Mix Examples - Triangles Questions in Hindi

(A) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है,हम ज्यामितीय माध्य प्रमेय (या समरूप त्रिभुजों के गुणों) का उपयोग करते हैं।
समकोण त्रिभुज में शीर्षलंब के गुण के अनुसार,भुजा का वर्ग उसके आसन्न कर्ण के खंड और पूरे कर्ण के गुणनफल के बराबर होता है।
विशेष रूप से,$BC^2 = CM \times AC$ होता है।
यहाँ $AM = 7$ और $CM = 9$ दिया गया है,इसलिए कर्ण $AC$ की कुल लंबाई $AC = AM + CM = 7 + 9 = 16$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $BC^2 = 9 \times 16$।
$BC^2 = 144$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$BC = \sqrt{144} = 12$।

(B) $\Delta ABC$ में,चूँकि $m \angle A = 90^\circ$ है,यह एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कर्ण $a$,$\angle A$ के सम्मुख भुजा है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$a^2 = b^2 + c^2$ होता है।
दिया गया है कि $b = 12$ और $c = 35$ है।
$a^2 = 12^2 + 35^2$
$a^2 = 144 + 1225$
$a^2 = 1369$
$a = \sqrt{1369} = 37$।
अतः,$a = 37$।

(C) दिया गया है कि $\Delta PQR$ में,$m \angle Q = 90^\circ$ है,अतः यह एक समकोण त्रिभुज है।
मान लीजिए $PQ = x$ और $QR = x$ (क्योंकि $PQ : QR = 1 : 1$ है)।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$।
मान रखने पर,$PR^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$।
इसलिए,$PR = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$।
हमें अनुपात $PQ : PR$ ज्ञात करना है।
$PQ : PR = x : x\sqrt{2} = 1 : \sqrt{2}$।

(D) दिया गया है कि $\Delta XYZ$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m\angle X = 90^{\circ}$ है।
यहाँ,$YZ$ कर्ण है और $XY$ एक भुजा है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए: $XY^2 + XZ^2 = YZ^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $8^2 + XZ^2 = 17^2$.
$64 + XZ^2 = 289$.
$XZ^2 = 289 - 64 = 225$.
$XZ = \sqrt{225} = 15$.
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times XY \times XZ$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 4 \times 15 = 60$.

(A) $\Delta MNP$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,जहाँ $\overline{MX}$ भुजा $\overline{NP}$ पर माध्यिका है:
$MN^2 + MP^2 = 2(MX^2 + NX^2)$
दिया गया है कि $MN^2 + MP^2 = 50$ और $MX = 3$,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$50 = 2(3^2 + NX^2)$
$50 = 2(9 + NX^2)$
$25 = 9 + NX^2$
$NX^2 = 25 - 9 = 16$
$NX = \sqrt{16} = 4$
चूँकि $\overline{MX}$ एक माध्यिका है,$X$,$\overline{NP}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $NP = 2 \times NX$.
$NP = 2 \times 4 = 8$.

(B) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है।
$\Delta ABM$ और $\Delta ABC$ पर विचार करें।
$\Delta ABM$ में,$\angle AMB = 90^{\circ}$ है। अतः,$\angle BAM + \angle ABM = 90^{\circ}$।
$\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है। अतः,$\angle BAM + \angle C = 90^{\circ}$।
इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $\angle ABM = \angle C$ (या $\angle MCB$) प्राप्त होता है।
साथ ही,$\Delta BMC$ में,$\angle BMC = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle MBC + \angle C = 90^{\circ}$।
चूंकि $\angle BAM + \angle C = 90^{\circ}$ और $\angle MBC + \angle C = 90^{\circ}$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $\angle BAM = \angle MBC$।

(C) समकोण त्रिभुज $\Delta PQR$ में जहाँ $m \angle Q = 90^{\circ}$ है,$\overline{QD}$ कर्ण $\overline{PR}$ पर डाला गया शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज में समरूपता के गुणधर्म के अनुसार,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$\Delta PQD \sim \Delta QRD$.
$\Delta PQD$ में,कोण $\angle P$,$\angle PQD$ और $\angle PDQ = 90^{\circ}$ हैं।
$\Delta QRD$ में,कोण $\angle R$,$\angle RQD$ और $\angle RDQ = 90^{\circ}$ हैं।
चूंकि $\angle P + \angle R = 90^{\circ}$ और $\angle P + \angle PQD = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle PQD = \angle R$ होता है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,$\angle DRQ$ (जो $\angle R$ के समान है) $\angle PQD$ के संगत कोण है।

