Equations of circle Questions in Hindi

(B) वृत्त बिंदुओं $A(3,4)$,$B(3,2)$ और $C(1,4)$ से होकर गुजरता है।
चूंकि $AB$ एक ऊर्ध्वाधर रेखाखंड $(x=3)$ है और $AC$ एक क्षैतिज रेखाखंड $(y=4)$ है,इसलिए $A(3,4)$ पर कोण $90^\circ$ है।
अतः,$BC$ वृत्त का व्यास है।
$BC$ का मध्यबिंदु केंद्र $(h, k) = (\frac{3+1}{2}, \frac{2+4}{2}) = (2, 3)$ है।
त्रिज्या $r$ केंद्र $(2, 3)$ से $(3, 4)$ तक की दूरी है:
$r = \sqrt{(3-2)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
प्राचलिक समीकरण $x = 2 + \sqrt{2} \cos \theta$ और $y = 3 + \sqrt{2} \sin \theta$ हैं।
$x = a + r \cos \theta$ और $y = b + r \sin \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$b = 3$ और $r = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$b^a \cdot r^a = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

(C) चूंकि वृत्त दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है और $(-6, 3)$ बिंदु से गुजरता है,इसलिए इसका केंद्र $(-r, r)$ और त्रिज्या $r$ है,जहाँ $r > 0$ है।
वृत्त का समीकरण: $(x+r)^2 + (y-r)^2 = r^2$
$x^2 + 2xr + r^2 + y^2 - 2yr + r^2 = r^2$
$x^2 + y^2 + 2xr - 2yr + r^2 = 0$
बिंदु $(-6, 3)$ को समीकरण में रखने पर:
$(-6)^2 + (3)^2 + 2(-6)r - 2(3)r + r^2 = 0$
$36 + 9 - 12r - 6r + r^2 = 0$
$r^2 - 18r + 45 = 0$
$(r - 3)(r - 15) = 0$
अतः,$r = 3$ या $r = 15$ है।
$r = 3$ के लिए,समीकरण $x^2 + y^2 + 6x - 6y + 9 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है।
केंद्र रेखा $x-y+3=0$ पर स्थित है,अतः $-g - (-f) + 3 = 0$,जिससे $g = f+3$ प्राप्त होता है।
वृत्त $(1,2)$ से गुजरता है,अतः $2g+4f+c = -5$ (समीकरण $1$)।
वृत्त $(3,4)$ से गुजरता है,अतः $6g+8f+c = -25$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से $1$ घटाने पर: $4g+4f = -20 \implies g+f = -5$ (समीकरण $3$)।
$g = f+3$ को समीकरण $3$ में रखने पर: $2f = -8 \implies f = -4$ और $g = -1$ प्राप्त होता है।
समीकरण $1$ में मान रखने पर: $c = 13$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{1+16-13} = \sqrt{4} = 2$।

(A) समीकरण $x^2+2x-3=0$ के लिए,मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha+\beta = -2$ और $\alpha\beta = -3$ है।
समीकरण $y^2-y-6=0$ के लिए,मूल $\gamma$ और $\delta$ हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\gamma+\delta = 1$ और $\gamma\delta = -6$ है।
व्यास के सिरों $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 + y^2 - (y_1+y_2)y + y_1y_2 = 0$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$x^2 - (-2)x + (-3) + y^2 - (1)y + (-6) = 0$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,यह $x^2 + y^2 + 2x - y - 9 = 0$ हो जाता है।

(B) $(1,1), (2,-1),$ और $(3,2)$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण है:
$\left|\begin{array}{cccc} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & -1 & 1 \\ 13 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
सारणिक को सरल करने पर:
$x^2+y^2-5x-y+4 = 0$
विकल्प $B$ में दिए गए बिंदुओं को जाँचने पर,वे वृत्त के समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

