Equations of circle Questions in Hindi

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि इसका केंद्र $(-g, -f)$ रेखा $x-4y=1$ पर स्थित है,इसलिए $-g-4(-f)=1$,जो $-g+4f=1$ $\dots(i)$ हो जाता है।
चूंकि वृत्त $(3,7)$ से गुजरता है,इसलिए $3^2+7^2+2g(3)+2f(7)+c=0$,जिससे $6g+14f+c=-58$ $\dots(ii)$ प्राप्त होता है।
चूंकि वृत्त $(5,5)$ से भी गुजरता है,इसलिए $5^2+5^2+2g(5)+2f(5)+c=0$,जिससे $10g+10f+c=-50$ $\dots(iii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(iii)$ में से $(ii)$ को घटाने पर,$4g-4f=8$ प्राप्त होता है,अर्थात $g-f=2$ $\dots(iv)$।
समीकरण $(i)$ और $(iv)$ को हल करने पर,$f=1$ और $g=3$ प्राप्त होता है।
$g=3$ और $f=1$ का मान $(iii)$ में रखने पर,$c=-90$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+6x+2y-90=0$ है।

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि यह $(1, -2)$ से गुजरता है,हमारे पास $1+4+2g-4f+c=0 \Rightarrow 2g-4f+c=-5$ $(i)$ है।
चूंकि यह $(4, -3)$ से गुजरता है,हमारे पास $16+9+8g-6f+c=0 \Rightarrow 8g-6f+c=-25$ $(ii)$ है।
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर: $(8g-6f+c) - (2g-4f+c) = -25 - (-5) \Rightarrow 6g-2f = -20$ $(iii)$।
केंद्र $(-g, -f)$ रेखा $3x+2y=7$ पर स्थित है,इसलिए $3(-g)+2(-f)=7 \Rightarrow -3g-2f=7$ $(iv)$।
$(iii)$ में से $(iv)$ को घटाने पर: $(6g-2f) - (-3g-2f) = -20 - 7$ $\Rightarrow 9g = -27$ $\Rightarrow g = -3$।
$g=-3$ को $(iii)$ में रखने पर: $6(-3)-2f = -20$ $\Rightarrow -18-2f = -20$ $\Rightarrow -2f = -2$ $\Rightarrow f = 1$।
$g=-3$ और $f=1$ को $(i)$ में रखने पर: $2(-3)-4(1)+c = -5$ $\Rightarrow -6-4+c = -5$ $\Rightarrow c = 5$।
अतः वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+2y+5=0$ है।

(A) वृत्त का केंद्र व्यासों $3x - 4y - 7 = 0$ और $2x - 3y - 5 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन समीकरणों को हल करने पर:
पहले समीकरण को $3$ से और दूसरे को $4$ से गुणा करने पर: $9x - 12y = 21$ और $8x - 12y = 20$ प्राप्त होता है।
घटाने पर $x = 1$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ को $2x - 3y - 5 = 0$ में रखने पर $2(1) - 3y - 5 = 0$ मिलता है,जिससे $-3y = 3$,अर्थात $y = -1$।
केंद्र $(h, k) = (1, -1)$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = 49\pi$ है,इसलिए $r^2 = 49$,अर्थात $r = 7$।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है।
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2$।
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$।
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$।

(A) वृत्त का केंद्र व्यास $2x - 3y = 5$ और $3x - 4y = 7$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन समीकरणों को हल करने पर:
पहले समीकरण को $3$ से और दूसरे को $2$ से गुणा करने पर: $6x - 9y = 15$ और $6x - 8y = 14$ प्राप्त होता है।
घटाने पर $y = -1$ मिलता है। $y = -1$ को $2x - 3(-1) = 5$ में रखने पर $2x + 3 = 5$ मिलता है,जिससे $x = 1$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(1, -1)$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = 154$ है।
$\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर,$\frac{22}{7} r^2 = 154$,जिससे $r^2 = 49$ और $r = 7$ मिलता है।
वृत्त का समीकरण $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2$ है।
विस्तार करने पर: $x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$.
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$.

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण: $x^2+y^2-6x-2y+9=0$.
$x$ और $y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^2-6x+9) + (y^2-2y+1) = -9+9+1$.
$(x-3)^2 + (y-1)^2 = 1^2$.
वृत्त का मानक रूप $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है,जहाँ केंद्र $(h, k) = (3, 1)$ और त्रिज्या $r = 1$ है।
प्राचलिक समीकरण $x = h + r \cos \theta$ और $y = k + r \sin \theta$ द्वारा दिए जाते हैं।
मान रखने पर: $x = 3 + 1 \cos \theta$ और $y = 1 + 1 \sin \theta$.
अतः,$x = 3 + \cos \theta$ और $y = 1 + \sin \theta$।

