Equations of circle Questions in Hindi

(A) वृत्त $x$-अक्ष पर स्थित बिंदुओं $(4, 0)$ और $(-4, 0)$ से होकर गुजरता है।
चूंकि बिंदु $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए वृत्त का केंद्र $y$-अक्ष पर स्थित होना चाहिए।
माना केंद्र $(0, c)$ है।
केंद्र $(0, c)$ से बिंदु $(4, 0)$ की दूरी त्रिज्या $r = 5$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(4-0)^2 + (0-c)^2} = 5$.
$16 + c^2 = 25$ $\Rightarrow c^2 = 9$ $\Rightarrow c = \pm 3$.
अतः,केंद्र $(0, 3)$ और $(0, -3)$ हैं।
केंद्र $(0, 3)$ के लिए,समीकरण $x^2 + (y-3)^2 = 5^2 \Rightarrow x^2 + y^2 - 6y - 16 = 0$ है।
केंद्र $(0, -3)$ के लिए,समीकरण $x^2 + (y+3)^2 = 5^2 \Rightarrow x^2 + y^2 + 6y - 16 = 0$ है।

(D) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $c=0$ है।
वृत्त $x$-अक्ष पर $-2$ का अंतःखंड काटता है,जिसका अर्थ है कि यह $(-2,0)$ से होकर गुजरता है। समीकरण में मान रखने पर: $(-2)^2 + 0^2 + 2g(-2) + 2f(0) + 0 = 0$ $\Rightarrow 4 - 4g = 0$ $\Rightarrow g = 1$.
वृत्त $y$-अक्ष पर $3$ का अंतःखंड काटता है,जिसका अर्थ है कि यह $(0,3)$ से होकर गुजरता है। समीकरण में मान रखने पर: $0^2 + 3^2 + 2g(0) + 2f(3) + 0 = 0$ $\Rightarrow 9 + 6f = 0$ $\Rightarrow f = -\frac{3}{2}$.
$g=1$,$f=-\frac{3}{2}$,और $c=0$ का मान सामान्य समीकरण में रखने पर: $x^2+y^2+2(1)x+2(-\frac{3}{2})y+0=0$.
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^2+y^2+2x-3y=0$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण: $x^2+y^2-3x-4y+2=0$ है।
चूँकि वृत्त $x$-अक्ष को काटता है,इसलिए इन बिंदुओं पर $y=0$ होगा।
समीकरण में $y=0$ रखने पर:
$x^2 + (0)^2 - 3x - 4(0) + 2 = 0$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x-1)(x-2) = 0$
इससे $x=1$ और $x=2$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1,0)$ और $(2,0)$ हैं।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+8x+10y-8=0$ है।
इसे वृत्त के व्यापक समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर:
$2g = 8 \implies g = 4$
$2f = 10 \implies f = 5$
$c = -8$
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-4, -5)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ द्वारा प्राप्त होती है।
$r = \sqrt{4^2+5^2-(-8)} = \sqrt{16+25+8} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,केंद्र $(-4, -5)$ है और त्रिज्या $7$ है।

(D) व्यास के सिरे $(4,7)$ और $(-2,-1)$ हैं।
वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$(x-4)(x+2) + (y-7)(y+1) = 0$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$x^2 - 2x - 8 + y^2 - 6y - 7 = 0$,जो $x^2 + y^2 - 2x - 6y - 15 = 0$ में सरल हो जाता है।
वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
तुलना करने पर,$g = -1$,$f = -3$,और $c = -15$ प्राप्त होता है।
$X$-अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{g^2 - c}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$AB = 2\sqrt{(-1)^2 - (-15)} = 2\sqrt{1 + 15} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$.
अतः,$AB = 8$.

(B) वृत्त की परिधि $10 \pi$ है। $2 \pi r = 10 \pi$ से,त्रिज्या $r = 5$ प्राप्त होती है।
चूंकि वृत्त के व्यास उसके केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं,हम समीकरणों को हल करते हैं:
$2x + 3y + 1 = 0$ $(i)$
$3x - y - 4 = 0$ $(ii)$
$(ii)$ से,$y = 3x - 4$। इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x + 3(3x - 4) + 1 = 0$
$2x + 9x - 12 + 1 = 0$
$11x - 11 = 0 \Rightarrow x = 1$।
तब $y = 3(1) - 4 = -1$।
वृत्त का केंद्र $(1, -1)$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 25$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 23 = 0$।

(B) वृत्त की परिधि $4 \pi$ है।
चूंकि परिधि $2 \pi r = 4 \pi$ होती है,इसलिए $r = 2$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ होता है।
केंद्र $(-2, 3)$ और त्रिज्या $r = 2$ रखने पर:
$(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 2^2$
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 4$
$x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0$.