(C) त्रिभुज की भुजाओं के समीकरण $2x+3y=10$,$y=x$ और $y=0$ ($X$-अक्ष) हैं।
शीर्षों को ज्ञात करने के लिए इन समीकरणों को हल करने पर:
$1$. $y=x$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन: $x=0, y=0$. अतः,$B(0,0)$.
$2$. $2x+3y=10$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन: $2x=10 \Rightarrow x=5$. अतः,$C(5,0)$.
$3$. $2x+3y=10$ और $y=x$ का प्रतिच्छेदन: $2x+3x=10$ $\Rightarrow 5x=10$ $\Rightarrow x=2, y=2$. अतः,$A(2,2)$.
माना परिवृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि यह $(0,0)$ से गुजरता है,$c=0$.
चूंकि यह $(5,0)$ से गुजरता है,$25+10g=0 \Rightarrow g=\frac{-5}{2}$.
चूंकि यह $(2,2)$ से गुजरता है,$8+4g+4f=0$.
$g=\frac{-5}{2}$ रखने पर: $8+4(\frac{-5}{2})+4f=0$ $\Rightarrow 8-10+4f=0$ $\Rightarrow 4f=2$ $\Rightarrow f=\frac{1}{2}$.
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (\frac{5}{2}, \frac{-1}{2})$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(\frac{-5}{2})^2+(\frac{1}{2})^2-0} = \sqrt{\frac{25}{4}+\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{13}{2}}$.

(A) माना वृत्त का केंद्र $C(h, k)$ है।
चूंकि वृत्त $Y-$अक्ष को मूलबिंदु से $4$ इकाई की दूरी पर स्पर्श करता है,केंद्र $C(\pm r, 4)$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
अतः,वृत्त का समीकरण $(x \mp r)^2 + (y - 4)^2 = r^2$ है।
यह वृत्त $X-$अक्ष पर $6$ इकाई का अंतःखंड काटता है। $X-$अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{r^2 - k^2}$ है,जहाँ $k=4$ है।
दिया है $2\sqrt{r^2 - 4^2} = 6$,इसलिए $\sqrt{r^2 - 16} = 3$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$r^2 - 16 = 9$,जिससे $r^2 = 25$ प्राप्त होता है,अतः $r = 5$ है।
केंद्र $C(\pm 5, 4)$ है।
समीकरण $(x \mp 5)^2 + (y - 4)^2 = 25$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 \mp 10x + 25 + y^2 - 8y + 16 = 25$ प्राप्त होता है।
$x^2 + y^2 \mp 10x - 8y + 16 = 0$।

(A) दिया गया वृत्त: $x^2+y^2-6x+12y+15=0$.
केंद्र $(3, -6)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{30}$ है।
दिए गए वृत्त का क्षेत्रफल $A = 30\pi$ है।
नए वृत्त का क्षेत्रफल $60\pi$ है,इसलिए $R^2 = 60$ है।
नए वृत्त का समीकरण: $(x-3)^2 + (y+6)^2 = 60$.
$x^2+y^2-6x+12y-15=0$.

(D) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ है।
इसका केंद्र $(1, 2)$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और इसकी त्रिज्या $r=5$ है।
चूंकि वृत्त $(5, 5)$ पर स्पर्श करते हैं,इसलिए $(5, 5)$ केंद्रों $(h, k)$ और $(1, 2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु है।
अतः,$\frac{h+1}{2} = 5 \Rightarrow h = 9$।
और $\frac{k+2}{2} = 5 \Rightarrow k = 8$।
अतः,अभीष्ट वृत्त का समीकरण $(x-9)^2 + (y-8)^2 = 5^2$ होगा।
इसे हल करने पर $x^2 + y^2 - 18x - 16y + 120 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) वक्र $y=x^2$ के लिए $(2,4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{y+4}{2} = 2x$ है,जो $4x - y - 4 = 0$ हो जाता है।
$(2,4)$ पर स्पर्श करने वाले और $4x - y - 4 = 0$ स्पर्श रेखा वाले वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + (y-4)^2 + \lambda(4x - y - 4) = 0$ है।
वृत्त $(0,1)$ से गुजरता है,इसलिए $(0-2)^2 + (1-4)^2 + \lambda(0-1-4) = 0$।
इससे $4 + 9 - 5\lambda = 0$,अर्थात $\lambda = \frac{13}{5}$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ का मान रखने पर,वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + x(\frac{52}{5} - 4) - y(8 + \frac{13}{5}) + (20 - \frac{52}{5}) = 0$ मिलता है।
वृत्त का केंद्र $(-\frac{1}{2}(\frac{52}{5} - 4), \frac{1}{2}(8 + \frac{13}{5})) = (-\frac{16}{5}, \frac{53}{10})$ है।