(D) दिया गया समीकरण $x^2+y^2-ax-by=0$ है।
वर्ग पूरा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x-\frac{a}{2})^2 + (y-\frac{b}{2})^2 = \frac{a^2+b^2}{4}$.
यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(h, k) = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ और त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}}$ है।
वृत्त के प्राचलिक समीकरण $x = h + r \cos \theta$ और $y = k + r \sin \theta$ होते हैं।
मान रखने पर,हमें $x = \frac{a}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} \cos \theta$ और $y = \frac{b}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} \sin \theta$ प्राप्त होता है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूँकि यह रेखा $x-4y=1$ पर स्थित है,इसलिए $h = 1+4k$ है। अतः,केंद्र $(4k+1, k)$ है।
वृत्त बिंदुओं $(3,7)$ और $(5,5)$ से होकर गुजरता है,इसलिए केंद्र से इन बिंदुओं की दूरी समान (त्रिज्या $r$) है:
$(4k+1-3)^2 + (k-7)^2 = (4k+1-5)^2 + (k-5)^2$
$(4k-2)^2 + (k-7)^2 = (4k-4)^2 + (k-5)^2$
$16k^2 - 16k + 4 + k^2 - 14k + 49 = 16k^2 - 32k + 16 + k^2 - 10k + 25$
$17k^2 - 30k + 53 = 17k^2 - 42k + 41$
$12k = -12 \Rightarrow k = -1$.
$k = -1$ को $h = 1+4k$ में रखने पर,$h = 1+4(-1) = -3$ प्राप्त होता है। अतः,केंद्र $(-3, -1)$ है।
त्रिज्या $r$ बिंदु $(-3, -1)$ और $(5, 5)$ के बीच की दूरी है:
$r^2 = (5 - (-3))^2 + (5 - (-1))^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है:
$(x + 3)^2 + (y + 1)^2 = 100$
$x^2 + 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 = 100$
$x^2 + y^2 + 6x + 2y - 90 = 0$.

(A) दिया गया है कि वृत्त की परिधि $10 \pi$ इकाई है।
हम जानते हैं कि परिधि $C = 2 \pi r$,इसलिए $2 \pi r = 10 \pi$,जिससे $r = 5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(h, k) = (2, -3)$ है।
वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है।
मान रखने पर,$(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 5^2$ प्राप्त होता है।
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$।
विस्तार करने पर,$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 25$।
$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 25$।
$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$।

(C) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $c=0$ है।
वृत्त $X$-अक्ष पर $-2$ का अंतःखंड काटता है,इसलिए यह $(-2,0)$ से गुजरता है। समीकरण में मान रखने पर: $(-2)^2 + 0^2 + 2g(-2) + 2f(0) + 0 = 0$ $\Rightarrow 4 - 4g = 0$ $\Rightarrow g = 1$.
वृत्त $Y$-अक्ष पर $3$ का अंतःखंड काटता है,इसलिए यह $(0,3)$ से गुजरता है। समीकरण में मान रखने पर: $0^2 + 3^2 + 2g(0) + 2f(3) + 0 = 0$ $\Rightarrow 9 + 6f = 0$ $\Rightarrow f = -\frac{3}{2}$.
$g=1$ और $f=-\frac{3}{2}$ का मान सामान्य समीकरण में रखने पर: $x^2+y^2+2(1)x+2(-\frac{3}{2})y+0=0$.
इसे सरल करने पर $x^2+y^2+2x-3y=0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}-6x+4y-3=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^{2}-6x+9) + (y^{2}+4y+4) = 3+9+4$
$(x-3)^{2} + (y+2)^{2} = 16$
$(x-3)^{2} + (y+2)^{2} = 4^{2}$
इसे मानक रूप $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ से तुलना करने पर,केंद्र $(h, k) = (3, -2)$ और त्रिज्या $r = 4$ प्राप्त होती है।
वृत्त के प्राचलिक समीकरण $x = h + r \cos \theta$ और $y = k + r \sin \theta$ होते हैं।
मान रखने पर,$x = 3 + 4 \cos \theta$ और $y = -2 + 4 \sin \theta$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ है,जिसका केंद्र $(-g, -f)$ है।
प्रथम वृत्त $x^{2}+y^{2}+2x-4y+1=0$ के लिए,केंद्र $A$ $(-1, 2)$ है।
द्वितीय वृत्त $x^{2}+y^{2}-8x+6y+17=0$ के लिए,केंद्र $B$ $(4, -3)$ है।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0$ होता है।
$A$ और $B$ के निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-(-1))(x-4)+(y-2)(y-(-3))=0$
$(x+1)(x-4)+(y-2)(y+3)=0$
$x^{2}-4x+x-4+y^{2}+3y-2y-6=0$
$x^{2}+y^{2}-3x+y-10=0$.