(B) वृत्त का केंद्र उसके व्यासों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।
दिए गए व्यास के समीकरण:
$x + 2y - 5 = 0$ ... $(i)$
$3x - y - 1 = 0$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर,$6x - 2y - 2 = 0$ ... $(iii)$
$(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$(x + 2y - 5) + (6x - 2y - 2) = 0$
$7x - 7 = 0 \Rightarrow x = 1$
$x = 1$ को $(i)$ में रखने पर:
$1 + 2y - 5 = 0$ $\Rightarrow 2y = 4$ $\Rightarrow y = 2$
अतः,केंद्र $(h, k) = (1, 2)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 25$
$x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$

(D) चूँकि वृत्त $X$-अक्ष को $(1, 0)$ पर स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र का $x$-निर्देशांक $1$ है।
चूँकि वृत्त $Y$-अक्ष को $(0, 1)$ पर स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र का $y$-निर्देशांक $1$ है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(1, 1)$ है और त्रिज्या $r = 1$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ होता है।
मान रखने पर,$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 1$ मिलता है।
सरल करने पर,$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त का केंद्र $(h, k) = (5, 4)$ है।
चूंकि वृत्त $Y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r$ केंद्र के $x$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान है।
अतः,$r = |5| = 5$.
वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है।
मान रखने पर,$(x-5)^2 + (y-4)^2 = 5^2$.
विस्तार करने पर,$(x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 8y + 16) = 25$.
सरल करने पर,$x^2 + y^2 - 10x - 8y + 41 = 25$.
अतः,$x^2 + y^2 - 10x - 8y + 16 = 0$.

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+6x+2ky+25=0$ है।
इसे व्यापक रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=3$,$f=k$,और $c=25$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-3, -k)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{3^2+k^2-25} = \sqrt{k^2-16}$ है।
चूंकि वृत्त $Y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या केंद्र के $x$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होनी चाहिए,अर्थात $r = |-g| = |-3| = 3$।
त्रिज्या के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\sqrt{k^2-16} = 3$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $k^2-16 = 9$।
$k^2 = 25$,जिससे $k = \pm 5$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है और $x$ तथा $y$ अक्षों पर क्रमशः $a$ और $b$ अंतःखंड बनाता है।
अतः,वृत्त $(a,0)$ और $(0,b)$ बिंदुओं से होकर गुजरता है।
चूंकि निर्देशांक अक्षों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $(a,0)$ और $(0,b)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड वृत्त का व्यास है।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
$(x_1, y_1) = (a,0)$ और $(x_2, y_2) = (0,b)$ रखने पर:
$(x-a)(x-0) + (y-0)(y-b) = 0$
$x(x-a) + y(y-b) = 0$
$x^2 - ax + y^2 - by = 0$
$x^2 + y^2 - ax - by = 0$

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-6x-8y=0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=-3$,$f=-4$,और $c=0$ प्राप्त होता है।
वृत्त की त्रिज्या $r$ सूत्र $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$r = \sqrt{(-3)^2+(-4)^2-0} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \text{ इकाई}$।
वृत्त का व्यास $d = 2r = 2 \times 5 = 10 \text{ इकाई}$ है।

(D) रेखा $y-x=0$ पर $(m, n)$ का प्रतिबिंब बिंदु $(n, m)$ है।
माना वृत्त का केंद्र $(n, m)$ और त्रिज्या $r$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-n)^2 + (y-m)^2 = r^2$ ... $(i)$ है।
चूंकि वृत्त $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r$ केंद्र के $y$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होगी,अतः $r = |m|$.
इस प्रकार,$r^2 = m^2$.
समीकरण $(i)$ में $r^2$ का मान रखने पर:
$(x-n)^2 + (y-m)^2 = m^2$
$x^2 - 2nx + n^2 + y^2 - 2my + m^2 = m^2$
$x^2 + y^2 - 2nx - 2my + n^2 = 0$.

