Mix Examples - Triangles Questions in Hindi

(A) एक समकोण त्रिभुज $\Delta PQR$ में,जहाँ $\angle Q = 90^{\circ}$ है,भुजा $PR$ कर्ण (hypotenuse) है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $(PR)^2 = (PQ)^2 + (QR)^2$.
दिए गए मान $PQ = 33$ और $PR = 65$ हैं।
मान रखने पर: $(65)^2 = (33)^2 + (QR)^2$.
$4225 = 1089 + (QR)^2$.
$(QR)^2 = 4225 - 1089$.
$(QR)^2 = 3136$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $QR = \sqrt{3136} = 56$.
अतः,$QR$ की लंबाई $56$ है।

(A) मान लीजिए कि चतुर्भुज $PQRS$ के विकर्ण $PR$ और $QS$ बिंदु $O$ पर समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,$\angle POQ = \angle QOR = \angle ROS = \angle SOP = 90^{\circ}$।
समकोण $\triangle POQ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $PQ^{2} = PO^{2} + OQ^{2}$।
समकोण $\triangle ROS$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $RS^{2} = RO^{2} + OS^{2}$।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $PQ^{2} + RS^{2} = PO^{2} + OQ^{2} + RO^{2} + OS^{2}$ --- (समीकरण $1$)।
समकोण $\triangle SOP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $PS^{2} = SO^{2} + OP^{2}$।
समकोण $\triangle QOR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $QR^{2} = OQ^{2} + OR^{2}$।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $PS^{2} + QR^{2} = SO^{2} + OP^{2} + OQ^{2} + OR^{2}$ --- (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि दाईं ओर के पक्ष समान हैं।
अतः,$PQ^{2} + RS^{2} = PS^{2} + QR^{2}$।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है। $N$,$AB$ पर एक बिंदु है और $M$,$BC$ पर एक बिंदु है।
चरण $1$: $\Delta ABM$ और $\Delta CBN$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करें।
$\Delta ABM$ में,चूंकि $\angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए $AM^{2} = AB^{2} + BM^{2}$ होगा।
$\Delta CBN$ में,चूंकि $\angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए $CN^{2} = CB^{2} + BN^{2}$ होगा।
चरण $2$: दोनों समीकरणों को जोड़ें।
$AM^{2} + CN^{2} = (AB^{2} + BM^{2}) + (CB^{2} + BN^{2})$
चरण $3$: पदों को पुनर्व्यवस्थित करें।
$AM^{2} + CN^{2} = (AB^{2} + CB^{2}) + (BM^{2} + BN^{2})$
चरण $4$: $\Delta ABC$ और $\Delta MBN$ के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें।
$\Delta ABC$ में,$AC^{2} = AB^{2} + CB^{2}$ है।
$\Delta MBN$ में,$MN^{2} = BM^{2} + BN^{2}$ है।
चरण $5$: इन मानों को चरण $3$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
$AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$।
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(N/A) मान लीजिए $ABCD$ एक आयत है जिसकी भुजाएँ $AB = CD = l$ और $BC = DA = b$ हैं।
मान लीजिए विकर्ण $AC$ और $BD$ हैं।
आयत में,सभी आंतरिक कोण $90^{\circ}$ होते हैं।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = l^2 + b^2$.
इसी प्रकार,समकोण त्रिभुज $\triangle BCD$ में:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 = b^2 + l^2$.
विकर्णों के वर्गों का योग = $AC^2 + BD^2 = (l^2 + b^2) + (b^2 + l^2) = 2l^2 + 2b^2$.
भुजाओं के वर्गों का योग = $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = l^2 + b^2 + l^2 + b^2 = 2l^2 + 2b^2$.
अतः,भुजाओं के वर्गों का योग विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर है।

(N/A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = m^{2}-n^{2}$,$b = 2mn$ और $c = m^{2}+n^{2}$ हैं।
यह सिद्ध करने के लिए कि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है,हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या सबसे बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है (पाइथागोरस प्रमेय)।
यहाँ,$c = m^{2}+n^{2}$ सबसे बड़ी भुजा है क्योंकि $m > n > 0$ है।
$a^{2} + b^{2}$ की गणना करते हैं:
$a^{2} + b^{2} = (m^{2}-n^{2})^{2} + (2mn)^{2}$
$= (m^{4} - 2m^{2}n^{2} + n^{4}) + 4m^{2}n^{2}$
$= m^{4} + 2m^{2}n^{2} + n^{4}$
$= (m^{2}+n^{2})^{2}$
$= c^{2}$
चूँकि $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ है,इसलिए त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
अतः,यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ (क्योंकि $\overline{AC}$ कर्ण है),और $\overline{BE}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर माध्यिका है।
चूंकि $\overline{BE}$ माध्यिका है,$E$,$\overline{AC}$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$AE = EC = \frac{1}{2} AC$,जिसका अर्थ है $AC = 2AE$.
समकोण $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$.
हमें सिद्ध करना है: $AB^{2} + BC^{2} + AC^{2} = 8AE^{2}$.
व्यंजक में $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$AC^{2} + AC^{2} = 2AC^{2}$.
चूंकि $AC = 2AE$,इसे व्यंजक में रखने पर:
$2(2AE)^{2} = 2(4AE^{2}) = 8AE^{2}$.
इस प्रकार,$AB^{2} + BC^{2} + AC^{2} = 8AE^{2}$ सिद्ध होता है।