(C) चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है और $x$-अक्ष पर $3$ तथा $y$-अक्ष पर $-5$ का अंतःखंड बनाता है,इसलिए बिंदु $(3,0)$ और $(0,-5)$ वृत्त पर स्थित हैं।
चूंकि वृत्त पर किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा बनाया गया कोण $90^{\circ}$ होता है,इसलिए $(3,0)$ और $(0,-5)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड वृत्त का व्यास है क्योंकि मूल बिंदु $(0,0)$ पर कोण $90^{\circ}$ है।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
बिंदुओं $(3,0)$ और $(0,-5)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-3)(x-0) + (y-0)(y-(-5)) = 0$
$x(x-3) + y(y+5) = 0$
$x^{2} - 3x + y^{2} + 5y = 0$
$x^{2} + y^{2} - 3x + 5y = 0$

(D) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ है,जहाँ त्रिज्या $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}$ होती है।
दिए गए समीकरण $x^{2}+y^{2}-4x+6y-k=0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर:
$2g = -4 \Rightarrow g = -2$
$2f = 6 \Rightarrow f = 3$
$c = -k$
चूँकि त्रिज्या $r = 5$ दी गई है:
$5 = \sqrt{(-2)^{2} + (3)^{2} - (-k)}$
$5 = \sqrt{4 + 9 + k}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$25 = 13 + k$
$k = 25 - 13 = 12$

(A) प्रथम वृत्त $x^{2}+y^{2}-2x+3y-3=0$ का केंद्र $C_{1} = (1, -3/2)$ है।
द्वितीय वृत्त $x^{2}+y^{2}+6x-12y-5=0$ का केंद्र $C_{2} = (-3, 6)$ है।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_{1})(x-x_{2}) + (y-y_{1})(y-y_{2}) = 0$ होता है।
मान रखने पर: $(x-1)(x+3) + (y+3/2)(y-6) = 0$
$x^{2}+2x-3 + y^{2}-9/2y-9 = 0$
$x^{2}+y^{2}+2x-9/2y-12 = 0$
$2$ से गुणा करने पर: $2x^{2}+2y^{2}+4x-9y-24 = 0$.

(B) आयत के शीर्ष $(a, b)$,$(-a, b)$,$(-a, -b)$,और $(a, -b)$ हैं।
चूँकि वृत्त इन शीर्षों से होकर गुजरता है,इसलिए आयत का विकर्ण वृत्त का व्यास बन जाता है।
$(a, b)$ और $(-a, -b)$ को जोड़ने वाले विकर्ण को व्यास मानकर,वृत्त का समीकरण है:
$(x - a)(x + a) + (y - b)(y + b) = 0$
$x^2 - a^2 + y^2 - b^2 = 0$
$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + k = 0$ है।
चूंकि यह $(2,0)$ से गुजरता है,$4 + 4g + k = 0 \Rightarrow k = -4 - 4g$.
चूंकि यह $(0,1)$ से गुजरता है,$1 + 2f + k = 0 \Rightarrow k = -1 - 2f$.
चूंकि यह $(4,5)$ से गुजरता है,$41 + 8g + 10f + k = 0$.
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $g = -\frac{13}{6}$,$f = -\frac{17}{6}$,और $k = \frac{14}{3}$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $3(x^{2} + y^{2}) - 13x - 17y + 14 = 0$ है।
चूंकि $(0, c)$ इस वृत्त पर स्थित है,$x=0$ और $y=c$ रखने पर:
$3c^{2} - 17c + 14 = 0$.
$(3c - 14)(c - 1) = 0$.
अतः,$c = 1$ या $c = \frac{14}{3}$.
चूंकि $(0,1)$ पहले से ही एक बिंदु है,इसलिए $c = \frac{14}{3}$ होगा।

(C) दिया गया वृत्त $2x^2+2y^2-6x+8y+1=0$ है।
$2$ से भाग देने पर,$x^2+y^2-3x+4y+\frac{1}{2}=0$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(\frac{3}{2}, -2)$ है और त्रिज्या $r_1$ के लिए $r_1^2 = (\frac{3}{2})^2 + (-2)^2 - \frac{1}{2} = \frac{23}{4}$ है।
माना अभीष्ट वृत्त $x^2+y^2-3x+4y+k=0$ है।
इसकी त्रिज्या $r_2$ के लिए $r_2^2 = \frac{25}{4} - k$ है।
क्षेत्रफल दोगुना होने के कारण,$r_2^2 = 2r_1^2$।
$\frac{25}{4} - k = 2(\frac{23}{4}) = \frac{23}{2}$।
$k = -\frac{21}{4}$।
अतः,समीकरण $x^2+y^2-3x+4y-\frac{21}{4}=0$ या $4x^2+4y^2-12x+16y-21=0$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x-4y-12=0$ है।
इसका केंद्र $(-g, -f) = (3, 2)$ है।
दिए गए वृत्त के संकेंद्रीय वृत्त का केंद्र भी $(3, 2)$ होगा।
माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $(x-3)^2+(y-2)^2=r^2$ है।
चूंकि वृत्त $Y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |3| = 3$ होगी।
समीकरण में $r=3$ रखने पर: $(x-3)^2+(y-2)^2=3^2$.
विस्तार करने पर: $x^2-6x+9+y^2-4y+4=9$.
अतः,$x^2+y^2-6x-4y+4=0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $(3, 4)$ से रेखा $5x + 12y - 11 = 0$ की लंबवत दूरी है।
$r = \left| \frac{5(3) + 12(4) - 11}{\sqrt{5^2 + 12^2}} \right| = \left| \frac{15 + 48 - 11}{\sqrt{25 + 144}} \right| = \frac{52}{13} = 4$.
केंद्र $(h, k) = (3, 4)$ और त्रिज्या $r = 4$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4^2$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 16$
$x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$.