(D) $\Delta PQR$ में,$\angle Q = 90^{\circ}$ और $\overline{QD} \perp \overline{PR}$ है।
समकोण त्रिभुज में शीर्षलंब के गुणधर्म के अनुसार,$QD^2 = PD \times DR$ होता है।
साथ ही,$\Delta PQD$ और $\Delta PQR$ की समरूपता से,$PQ^2 = PD \times PR$ होता है।
दिया गया है कि $PD = 9 DR$,इसलिए $PR = PD + DR = 9 DR + DR = 10 DR$ होगा।
इन मानों को $PQ^2$ के व्यंजक में रखने पर:
$PQ^2 = (9 DR) \times (10 DR) = 90 DR^2$।
इसी प्रकार,$\Delta QDR$ और $\Delta PQR$ के लिए,$QR^2 = DR \times PR$ होता है।
$QR^2 = DR \times (10 DR) = 10 DR^2$।
अब,अनुपात $\frac{PQ^2}{QR^2} = \frac{90 DR^2}{10 DR^2} = 9$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{PQ}{QR} = \sqrt{9} = 3$ मिलता है।
अतः,$PQ = 3 \times QR$ होगा।

(A) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ है और $\overline{BM}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर शीर्षलंब है,तब $\Delta AMB \sim \Delta BMC$ होता है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$.
तिर्यक गुणा करने पर $BM^2 = AM \cdot CM$ प्राप्त होता है।
अतः,$BM = \sqrt{AM \cdot CM}$,जिसका अर्थ है कि $BM$,$AM$ और $CM$ का गुणोत्तर माध्य है।

(B) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है,त्रिभुज दो त्रिभुजों $\Delta AMB$ और $\Delta BMC$ में विभाजित हो जाता है जो मूल त्रिभुज $\Delta ABC$ के समरूप होते हैं।
समरूपता के गुणधर्म के अनुसार,$\Delta AMB \sim \Delta ABC$ है।
इसका अर्थ है कि संगत भुजाओं का अनुपात समान है: $\frac{AM}{AB} = \frac{AB}{AC}$।
तिर्यक गुणा करने पर $AB^2 = AM \cdot AC$ प्राप्त होता है।
अतः,$AB$,$AM$ और $AC$ का गुणोत्तर माध्य है।

(C) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ है और $\overline{BM}$ कर्ण $AC$ पर शीर्षलंब है,समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार $(\Delta BMC \sim \Delta BCA)$:
$\frac{BC}{AC} = \frac{MC}{BC}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$BC^2 = MC \cdot AC$
इसका अर्थ है कि $BC$,$CM$ और $AC$ का गुणोत्तर माध्य है।

(D) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींचा गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं और आपस में भी समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$.
इन त्रिभुजों की समरूपता से,हमें संगत भुजाओं का अनुपात प्राप्त होता है:
$\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$.
यह ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) की ओर ले जाता है: $BM^2 = AM \times CM$.
चूंकि $AM = 8$ और $CM = 2$ दिया गया है,हम इन मानों को समीकरण में रखते हैं:
$BM^2 = 8 \times 2 = 16$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $BM = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$BM$ की लंबाई $4$ है।

(A) समकोण त्रिभुज $\Delta PQR$ में जहाँ $\angle Q = 90^{\circ}$ है,$\overline{QM}$ कर्ण $PR$ पर डाला गया शीर्षलंब है।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,$QM^2 = PM \times MR$ होता है।
यहाँ $QM = 6$ और $MR = 9$ दिया गया है,इसलिए $6^2 = PM \times 9$।
$36 = PM \times 9$,जिसका अर्थ है कि $PM = 36 / 9 = 4$।
अतः,कर्ण $PR$ की लंबाई $PR = PM + MR = 4 + 9 = 13$ होगी।

(B) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींचा गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं और आपस में भी समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$.
इन त्रिभुजों की समरूपता से,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{12}{BM} = \frac{BM}{3}$.
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$BM^2 = 12 \times 3$.
$BM^2 = 36$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$BM = \sqrt{36} = 6$.
अतः,$BM$ की लंबाई $6$ है।