(A) $\Delta GBS$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $BM \perp GS$ है।
समकोण त्रिभुज में कर्ण पर शीर्षलंब खींचे जाने पर बनने वाले त्रिभुज मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
अतः,$\Delta GMB \sim \Delta GBS$ और $\Delta BMS \sim \Delta GBS$ है।
$\Delta GMB \sim \Delta GBS$ से,$\frac{GB}{GS} = \frac{GM}{GB}$,जिसका अर्थ है $GB^{2} = GM \cdot GS$ (समीकरण $1$)।
$\Delta BMS \sim \Delta GBS$ से,$\frac{BS}{GS} = \frac{SM}{BS}$,जिसका अर्थ है $BS^{2} = SM \cdot GS$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{GB^{2}}{BS^{2}} = \frac{GM \cdot GS}{SM \cdot GS} = \frac{GM}{SM}$।
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) $1$. $\Delta PQR$ में,$\angle Q = 90^{\circ}$ और $\overline{QD} \perp \overline{PR}$ है।
$2$. समकोण त्रिभुज में समरूपता के गुणधर्म के अनुसार,$\Delta PDQ \sim \Delta PQR$ और $\Delta RDQ \sim \Delta RQP$ होता है।
$3$. समकोण त्रिभुज में कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के और आपस में समरूप होते हैं।
$4$. अतः,$\Delta PDQ \sim \Delta QDR$ है।
$5$. समरूपता $\Delta PDQ \sim \Delta QDR$ से,संगत भुजाओं का अनुपात: $\frac{PD}{QD} = \frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$ है।
$6$. हमें दिया गया है कि $PQ = 3QR$,जिसका अर्थ है कि $\frac{PQ}{QR} = 3$ है।
$7$. $\frac{PD}{QD} = \frac{PQ}{QR}$ से,हमें $PD = 3QD$ प्राप्त होता है।
$8$. $\frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$ से,हमें $QD = 3RD$ प्राप्त होता है।
$9$. $PD = 3QD$ में $QD = 3RD$ का मान रखने पर,$PD = 3(3RD) = 9RD$ प्राप्त होता है।
$10$. अतः,$PD = 9RD$ सिद्ध होता है।

(N/A) $\Delta XYZ$ में,$\angle Y = 90^{\circ}$ और $\overline{YM} \perp \overline{XZ}$ है।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (Geometric Mean Theorem) के अनुसार,एक समकोण त्रिभुज में कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब दो ऐसे त्रिभुज बनाता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$\Delta XMY \sim \Delta YMZ$ है।
समरूपता $\Delta XMY \sim \Delta YMZ$ से,हमें संगत भुजाओं का अनुपात मिलता है:
$\frac{XY}{YZ} = \frac{XM}{YM} = \frac{YM}{ZM}$.
समकोण त्रिभुज में शीर्षलंब के गुण का उपयोग करते हुए:
$XY^2 = XM \cdot XZ$ और $YZ^2 = ZM \cdot XZ$ है।
इन दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{XY^2}{YZ^2} = \frac{XM \cdot XZ}{ZM \cdot XZ} = \frac{XM}{ZM}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $XM = 16ZM$,इसलिए:
$\frac{XY^2}{YZ^2} = \frac{16ZM}{ZM} = 16$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{XY}{YZ} = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$XY = 4YZ$ सिद्ध होता है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है।
समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र के अनुसार,$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल दो प्रकार से लिखा जा सकता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times BC$ (भुजाओं को आधार और ऊँचाई मानते हुए)
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times BM$ (कर्ण को आधार और शीर्षलंब को ऊँचाई मानते हुए)
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times AC \times BM \implies AB \times BC = AC \times BM$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $AB^2 \times BC^2 = AC^2 \times BM^2$।
चूँकि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^2 = AB^2 + BC^2$।
$AC^2$ का मान रखने पर: $AB^2 \times BC^2 = (AB^2 + BC^2) \times BM^2$।
$BM^2$ को अलग करने पर: $BM^2 = \frac{AB^2 \times BC^2}{AB^2 + BC^2}$।
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर: $\frac{1}{BM^2} = \frac{AB^2 + BC^2}{AB^2 \times BC^2}$।
भिन्न को अलग करने पर: $\frac{1}{BM^2} = \frac{AB^2}{AB^2 \times BC^2} + \frac{BC^2}{AB^2 \times BC^2}$।
सरल करने पर: $\frac{1}{BM^2} = \frac{1}{BC^2} + \frac{1}{AB^2}$।