(D) केंद्र $C = (2,3)$.
त्रिज्या $r$,केंद्र $(2,3)$ से रेखा $3x-4y+1=0$ की लंबवत दूरी है।
$r = \frac{|3(2)-4(3)+1|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|6-12+1|}{\sqrt{9+16}} = \frac{|-5|}{5} = 1$.
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2 = r^2$ है।
$(x-2)^2+(y-3)^2 = 1^2$.
$x^2-4x+4+y^2-6y+9 = 1$.
$x^2+y^2-4x-6y+12 = 0$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) वृत्त $x^2+y^2-3x-4y-1=0$ का केंद्र $C(\frac{3}{2}, 2)$ है।
चूंकि अभीष्ट वृत्त बिंदु $C(\frac{3}{2}, 2)$ से होकर गुजरता है और इसका केंद्र $(5, 2)$ है,इसलिए त्रिज्या $r$ इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी है:
$r = \sqrt{(5 - \frac{3}{2})^2 + (2 - 2)^2} = \frac{7}{2}$.
अतः,वृत्त का समीकरण $(x-5)^2 + (y-2)^2 = (\frac{7}{2})^2$ होगा।
$x^2 - 10x + 25 + y^2 - 4y + 4 = \frac{49}{4}$
$x^2 + y^2 - 10x - 4y + 29 = \frac{49}{4}$
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर:
$4x^2 + 4y^2 - 40x - 16y + 116 = 49$
$4x^2 + 4y^2 - 40x - 16y + 67 = 0$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $(x+1)(x+2)+(y-1)(y+3)=0$ है।
पदों का विस्तार करने पर,हमें $x^2+3x+2+y^2+2y-3=0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2+y^2+3x+2y-1=0$ हो जाता है।
इसे मानक रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$2g=3 \implies g=\frac{3}{2}$,$2f=2 \implies f=1$,और $c=-1$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (1)^2 - (-1)} = \sqrt{\frac{9}{4}+1+1} = \sqrt{\frac{17}{4}}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi (\frac{17}{4}) = \frac{17 \pi}{4}$ है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ होता है।
यहाँ केंद्र $(h, k) = (1, 2)$ दिया गया है।
चूँकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r$ केंद्र के $y$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होगी।
$r = |k| = |2| = 2$.
$h=1$,$k=2$,और $r=2$ को मानक समीकरण में रखने पर:
$(x-1)^2+(y-2)^2=2^2$
$(x-1)^2+(y-2)^2=4$.

(B) दिया गया समीकरण: $2 x^2 + 2 y^2 - 3 x + 2 y - 1 = 0$
$2$ से भाग देने पर: $x^2 + y^2 - \frac{3}{2} x + y - \frac{1}{2} = 0$
सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर:
$2g = -\frac{3}{2} \Rightarrow g = -\frac{3}{4}$
$2f = 1 \Rightarrow f = \frac{1}{2}$
$c = -\frac{1}{2}$
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$
$r = \sqrt{(-\frac{3}{4})^2 + (\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2})}$
$r = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}}$
$r = \sqrt{\frac{9 + 4 + 8}{16}} = \sqrt{\frac{21}{16}}$
$r = \frac{\sqrt{21}}{4} \text{ इकाई.}$

(C) मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ है।
चूंकि वृत्त अक्षों पर अंतःखंड काटता है,इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु $(5,0)$ और $(0,6)$ हैं।
समीकरण में $(5,0)$ रखने पर: $5^2+0^2+2g(5)+2f(0)=0 \implies 25+10g=0 \implies g = -2.5$.
समीकरण में $(0,6)$ रखने पर: $0^2+6^2+2g(0)+2f(6)=0 \implies 36+12f=0 \implies f = -3$.
$g$ और $f$ के मानों को सामान्य समीकरण में रखने पर: $x^2+y^2+2(-2.5)x+2(-3)y=0$.
यह $x^2+y^2-5x-6y=0$ में सरल हो जाता है।

(A) माना बिंदुओं $P$ और $Q$ के निर्देशांक क्रमशः $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ हैं।
दिया गया है कि $x_1$ और $x_2$ समीकरण $2x^2 + 4x - 7 = 0$ के मूल हैं,इसलिए मूलों का योग $x_1 + x_2 = -\frac{4}{2} = -2$ है।
दिया गया है कि $y_1$ और $y_2$ समीकरण $3x^2 - 12x - 1 = 0$ के मूल हैं,इसलिए मूलों का योग $y_1 + y_2 = -\frac{-12}{3} = 4$ है।
$PQ$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का केंद्र $PQ$ का मध्य-बिंदु होता है,जो $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $(\frac{-2}{2}, \frac{4}{2}) = (-1, 2)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है: रेखाएँ $x+2y-5=0$ और $2x-3y+4=0$ वृत्त के व्यास हैं।
चूँकि व्यास का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र होता है,हम समीकरणों को हल करते हैं:
$x+2y=5$ $(i)$
$2x-3y=-4$ (ii)
$(i)$ को $2$ से गुणा करने पर,$2x+4y=10$ (iii) प्राप्त होता है।
(iii) में से (ii) घटाने पर: $7y=14 \Rightarrow y=2$.
$y=2$ को $(i)$ में रखने पर: $x+2(2)=5 \Rightarrow x=1$.
अतः,केंद्र $(h, k) = (1, 2)$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $9\pi$ है,इसलिए $\pi r^2 = 9\pi \Rightarrow r^2=9$.
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ के अनुसार:
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9
x^2-2x+1 + y^2-4y+4 = 9
x^2+y^2-2x-4y-4=0$.