(A) दिए गए समीकरण $x = 6 \cos \theta$ और $y = 6 \sin \theta$ हैं।
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर,हमें $x^{2} = 36 \cos^{2} \theta$ और $y^{2} = 36 \sin^{2} \theta$ प्राप्त होता है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$x^{2} + y^{2} = 36 \cos^{2} \theta + 36 \sin^{2} \theta$
$x^{2} + y^{2} = 36(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta)$
चूंकि $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$,इसलिए:
$x^{2} + y^{2} = 36$.

(B) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = 4a \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)$ और $y = \frac{8at}{1+t^2}$ हैं।
माना $t = \tan \theta$ है। तब $\cos 2\theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ और $\sin 2\theta = \frac{2t}{1+t^2}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$x = 4a \cos 2\theta$ और $y = 4a \sin 2\theta$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$x^2 + y^2 = (4a \cos 2\theta)^2 + (4a \sin 2\theta)^2$
$x^2 + y^2 = 16a^2 (\cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta)$
$x^2 + y^2 = (4a)^2$.
यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $4a$ है।

(D) दिए गए समीकरण $x=3+5 \cos \theta$ और $y=2+5 \sin \theta$ हैं।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{x-3}{5} = \cos \theta$ और $\frac{y-2}{5} = \sin \theta$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\frac{x-3}{5})^{2} + (\frac{y-2}{5})^{2} = 1$.
वर्गों का विस्तार करने पर: $\frac{x^{2}-6x+9}{25} + \frac{y^{2}-4y+4}{25} = 1$.
$25$ से गुणा करने पर: $x^{2}-6x+9 + y^{2}-4y+4 = 25$.
सरल करने पर: $x^{2}+y^{2}-6x-4y+13 = 25$.
अतः,कार्तीय समीकरण $x^{2}+y^{2}-6x-4y-12 = 0$ है।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण: $x^2+y^2+ax+by=0$ है।
$x$ और $y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^2+ax+\frac{a^2}{4}) + (y^2+by+\frac{b^2}{4}) = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$।
यह सरल होकर: $(x+\frac{a}{2})^2 + (y+\frac{b}{2})^2 = \frac{a^2+b^2}{4}$ हो जाता है।
इसे वृत्त के मानक रूप $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें केंद्र $(h, k) = (-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2})$ और त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}}$ प्राप्त होती है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त के लिए प्राचलिक समीकरण $x = h + r \cos \theta$ और $y = k + r \sin \theta$ होते हैं।
मान रखने पर,हमें $x = -\frac{a}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} \cos \theta$ और $y = -\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} \sin \theta$ प्राप्त होते हैं।

(A) रेखा का दिया गया समीकरण: $2x + 3y - k = 0, k > 0$।
अंतःखंड रूप में लिखने पर: $\frac{x}{k/2} + \frac{y}{k/3} = 1$।
अतः,$A$ और $B$ के निर्देशांक $(\frac{k}{2}, 0)$ और $(0, \frac{k}{3})$ हैं।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{k}{2} \times \frac{k}{3} = \frac{k^{2}}{12}$।
क्षेत्रफल $= 12$ दिया गया है,इसलिए $\frac{k^{2}}{12} = 12$ $\Rightarrow k^{2} = 144$ $\Rightarrow k = 12$ (चूंकि $k > 0$)।
इसलिए,$A = (6, 0)$ और $B = (0, 4)$।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
बिंदुओं $(6, 0)$ और $(0, 4)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 6)(x - 0) + (y - 0)(y - 4) = 0$
$x(x - 6) + y(y - 4) = 0$
$x^{2} - 6x + y^{2} - 4y = 0$
$x^{2} + y^{2} - 6x - 4y = 0$।

(B) दो बिंदुओं $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ से गुजरने वाले सबसे छोटे वृत्त का व्यास रेखाखंड $AB$ होता है।
दिए गए बिंदु $A(2,2)$ और $B(3,3)$ हैं।
व्यास $AB$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर,$(x-2)(x-3) + (y-2)(y-3) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$(x^2 - 5x + 6) + (y^2 - 5y + 6) = 0$ मिलता है।
सरल करने पर,$x^2 + y^2 - 5x - 5y + 12 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूँकि वृत्त $Y$-अक्ष को $(0,3)$ पर स्पर्श करता है,त्रिज्या $r = |h|$ है। अतः केंद्र $(\pm r, 3)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x \mp r)^{2} + (y-3)^{2} = r^{2}$ है।
चूँकि वृत्त $X$-अक्ष पर $8$ इकाई का अंतःखंड बनाता है,अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{r^{2}-k^{2}} = 8$ है।
यहाँ $k=3$ है,इसलिए $2\sqrt{r^{2}-3^{2}} = 8 \implies \sqrt{r^{2}-9} = 4 \implies r^{2}-9 = 16 \implies r^{2} = 25 \implies r = 5$.
केंद्र $(\pm 5, 3)$ है।
समीकरण $(x \mp 5)^{2} + (y-3)^{2} = 5^{2}$ होगा।
$x^{2} \mp 10x + 25 + y^{2} - 6y + 9 = 25$.
$x^{2} + y^{2} \mp 10x - 6y + 9 = 0$.