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BD} \perp \overline{AC}$ है।
$2$. समकोण त्रिभुज में ज्यामितीय माध्य के गुणधर्म के अनुसार,$BD^2 = AD \cdot CD$ होता है।
$3$. दिया गया है कि $BD = 2CD$,इस मान को समीकरण में रखने पर: $(2CD)^2 = AD \cdot CD$।
$4$. इसे सरल करने पर $4CD^2 = AD \cdot CD$ प्राप्त होता है।
$5$. दोनों पक्षों को $CD$ से विभाजित करने पर (चूंकि $CD \neq 0$),हमें $AD = 4CD$ प्राप्त होता है।
$6$. हम जानते हैं कि $AC = AD + CD$,इसलिए $AD = 4CD$ का मान रखने पर: $AC = 4CD + CD$।
$7$. अतः,$AC = 5CD$ सिद्ध होता है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^\circ$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है।
समकोण त्रिभुज में ज्यामितीय माध्य के गुणधर्म के अनुसार,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$ होता है।
इसलिए,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है: $\frac{AB}{BC} = \frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$।
$\frac{AB}{BC} = \frac{BM}{CM}$ से,हमें $BM = \frac{AB \cdot CM}{BC}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\Delta AMB \sim \Delta ABC$ से,हमारे पास $\frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AB}$ है,जिसका अर्थ है $AB^2 = AM \cdot AC$।
इसी प्रकार,$\Delta BMC \sim \Delta ABC$ से,हमारे पास $\frac{BC}{AC} = \frac{CM}{BC}$ है,जिसका अर्थ है $BC^2 = CM \cdot AC$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM \cdot AC}{CM \cdot AC} = \frac{AM}{CM}$।
दिया गया है कि $AM = 4CM$,इसलिए इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{4CM}{CM} = 4$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{AB}{BC} = \sqrt{4} = 2$।
अतः,$AB = 2BC$ सिद्ध होता है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,चूँकि $m \angle B = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ होगा। (समीकरण $1$)
$\Delta ABD$ में,चूँकि $m \angle B = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$ होगा। (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ से,हम $AB^{2} = AD^{2} - BD^{2}$ लिख सकते हैं।
$AB^{2}$ का यह मान समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$AC^{2} = (AD^{2} - BD^{2}) + BC^{2}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,कथन सिद्ध हुआ।

(A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{AD}$ भुजा $\overline{BC}$ पर एक माध्यिका है।
चूंकि $\overline{AD}$ एक माध्यिका है,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$BD = DC = \frac{1}{2} BC$,जिसका अर्थ है कि $BC = 2BD$।
समकोण $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$।
$BC = 2BD$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $AC^{2} = AB^{2} + (2BD)^{2} = AB^{2} + 4BD^{2}$। (समीकरण $1$)
समकोण $\Delta ABD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$,जिसका अर्थ है कि $AB^{2} = AD^{2} - BD^{2}$। (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$AC^{2} = (AD^{2} - BD^{2}) + 4BD^{2}$
$AC^{2} = AD^{2} + 3BD^{2}$।
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(C) $\Delta PQR$ में,$\overline{PM}$ एक माध्यिका है।
अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार:
$PQ^{2} + PR^{2} = 2(PM^{2} + QM^{2})$
यहाँ $PQ^{2} + PR^{2} = 148$ और $PM = 7$ दिया गया है:
$148 = 2(7^{2} + QM^{2})$
$74 = 49 + QM^{2}$
$QM^{2} = 74 - 49$
$QM^{2} = 25$
$QM = 5$
चूँकि $\overline{PM}$ एक माध्यिका है,$M$,$\overline{QR}$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$QR = 2 \times QM = 2 \times 5 = 10$.

(D) $\Delta XYZ$ में,$\overline{XN}$ एक माध्यिका है।
अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार:
$XY^2 + XZ^2 = 2(XN^2 + YN^2)$
$200 = 2(8^2 + YN^2)$
$100 = 64 + YN^2$
$YN^2 = 36$
$YN = 6$
चूँकि $\overline{XN}$ एक माध्यिका है,$N$,$\overline{YZ}$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$YZ = 2 \times YN = 2 \times 6 = 12$.

