Mix Examples - Triangles Questions in Hindi

(C) एक समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए कि विकर्ण $PR$ और $QS$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूँकि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $PO = OR = \frac{PR}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ और $QO = OS = \frac{QS}{2} = \frac{12}{2} = 6$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\triangle POQ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PQ^2 = PO^2 + QO^2$
$PQ^2 = (4.5)^2 + (6)^2$
$PQ^2 = 20.25 + 36 = 56.25$
$PQ = \sqrt{56.25} = 7.5$।
चूँकि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए परिमाप $= 4 \times PQ$ होगा।
परिमाप $= 4 \times 7.5 = 30$।

(D) समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। मान लीजिए $AM = x$ और $DM = y$ है।
चूंकि विकर्ण $M$ पर $90^{\circ}$ के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $\triangle AMB$ एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AM^2 + BM^2 = AB^2$।
दिया गया है कि $AM + DM = 17$,इसलिए $x + y = 17$,जिसका अर्थ है $y = 17 - x$।
$\triangle AMB$ में,$x^2 + BM^2 = 13^2 = 169$।
$\triangle AMD$ में,$x^2 + y^2 = AD^2$। चूंकि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं,इसलिए $AD = AB = 13$।
अतः,$x^2 + y^2 = 169$।
$y = 17 - x$ प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 + (17 - x)^2 = 169$।
$x^2 + 289 - 34x + x^2 = 169$।
$2x^2 - 34x + 120 = 0$।
$x^2 - 17x + 60 = 0$।
$(x - 12)(x - 5) = 0$।
अतः,$x = 12$ या $x = 5$।
यदि $x = 12$ है,तो $y = 17 - 12 = 5$।
यदि $x = 5$ है,तो $y = 17 - 5 = 12$।
चूंकि $AC > BD$,इसलिए $AM > DM$,जिसका अर्थ है $x > y$। अतः,$x = 12$ और $y = 5$।
$DM = y = 5$।
चूंकि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $BD = 2 \times DM = 2 \times 5 = 10$।

(A) माना $AB = x$ और $BC = y$ है।
आयत $ABCD$ में,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle B = 90^\circ$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 + BC^2 = AC^2$।
दिया गया है $x^2 + y^2 = 29^2 = 841$।
यह भी दिया गया है कि $x + y = 41$।
हम जानते हैं कि $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$।
मान रखने पर: $41^2 = 841 + 2xy$।
$1681 = 841 + 2xy$।
$2xy = 1681 - 841 = 840$।
$xy = 420$।
अब,हमारे पास $x + y = 41$ और $xy = 420$ है।
ये द्विघात समीकरण $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ के मूल हैं।
$t^2 - 41t + 420 = 0$।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 21)(t - 20) = 0$।
अतः,$t = 21$ या $t = 20$।
चूंकि $AB > BC$,इसलिए $AB = 21$ और $BC = 20$ है।
इस प्रकार,$AB = 21$।

(B) एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप $P = 3a$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है。
दिया गया है $P = 30$, इसलिए $3a = 30$, जिसका अर्थ है $a = 10$.
समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $Area = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ है。
सूत्र में $a = 10$ रखने पर:
$Area = \frac{\sqrt{3}}{4} (10)^2$
$Area = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 100$
$Area = 25 \sqrt{3}$.

(A) माना $AB = x$ है।
दिया गया है $BC - AB = 4$,इसलिए $BC = x + 4$।
दिया गया है $AC - BC = 4$,इसलिए $AC = BC + 4 = (x + 4) + 4 = x + 8$।
चूंकि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle B = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AB^2 + BC^2 = AC^2$।
मान रखने पर: $x^2 + (x + 4)^2 = (x + 8)^2$।
$x^2 + x^2 + 8x + 16 = x^2 + 16x + 64$।
$x^2 - 8x - 48 = 0$।
$(x - 12)(x + 4) = 0$।
चूंकि $x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $x = 12$।
अतः,$AB = 12$,$BC = 12 + 4 = 16$,और $AC = 16 + 4 = 20$।