(B) दिए गए प्राचलिक समीकरण:
$x = \frac{2at}{1+t^2}$
$y = \frac{a(1-t^2)}{1+t^2}$
$t = \tan \theta$ रखने पर:
$x = a \sin 2\theta$
$y = a \cos 2\theta$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$x^2 + y^2 = a^2 \sin^2 2\theta + a^2 \cos^2 2\theta$
$x^2 + y^2 = a^2(\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta)$
$x^2 + y^2 = a^2$
यह $a$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण है।
अतः,$a$ वृत्त की त्रिज्या है।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $r=12 \cos \theta+5 \sin \theta$ है।
$\cos \theta=\frac{x}{r}$ और $\sin \theta=\frac{y}{r}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$r = 12 \left(\frac{x}{r}\right) + 5 \left(\frac{y}{r}\right)$
$r^2 = 12x + 5y$
चूंकि $r^2 = x^2 + y^2$,इसलिए:
$x^2 + y^2 - 12x - 5y = 0$
इसे सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -6$ और $f = -\frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
वृत्त की त्रिज्या $\sqrt{g^2 + f^2 - c}$ द्वारा दी जाती है:
त्रिज्या $= \sqrt{(-6)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 0}$
त्रिज्या $= \sqrt{36 + \frac{25}{4}}$
त्रिज्या $= \sqrt{\frac{144 + 25}{4}} = \sqrt{\frac{169}{4}} = \frac{13}{2}$.

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-6x+12y+15=0$ है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-3, f=6, c=15$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-3)^2+6^2-15} = \sqrt{9+36-15} = \sqrt{30}$ है।
दिए गए वृत्त का क्षेत्रफल $A_1 = \pi r_1^2 = 30\pi$ है।
माना संकेंद्रित वृत्त $x^2+y^2-6x+12y+k=0$ है।
इसकी त्रिज्या $r_2$ के लिए $r_2^2 = g^2+f^2-k = 45-k$ है।
प्रश्न के अनुसार,नए वृत्त का क्षेत्रफल $A_2 = 2A_1 = 60\pi$ है।
अतः,$\pi r_2^2 = 60\pi$,जिसका अर्थ है $r_2^2 = 60$।
$r_2^2 = 45-k$ रखने पर,$45-k = 60$,जिससे $k = -15$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+12y-15=0$ है।

(C) व्यास रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र है। समीकरणों $2x + y = 7$ और $x + 3y = 11$ को हल करने पर:
पहले समीकरण से,$y = 7 - 2x$।
दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x + 3(7 - 2x) = 11$ $\Rightarrow x + 21 - 6x = 11$ $\Rightarrow -5x = -10$ $\Rightarrow x = 2$।
तब $y = 7 - 2(2) = 3$। अतः,केंद्र $(h, k) = (2, 3)$ है।
वृत्त $(5, 7)$ से होकर गुजरता है,इसलिए त्रिज्या $r$,$(2, 3)$ और $(5, 7)$ के बीच की दूरी है:
$r = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है:
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 25$
$x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0$।

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ है क्योंकि यह मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरता है।
$x$-अक्ष पर अंतःखंड $2|g|=4$ $\Rightarrow |g|=2$ $\Rightarrow g = \pm 2$ है।
$y$-अक्ष पर अंतःखंड $2|f|=8$ $\Rightarrow |f|=4$ $\Rightarrow f = \pm 4$ है।
इन मानों को सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2+y^2 \pm 2(2)x \pm 2(4)y=0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^2+y^2 \pm 4x \pm 8y=0$ हैं।