(A) $\Delta ABC$ में,$\overline{AD}$ भुजा $\overline{BC}$ पर एक माध्यिका है।
अतः,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है।
$BD = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2}(16) = 8$.
$\Delta ABC$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,माध्यिका $\overline{AD}$ के लिए:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$10^2 + AC^2 = 2((\sqrt{58})^2 + 8^2)$
$100 + AC^2 = 2(58 + 64)$
$100 + AC^2 = 2(122)$
$100 + AC^2 = 244$
$AC^2 = 244 - 100$
$AC^2 = 144$
$AC = \sqrt{144} = 12$.

(B) $\Delta ABC$ में,$\overline{AD}$ एक माध्यिका है।
अतः $D,$ $\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है।
इसलिए $BC = 2BD = 2(4) = 8.$
$\Delta ABC$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,माध्यिका $\overline{AD}$ के लिए:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
$AB^2 + 7^2 = 2(7^2 + 4^2)$
$AB^2 + 49 = 2(49 + 16)$
$AB^2 + 49 = 2(65)$
$AB^2 + 49 = 130$
$AB^2 = 130 - 49 = 81$
$AB = 9$
$\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + BC + AC = 9 + 8 + 7 = 24.$

(N/A) $\Delta ABC$ में,$\overline{AD}$,$\overline{BE}$ और $\overline{CF}$ माध्यिकाएँ हैं। अतः,$D$,$E$ और $F$ क्रमशः $\overline{BC}$,$\overline{AC}$ और $\overline{AB}$ के मध्य-बिंदु हैं।
$\Delta ABC$ में माध्यिका $\overline{AD}$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
चूँकि $BD = \frac{1}{2}BC$,इसलिए:
$AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + 2(\frac{BC}{2})^2 = 2AD^2 + \frac{BC^2}{2}$
$2AD^2 = AB^2 + AC^2 - \frac{BC^2}{2} \quad \dots(1)$
इसी प्रकार,माध्यिकाओं $\overline{BE}$ और $\overline{CF}$ के लिए:
$2BE^2 = AB^2 + BC^2 - \frac{AC^2}{2} \quad \dots(2)$
$2CF^2 = AC^2 + BC^2 - \frac{AB^2}{2} \quad \dots(3)$
समीकरणों $(1)$,$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$2(AD^2 + BE^2 + CF^2) = (AB^2 + AB^2 - \frac{AB^2}{2}) + (BC^2 + BC^2 - \frac{BC^2}{2}) + (AC^2 + AC^2 - \frac{AC^2}{2})$
$2(AD^2 + BE^2 + CF^2) = \frac{3}{2}AB^2 + \frac{3}{2}BC^2 + \frac{3}{2}AC^2$
$2(AD^2 + BE^2 + CF^2) = \frac{3}{2}(AB^2 + BC^2 + AC^2)$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$4(AD^2 + BE^2 + CF^2) = 3(AB^2 + BC^2 + AC^2)$

(D) अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,किसी भी त्रिभुज $\Delta ABC$ के लिए जिसमें $\overline{BC}$ पर $\overline{AD}$ माध्यिका है,निम्नलिखित संबंध सत्य है:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
दिया गया है कि $AB^2 + AC^2 = 122$ और $AD = 6$,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$122 = 2(6^2 + BD^2)$
$122 = 2(36 + BD^2)$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर:
$61 = 36 + BD^2$
$BD^2 = 61 - 36$
$BD^2 = 25$
$BD = \sqrt{25} = 5$
चूंकि $\overline{AD}$ एक माध्यिका है,इसलिए $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,अतः $BC = 2 \times BD$.
$BC = 2 \times 5 = 10$.

(A) $\Delta ABC$ में माध्यिका $\overline{AD}$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $18^2 + 14^2 = 2(14^2 + BD^2)$
$324 + 196 = 2(196 + BD^2)$
$520 = 2(196 + BD^2)$
$260 = 196 + BD^2$
$BD^2 = 260 - 196 = 64$
$BD = 8$
चूंकि $\overline{AD}$ एक माध्यिका है,इसलिए $BD = DC = 8$ होगा।
अतः,$BC = BD + DC = 8 + 8 = 16$।
$\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + AC + BC = 18 + 14 + 16 = 48$।

(B) अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,किसी भी त्रिभुज $\Delta ABC$ के लिए जिसमें $\overline{BC}$ पर माध्यिका $\overline{AD}$ है,निम्नलिखित संबंध सत्य होता है:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
दिया गया है कि $AD = 7$ और $AB^2 + AC^2 = 148$,इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$148 = 2(7^2 + BD^2)$
$148 = 2(49 + BD^2)$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर:
$74 = 49 + BD^2$
$BD^2 = 74 - 49 = 25$
$BD = \sqrt{25} = 5$
चूंकि $\overline{AD}$ एक माध्यिका है,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BC = 2 \times BD$ होगा।
$BC = 2 \times 5 = 10$.