(D) बिंदुओं $(1,0), (0,1)$ और $(0,0)$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - x - y = 0$ है।
चूंकि बिंदु $(2k, 3k)$ वृत्त पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(2k)^2 + (3k)^2 - (2k) - (3k) = 0$
$4k^2 + 9k^2 - 5k = 0$
$13k^2 - 5k = 0$
$k(13k - 5) = 0$
चूंकि $k \neq 0$,इसलिए $k = \frac{5}{13}$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वृत्त $x^{2}+y^{2}=1$ का केंद्र $O(0,0)$ और त्रिज्या $r_{1} = 1$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $C(4,3)$ और त्रिज्या $r_{2}$ है।
केंद्रों $O$ और $C$ के बीच की दूरी $OC = \sqrt{(4-0)^{2} + (3-0)^{2}} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है:
$OC = r_{1} + r_{2}$
$5 = 1 + r_{2}$
$r_{2} = 4$.
केंद्र $(h,k) = (4,3)$ और त्रिज्या $r = 4$ वाले वृत्त का समीकरण है:
$(x-4)^{2} + (y-3)^{2} = 4^{2}$
$x^{2} - 8x + 16 + y^{2} - 6y + 9 = 16$
$x^{2} + y^{2} - 8x - 6y + 9 = 0$.

(B) दिया गया है,
$x = 2 + 3 \cos \theta \implies x - 2 = 3 \cos \theta \implies \cos \theta = \frac{x - 2}{3}$
$y = 1 - 3 \sin \theta \implies y - 1 = -3 \sin \theta \implies \sin \theta = \frac{y - 1}{-3}$
हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left(\frac{y - 1}{-3}\right)^2 + \left(\frac{x - 2}{3}\right)^2 = 1$
$\frac{(y - 1)^2}{9} + \frac{(x - 2)^2}{9} = 1$
$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$
वृत्त के मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ से तुलना करने पर,केंद्र $(h, k) = (2, 1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{9} = 3$ प्राप्त होती है।

(C) केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ होता है।
यहाँ केंद्र $(h, k) = (-a, -b)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{a^{2}-b^{2}}$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$(x - (-a))^{2} + (y - (-b))^{2} = (\sqrt{a^{2}-b^{2}})^{2}$
$(x+a)^{2} + (y+b)^{2} = a^{2}-b^{2}$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$x^{2} + 2ax + a^{2} + y^{2} + 2by + b^{2} = a^{2} - b^{2}$
दोनों पक्षों से $a^{2}$ घटाने और $b^{2}$ जोड़ने पर:
$x^{2} + y^{2} + 2ax + 2by + b^{2} + b^{2} = 0$
$x^{2} + y^{2} + 2ax + 2by + 2b^{2} = 0$.

(D) दिया गया समीकरण $x^2+y^2-6x+10y-2=0$ है।
$x$ और $y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^2-6x+9) + (y^2+10y+25) - 9 - 25 - 2 = 0$.
$(x-3)^2 + (y+5)^2 = 36$.
मूल बिंदु को $(3, -5)$ पर स्थानांतरित करने के लिए,हम $x = X+3$ और $y = Y-5$ प्रतिस्थापित करते हैं,जिसका अर्थ है $X = x-3$ और $Y = y+5$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $X^2 + Y^2 = 36$ प्राप्त होता है।
अतः,नया समीकरण $x^2+y^2=36$ है।

(C) माना समबाहु त्रिभुज $\triangle ABC$ है और इसकी माध्यिका $AD = 9$ इकाई है।
एक समबाहु त्रिभुज में,केंद्रक $O$ माध्यिका $AD$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
चूंकि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है और यह शीर्षों से होकर गुजरता है,इसलिए $O$ $\triangle ABC$ का परिकेंद्र है।
समबाहु त्रिभुज में,परिकेंद्र और केंद्रक संपाती होते हैं।
इसलिए,केंद्र $O$ से शीर्ष $A$ तक की दूरी वृत्त की त्रिज्या $R$ है।
$R = AO = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \times 9 = 6$ इकाई।
मूल बिंदु $(0,0)$ पर केंद्र और $R$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = R^2$ होता है।
$R = 6$ रखने पर,हमें $x^2 + y^2 = 6^2 = 36$ प्राप्त होता है।

(A) चूँकि $\angle APB = 90^{\circ}$ है,बिंदु $P$ उस वृत्त पर स्थित है जिसका व्यास $AB$ है।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
यहाँ,$(x_1, y_1) = (2, 3)$ और $(x_2, y_2) = (-1, 1)$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-2)(x+1) + (y-3)(y-1) = 0$
$x^2 + x - 2x - 2 + y^2 - y - 3y + 3 = 0$
$x^2 + y^2 - x - 4y + 1 = 0$

