त $x^2+y^2-6x-2y+k=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (3, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{10-k}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d^2 = C_1C_2^2 = (3 - (-1))^2 + (1 - 3)^2 = 20$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \cos \theta$.
मान रखने पर: $20 = 16 + (10-k) - 2(4)(\sqrt{10-k})(\frac{-5}{24})$.
$k - 6 = \frac{5}{3}\sqrt{10-k}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(k-6)^2 = \frac{25}{9}(10-k)$.
$9k^2 - 83k + 74 = 0$.
$(k-1)(9k-74) = 0$.
चूंकि $k$ पूर्णांक नहीं है,इसलिए $k = \frac{74}{9}$.

(C) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2-2x-4y+c=0$ और $S_2: x^2+y^2-4x-2y+4=0$ हैं।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{5-c}$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (2, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{2}$ है।
दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \left| \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ रखने पर,$\frac{1}{2} = \left| \frac{4-c}{2\sqrt{5-c}} \right|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$5-c = (4-c)^2 \Rightarrow c^2 - 7c + 11 = 0$।
हल करने पर,$c = \frac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$।

(C) माना वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $c=0$ है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है।
चूंकि केंद्र रेखा $x-y=0$ पर स्थित है,इसलिए $-g - (-f) = 0$,जिसका अर्थ है $g=f$।
अतः,वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2gy=0$ है।
दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय रूप से काटते हैं यदि $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ हो।
यहाँ,$g_1=g, f_1=g, c_1=0$ और $g_2=-2, f_2=-3, c_2=10$ है।
इन मानों को रखने पर: $2(g)(-2) + 2(g)(-3) = 0 + 10$।
$-4g - 6g = 10$ $\Rightarrow -10g = 10$ $\Rightarrow g = -1$।
वृत्त $S$ की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2-0} = \sqrt{2}$ है।
वृत्त $S$ का व्यास $2r = 2\sqrt{2}$ है।

(A) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ और $S_2: x^2+y^2-8x-12y+43=0$ हैं।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर:
$S_1$ के लिए: $g_1 = -1, f_1 = -2, c_1 = -4$. त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1+4-(-4)} = 3$.
$S_2$ के लिए: $g_2 = -4, f_2 = -6, c_2 = 43$. त्रिज्या $r_2 = \sqrt{16+36-43} = 3$.
केंद्रों $C_1(1, 2)$ और $C_2(4, 6)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5$.
दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2r_1r_2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{5^2 - 3^2 - 3^2}{2(3)(3)} = \frac{25 - 9 - 9}{18} = \frac{7}{18}$.
अतः,$\sec \theta = \frac{18}{7}$.
अब,$|7 \sec \theta - 18 \cos \theta| = |7(\frac{18}{7}) - 18(\frac{7}{18})| = |18 - 7| = 11$.

(B) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-2x-9=0$ और $S_2: x^2+y^2-4y-1=0$ हैं।
$S_1$ का केंद्र $C_1$ और त्रिज्या $r_1$ क्रमशः $(1, 0)$ और $\sqrt{10}$ हैं।
$S_2$ का केंद्र $C_2$ और त्रिज्या $r_2$ क्रमशः $(0, 2)$ और $\sqrt{5}$ हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(1-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{5}$ है।
वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{10 + 5 - 5}{2 \times \sqrt{10} \times \sqrt{5}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$।

(A) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2=16$ की त्रिज्या $r_1=4$ और केंद्र $O_1(0,0)$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की अधिकतम लंबाई छोटे वृत्त का व्यास होती है,जो $2r_1 = 8$ इकाई है। यह जीवा $C_1$ के केंद्र $O_1(0,0)$ से गुजरनी चाहिए।
$(0,0)$ से गुजरने वाली और $m = \frac{3}{4}$ ढाल वाली जीवा का समीकरण $y = \frac{3}{4}x$ या $3x - 4y = 0$ है।
माना वृत्त $C_2$ का केंद्र $O_2(h, k)$ है। चूंकि उभयनिष्ठ जीवा $C_1$ का व्यास है,केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा $O_1O_2$ उभयनिष्ठ जीवा पर लंब होती है।
उभयनिष्ठ जीवा का ढाल $\frac{3}{4}$ है,इसलिए रेखा $O_1O_2$ का ढाल $-\frac{4}{3}$ है।
अतः,$O_2$ के निर्देशांक $(3a, -4a)$ के रूप में लिखे जा सकते हैं।
$O_1(0,0)$ से जीवा की दूरी $0$ है। $O_2(3a, -4a)$ से जीवा $3x - 4y = 0$ की दूरी $d = \frac{|3(3a) - 4(-4a)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|9a + 16a|}{5} = 5|a|$ है।
$C_2$ की त्रिज्या $(R_2=5)$,दूरी $d$,और जीवा की आधी लंबाई $(4)$ से बने समकोण त्रिभुज में,$R_2^2 = d^2 + 4^2$,इसलिए $25 = d^2 + 16$,जिससे $d^2 = 9$ प्राप्त होता है,यानी $d = 3$।
अतः,$5|a| = 3 \Rightarrow |a| = \frac{3}{5}$।
यदि $a = \frac{3}{5}$,तो $O_2 = \left(\frac{9}{5}, -\frac{12}{5}\right)$।
यदि $a = -\frac{3}{5}$,तो $O_2 = \left(-\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right)$।
विकल्पों की तुलना करने पर,$\left(-\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right)$ विकल्प $A$ है।