(C) अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,किसी भी त्रिभुज $\Delta ABC$ के लिए जिसमें $\overline{BC}$ पर $\overline{AD}$ माध्यिका है:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
यहाँ $AB = 8, AC = 15$ और $AD = 8.5$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$8^2 + 15^2 = 2(8.5^2 + BD^2)$
$64 + 225 = 2(72.25 + BD^2)$
$289 = 2(72.25 + BD^2)$
$144.5 = 72.25 + BD^2$
$BD^2 = 144.5 - 72.25 = 72.25$
$BD = \sqrt{72.25} = 8.5$
चूंकि $\overline{AD}$ एक माध्यिका है,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BC = 2 \times BD$.
$BC = 2 \times 8.5 = 17$.

(D) $\Delta XYZ$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय (Apollonius's Theorem) के अनुसार,जहाँ $\overline{XM}$ भुजा $\overline{YZ}$ पर माध्यिका है:
$XY^2 + XZ^2 = 2(XM^2 + YM^2)$
दिया गया है $XY = 20$,$XZ = 21$ और $XM = 14.5$।
मान रखने पर:
$20^2 + 21^2 = 2(14.5^2 + YM^2)$
$400 + 441 = 2(210.25 + YM^2)$
$841 = 2(210.25 + YM^2)$
$420.5 = 210.25 + YM^2$
$YM^2 = 420.5 - 210.25 = 210.25$
$YM = \sqrt{210.25} = 14.5$
चूंकि $\overline{XM}$ माध्यिका है,इसलिए $M$,$\overline{YZ}$ का मध्य-बिंदु है,अतः $YZ = 2 \times YM$।
$YZ = 2 \times 14.5 = 29$।

(A) $\Delta PQR$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,जहाँ $\overline{PS}$ माध्यिका है:
$PQ^2 + PR^2 = 2(PS^2 + QS^2)$
यहाँ $PQ = 9$,$PR = 40$ और $PS = 20.5$ दिया गया है:
$9^2 + 40^2 = 2(20.5^2 + QS^2)$
$81 + 1600 = 2(420.25 + QS^2)$
$1681 = 2(420.25 + QS^2)$
$840.5 = 420.25 + QS^2$
$QS^2 = 840.5 - 420.25 = 420.25$
$QS = \sqrt{420.25} = 20.5$
चूँकि $\overline{PS}$ माध्यिका है,$S$,$\overline{QR}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $QR = 2 \times QS = 2 \times 20.5 = 41$.

(B) अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,किसी भी त्रिभुज $ABC$ के लिए जिसमें $BC$ पर माध्यिका $AD$ है:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
यहाँ $AB = 10$,$AC = 24$ और $AD = 13$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$10^2 + 24^2 = 2(13^2 + BD^2)$
$100 + 576 = 2(169 + BD^2)$
$676 = 2(169 + BD^2)$
$338 = 169 + BD^2$
$BD^2 = 338 - 169 = 169$
$BD = \sqrt{169} = 13$
चूंकि $AD$ एक माध्यिका है,$D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BC = 2 \times BD$।
$BC = 2 \times 13 = 26$।

(C) दिया गया है कि $\overline{AD}$ भुजा $\overline{BC}$ पर एक माध्यिका है,इसलिए $D$,$\overline{BC}$ का मध्यबिंदु है।
$\Delta ABD$ में $AD = BD = 8.5$ है,अतः $AD = BD = DC = 8.5$ होगा।
इसका अर्थ है कि $D$,$\Delta ABC$ का परिकेंद्र है और $\overline{BC}$ परिवृत्त का व्यास है।
इसलिए,$\angle BAC = 90^\circ$ (अर्धवृत्त में बना कोण)।
समकोण $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 + AB^2 = BC^2$।
यहाँ $AB = 8$ और $BC = BD + DC = 8.5 + 8.5 = 17$ है।
$AC^2 + 8^2 = 17^2$
$AC^2 + 64 = 289$
$AC^2 = 225$
$AC = 15$.

(D) $\Delta XYZ$ में,$\overline{XM}$ भुजा $\overline{YZ}$ पर एक माध्यिका है।
माध्यिका की परिभाषा के अनुसार,$M$,$\overline{YZ}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $YM = MZ = 30.5$ है।
अतः,भुजा $YZ$ की लंबाई $YZ = YM + MZ = 30.5 + 30.5 = 61$ है।
हम $\Delta XYZ$ के लिए माध्यिका $\overline{XM}$ के साथ अपोलोनियस प्रमेय का उपयोग करते हैं:
$XY^2 + XZ^2 = 2(XM^2 + YM^2)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $11^2 + XZ^2 = 2(30.5^2 + 30.5^2)$।
$121 + XZ^2 = 2(930.25 + 930.25)$।
$121 + XZ^2 = 2(1860.5)$।
$121 + XZ^2 = 3721$।
$XZ^2 = 3721 - 121$।
$XZ^2 = 3600$।
$XZ = \sqrt{3600} = 60$।