(C) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींचा गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$ है।
समरूपता के गुणधर्म के अनुसार,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$।
इसका अर्थ है $BM^2 = AM \times CM$।
चूंकि $AM = 4$ और $CM = 6$ दिया गया है,इसलिए:
$BM^2 = 4 \times 6 = 24$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$BM = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$।

(D) चूंकि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m\angle B = 90^\circ$ है,इसलिए हम पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2$.
यहाँ $AB = 12$ और $BC = 5$ दिया गया है।
मान रखने पर: $(AC)^2 = (12)^2 + (5)^2$.
$(AC)^2 = 144 + 25 = 169$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $AC = \sqrt{169} = 13$.
अतः,कर्ण $AC$ की लंबाई $13$ है।

(A) $\Delta PQR$ में,चूँकि $m \angle Q = 90^{\circ}$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
यहाँ,$PR$ कर्ण है ($90^{\circ}$ के कोण के सामने की भुजा)।
अतः,$PR^{2} = PQ^{2} + QR^{2}$।
दिए गए मान रखने पर: $17^{2} = 8^{2} + QR^{2}$।
$289 = 64 + QR^{2}$।
$QR^{2} = 289 - 64$।
$QR^{2} = 225$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$QR = \sqrt{225} = 15$।

(B) आयत $ABCD$ में,सभी आंतरिक कोण $90^{\circ}$ के होते हैं।
समकोण त्रिभुज $\triangle BCD$ (या $\triangle ABD$) पर विचार करें।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$\triangle BCD$ में,$BD^2 = BC^2 + CD^2$ होता है।
चूंकि $ABCD$ एक आयत है,इसलिए $CD = AB = 9$ होगा।
मान रखने पर,$BD^2 = 12^2 + 9^2$।
$BD^2 = 144 + 81 = 225$।
वर्गमूल लेने पर,$BD = \sqrt{225} = 15$।

(C) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $m\angle B = 90^{\circ}$ है,भुजा $b$ कर्ण (hypotenuse) को दर्शाती है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$b^2 = a^2 + c^2$ होता है।
दिया गया है कि $a = 16$ और $c = 12$ है।
मान रखने पर: $b^2 = 16^2 + 12^2$।
$b^2 = 256 + 144$।
$b^2 = 400$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$b = \sqrt{400} = 20$।

(D) $\Delta PQR$ में,चूँकि $m\angle Q = 90^\circ$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
यहाँ,$PR$ कर्ण है।
अतः,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$।
दिया गया है कि $PQ = 8$ और $QR = 15$ है।
$PR^2 = 8^2 + 15^2$।
$PR^2 = 64 + 225$।
$PR^2 = 289$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$PR = \sqrt{289} = 17$।

(A) $\Delta DEF$ में,चूंकि $m \angle D = 90^{\circ}$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
यहाँ,$EF$ कर्ण है क्योंकि यह $D$ पर समकोण के सम्मुख है।
इसलिए,$EF^2 = DE^2 + DF^2$।
दिया गया है कि $EF = 6$ और $DF = 4$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$6^2 = DE^2 + 4^2$
$36 = DE^2 + 16$
$DE^2 = 36 - 16$
$DE^2 = 20$
$DE = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2 \sqrt{5}$।

(B) दिया गया है कि $\Delta XYZ$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m\angle Y = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $XY = YZ$ है,मान लीजिए $XY = YZ = x$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$XY^2 + YZ^2 = XZ^2$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$x^2 + x^2 = 10^2$ प्राप्त होता है।
$2x^2 = 100$।
$x^2 = 50$।
$x = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$।
अतः,$XY = 5\sqrt{2}$।

(C) माना कि वर्ग की भुजा $a$ है।
एक वर्ग में, विकर्ण $d$ और भुजा $a$ के बीच का संबंध $d = a \sqrt{2}$ होता है।
दिया गया है कि विकर्ण $d = 6$, इसलिए:
$a \sqrt{2} = 6$
$a = \frac{6}{\sqrt{2}}$
हर का परिमेयकरण करने के लिए, अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करें:
$a = \frac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{6 \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2}$.
अतः, वर्ग की भुजा की लंबाई $3 \sqrt{2}$ है।