(C) चूँकि रेखाएँ $2x - 3y = 5$ और $3x - 4y = 7$ वृत्त के व्यास हैं,इसलिए उनका प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
समीकरणों को हल करने पर:
$2x - 3y = 5$ $(i)$
$3x - 4y = 7$ (ii)
समीकरण $(i)$ को $3$ से और (ii) को $2$ से गुणा करने पर:
$6x - 9y = 15$
$6x - 8y = 14$
घटाने पर $y = -1$ प्राप्त होता है।
$y = -1$ को $(i)$ में रखने पर: $2x - 3(-1) = 5$ $\Rightarrow 2x + 3 = 5$ $\Rightarrow x = 1$.
अतः,केंद्र $(1, -1)$ है और त्रिज्या $r = 7$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है:
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$.

(A) दिया गया है,त्रिज्या $r = 3$ है।
चूंकि वृत्त चौथे चतुर्थांश में स्थित है और दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(h, k) = (3, -3)$ होगा।
वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है।
मान रखने पर,$(x-3)^2 + (y+3)^2 = 3^2$।
$(x-3)^2 + (y+3)^2 = 9$।
विस्तार करने पर: $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 6y + 9) = 9$।
$x^2 + y^2 - 6x + 6y + 18 = 9$।
$x^2 + y^2 - 6x + 6y + 9 = 0$।

(C) केंद्र $(h, k)$ के कार्तीय निर्देशांक $h = r_0 \cos \theta_0$ और $k = r_0 \sin \theta_0$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $(r_0, \theta_0) = (2, \frac{\pi}{2})$ है।
अतः,$h = 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ और $k = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2$ है।
केंद्र $(0, 2)$ है और त्रिज्या $a = 3$ है।
वृत्त का कार्तीय समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$ है,जो $(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 3^2$ बन जाता है।
यह $x^2 + y^2 - 4y + 4 = 9$ या $x^2 + y^2 - 4y = 5$ में सरल हो जाता है।
ध्रुवीय रूपांतरणों $x^2 + y^2 = r^2$ और $y = r \sin \theta$ का उपयोग करके,हमें प्राप्त होता है:
$r^2 - 4(r \sin \theta) = 5$।
अतः,ध्रुवीय समीकरण $r^2 - 4r \sin \theta = 5$ है।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $r = \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta$ है।
दोनों पक्षों को $r$ से गुणा करने पर,हमें $r^2 = \sqrt{3} (r \sin \theta) + (r \cos \theta)$ प्राप्त होता है।
ध्रुवीय से कार्तीय रूपांतरण $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ तथा $r^2 = x^2 + y^2$ का उपयोग करने पर,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$x^2 + y^2 = x + \sqrt{3} y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x^2 - x + y^2 - \sqrt{3} y = 0$.
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,$2g = -1 \Rightarrow g = -\frac{1}{2}$ और $2f = -\sqrt{3} \Rightarrow f = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,जहाँ $c = 0$ है।
त्रिज्या $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 0}$ द्वारा दी जाती है।
त्रिज्या $= \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

(C) दिया गया वृत्त का ध्रुवीय समीकरण $r^2-4r(\cos \theta+\sin \theta)-4=0$ है।
हम जानते हैं कि $x=r \cos \theta$,$y=r \sin \theta$,और $r^2=x^2+y^2$ होता है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+y^2-4(x+y)-4=0$
$x^2+y^2-4x-4y-4=0$
इसे वृत्त के सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $2g=-4 \Rightarrow g=-2$ और $2f=-4 \Rightarrow f=-2$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (2, 2)$ है।

(B) रेखा का समीकरण $3x - 2y + 6 = 0$ है।
$X$-अक्ष पर प्रतिच्छेद $(A)$ ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें: $3x + 6 = 0 \Rightarrow x = -2$. अतः,$A = (-2, 0)$।
$Y$-अक्ष पर प्रतिच्छेद $(B)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें: $-2y + 6 = 0 \Rightarrow y = 3$. अतः,$B = (0, 3)$।
त्रिज्या $r = AB = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$।
केंद्र $(h, k) = (-2, 0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{13}$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
$(x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = (\sqrt{13})^2$
$(x + 2)^2 + y^2 = 13$
$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 13$
$x^2 + y^2 + 4x - 9 = 0$।