(A) दिया गया है कि $\overline{PS}$ त्रिभुज $\Delta PQR$ की एक माध्यिका है,इसलिए यह भुजा $QR$ को दो बराबर भागों में विभाजित करती है। अतः,$QS = SR = 18.5.$
चूंकि $PS = QS = SR = 18.5$ है,बिंदु $S$ भुजा $QR$ के सापेक्ष $\Delta PQR$ का परिकेंद्र है,जिसका अर्थ है कि $\angle QPR = 90^\circ$ (इस गुणधर्म के अनुसार कि यदि किसी भुजा पर खींची गई माध्यिका उस भुजा की लंबाई की आधी है,तो वह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज होता है)।
समकोण $\Delta PQR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PQ^2 + PR^2 = QR^2$
$QR = QS + SR = 18.5 + 18.5 = 37$
$12^2 + PR^2 = 37^2$
$144 + PR^2 = 1369$
$PR^2 = 1369 - 144 = 1225$
$PR = \sqrt{1225} = 35.$

(N/A) माना $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
समांतर चतुर्भुज के नियम के अनुसार,चारों भुजाओं के वर्गों का योग दोनों विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
माना भुजाएँ $AB$,$BC$,$CD$ और $DA$ हैं। चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $AB = CD$ और $BC = DA$ है।
$\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ में अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,जहाँ $BO$ माध्यिका है ($O$,$AC$ का मध्य-बिंदु है):
$AB^2 + BC^2 = 2(BO^2 + AO^2)$
$AD^2 + CD^2 = 2(DO^2 + AO^2)$
चूँकि $O$,$BD$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BO = DO$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2(BO^2 + AO^2 + DO^2 + AO^2) = 2(2BO^2 + 2AO^2) = 4BO^2 + 4AO^2$।
चूँकि $BD = 2BO$ और $AC = 2AO$ है,इसलिए $BD^2 = 4BO^2$ और $AC^2 = 4AO^2$ होगा।
अतः,$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2$।

(C) दिया गया है कि $\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m \angle Q = 90^\circ$ है।
$PQ$ और $QR$ भुजाएँ हैं और $PR$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $PQ^2 + QR^2 = PR^2$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $5^2 + QR^2 = 13^2$।
$25 + QR^2 = 169$।
$QR^2 = 169 - 25 = 144$।
$QR = \sqrt{144} = 12$।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ द्वारा दिया जाता है।
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times PQ \times QR = \frac{1}{2} \times 5 \times 12$।
$\text{Area} = 5 \times 6 = 30$।

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m \angle B = 90^{\circ}$ है।
यहाँ,$AC$ कर्ण है और $AB$ एक भुजा है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $10^2 = 6^2 + BC^2$.
$100 = 36 + BC^2$.
$BC^2 = 100 - 36 = 64$.
$BC = \sqrt{64} = 8$.
समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
यहाँ,आधार $BC = 8$ और ऊंचाई $AB = 6$ है।
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 4 \times 6 = 24$.

(A) $1$. $\Delta ABC$ में,चूंकि $m\angle B = 90^{\circ}$ है,हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके $BC$ की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
$2$. दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $3^2 + BC^2 = 5^2$,जिससे $9 + BC^2 = 25$ प्राप्त होता है।
$3$. अतः,$BC^2 = 25 - 9 = 16$,जिसका अर्थ है $BC = 4$.
$4$. $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल दो तरीकों से निकाला जा सकता है: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times AB \times BC$ या $\text{Area} = \frac{1}{2} \times AC \times BM$.
$5$. दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = \frac{1}{2} \times 5 \times BM$.
$6$. सरल करने पर: $12 = 5 \times BM$,जिससे $BM = \frac{12}{5} = 2.4$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $m \angle B = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $\overline{AB} \cong \overline{BC}$,मान लीजिए $AB = BC = x$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ होता है।
मान रखने पर,$AC^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$AC = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$ है।
हमें $AB : AC$ का अनुपात ज्ञात करना है।
$AB : AC = x : x\sqrt{2} = 1 : \sqrt{2}$।

(C) $\Delta ABC$ में,चूंकि $m \angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ होता है।
यहाँ $AB = 20$ और $AC = 29$ दिया गया है,इसलिए $29^2 = 20^2 + BC^2$ होगा।
$841 = 400 + BC^2$.
$BC^2 = 841 - 400 = 441$.
$BC = \sqrt{441} = 21$.
$\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + BC + AC$ होगा।
परिमाप $= 20 + 21 + 29 = 70$।

(B) माना वर्ग की भुजा की लंबाई $s$ है।
वर्ग का परिमाप $4s$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $4s = 40$, इसलिए $s = 10$ है।
वर्ग के विकर्ण लंबाई में समान होते हैं।
$s$ भुजा वाले वर्ग के विकर्ण $d$ की लंबाई $d = s \sqrt{2}$ होती है।
अतः, $AC = BD = 10 \sqrt{2}$ है।
इसलिए, $AC + BD = 10 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} = 20 \sqrt{2}$।