(D) माना कि वर्ग की भुजा $a$ है।
हम जानते हैं कि वर्ग के विकर्ण $d$ का सूत्र $d = a \sqrt{2}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि विकर्ण $d = 5 \sqrt{2}$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $a \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $a = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,वर्ग की भुजा की लंबाई $5$ है।

(A) एक आयत में,प्रत्येक कोण समकोण $(90^{\circ})$ होता है।
मान लीजिए कि आयत की भुजाएँ $a = 12$ और $b = 35$ हैं।
आयत का विकर्ण $d$ दो आसन्न भुजाओं के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाता है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$d^2 = a^2 + b^2$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $d^2 = 12^2 + 35^2$।
$d^2 = 144 + 1225$।
$d^2 = 1369$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $d = \sqrt{1369} = 37$।
अतः,विकर्ण की लंबाई $37$ है।

(B) आयत $ABCD$ में,कोण $\angle B = 90^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $AB$ और $BC$ भुजाएँ हैं और $AC$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$।
यहाँ $AB = 2.4$ और $BC = 3.2$ दिया गया है।
$AC^2 = (2.4)^2 + (3.2)^2$।
$AC^2 = 5.76 + 10.24$।
$AC^2 = 16$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$AC = \sqrt{16} = 4$।

(C) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m\angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए भुजा $\overline{AC}$ कर्ण है।
$\overline{BM}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर माध्यिका है।
इसलिए,$BM = \frac{1}{2} \times AC$ होगा।
चूंकि $AC = 20$ दिया गया है,इसलिए $BM = \frac{1}{2} \times 20 = 10$ होगा।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
दिया गया है कि $\Delta XYZ$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m\angle Y = 90^{\circ}$ है,इसलिए भुजा $XZ$ कर्ण है।
$\overline{YP}$ कर्ण $XZ$ पर माध्यिका है।
इसलिए,$YP = \frac{1}{2} \times XZ$।
चूंकि $YP = 6$ दिया गया है,इसलिए $6 = \frac{1}{2} \times XZ$।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $XZ = 6 \times 2 = 12$ प्राप्त होता है।

(A) $\Delta ABC$ में माध्यिका $\overline{AD}$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
चूंकि $\overline{AD}$ भुजा $\overline{BC}$ पर एक माध्यिका है,इसलिए $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{18}{2} = 9$।
इन मानों को प्रमेय में रखने पर:
$8^2 + AC^2 = 2(7^2 + 9^2)$
$64 + AC^2 = 2(49 + 81)$
$64 + AC^2 = 2(130)$
$64 + AC^2 = 260$
$AC^2 = 260 - 64$
$AC^2 = 196$
$AC = \sqrt{196} = 14$।

(B) $\Delta ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
चूंकि $m \angle B = 90^{\circ}$ और $m \angle C = 30^{\circ}$ है,इसलिए $m \angle A = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$ होगा।
यह एक $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ त्रिभुज है।
एक $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ त्रिभुज में,$30^{\circ}$ के कोण के सामने वाली भुजा कर्ण की आधी होती है।
यहाँ $30^{\circ}$ के सामने वाली भुजा $AB$ है।
कर्ण $AC = 10$ है।
अतः,$AB = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$।

(C) $\triangle PQR$ में,हमें $PQ = 10$,$QR = 10$ और $PR = 10\sqrt{2}$ दिया गया है।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का उपयोग करके जांचें कि क्या $\triangle PQR$ एक समकोण त्रिभुज है:
$PQ^2 + QR^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$.
$PR^2 = (10\sqrt{2})^2 = 100 \times 2 = 200$.
चूंकि $PQ^2 + QR^2 = PR^2$,इसलिए $\triangle PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle PQR = 90^\circ$ है।
एक चतुर्भुज में,यदि दो आसन्न भुजाएँ बराबर हैं और उनके बीच का कोण $90^\circ$ है,तो यह एक वर्ग की विशेषता है।

(D) माना बांस की लंबाई कर्ण $c = 15 \, m$ है।
दीवार पर पहुँची ऊँचाई एक भुजा $a = 12 \, m$ है।
दीवार के आधार से दूरी दूसरी भुजा $b$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$a^2 + b^2 = c^2$ होता है।
मान रखने पर,$(12)^2 + b^2 = (15)^2$ प्राप्त होता है।
$144 + b^2 = 225$।
$b^2 = 225 - 144 = 81$।
$b = \sqrt{81} = 9 \, m$।
अतः,बांस का निचला सिरा दीवार के आधार से $9 \, m$ दूर है।