(B) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $BM \perp AC$ है।
समकोण त्रिभुज में ज्यामितीय माध्य प्रमेय के अनुसार,$BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
यहाँ $BM = 10$ और $CM = 5$ दिया गया है,इसलिए $10^2 = AM \cdot 5$,जिससे $100 = 5 \cdot AM$ प्राप्त होता है,अर्थात $AM = 20$ है।
कर्ण $AC = AM + CM = 20 + 5 = 25$ है।
$\Delta BMC$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$BC^2 = BM^2 + CM^2 = 10^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125$,इसलिए $BC = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ है।
$\Delta AMB$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$AB^2 = BM^2 + AM^2 = 10^2 + 20^2 = 100 + 400 = 500$,इसलिए $AB = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}$ है।
$\Delta ABC$ का परिमाप = $AB + BC + AC = 10\sqrt{5} + 5\sqrt{5} + 25 = 25 + 15\sqrt{5}$.

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC$ है। मान लीजिए $AB = AC = x$ और $BC = y$ है।
परिमाप $AB + AC + BC = 50$ है,इसलिए $2x + y = 50$,जिसका अर्थ है $y = 50 - 2x$ है।
चूंकि $\Delta ABC$ में $\overline{AM}$ आधार $\overline{BC}$ पर एक शीर्षलंब है,यह आधार को समद्विभाजित करता है। अतः,$BM = MC = y/2 = (50 - 2x)/2 = 25 - x$ है।
समकोण $\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AM^2 + BM^2 = AB^2$ है।
मान रखने पर: $15^2 + (25 - x)^2 = x^2$ है।
$225 + 625 - 50x + x^2 = x^2$ है।
$850 - 50x = 0$,इसलिए $50x = 850$,जिससे $x = 17$ प्राप्त होता है।
अब,आधार $y$ ज्ञात करें: $y = 50 - 2(17) = 50 - 34 = 16$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times BC \times AM$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 16 \times 15 = 8 \times 15 = 120$ है।

(B) $\Delta ABC$ में,$AB = AC = 37$ है,जिसका अर्थ है कि $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
समद्विबाहु त्रिभुज में आधार $BC$ पर खींची गई माध्यिका $\overline{AM}$ आधार पर शीर्षलंब भी होती है।
अतः,$\overline{AM} \perp \overline{BC}$ और $M$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
चूंकि $BC = 70$ है,इसलिए $BM = MC = \frac{70}{2} = 35$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AM^2 + BM^2$
$37^2 = AM^2 + 35^2$
$1369 = AM^2 + 1225$
$AM^2 = 1369 - 1225 = 144$
$AM = \sqrt{144} = 12$.

(C) माना $AB = x$ है।
दिया है $BC - AB = 7$,इसलिए $BC = x + 7$।
दिया है $AC - BC = 2$,इसलिए $AC = BC + 2 = (x + 7) + 2 = x + 9$।
चूंकि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$x^2 + (x + 7)^2 = (x + 9)^2$
$x^2 + x^2 + 14x + 49 = x^2 + 18x + 81$
$2x^2 + 14x + 49 = x^2 + 18x + 81$
$x^2 - 4x - 32 = 0$
$(x - 8)(x + 4) = 0$
लंबाई हमेशा धनात्मक होती है,इसलिए $x = 8$।
अतः,$AB = 8$,$BC = 15$,और $AC = 17$।
$\Delta ABC$ का परिमाप = $AB + BC + AC = 8 + 15 + 17 = 40$।

(D) आयत $\square ABCD$ में,सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $AB = CD$ और $BC = DA$ है।
दिया गया समीकरण: $AB^{2} + BC^{2} + CD^{2} + DA^{2} = 128$ है।
बराबर भुजाओं को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $AB^{2} + BC^{2} + AB^{2} + BC^{2} = 128$ है।
इसे सरल करने पर: $2(AB^{2} + BC^{2}) = 128$ है।
$2$ से भाग देने पर: $AB^{2} + BC^{2} = 64$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ है।
अतः,$AC^{2} = 64$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$AC = \sqrt{64} = 8$ है।