(A) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
सबसे पहले,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण $AC$ की लंबाई ज्ञात करें: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
$AC^2 = (3.6)^2 + (4.8)^2 = 12.96 + 23.04 = 36$.
$AC = \sqrt{36} = 6$.
चूंकि $\overline{BE}$ कर्ण $AC$ पर माध्यिका है,इसलिए इसकी लंबाई $BE = \frac{1}{2} AC$ होगी।
$BE = \frac{1}{2} \times 6 = 3$.

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^{\circ}$ है।
मान लीजिए कि किसी स्थिरांक $x > 0$ के लिए $AB = 3x$ और $BC = 4x$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ है।
$AC^2 = (3x)^2 + (4x)^2 = 9x^2 + 16x^2 = 25x^2$ है।
वर्गमूल लेने पर,$AC = \sqrt{25x^2} = 5x$ प्राप्त होता है।
हमें $AB : AC$ का अनुपात ज्ञात करना है।
$AB : AC = 3x : 5x = 3 : 5$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
यहाँ,$\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m\angle B = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $\overline{BM}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर माध्यिका है,इसलिए $BM = \frac{1}{2} AC$ होगा।
दिया गया है $BM = 12.5$,अतः $12.5 = \frac{1}{2} AC$,जिसका अर्थ है $AC = 25$।
अब,$\Delta ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$15^2 + BC^2 = 25^2$
$225 + BC^2 = 625$
$BC^2 = 625 - 225 = 400$
$BC = \sqrt{400} = 20$।

(D) $\Delta ABC$ में माध्यिका $\overline{AD}$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
यहाँ $AB^2 + AC^2 = 338$ और $AD = 5$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$338 = 2(5^2 + BD^2)$
$338 = 2(25 + BD^2)$
$169 = 25 + BD^2$
$BD^2 = 169 - 25 = 144$
$BD = \sqrt{144} = 12$
चूँकि $\overline{AD}$ एक माध्यिका है,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BC = 2 \times BD$.
$BC = 2 \times 12 = 24$.

(A) एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप $P = 3a$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
दिया गया है $P = 24$, इसलिए $3a = 24$, जिसका अर्थ है $a = 8$।
समबाहु त्रिभुज के शीर्षलंब $h$ का सूत्र $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ है।
सूत्र में $a = 8$ रखने पर, हमें $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = 4 \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः, शीर्षलंब की लंबाई $4 \sqrt{3}$ है।

(B) $\Delta ABC$ में,हमें $m \angle B = 90^{\circ}$ दिया गया है।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$।
$m \angle B = 90^{\circ}$ रखने पर,$m \angle A + m \angle C = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अनुपात $m \angle A : m \angle C = 1 : 2$ दिया गया है,इसलिए मान लीजिए $m \angle A = x$ और $m \angle C = 2x$।
अतः,$x + 2x = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है $3x = 90^{\circ}$,इसलिए $x = 30^{\circ}$।
अतः,$m \angle A = 30^{\circ}$ और $m \angle C = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
एक $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ त्रिभुज में,$30^{\circ}$ के सम्मुख भुजा कर्ण की आधी होती है।
यहाँ,$BC$,$\angle A = 30^{\circ}$ के सम्मुख है,इसलिए $BC = \frac{1}{2} AC$।
चूंकि $BC = 4$ दिया गया है,इसलिए $4 = \frac{1}{2} AC$,जिसका अर्थ है $AC = 8$।

(D) $\Delta ABC$ में,हमें $m \angle B = 90^{\circ}$ और $m \angle C = 30^{\circ}$ दिया गया है।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$।
एक $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ त्रिभुज में,$30^{\circ}$ के सम्मुख भुजा कर्ण की आधी होती है।
यहाँ,$AB$ कोण $C$ $(30^{\circ})$ के सम्मुख है,इसलिए $AB = \frac{1}{2} AC$।
$AB = 5$ दिया गया है,इसलिए $5 = \frac{1}{2} AC$,जिसका अर्थ है $AC = 10$।
समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
इसलिए,$BD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$।

(D) दिया गया है कि $\Delta XYZ$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m \angle Y = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$XY^2 + YZ^2 = XZ^2$ होता है।
माना $XY = 15k$ और $XZ = 17k$,जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है।
इन मानों को प्रमेय में प्रतिस्थापित करने पर: $(15k)^2 + 4^2 = (17k)^2$।
$225k^2 + 16 = 289k^2$।
$16 = 289k^2 - 225k^2$।
$16 = 64k^2$।
$k^2 = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$।
अतः,$k = \frac{1}{2} = 0.5$।
अब,भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$XY = 15 \times 0.5 = 7.5$।
$XZ = 17 \times 0.5 = 8.5$।
$YZ = 4$।
$\Delta XYZ$ का परिमाप = $XY + YZ + XZ = 7.5 + 4 + 8.5 = 20$।