(B) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में स्थित है और दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(r, r)$ होगा।
वृत्त का समीकरण $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ है।
वृत्त रेखा $4x + 3y - 12 = 0$ को स्पर्श करता है। केंद्र $(r, r)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|4r + 3r - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = r$
$\frac{|7r - 12|}{5} = r$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) 7r - 12 = 5r$ $\Rightarrow 2r = 12$ $\Rightarrow r = 6$
$2) 7r - 12 = -5r$ $\Rightarrow 12r = 12$ $\Rightarrow r = 1$
चूंकि हमें बड़े वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करनी है,इसलिए त्रिज्या $6$ है।

(B) चूंकि वृत्त तीसरे चतुर्थांश में दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र दोनों अक्षों से ऋणात्मक दिशा में $5$ इकाई की दूरी पर होना चाहिए।
अतः,वृत्त का केंद्र $(-5, -5)$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = 5$ दी गई है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ होता है।
$h = -5$,$k = -5$,और $r = 5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x - (-5))^2 + (y - (-5))^2 = 5^2$
$(x+5)^2 + (y+5)^2 = 25$.

(A) बिंदु $(1, 1)$ और $(2, 0)$ वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्थित हैं।
$(1, 1)$ रखने पर: $1 + 1 + 2g + 2f + c = 0 \Rightarrow 2g + 2f + c = -2$ ...$(i)$
$(2, 0)$ रखने पर: $4 + 0 + 4g + 0 + c = 0 \Rightarrow 4g + c = -4$ ...$(ii)$
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर: $(4g + c) - (2g + 2f + c) = -4 - (-2)$ $\Rightarrow 2g - 2f = -2$ $\Rightarrow f = g + 1$.
$(ii)$ से,$c = -4 - 4g$.
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-g, -(g + 1))$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{2g^2 + 6g + 5}$ है।
केंद्र $(-g, -g - 1)$ से रेखा $3x - y - 1 = 0$ की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर है:
$\left|\frac{3(-g) - (-g - 1) - 1}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}}\right| = r$ $\Rightarrow \left|\frac{-2g}{\sqrt{10}}\right| = \sqrt{2g^2 + 6g + 5}$.
$\frac{4g^2}{10} = 2g^2 + 6g + 5 \Rightarrow 8g^2 + 30g + 25 = 0$.
$(4g + 5)(2g + 5) = 0 \Rightarrow g = -\frac{5}{4}$ या $g = -\frac{5}{2}$.

(A) $(3, -7)$ और $(-5, 3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के समत्रिभाजन बिंदु $P$ और $Q$ हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$P = \left( \frac{1}{3}, -\frac{11}{3} \right)$
$Q = \left( -\frac{7}{3}, -\frac{1}{3} \right)$
चूंकि $PQ$,$R$ पर $90^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसलिए $PQ$ वृत्त का व्यास है।
वृत्त का समीकरण: $(x - \frac{1}{3})(x + \frac{7}{3}) + (y + \frac{11}{3})(y + \frac{1}{3}) = 0$
$x^2 + y^2 + 2x + 4y + \frac{4}{9} = 0$
त्रिज्या $= \sqrt{1^2 + 2^2 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{41}}{3}$.

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि वृत्त धनात्मक $X$ और $Y$ अक्ष को स्पर्श करता है, इसलिए इसका केंद्र $(r, r)$ और त्रिज्या $r$ होगी, जहाँ $r > 0$ है।
अतः, समीकरण $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ हो जाता है, जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2rx - 2ry + r^2 = 0$ बनता है।
इसे $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के साथ तुलना करने पर, हमें $g = -r$ और $f = -r$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $(2, 4)$ वृत्त पर स्थित है, हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2 - r)^2 + (4 - r)^2 = r^2$
$4 - 4r + r^2 + 16 - 8r + r^2 = r^2$
$r^2 - 12r + 20 = 0$
$(r - 10)(r - 2) = 0$
अतः, दो संभावित त्रिज्याएँ $r_1 = 10$ और $r_2 = 2$ हैं।
दोनों वृत्तों के क्षेत्रफल $A_1 = \pi(10)^2 = 100\pi$ और $A_2 = \pi(2)^2 = 4\pi$ हैं।
उनके क्षेत्रफलों का अंतर $100\pi - 4\pi = 96\pi$ है।