(A) आयत $HIJK$ में,$HJ$ विकर्ण है और $HI$ एक भुजा है।
मान लीजिए भुजाएँ $HI = l = 5$ और $IJ = w$ हैं। विकर्ण $HJ$ भुजाओं $HI$ और $IJ$ के साथ एक समकोण त्रिभुज $\triangle HIJ$ बनाता है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$HI^2 + IJ^2 = HJ^2$ होता है।
$5^2 + IJ^2 = 13^2$.
$25 + IJ^2 = 169$.
$IJ^2 = 169 - 25 = 144$.
$IJ = \sqrt{144} = 12$.
अब,आयत का परिमाप $P = 2(l + w)$ द्वारा दिया जाता है।
$P = 2(5 + 12) = 2(17) = 34$.

(B) आयत $ABCD$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ होता है।
$\triangle ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ होता है।
हमें दिया गया है कि $AB^{2} + BC^{2} = 64$ है।
इसलिए,$AC^{2} = 64$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$AC = \sqrt{64} = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,विकर्ण $AC$ की लंबाई $8$ है।

(C) सबसे पहले,$\Delta ABC$ की सबसे बड़ी भुजा की पहचान करें। यहाँ $AB = 4$,$BC = 2\sqrt{3} \approx 3.46$ और $AC = 2\sqrt{7} \approx 5.29$ है। चूँकि $AC$ सबसे बड़ी भुजा है,हमें भुजा $AC$ पर खींची गई माध्यिका $BD$ की लंबाई ज्ञात करनी है।
$\Delta ABC$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय (Apollonius Theorem) का उपयोग करने पर:
$AB^2 + BC^2 = 2(BD^2 + AD^2)$
चूँकि $D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AD = AC/2 = (2\sqrt{7})/2 = \sqrt{7}$ होगा।
मान रखने पर: $4^2 + (2\sqrt{3})^2 = 2(BD^2 + (\sqrt{7})^2)$
$16 + 12 = 2(BD^2 + 7)$
$28 = 2(BD^2 + 7)$
$14 = BD^2 + 7$
$BD^2 = 7$
$BD = \sqrt{7}$.

(D) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है।
समकोण त्रिभुज में ज्यामितीय माध्य के गुणधर्म के अनुसार,$BM^2 = AM \cdot MC$ होता है।
यहाँ $BM = 12$ और $AM = 9$ दिया गया है,इसलिए $12^2 = 9 \cdot MC$ होगा।
$144 = 9 \cdot MC \implies MC = \frac{144}{9} = 16$।
$\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$।
अतः,$AB = \sqrt{225} = 15$।
$\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ होगा।
पहले $\Delta BMC$ में $BC^2$ ज्ञात करते हैं: $BC^2 = BM^2 + MC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$।
इस प्रकार,$AC^2 = 225 + 400 = 625$।
$AC = \sqrt{625} = 25$।
वैकल्पिक रूप से,$AC = AM + MC = 9 + 16 = 25$।

(A) $\Delta PQR$ में,$\angle P = 90^{\circ}$ और $\overline{PX} \perp \overline{QR}$ है।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (या कर्ण पर शीर्षलंब के गुणधर्म) के अनुसार,एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$\Delta QXP \sim \Delta QPR$ होता है।
समरूपता $\Delta QXP \sim \Delta QPR$ से,हमें प्राप्त होता है $\frac{QX}{PQ} = \frac{PQ}{QR}$।
अतः,$PQ^2 = QX \cdot QR$।
यहाँ $QX = 4$ और $RX = 5$ दिया गया है,इसलिए $QR = QX + RX = 4 + 5 = 9$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$PQ^2 = 4 \cdot 9 = 36$।
इसलिए,$PQ = \sqrt{36} = 6$।

(B) माना कि वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है।
हम जानते हैं कि वर्ग का विकर्ण $d$ निकालने का सूत्र $d = a \sqrt{2}$ है।
यहाँ विकर्ण $d = 12$ दिया गया है,इसलिए:
$12 = a \sqrt{2}$
$a = \frac{12}{\sqrt{2}}$
हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$a = \frac{12 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$
$a = \frac{12 \sqrt{2}}{2}$
$a = 6 \sqrt{2}$
अतः,वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई $6 \sqrt{2}$ है।