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+2 \lambda x-2 \lambda y+\lambda^2=0$ है।
केंद्र $(-\lambda, \lambda)$ है और त्रिज्या $r = \lambda$ है।
रेखा $12x+5y-60=0$ है।
केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|12(-\lambda)+5(\lambda)-60|}{\sqrt{12^2+5^2}} = \lambda$.
$|-7\lambda-60| = 13\lambda$.
हल करने पर,$\lambda = 10$ या $\lambda = -3$ प्राप्त होता है।
द्वितीय चतुर्थांश के लिए $\lambda > 0$ होना चाहिए,इसलिए $\lambda = 10$।

(A) समानांतर रेखाओं $3x - 4y - 10 = 0$ और $3x - 4y + 30 = 0$ के बीच की दूरी वृत्त का व्यास है।
व्यास $d = \frac{|30 - (-10)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{40}{5} = 8$.
अतः,त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 4$.
केंद्र $(h, k)$ रेखा $x + 2y = 0$ पर स्थित है,इसलिए $h = -2k$.
केंद्र दोनों समानांतर रेखाओं से समान दूरी पर है। दी गई रेखाओं के बीच की रेखा $3x - 4y + 10 = 0$ है।
$x = -2k$ को $3x - 4y + 10 = 0$ में रखने पर,$3(-2k) - 4k + 10 = 0$ प्राप्त होता है,जो $-10k = -10$ हो जाता है,इसलिए $k = 1$.
अतः $h = -2(1) = -2$. केंद्र $(-2, 1)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 4^2$ है।
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 16$.
$x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0$.

(B) वर्ग के शीर्ष $A(0,0)$,$B(16,0)$,$C(16,16)$,और $D(0,16)$ हैं।
चूंकि वृत्त वर्ग के परिगत है,इसलिए विकर्ण $AC$ वृत्त का व्यास है।
$A$ के निर्देशांक $(0,0)$ और $C$ के निर्देशांक $(16,16)$ हैं।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
$A$ और $C$ के निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-0)(x-16) + (y-0)(y-16) = 0$
$x(x-16) + y(y-16) = 0$
$x^2 - 16x + y^2 - 16y = 0$
$x^2 + y^2 = 16(x+y)$
दिए गए समीकरण $x^2 + y^2 = 4k(x+y)$ के साथ तुलना करने पर:
$4k = 16$
$k = 4$

(C) $x^2+5x+6=0$ के मूल $\alpha, \beta$ हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha+\beta = -5$ और $\alpha\beta = 6$ है।
$y^2+6y+7=0$ के मूल $\gamma, \delta$ हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\gamma+\delta = -6$ और $\gamma\delta = 7$ है।
व्यास के छोर $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
यहाँ,छोर $(\alpha, \gamma)$ और $(\beta, \delta)$ हैं।
अतः,समीकरण $(x-\alpha)(x-\beta) + (y-\gamma)(y-\delta) = 0$ होगा।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta + y^2 - (\gamma+\delta)y + \gamma\delta = 0$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $x^2 - (-5)x + 6 + y^2 - (-6)y + 7 = 0$.
इसे सरल करने पर $x^2 + y^2 + 5x + 6y + 13 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) आयत की भुजाएँ $x=4, x=-2, y=5, y=-2$ हैं।
आयत के शीर्ष $(4, 5), (-2, 5), (-2, -2)$ और $(4, -2)$ हैं।
विकर्ण के अंत्य बिंदु $(4, 5)$ और $(-2, -2)$ हैं।
व्यास के अंत्य बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
मान रखने पर: $(x-4)(x+2) + (y-5)(y+2) = 0$
$x^2 + 2x - 4x - 8 + y^2 + 2y - 5y - 10 = 0$
$x^2 + y^2 - 2x - 3y - 18 = 0$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-8x-12y+\alpha=0$ है। केंद्र $(4, 6)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{4^2+6^2-\alpha} = \sqrt{52-\alpha}$ है।
चूंकि वृत्त अक्षों को छुए बिना प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,केंद्र से अक्षों की दूरी त्रिज्या से अधिक होनी चाहिए: $r < 4$ और $r < 6$। अतः,$r < 4$,जिसका अर्थ है $\sqrt{52-\alpha} < 4$ $\Rightarrow 52-\alpha < 16$ $\Rightarrow \alpha > 36$।
चूंकि $(6, 6)$ एक आंतरिक बिंदु है,इसे वृत्त के समीकरण में रखने पर $6^2+6^2-8(6)-12(6)+\alpha < 0$ प्राप्त होता है।
$36+36-48-72+\alpha < 0$ $\Rightarrow \alpha - 48 < 0$ $\Rightarrow \alpha < 48$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $36 < \alpha < 48$ प्राप्त होता है।