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
बिंदुओं $(1,1), (-6,0),$ और $(-2,2)$ को समीकरण में रखने पर:
$1$) $(1,1)$ के लिए: $2g + 2f + c = -2$.
$2$) $(-6,0)$ के लिए: $-12g + c = -36$.
$3$) $(-2,2)$ के लिए: $-4g + 4f + c = -8$.
समीकरण $(3)$ में से $(1)$ घटाने पर: $-6g + 2f = -6 \implies f = 3g - 3$.
समीकरण $(2)$ से,$c = 12g - 36$.
इन मानों को $(1)$ में रखने पर: $2g + 2(3g - 3) + (12g - 36) = -2 \implies 20g = 40 \implies g = 2$.
अतः $f = 3$ और $c = -12$.
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 4x + 6y - 12 = 0$ है।
विकल्प $(C) (-2,-8)$ की जाँच करने पर: $(-2)^2 + (-8)^2 + 4(-2) + 6(-8) - 12 = 4 + 64 - 8 - 48 - 12 = 0$.
अतः,बिंदु $(-2,-8)$ वृत्त पर स्थित है।

(A) दिया गया समीकरण: $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ $(i)$
यदि समीकरण $(i)$ एक वृत्त को दर्शाता है,तो $a=b$ और $h=0$ होगा।
इन मानों को $(i)$ में रखने पर: $bx^2+by^2+2gx+2fy+c=0$।
$b$ से भाग देने पर ($b \neq 0$ होने के कारण): $x^2+y^2+2(\frac{g}{b})x+2(\frac{f}{b})y+\frac{c}{b}=0$।
बिंदु वृत्त के लिए,त्रिज्या $r=0$ होनी चाहिए।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ की त्रिज्या $\sqrt{g^2+f^2-c}$ होती है।
यहाँ,$g' = \frac{g}{b}$,$f' = \frac{f}{b}$,और $c' = \frac{c}{b}$ है।
अतः,$r^2 = (\frac{g}{b})^2 + (\frac{f}{b})^2 - \frac{c}{b} = 0$।
इसका अर्थ है $\frac{g^2+f^2}{b^2} = \frac{c}{b}$।
$b^2$ से गुणा करने पर,हमें $g^2+f^2 = bc$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g^2+f^2 \geq 0$,इसलिए $bc \geq 0$ होगा।
मूल बिंदु के अलावा अन्य बिंदु वृत्त के लिए,$g^2+f^2 > 0$,इसलिए $bc > 0$।

(C) द्वितीय घात वक्र का सामान्य समीकरण $ax^2 + by^2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
इसे एक वृत्त दर्शाने के लिए,$x^2$ का गुणांक और $y^2$ का गुणांक समान होना चाहिए (अर्थात $a = b$) और $xy$ का गुणांक शून्य होना चाहिए (अर्थात $h = 0$)।
अतः,समीकरण $a(x^2 + y^2) + 2gx + 2fy + c = 0$ हो जाता है।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर हमें $a(0)^2 + a(0)^2 + 2g(0) + 2f(0) + c = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $c = 0$।
इसलिए,शर्तें $a = b, h = 0, c = 0$ हैं।

(C) माना कि अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $r$ है। दिया गया है कि परिधि $10 \pi$ है।
$2 \pi r = 10 \pi$
$\Rightarrow r = 5$
वृत्त का केंद्र $(h, k) = (2, -3)$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
मान रखने पर:
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 5^2$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 25$
$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) चूंकि वृत्त दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(h, h)$ और त्रिज्या $|h|$ है।
यह दिया गया है कि वृत्त रेखा $3x - 4y - 12 = 0$ को भी स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र $(h, h)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $|h|$ के बराबर होनी चाहिए।
$\therefore \left|\frac{3h - 4h - 12}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\right| = |h|$
$\Rightarrow \left|\frac{-h - 12}{5}\right| = |h|$
$\Rightarrow |-h - 12| = 5|h|$
स्थिति $1$: $-h - 12 = 5h$ $\Rightarrow 6h = -12$ $\Rightarrow h = -2$.
स्थिति $2$: $-h - 12 = -5h$ $\Rightarrow 4h = 12$ $\Rightarrow h = 3$.
$h = 3$ के लिए,समीकरण $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 3^2$ है।
$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 = 9$
$x^2 + y^2 - 6x - 6y + 9 = 0$.