(C) माना कि वर्ग की भुजा $a$ है।
वर्ग के विकर्ण की लंबाई का सूत्र $d = a \sqrt{2}$ होता है।
यहाँ विकर्ण $d = 8 \sqrt{2}$ दिया गया है।
दोनों की तुलना करने पर,$a \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,भुजा की लंबाई $a = 8$ प्राप्त होती है।
वर्ग का क्षेत्रफल $\text{Area} = a^2$ के रूप में निकाला जाता है।
$a$ का मान रखने पर,$\text{Area} = 8^2 = 64$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,वर्ग का क्षेत्रफल विकर्ण $d$ का उपयोग करके $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d^2$ द्वारा भी निकाला जा सकता है।
$d = 8 \sqrt{2}$ रखने पर,$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (8 \sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times (64 \times 2) = \frac{1}{2} \times 128 = 64$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m\angle Q = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$PR^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ प्राप्त होता है।
अतः,$PR = \sqrt{100} = 10$ है।
समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
चूंकि $T$,$\overline{PR}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\overline{QT}$ कर्ण $\overline{PR}$ पर माध्यिका है।
इसलिए,$QT = \frac{1}{2} \times PR = \frac{1}{2} \times 10 = 5$।

(A) माना सीढ़ी की लंबाई कर्ण $h = 2.6 \,m$ है।
माना सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी आधार $b = 1 \,m$ है।
माना सीढ़ी दीवार पर $a$ ऊँचाई तक पहुँचती है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$a^2 + b^2 = h^2$ होता है।
मान रखने पर: $a^2 + (1)^2 = (2.6)^2$।
$a^2 + 1 = 6.76$।
$a^2 = 6.76 - 1 = 5.76$।
$a = \sqrt{5.76} = 2.4 \,m$।
अतः,सीढ़ी का ऊपरी सिरा दीवार पर $2.4 \,m$ की ऊँचाई तक पहुँचेगा।

(B) यदि किसी त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो,तो वह एक समकोण त्रिभुज होता है (पाइथागोरस प्रमेय)।
विकल्प $A$ के लिए: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$,जबकि $12^2 = 144$। चूंकि $100 \neq 144$,यह समकोण त्रिभुज नहीं है।
विकल्प $B$ के लिए: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$,और $25^2 = 625$। चूंकि $625 = 625$,यह पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
विकल्प $C$ के लिए: $7^2 + 15^2 = 49 + 225 = 274$,जबकि $17^2 = 289$। चूंकि $274 \neq 289$,यह समकोण त्रिभुज नहीं है।
विकल्प $D$ के लिए: $3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58$,जबकि $9^2 = 81$। चूंकि $58 \neq 81$,यह समकोण त्रिभुज नहीं है।
अतः,$7, 24, 25$ भुजाओं वाला त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(A) $\Delta XYZ$ में,कोणों का अनुपात $m \angle X : m \angle Y : m \angle Z = 2 : 3 : 5$ है।
माना कोण $2k, 3k, 5k$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $2k + 3k + 5k = 180^{\circ}$,जिससे $10k = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,अतः $k = 18^{\circ}$।
इस प्रकार,$m \angle X = 2(18^{\circ}) = 36^{\circ}$,$m \angle Y = 3(18^{\circ}) = 54^{\circ}$,और $m \angle Z = 5(18^{\circ}) = 90^{\circ}$।
संगति $XYZ \leftrightarrow EFD$ एक समरूपता है,जिसका अर्थ है $\Delta XYZ \sim \Delta EFD$।
इसलिए,संगत कोण बराबर होते हैं: $m \angle X = m \angle E$,$m \angle Y = m \angle F$,और $m \angle Z = m \angle D$।
चूंकि $m \angle Z = 90^{\circ}$ है,इसलिए $m \angle D = 90^{\circ}$ होगा।
अतः,$\angle D$ एक समकोण है।

(C) दिया गया है कि संगतता $ABC \leftrightarrow ZXY$ के लिए $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ है।
इसका अर्थ है कि संगत भुजाओं का अनुपात समान है:
$\frac{AB}{ZX} = \frac{BC}{XY} = \frac{CA}{YZ}$.
अनुपात के गुणों के अनुसार,$\frac{AB}{ZX} = \frac{BC + CA}{XY + YZ}$ होता है।
दिए गए मान रखने पर: $AB = 12, BC = 8, CA = 10, ZX = 10$.
$\frac{12}{10} = \frac{8 + 10}{XY + YZ}$.
$\frac{6}{5} = \frac{18}{XY + YZ}$.
$XY + YZ = \frac{18 \times 5}{6} = 3 \times 5 = 15$.
अतः,$XY + YZ = 15$.