(B) बिंदु $P(x_1, y_1)$ की वृत्त $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ के सापेक्ष शक्ति का सूत्र $P = (x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2 - r^2$ है।
यहाँ बिंदु $P(-3, 7)$,केंद्र $(h, k) = (3, 7)$ और त्रिज्या $r = 2$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$P = (-3 - 3)^2 + (7 - 7)^2 - 2^2$
$P = (-6)^2 + (0)^2 - 4$
$P = 36 + 0 - 4$
$P = 32$।
अतः,बिंदु की शक्ति $32$ है।

(D) माना $(h, k)$ वृत्त का केंद्र है।
चूंकि वृत्त $(0,2)$ पर $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,त्रिज्या $r = |h|$ और केंद्र का $y$-निर्देशांक $k = 2$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-2)^2 = h^2$ है।
यह $(-1, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$(-1-h)^2 + (0-2)^2 = h^2$
$1 + 2h + h^2 + 4 = h^2$
$2h = -5 \Rightarrow h = -\frac{5}{2}$.
वृत्त का समीकरण $\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 + (y-2)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2$ है।
विकल्प $(d)$ $(-4, 0)$ की जाँच करने पर:
$\left(-4 + \frac{5}{2}\right)^2 + (0-2)^2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 4 = \frac{9}{4} + 4 = \frac{25}{4} = \left(\frac{5}{2}\right)^2$.
अतः,वृत्त $(-4, 0)$ से होकर गुजरता है।

(C) दिया गया वृत्त $3x^2+3y^2+x+y-1=0$ है।
$3$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2+y^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=0$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(h, k) = \left(-\frac{1}{6}, -\frac{1}{6}\right)$ है और त्रिज्या $r$ के लिए $r^2 = h^2+k^2-c = \frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{3} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$ है।
बिंदु $(2,-2)$ से वृत्त $x^2+y^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $L$ के लिए $L^2 = x_1^2+y_1^2+\frac{1}{3}x_1+\frac{1}{3}y_1-\frac{1}{3}$ है।
$L^2 = (2)^2+(-2)^2+\frac{1}{3}(2)+\frac{1}{3}(-2)-\frac{1}{3} = 4+4+\frac{2}{3}-\frac{2}{3}-\frac{1}{3} = 8-\frac{1}{3} = \frac{23}{3}$।
चूंकि वृत्त $S$ की त्रिज्या $L$ है,इसलिए त्रिज्या का वर्ग $R^2 = \frac{23}{3}$ है।
वृत्त $S$ का समीकरण $(x+\frac{1}{6})^2+(y+\frac{1}{6})^2 = \frac{23}{3}$ है।
वृत्त $S$ के सापेक्ष बिंदु $(2,1)$ की शक्ति $(x_1+\frac{1}{6})^2+(y_1+\frac{1}{6})^2 - R^2$ है।
$= (2+\frac{1}{6})^2+(1+\frac{1}{6})^2 - \frac{23}{3} = (\frac{13}{6})^2+(\frac{7}{6})^2 - \frac{23}{3} = \frac{169}{36}+\frac{49}{36} - \frac{276}{36} = \frac{218-276}{36} = -\frac{58}{36} = -\frac{29}{18}$।

(C) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है,जहाँ त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ होती है।
प्रथम वृत्त $C_1: x^2+y^2-6x+12y+15=0$ के लिए,$g=-3, f=6, c=15$ है।
$r_1 = \sqrt{(-3)^2+6^2-15} = \sqrt{9+36-15} = \sqrt{30}$।
द्वितीय वृत्त $C_2: x^2+y^2-6x+12y-15=0$ के लिए,$g=-3, f=6, c=-15$ है।
$r_2 = \sqrt{(-3)^2+6^2-(-15)} = \sqrt{9+36+15} = \sqrt{60}$।
क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,अनुपात $1:2$ है।