(D) दी गई रेखाएँ $3x + 4y - 18 = 0$ और $3x + 4y + 2 = 0$ वृत्त की समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं।
इन समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|2 - (-18)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{20}{5} = 4$ है।
वृत्त का व्यास $4$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{4}{2} = 2$ है।
माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूंकि केंद्र $2x + y + 3 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $2h + k + 3 = 0 \Rightarrow k = -2h - 3$ है।
केंद्र $(h, k)$ से स्पर्श रेखा $3x + 4y + 2 = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 2$ के बराबर है:
$\frac{|3h + 4k + 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 2$ $\Rightarrow |3h + 4(-2h - 3) + 2| = 10$ $\Rightarrow |-5h - 10| = 10$।
इससे $h = -4$ या $h = 0$ प्राप्त होता है।
यदि $h = -4$ है,तो $k = 5$ है। केंद्र $(-4, 5)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 2^2 \Rightarrow x^2 + y^2 + 8x - 10y + 37 = 0$ है।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $2x^2 + 2y^2 = 9$ है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $x^2 + y^2 = \frac{9}{2}$ प्राप्त होता है।
यह $x^2 + y^2 = r^2$ के रूप में है,जहाँ $r^2 = \frac{9}{2}$,इसलिए $r = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के लिए प्राचलिक समीकरण $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ होते हैं।
$r = \frac{3}{\sqrt{2}}$ रखने पर,हमें $x = \frac{3}{\sqrt{2}} \cos \theta$ और $y = \frac{3}{\sqrt{2}} \sin \theta$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-2x+ky+4=0$ $(i)$ है।
वृत्त $(i)$ का केंद्र $C \equiv (1, -k/2)$ है।
चूंकि वृत्त $S$ वृत्त $(i)$ के साथ संकेंद्रित है,इसलिए $S$ का समीकरण $(x-1)^2 + (y+k/2)^2 = r^2$ $(ii)$ है।
केंद्र $(1, -k/2)$ व्यास रेखा $3x-2y+4=0$ पर स्थित है।
रेखा के समीकरण में केंद्र के निर्देशांक रखने पर: $3(1) - 2(-k/2) + 4 = 0$ $\Rightarrow 3 + k + 4 = 0$ $\Rightarrow k = -7$.
$k = -7$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर,हमें $(x-1)^2 + (y-7/2)^2 = r^2$ $(iii)$ प्राप्त होता है।
चूंकि वृत्त $S$ बिंदु $(3, -2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए इन निर्देशांकों को समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$(3-1)^2 + (-2-7/2)^2 = r^2$
$2^2 + (-11/2)^2 = r^2$
$4 + 121/4 = r^2$
$r^2 = (16+121)/4 = 137/4$.
अतः,त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{137}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{137}$ है।

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है ... $(i)$
$X$-अक्ष पर बने अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{g^2-c} = \frac{2\sqrt{13}}{3} \Rightarrow g^2-c = \frac{13}{9}$ ... $(ii)$
$Y$-अक्ष पर बने अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{f^2-c} = \frac{2\sqrt{22}}{3} \Rightarrow f^2-c = \frac{22}{9}$ ... $(iii)$
त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{38}}{3}$ दी गई है,अतः $r^2 = g^2+f^2-c = \frac{38}{9}$ ... $(iv)$
$(ii)$ और $(iii)$ से,$g^2 = c + \frac{13}{9}$ और $f^2 = c + \frac{22}{9}$.
$(iv)$ में मान रखने पर: $(c + \frac{13}{9}) + (c + \frac{22}{9}) - c = \frac{38}{9}$
$c + \frac{35}{9} = \frac{38}{9} \Rightarrow c = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
अब,$g^2 = \frac{1}{3} + \frac{13}{9} = \frac{16}{9} \Rightarrow g = \pm \frac{4}{3}$
और $f^2 = \frac{1}{3} + \frac{22}{9} = \frac{25}{9} \Rightarrow f = \pm \frac{5}{3}$
चूंकि केंद्र $C(-g, -f)$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $g$ धनात्मक और $f$ ऋणात्मक होना चाहिए।
अतः,$C = (-\frac{4}{3}, \frac{5}{3})$.

(D) माना वृत्त $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है। चूँकि यह $(2,3)$ से गुजरता है,$(2-h)^2 + (3-k)^2 = r^2$।
रेखा $x=2$ पर अंतःखंड $2\sqrt{r^2 - (2-h)^2} = 3$ है। $r^2 - (2-h)^2 = (3-k)^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$2\sqrt{(3-k)^2} = 3$,अतः $|3-k| = 1.5$,जिसका अर्थ है $k = 4.5$ या $k = 1.5$।
रेखा $y=3$ पर अंतःखंड $2\sqrt{r^2 - (3-k)^2} = 4$ है। $r^2 - (3-k)^2 = (2-h)^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$2\sqrt{(2-h)^2} = 4$,अतः $|2-h| = 2$,जिसका अर्थ है $h = 4$ या $h = 0$।
चूँकि केंद्र $(h,k)$ प्रथम चतुर्थांश में है,$h, k > 0$।
$(h,k) = (4, 4.5)$ स्थिति लेने पर: $r^2 = (2-4)^2 + (3-4.5)^2 = 4 + 2.25 = 6.25$।
समीकरण $(x-4)^2 + (y-4.5)^2 = 6.25$ है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 8x - 9y + 30 = 0$ बनता है।

(A) मान लीजिए $x_1$ और $x_2$ समीकरण $x^2+2x-a^2=0$ के मूल हैं। अतः,$(x-x_1)(x-x_2) = x^2+2x-a^2 = 0$.
इसी प्रकार,मान लीजिए $y_1$ और $y_2$ समीकरण $y^2+4y-b^2=0$ के मूल हैं। अतः,$(y-y_1)(y-y_2) = y^2+4y-b^2 = 0$.
मान लीजिए बिंदुओं $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ हैं।
$AB$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए द्विघात समीकरणों के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(x^2+2x-a^2) + (y^2+4y-b^2) = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2+y^2+2x+4y-a^2-b^2=0$.