(B) वृत्त का दिया गया ध्रुवीय समीकरण $r^2-8r(\sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta) + 15 = 0$ है।
$r \cos \theta = x$ और $r \sin \theta = y$ प्रतिस्थापित करने पर,और यह देखते हुए कि $r^2 = x^2 + y^2$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$x^2 + y^2 - 8(\sqrt{3}x + y) + 15 = 0$
$x^2 + y^2 - 8\sqrt{3}x - 8y + 15 = 0$।
इसे वृत्त के सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $g = -4\sqrt{3}$,$f = -4$,और $c = 15$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $R = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ द्वारा दी जाती है।
$R = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + (-4)^2 - 15} = \sqrt{48 + 16 - 15} = \sqrt{49} = 7$।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा समीकरण एक वृत्त को दर्शाता है,हम ध्रुवीय निर्देशांकों को कार्तीय निर्देशांकों में बदलते हैं,जहाँ $x = r \cos \theta$,$y = r \sin \theta$ और $r^2 = x^2 + y^2$ है।
विकल्प $A$ के लिए: $r = 2 \sin \theta$।
दोनों पक्षों को $r$ से गुणा करने पर,$r^2 = 2r \sin \theta$ प्राप्त होता है।
$r^2 = x^2 + y^2$ और $r \sin \theta = y$ प्रतिस्थापित करने पर,$x^2 + y^2 = 2y$ प्राप्त होता है।
इसे $x^2 + (y - 1)^2 = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो एक वृत्त का समीकरण है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $x^{2} - 10x + y^{2} + 21 = 0$.
$x$ के वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
समीकरण को $x$ में द्विघात के रूप में लेने पर: $x^{2} - 10x + (y^{2} + 21) = 0$.
$D = (-10)^{2} - 4(1)(y^{2} + 21) \geq 0$.
$100 - 4y^{2} - 84 \geq 0$ $\Rightarrow 16 - 4y^{2} \geq 0$ $\Rightarrow y^{2} \leq 4$.
अतः,$-2 \leq y \leq 2$.
इसी प्रकार,$y$ के वास्तविक मूल होने के लिए,समीकरण को $y$ में द्विघात के रूप में लेने पर: $y^{2} + (x^{2} - 10x + 21) = 0$.
चूंकि $y^{2} = -x^{2} + 10x - 21$,$y$ के वास्तविक होने के लिए $y^{2} \geq 0$.
$-x^{2} + 10x - 21 \geq 0 \Rightarrow x^{2} - 10x + 21 \leq 0$.
$(x-7)(x-3) \leq 0 \Rightarrow 3 \leq x \leq 7$.

(A) माना वृत्त का केंद्र $(a, 0)$ है जहाँ $a > 0$ है क्योंकि यह $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा में है।
दी गई त्रिज्या $r = \sqrt{17}$ है,अतः वृत्त का समीकरण $(x - a)^{2} + (y - 0)^{2} = r^{2}$ होगा।
मान रखने पर,$(x - a)^{2} + y^{2} = 17$ प्राप्त होता है।
चूँकि वृत्त बिंदु $(0, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x = 0$ और $y = 1$ रखने पर:
$(0 - a)^{2} + 1^{2} = 17$
$a^{2} + 1 = 17$
$a^{2} = 16$
चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 4$ होगा।
$a = 4$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$(x - 4)^{2} + y^{2} = 17$
$x^{2} - 8x + 16 + y^{2} = 17$
$x^{2} + y^{2} - 8x - 1 = 0$.