(C) चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में है और दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,इसका केंद्र $(c, c)$ और त्रिज्या $c$ है,जहाँ $c > 0$.
वृत्त का समीकरण $(x-c)^2 + (y-c)^2 = c^2$ है।
रेखा $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$ है,जिसे $4x + 3y - 12 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि वृत्त इस रेखा को स्पर्श करता है,केंद्र $(c, c)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $c$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|4c + 3c - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = c$
$\frac{|7c - 12|}{5} = c$
$|7c - 12| = 5c$
स्थिति $1$: $7c - 12 = 5c \implies 2c = 12 \implies c = 6$.
स्थिति $2$: $7c - 12 = -5c \implies 12c = 12 \implies c = 1$.
अतः,$c = 1$ या $c = 6$।

(D) वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ की शक्ति $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए बिंदु $(1, 6)$ और वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 6y - a = 0$ के लिए,शक्ति $-16$ है।
मान रखने पर:
$(1)^2 + (6)^2 + 4(1) - 6(6) - a = -16$
$1 + 36 + 4 - 36 - a = -16$
$5 - a = -16$
$-a = -21$
$a = 21$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) वृत्त का केंद्र $(h, k)$ व्यास $x+2y-2=0$ और $2x+3y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन समीकरणों को हल करने पर:
$x+2y=2$ $(1)$
$2x+3y=1$ $(2)$
$(1)$ को $2$ से गुणा करने पर: $2x+4y=4$ $(3)$
$(3)$ में से $(2)$ को घटाने पर: $(2x+4y)-(2x+3y) = 4-1$,अतः $y=3$.
$(1)$ में $y=3$ रखने पर: $x+2(3)=2 \implies x+6=2 \implies x=-4$.
अतः,केंद्र $(-4, 3)$ है।
त्रिज्या $R$ केंद्र $(-4, 3)$ और बिंदु $(8, 8)$ के बीच की दूरी है:
$R^2 = (8 - (-4))^2 + (8 - 3)^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2$ है:
$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 169$
$x^2 + 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 169$
$x^2 + y^2 + 8x - 6y - 144 = 0$.
$x^2 + y^2 + px + qy + r = 0$ से तुलना करने पर,$p=8, q=-6, r=-144$ प्राप्त होता है।
अतः $p^2 + q^2 + r = 8^2 + (-6)^2 - 144 = 64 + 36 - 144 = 100 - 144 = -44$.

(A) दिया गया समीकरण $|x-2|+|y-3|=4$ एक वर्ग को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(6, 3), (-2, 3), (2, 7)$ और $(2, -1)$ हैं।
इस वर्ग का केंद्र $(2, 3)$ है।
वृत्त का केंद्र भी $(2, 3)$ होगा।
वृत्त की त्रिज्या $r = 2\sqrt{2}$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-2)^2+(y-3)^2=(2\sqrt{2})^2$ होगा।
अतः,$x^2+y^2-4x-6y+5=0$ प्राप्त होता है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि वृत्त $(2,0)$ से गुजरता है,इसलिए $4+4g+c=0$,अतः $c = -4-4g$।
$X$-अक्ष पर अंतःखंड $2\sqrt{g^2-c} = 5$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4(g^2-c) = 25$।
$c = -4-4g$ प्रतिस्थापित करने पर,$4(g^2+4g+4) = 25$,जो $4g^2+16g-9=0$ में बदल जाता है।
$g$ के लिए हल करने पर,$g = -4.5 = -9/2$।
केंद्र $(-g, -f)$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $g < 0$ लेने पर,$c = 14$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $x^2+y^2-9x-2ky+14=0$ है।

(C) $\triangle ABC$ में,चूंकि $\angle A = 90^{\circ}$ है,इसलिए भुजा $BC$ परिवृत्त का व्यास है।
व्यास के अंतिम बिंदु $B(2, -4)$ और $C(1, 5)$ दिए गए हैं,इसलिए वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 2)(x - 1) + (y - (-4))(y - 5) = 0$
$(x^2 - x - 2x + 2) + (y^2 - 5y + 4y - 20) = 0$
$x^2 + y^2 - 3x - y - 18 = 0$।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) दिया गया है,$\left|\frac{z-3}{z-2i}\right|=2$.
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|(x-3)+iy| = 2|x+i(y-2)|$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x-3)^2 + y^2 = 4(x^2 + (y-2)^2)$।
पदों का विस्तार करने पर,$x^2 - 6x + 9 + y^2 = 4(x^2 + y^2 - 4y + 4)$।
$x^2 - 6x + 9 + y^2 = 4x^2 + 4y^2 - 16y + 16$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$3x^2 + 3y^2 + 6x - 16y + 7 = 0$।
$3$ से भाग देने पर,$x^2 + y^2 + 2x - \frac{16}{3}y + \frac{7}{3} = 0$।
वृत्त के सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$2g = 2 \Rightarrow g = 1$ और $2f = -\frac{16}{3} \Rightarrow f = -\frac{8}{3}$।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-1, \frac{8}{3})$ है।