(A) माना आयत की भुजाएँ $AB = x$ और $BC = y$ हैं।
आयत का परिमाप $2(x + y) = 28$ है,जिसे सरल करने पर $x + y = 14$ प्राप्त होता है।
आयत में,विकर्ण $AC$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के साथ एक समकोण त्रिभुज $ABC$ बनाता है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = AC^2 = 10^2 = 100$ है।
हमारे पास समीकरणों का निकाय है:
$1) x + y = 14$
$2) x^2 + y^2 = 100$
समीकरण $(1)$ से,$y = 14 - x$। इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + (14 - x)^2 = 100$
$x^2 + 196 - 28x + x^2 = 100$
$2x^2 - 28x + 96 = 0$
$x^2 - 14x + 48 = 0$
$(x - 6)(x - 8) = 0$
अतः,$x = 6$ या $x = 8$ है।
यदि $x = 6$ है,तो $y = 14 - 6 = 8$ होगा। चूँकि $AB < BC$ $(6 < 8)$ है,यह एक मान्य हल है।
यदि $x = 8$ है,तो $y = 14 - 8 = 6$ होगा। यह $AB < BC$ की शर्त का खंडन करता है।
इसलिए,भुजाओं के माप $AB = 6$ और $BC = 8$ हैं।

(B) भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि क्षेत्रफल $36 \sqrt{3}$ है,इसलिए हम समीकरण बना सकते हैं:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 36 \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{4} a^2 = 36$.
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर:
$a^2 = 36 \times 4 = 144$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$a = \sqrt{144} = 12$.
अतः,इसकी भुजा की माप $12$ है।

(C) मान लीजिए कि दो खंभे $AB = 6 \, m$ और $CD = 11 \, m$ समतल जमीन पर खड़े हैं।
उनके आधारों के बीच की दूरी $BD = 12 \, m$ है।
$BD$ के समानांतर एक रेखाखंड $AE$ खींचिए ताकि $E$,$CD$ पर स्थित हो।
तब $AE = BD = 12 \, m$ और $ED = AB = 6 \, m$ होगा।
अब,$CE = CD - ED = 11 \, m - 6 \, m = 5 \, m$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle AEC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AE^2 + CE^2$
$AC^2 = (12)^2 + (5)^2$
$AC^2 = 144 + 25 = 169$
$AC = \sqrt{169} = 13 \, m$।
अतः,उनके शीर्षों के बीच की दूरी $13 \, m$ है।

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC = 25$ और आधार $BC = 14$ है।
चूंकि $\overline{AM}$ आधार $BC$ पर एक शीर्षलंब है,एक समद्विबाहु त्रिभुज में शीर्ष से आधार पर डाला गया लंब माध्यिका का भी कार्य करता है।
इसलिए,$M$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
समकोण त्रिभुज $\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AM^2 + BM^2$
$25^2 = AM^2 + 7^2$
$625 = AM^2 + 49$
$AM^2 = 625 - 49 = 576$
$AM = \sqrt{576} = 24$.
अतः,शीर्षलंब $AM$ की लंबाई $24$ है।

(A) माना सीढ़ी की लंबाई $L$ है। सीढ़ी, दीवार और जमीन एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $L^2 = (\text{ऊँचाई})^2 + (\text{आधार})^2$ होता है।
पहले मामले में, ऊँचाई $= 8 \, m$ और आधार $= 6 \, m$ है।
अतः, $L^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$।
इस प्रकार, $L = \sqrt{100} = 10 \, m$।
दूसरे मामले में, उसी $L = 10 \, m$ लंबाई वाली सीढ़ी का उपयोग किया जाता है और नई ऊँचाई $6 \, m$ है।
माना नया आधार $x$ है।
पुनः पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $L^2 = (\text{नई ऊँचाई})^2 + x^2$।
$10^2 = 6^2 + x^2$।
$100 = 36 + x^2$।
$x^2 = 100 - 36 = 64$।
$x = \sqrt{64} = 8 \, m$।
अतः, दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी $8 \, m$ है।