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m \angle B = 90^{\circ}$ और $AB = BC$ है।
माना $AB = BC = x$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 + BC^2 = AC^2$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2 + x^2 = (14\sqrt{2})^2$.
$2x^2 = 196 \times 2$.
$2x^2 = 392$.
$x^2 = 196$.
$x = 14$.
अतः,आधार $BC = 14$ और ऊँचाई $AB = 14$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 14 \times 14 = 98$ वर्ग इकाई।

(B) एक समकोण त्रिभुज में,यदि समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर शीर्षलंब खींचा जाता है,तो वह शीर्षलंब कर्ण के दो खंडों का गुणोत्तर माध्य (geometric mean) होता है।
गुणोत्तर माध्य प्रमेय के अनुसार: $BM^2 = AM \cdot CM$.
दिया गया है: $AM = 2x$,$BM = 3x + 5$ और $CM = 8x$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(3x + 5)^2 = (2x)(8x)$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $9x^2 + 30x + 25 = 16x^2$.
पदों को व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण बनाने पर: $7x^2 - 30x - 25 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $7x^2 - 35x + 5x - 25 = 0$.
$7x(x - 5) + 5(x - 5) = 0$.
$(7x + 5)(x - 5) = 0$.
इससे $x = 5$ या $x = -5/7$ प्राप्त होता है।
चूँकि लंबाई हमेशा धनात्मक होती है,इसलिए $x = 5$ होगा।

(C) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ है और $\overline{BM}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर शीर्षलंब है,समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म $(\Delta AMB \sim \Delta ABC)$ के अनुसार,हमारे पास संबंध है: $AB^2 = AM \cdot AC$.
दिए गए मान $AB = x - 2$,$AM = x - 6$ और $AC = 2x - 4$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $(x - 2)^2 = (x - 6)(2x - 4)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 4x - 12x + 24$.
सरल करने पर: $x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 16x + 24$.
पदों को व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण प्राप्त करने पर: $x^2 - 12x + 20 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 10)(x - 2) = 0$.
इससे $x = 10$ या $x = 2$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 2$ है,तो $AB = 2 - 2 = 0$ होगा,जो त्रिभुज की भुजा की लंबाई के लिए संभव नहीं है। अतः,$x = 10$ ही सही उत्तर है।

(D) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ है,यदि $\overline{BM}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर शीर्षलंब है,तो ज्यामितीय माध्य प्रमेय के अनुसार,$BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(x + 1)^2 = (x - 1)(x + 4)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $x^2 + 2x + 1 = x^2 + 4x - x - 4$.
समीकरण को सरल बनाने पर: $x^2 + 2x + 1 = x^2 + 3x - 4$.
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर: $2x + 1 = 3x - 4$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $3x - 2x = 1 + 4$.
अतः,$x = 5$.

(A) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^\circ$ है,यदि $\overline{BM}$ कर्ण $AC$ पर शीर्षलंब है,तो ज्यामितीय माध्य प्रमेय (Geometric Mean Theorem) (या समरूप त्रिभुजों $\Delta BMC \sim \Delta BCA$ के गुणों) के अनुसार,हमारे पास संबंध है: $BC^2 = CM \cdot AC$.
यहाँ $BC = 2x + 2$,$CM = x + 1$ और $AC = 5x$ दिया गया है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $(2x + 2)^2 = (x + 1)(5x)$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $(2(x + 1))^2 = 4(x + 1)^2 = 4(x^2 + 2x + 1)$.
अतः,$4(x^2 + 2x + 1) = 5x^2 + 5x$.
$4x^2 + 8x + 4 = 5x^2 + 5x$.
पदों को व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण बनाने पर: $x^2 - 3x - 4 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 4)(x + 1) = 0$.
इससे $x = 4$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$ लंबाई का एक भाग दर्शाता है और $BC, CM, AC$ धनात्मक होने चाहिए,इसलिए हम $x = -1$ को छोड़ देते हैं।
अतः,$x = 4$।

(B) समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए कि विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूंकि $AC = 24$ है,इसलिए $AO = AC / 2 = 24 / 2 = 12$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 = AO^2 + BO^2$ है।
यहाँ $AB = 13$ और $AO = 12$ दिया गया है,इसलिए $13^2 = 12^2 + BO^2$ होगा।
$169 = 144 + BO^2$।
$BO^2 = 169 - 144 = 25$।
$BO = \sqrt{25} = 5$।
चूंकि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $BD = 2 \times BO = 2 \times 5 = 10$ होगा।