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूँकि यह $(0,0)$ से गुजरता है,$c = 0$ प्राप्त होता है।
$(2,0)$ के लिए,$4 + 4g = 0 \Rightarrow g = -1$।
$(0,-2)$ के लिए,$4 - 4f = 0 \Rightarrow f = 1$।
अतः वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0$ है।
बिंदु $(k,-2)$ इस वृत्त पर स्थित है,इसलिए:
$k^2 + (-2)^2 - 2(k) + 2(-2) = 0$
$k^2 + 4 - 2k - 4 = 0$
$k(k - 2) = 0$
चूँकि बिंदु भिन्न हैं,इसलिए $k = 2$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है,जहाँ त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ है।
प्रथम वृत्त $x^2+y^2+8x-6y=0$ के लिए,$g=4, f=-3, c=0$. अतः,$r_1 = \sqrt{4^2+(-3)^2-0} = 5$. परिधि $P_1 = 10\pi$.
दूसरे वृत्त $4x^2+4y^2-4x-12y-186=0$ के लिए,$4$ से भाग देने पर: $x^2+y^2-x-3y-46.5=0$. यहाँ $g=-0.5, f=-1.5, c=-46.5$. अतः,$r_2 = \sqrt{0.25+2.25+46.5} = \sqrt{49} = 7$. परिधि $P_2 = 14\pi$.
तीसरे वृत्त $x^2+y^2-6x+6y-9=0$ के लिए,$g=-3, f=3, c=-9$. अतः,$r_3 = \sqrt{9+9+9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5.196$. परिधि $P_3 = 6\sqrt{3}\pi \approx 10.39\pi$.
परिधियों की तुलना करने पर: $10\pi < 10.39\pi < 14\pi$,जिसका अर्थ है $P_1 < P_3 < P_2$.

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx'+2fy'+c=0$ है।
बिंदुओं $(-1,0), (-1,1)$ और $(1,1)$ को समीकरण में रखने पर:
$1$) $(-1,0)$ के लिए: $1-2g+c=0 \implies c=2g-1$.
$2$) $(-1,1)$ के लिए: $2-2g+2f+c=0$.
$c=2g-1$ रखने पर: $2f+1=0 \implies f=-1/2$.
$3$) $(1,1)$ के लिए: $2+2g+2f+c=0$.
$f=-1/2$ और $c=2g-1$ रखने पर: $4g=0 \implies g=0$ और $c=-1$.
समीकरण $x^2+y^2-y-1=0$ प्राप्त होता है।
$ax^2+ay^2+2gx+2fy-2=0$ के रूप में लाने के लिए $2$ से गुणा करने पर: $2x^2+2y^2-2y-2=0$.
तुलना करने पर $a=2$ प्राप्त होता है।

(A) माना बिंदु $A(1, 1), B(-2, 2)$ और $C(2, -2)$ हैं।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
बिंदुओं को समीकरण में रखने पर:
$(1, 1)$ के लिए: $2g + 2f + c = -2$ $(i)$
$(-2, 2)$ के लिए: $-4g + 4f + c = -8$ $(ii)$
$(2, -2)$ के लिए: $4g - 4f + c = -8$ $(iii)$
$(ii)$ से $(iii)$ घटाने पर: $-8g + 8f = 0 \Rightarrow g = f$ प्राप्त होता है।
$g = f$ को $(i)$ और $(ii)$ में रखने पर: $4g + c = -2$ और $c = -8$ प्राप्त होता है।
$c = -8$ को $4g + c = -2$ में रखने पर: $g = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः केंद्र $\left(-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right)$ है।
रेखा $3x - 4y + 1 = 0$ से लंबवत दूरी $d = \frac{|3(-\frac{3}{2}) - 4(-\frac{3}{2}) + 1|}{5} = \frac{1}{2}$ है।

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि बिंदु $(-1, 1), (0, -1)$ और $(1, 0)$ वृत्त पर स्थित हैं:
$(-1, 1)$ के लिए: $1 + 1 - 2g + 2f + c = 0 \Rightarrow -2g + 2f + c = -2 \dots (i)$
$(0, -1)$ के लिए: $0 + 1 + 0 - 2f + c = 0 \Rightarrow -2f + c = -1 \dots (ii)$
$(1, 0)$ के लिए: $1 + 0 + 2g + 0 + c = 0 \Rightarrow 2g + c = -1 \dots (iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,$2c = -2 \Rightarrow c = -1$ प्राप्त होता है।
$c = -1$ को $(iii)$ में रखने पर,$2g - 1 = -1 \Rightarrow g = 0$।
$c = -1$ को $(ii)$ में रखने पर,$-2f - 1 = -1 \Rightarrow f = 0$।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 1 = 0$ है।
चूंकि $(1, k)$ वृत्त पर स्थित है: $1^2 + k^2 - 1 = 0$ $\Rightarrow k^2 = 0$ $\Rightarrow k = 0$।