(B) दो समरूप त्रिभुजों के लिए,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
माना क्षेत्रफल $A_1 = 25$ और $A_2 = 16$ हैं।
माना संगत भुजाएँ $s_1$ और $s_2$ हैं।
अतः,$\frac{A_1}{A_2} = (\frac{s_1}{s_2})^2$.
$\frac{25}{16} = (\frac{s_1}{s_2})^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{s_1}{s_2} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.
दो समरूप त्रिभुजों के परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
इसलिए,उनके परिमापों का अनुपात $5: 4$ है।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ संगतता $ABC \leftrightarrow PQR$ के अंतर्गत है।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{36}{64} = \left(\frac{12}{PQ}\right)^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\sqrt{\frac{36}{64}} = \frac{12}{PQ}$.
$\frac{6}{8} = \frac{12}{PQ}$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{3}{4} = \frac{12}{PQ}$.
वज्र गुणन करने पर: $3 \times PQ = 12 \times 4$.
$3 \times PQ = 48$.
$PQ = \frac{48}{3} = 16$.

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ संगति $ABC \leftrightarrow XYZ$ के लिए है।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left(\frac{BC}{YZ}\right)^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{72}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left(\frac{6}{10}\right)^2$.
$\frac{72}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \frac{36}{100}$.
$\text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{72 \times 100}{36}$.
$\text{Area}(\Delta XYZ) = 2 \times 100 = 200$.

(C) $\Delta ABC$ में,$D$,$E$,और $F$ क्रमशः $\overline{AB}$,$\overline{BC}$ और $\overline{CA}$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$EF \parallel AB$ और $EF = \frac{1}{2} AB$,$DF \parallel BC$ और $DF = \frac{1}{2} BC$,तथा $DE \parallel AC$ और $DE = \frac{1}{2} AC$ है।
अतः,$\frac{DE}{AC} = \frac{EF}{AB} = \frac{DF}{BC} = \frac{1}{2}$ है।
$SSS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta DEF \sim \Delta CAB$ (क्योंकि $D$ के संगत $C$,$E$ के संगत $A$,और $F$ के संगत $B$ है)।
इस प्रकार,संगति $DEF \leftrightarrow CAB$ एक समरूपता है।

(A) $\Delta ADB$ और $\Delta BDC$ में:
$\angle ADB = \angle BDC = 90^{\circ}$ (क्योंकि $\overline{BD} \perp \overline{AC}$)।
$\Delta ABC$ में,$\angle A + \angle C = 90^{\circ}$।
$\Delta ADB$ में,$\angle A + \angle ABD = 90^{\circ}$।
अतः,$\angle ABD = \angle C$।
$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$A \leftrightarrow B$,$D \leftrightarrow D$,और $B \leftrightarrow C$ का पत्राचार प्राप्त होता है।
अतः,$ADB \leftrightarrow BDC$ सही पत्राचार है।

(A) दिया गया है कि संगति $ABC \leftrightarrow BAC$ और $ABC \leftrightarrow ACB$ समरूपताएँ हैं।
$ABC \leftrightarrow BAC$ से,हमें प्राप्त होता है कि $\angle A = \angle B$,$\angle B = \angle A$ और $\angle C = \angle C$।
$ABC \leftrightarrow ACB$ से,हमें प्राप्त होता है कि $\angle A = \angle A$,$\angle B = \angle C$ और $\angle C = \angle B$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $\angle A = \angle B$ और $\angle B = \angle C$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\angle A = \angle B = \angle C$।
चूंकि तीनों कोण बराबर हैं,इसलिए त्रिभुज समकोणीय है।
एक समकोणीय त्रिभुज हमेशा एक समबाहु त्रिभुज होता है।
अतः,$\Delta ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।