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष को $(0, 4)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र $(\pm r, 4)$ है और त्रिज्या $r = 4$ है।
अतः,$g^2 = r^2 = 16$ और $f = \pm 4$ है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,अचर पद $c = f^2 = 16$ होगा।
$x$-अक्ष पर अंतःखंड $2\sqrt{g^2-c} = 6$ है,जिसका अर्थ है $\sqrt{g^2-c} = 3$,इसलिए $g^2-c = 9$ है।
$c = 16$ रखने पर,$g^2 = 16+9 = 25$,इसलिए $g = \pm 5$ है।
$g = \pm 5$,$f = \pm 4$,और $c = 16$ को सामान्य समीकरण में रखने पर:
$x^2+y^2 \pm 10x \pm 8y + 16 = 0$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही समीकरण $x^2+y^2 \pm 10x - 8y + 16 = 0$ है।

(C) वृत्त का केंद्र $(h, k) = (2, -3)$ है।
चूंकि वृत्त $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r$ केंद्र के $y$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान है।
$r = |k| = |-3| = 3$.
वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है।
मान रखने पर,$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 3^2$ प्राप्त होता है।
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$.
पदों का विस्तार करने पर: $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 9$.
$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 + 9 = 9$.
$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$.

(B) वर्ग के शीर्ष $A(0, 0)$,$B(a, 0)$,$C(a, a)$ और $D(0, a)$ हैं।
चूँकि वर्ग एक वृत्त के भीतर स्थित है,विकर्ण $AC$ (या $BD$) वृत्त का व्यास है।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1) = (0, 0)$ और $(x_2, y_2) = (a, a)$ का उपयोग करके वृत्त का समीकरण:
$(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$
$(x - 0)(x - a) + (y - 0)(y - a) = 0$
$x(x - a) + y(y - a) = 0$
$x^2 - ax + y^2 - ay = 0$
$x^2 + y^2 - a(x + y) = 0$

(D) माना $C(h, k)$ दिए गए वृत्त का केंद्र है।
चूंकि $C(h, k)$ रेखा $x-y-1=0$ पर स्थित है,इसलिए $h-k-1=0$,जिसका अर्थ है $h=k+1$।
त्रिज्या $3$ दी गई है,इसलिए $C(h, k)$ से $P(7, 3)$ की दूरी $3$ है।
अतः,$(h-7)^2 + (k-3)^2 = 3^2 = 9$।
$h=k+1$ प्रतिस्थापित करने पर,$(k+1-7)^2 + (k-3)^2 = 9$।
$(k-6)^2 + (k-3)^2 = 9$।
$k^2 - 12k + 36 + k^2 - 6k + 9 = 9$।
$2k^2 - 18k + 36 = 0$।
$k^2 - 9k + 18 = 0$।
$(k-6)(k-3) = 0$,जिससे $k=6$ या $k=3$ प्राप्त होता है।
यदि $k=6$,तो $h=7$,अतः $C=(7, 6)$। समीकरण $(x-7)^2 + (y-6)^2 = 9$ होगा,जिसे सरल करने पर $x^2 + y^2 - 14x - 12y + 76 = 0$ प्राप्त होता है।
यदि $k=3$,तो $h=4$,अतः $C=(4, 3)$। समीकरण $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 9$ होगा,जिसे सरल करने पर $x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $(d)$ सही है।

(C) माना $L_1 \equiv x+y=6$ और $L_2 \equiv x+2y=4$ है।
दो व्यासों $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र $C$ है।
समीकरणों को हल करने पर:
$x+y=6 \Rightarrow x=6-y$
$L_2$ में मान रखने पर: $(6-y)+2y=4 \Rightarrow y=-2$.
तब $x=6-(-2)=8$.
अतः,केंद्र $C$ $(8, -2)$ है।
वृत्त बिंदु $P(6, 2)$ से गुजरता है। त्रिज्या $r$,दूरी $CP$ है।
$r^2 = CP^2 = (8-6)^2 + (-2-2)^2 = 2^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20$.
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ होता है।
$(x-8)^2 + (y+2)^2 = 20$
$x^2 - 16x + 64 + y^2 + 4y + 4 = 20$
$x^2 + y^2 - 16x + 4y + 48 = 0$.

(D) माना वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है। \\
चूँकि वृत्त $x$-अक्ष को $(3, 0)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र $(h, k)$ है और त्रिज्या $r = |k|$ है। \\
अतः समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = k^2$ हो जाता है। \\
यह $(3, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $(3-h)^2 + (0-k)^2 = k^2$ $\Rightarrow (3-h)^2 = 0$ $\Rightarrow h = 3$। \\
यह $(1, -2)$ से भी गुजरता है,इसलिए $h=3$ रखने पर: $(1-3)^2 + (-2-k)^2 = k^2$। \\
$(-2)^2 + 4 + 4k + k^2 = k^2$ \\
$4 + 4 + 4k = 0$ $\Rightarrow 4k = -8$ $\Rightarrow k = -2$। \\
$h=3$ और $k=-2$ को $(x-h)^2 + (y-k)^2 = k^2$ में रखने पर: \\
$(x-3)^2 + (y+2)^2 = (-2)^2$ \\
$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 4$ \\
$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0$।