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि बिंदु $(2,0)$ और $(1,2)$ वृत्त पर स्थित हैं:
$4 + 4g + c = 0 \Rightarrow 4g + c = -4$ $(i)$
$1 + 4 + 2g + 4f + c = 0 \Rightarrow 2g + 4f + c = -5$ $(ii)$
वृत्त के सापेक्ष बिंदु $(0,2)$ की शक्ति $S(0,2) = 0^2 + 2^2 + 2g(0) + 2f(2) + c = 4 + 4f + c$ है।
शक्ति $4$ दी गई है,इसलिए $4 + 4f + c = 4 \Rightarrow 4f + c = 0$ $(iii)$
समीकरण $(ii)$ से $(iii)$ घटाने पर: $(2g + 4f + c) - (4f + c) = -5 - 0$ $\Rightarrow 2g = -5$ $\Rightarrow g = -\frac{5}{2}$.
$g$ का मान $(i)$ में रखने पर: $4(-\frac{5}{2}) + c = -4$ $\Rightarrow -10 + c = -4$ $\Rightarrow c = 6$.
$c$ का मान $(iii)$ में रखने पर: $4f + 6 = 0 \Rightarrow f = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-\frac{5}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 - 6} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{9}{4} - 6} = \sqrt{\frac{34}{4} - 6} = \sqrt{\frac{17}{2} - 6} = \sqrt{\frac{5}{2}}$.

(D) वृत्त का केंद्र उसके व्यासों $x - y = 2$ और $2x + 3y = 14$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$x - y = 2$ से $y = x - 2$ प्राप्त होता है।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2x + 3(x - 2) = 14$.
$2x + 3x - 6 = 14$ $\Rightarrow 5x = 20$ $\Rightarrow x = 4$.
अतः $y = 4 - 2 = 2$.
इसलिए,वृत्त का केंद्र $(4, 2)$ है।
वृत्त $(1, -2)$ से होकर गुजरता है। त्रिज्या $r$ केंद्र $(4, 2)$ और बिंदु $(1, -2)$ के बीच की दूरी है।
$r = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

(A) माना वृत्त का केंद्र $C(\alpha, \beta)$ है। चूंकि केंद्र रेखा $x-y+1=0$ पर स्थित है,इसलिए $\beta = \alpha+1$। अतः,$C = (\alpha, \alpha+1)$।
दिए गए बिंदु $P(3,1)$ और $Q(-2,4)$ वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए $CP^2 = CQ^2$।
$(\alpha-3)^2 + (\alpha+1-1)^2 = (\alpha+2)^2 + (\alpha+1-4)^2$
$(\alpha-3)^2 + \alpha^2 = (\alpha+2)^2 + (\alpha-3)^2$
$\alpha^2 = (\alpha+2)^2$
$\alpha^2 = \alpha^2 + 4\alpha + 4$
$4\alpha = -4 \Rightarrow \alpha = -1$।
अतः,केंद्र $C(-1, 0)$ है।
त्रिज्या $r = CP = \sqrt{(-1-3)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$।
वृत्त के प्राचलिक समीकरण $x = h + r \cos \theta$ और $y = k + r \sin \theta$ होते हैं।
मान रखने पर,$x = -1 + \sqrt{17} \cos \theta$ और $y = \sqrt{17} \sin \theta$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त बिंदुओं $A(3,4)$,$B(3,2)$ और $C(1,4)$ से होकर गुजरता है।
चूंकि $AB$ एक ऊर्ध्वाधर रेखाखंड $(x=3)$ है और $AC$ एक क्षैतिज रेखाखंड $(y=4)$ है,इसलिए $A(3,4)$ पर कोण $90^\circ$ है।
अतः,$BC$ वृत्त का व्यास है।
$BC$ का मध्यबिंदु केंद्र $(h, k) = (\frac{3+1}{2}, \frac{2+4}{2}) = (2, 3)$ है।
त्रिज्या $r$ केंद्र $(2, 3)$ से $(3, 4)$ तक की दूरी है:
$r = \sqrt{(3-2)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
प्राचलिक समीकरण $x = 2 + \sqrt{2} \cos \theta$ और $y = 3 + \sqrt{2} \sin \theta$ हैं।
$x = a + r \cos \theta$ और $y = b + r \sin \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$b = 3$ और $r = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$b^a \cdot r^a = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.