(C) बिंदु $(2,0)$,$(0,3)$,और $(0,0)$ मूल बिंदु $(0,0)$ पर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं क्योंकि $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
चूंकि $(2,0)$ और $(0,3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा $(0,0)$ पर अंतरित कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए यह रेखाखंड वृत्त का व्यास है।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
$(2,0)$ और $(0,3)$ बिंदुओं को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x-2)(x-0) + (y-0)(y-3) = 0$
$x^2 - 2x + y^2 - 3y = 0$
$x^2 + y^2 - 2x - 3y = 0$
चूंकि बिंदु $(2k, 3k)$ इस वृत्त पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(2k)^2 + (3k)^2 - 2(2k) - 3(3k) = 0$
$4k^2 + 9k^2 - 4k - 9k = 0$
$13k^2 - 13k = 0$
$13k(k - 1) = 0$
इससे $k = 0$ या $k = 1$ प्राप्त होता है।
यदि $k = 0$ है,तो बिंदु $(2k, 3k)$ का मान $(0,0)$ हो जाएगा,जो दिए गए बिंदु $(0,0)$ से भिन्न नहीं है।
अतः,चारों बिंदुओं के भिन्न होने के लिए $k = 1$ होना चाहिए।

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूँकि वृत्त मूलबिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $c = 0$ है।
यह $(2,6)$ से गुजरता है,इसलिए $4 + 36 + 4g + 12f = 0$,जो $g + 3f = -10$ में सरल होता है।
यह $(6,2)$ से गुजरता है,इसलिए $36 + 4 + 12g + 4f = 0$,जो $3g + f = -10$ में सरल होता है।
समीकरणों $g + 3f = -10$ और $3g + f = -10$ को हल करने पर,हमें $g = f = -2.5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 5x - 5y = 0$ है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$y = 0$ रखने पर: $x^2 - 5x = 0$,जिससे $x(x - 5) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(5,0)$ हैं।
चूँकि $P \neq (0,0)$,इसलिए $P$ बिंदु $(5,0)$ है।
$OP$ की लंबाई $5$ है।

(B) एक समबाहु त्रिभुज में,अंतःकेंद्र,केंद्रक,परिकेंद्र और लंबकेंद्र संपाती होते हैं। मान लीजिए अंतःकेंद्र $G(1, 1)$ है।
अंतःकेंद्र $G(1, 1)$ से भुजा $3x + 4y + 3 = 0$ की लंबवत दूरी अंतःत्रिज्या $r$ है:
$r = \frac{|3(1) + 4(1) + 3|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{|3 + 4 + 3|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{10}{5} = 2$.
समबाहु त्रिभुज में,परिवृत्त की त्रिज्या $R$,अंतःत्रिज्या $r$ की दोगुनी होती है। इसलिए,$R = 2r = 2(2) = 4$.
परिवृत्त का केंद्र $(1, 1)$ और त्रिज्या $R = 4$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 4^{2}$ होगा।
$x^{2} - 2x + 1 + y^{2} - 2y + 1 = 16$.
$x^{2} + y^{2} - 2x - 2y + 2 = 16$.
$x^{2} + y^{2} - 2x - 2y - 14 = 0$.

(A) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $(r, r)$ है क्योंकि यह प्रथम चतुर्थांश में है और अक्षों से समान अंतःखंड काटता है।
वृत्त के निर्देशांक अक्षों को ठीक तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए,इसे मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरना चाहिए और इसका समीकरण $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ होगा।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 + y^2 - 2rx - 2ry + r^2 = 0$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(r, r)$ से रेखा $x + y - 1 = 0$ की दूरी $d = \frac{|2r - 1|}{\sqrt{2}}$ है।
जीवा की लंबाई $\sqrt{14}$ दी गई है,इसलिए $2\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{14}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4(r^2 - d^2) = 14$,जिसका अर्थ है $r^2 - d^2 = 3.5$।
$d^2 = \frac{(2r-1)^2}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$r^2 - \frac{4r^2 - 4r + 1}{2} = 3.5$।
इस समीकरण को हल करने पर $r=3$ प्राप्त होता है,अतः $r^2 = 9$।