(A) समचतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं और विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
माना विकर्ण $d_1 = AC = 24$ और $d_2 = BD = 70$ हैं।
विकर्ण एक-दूसरे को बिंदु $O$ पर समद्विभाजित करते हैं। अतः,खंड $AO = OC = \frac{24}{2} = 12$ और $BO = OD = \frac{70}{2} = 35$ हैं।
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 12^2 + 35^2$
$AB^2 = 144 + 1225 = 1369$
$AB = \sqrt{1369} = 37$.
समचतुर्भुज का परिमाप $4 \times \text{भुजा} = 4 \times 37 = 148$ है।

(A) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
शीर्षलंब के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय के अनुसार: $BM^2 = AM \cdot CM$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $BM^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
अतः,$BM = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$\Delta ABM$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36$.
अतः,$AB = \sqrt{36} = 6$.
$\Delta CBM$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $BC^2 = CM^2 + BM^2 = 5^2 + (2\sqrt{5})^2 = 25 + 20 = 45$.
अतः,$BC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

(N/A) $\Delta PQR$ में,$\angle Q = 90^{\circ}$ और $QS \perp PR$ है।
समकोण त्रिभुज में शीर्षलंब के गुणधर्म के अनुसार,$PQ^2 = PS \cdot PR$ होता है।
यहाँ $PQ = 6$ और $PS = 4$ दिया गया है,इसलिए $6^2 = 4 \cdot PR$,जिसका अर्थ है $36 = 4 \cdot PR$,अर्थात $PR = 9$।
चूँकि $PR = PS + RS$,इसलिए $9 = 4 + RS$,जिससे $RS = 5$ प्राप्त होता है।
शीर्षलंब प्रमेय के अनुसार,$QS^2 = PS \cdot RS = 4 \cdot 5 = 20$,इसलिए $QS = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$।
$\Delta QSR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$QR^2 = QS^2 + RS^2 = 20 + 5^2 = 20 + 25 = 45$।
अतः,$QR = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$।

(A) $\Delta ABC$ में,चूंकि $m \angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,कर्ण $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$.
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल दो तरीकों से निकाला जा सकता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84$.
साथ ही,$AC$ को आधार और $BM$ को ऊंचाई मानते हुए,क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times BM = \frac{1}{2} \times 25 \times BM$.
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} \times 25 \times BM = 84$.
$25 \times BM = 168$.
$BM = \frac{168}{25} = 6.72$.

(B) चित्र से,कुल $4$ चरण (सीढ़ियाँ) हैं।
कुल क्षैतिज दूरी (आधार) $= 4 \times 20 \, cm = 80 \, cm = 0.8 \, m$.
कुल ऊर्ध्वाधर दूरी (ऊँचाई) $= 4 \times 15 \, cm = 60 \, cm = 0.6 \, m$.
बिंदु $A$ और $B$ के बीच की दूरी एक समकोण त्रिभुज का कर्ण बनाती है,जिसका आधार $0.8 \, m$ और ऊँचाई $0.6 \, m$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AB = \sqrt{(0.8)^2 + (0.6)^2} = \sqrt{0.64 + 0.36} = \sqrt{1.00} = 1 \, m$.

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है। $N$,$AB$ पर एक बिंदु है और $M$,$BC$ पर एक बिंदु है।
सिद्ध करना है: $AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$।
उपपत्ति:
$1$. समकोण $\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AM^{2} = AB^{2} + BM^{2}$।
$2$. समकोण $\Delta CBN$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $CN^{2} = CB^{2} + BN^{2}$।
$3$. इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $AM^{2} + CN^{2} = AB^{2} + BM^{2} + CB^{2} + BN^{2}$।
$4$. पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $AM^{2} + CN^{2} = (AB^{2} + BC^{2}) + (BM^{2} + BN^{2})$।
$5$. $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$।
$6$. समकोण $\Delta MBN$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $MN^{2} = BM^{2} + BN^{2}$।
$7$. इन मानों को चरण $4$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$।
अतः,कथन सिद्ध हुआ।

(A) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $BE \perp AC$ है।
समकोण त्रिभुज में कर्ण पर शीर्षलंब खींचे जाने पर,शीर्षलंब के दोनों ओर के त्रिभुज मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं और आपस में भी समरूप होते हैं।
$1$. $\Delta ABE \sim \Delta ABC$ ($AA$ समरूपता द्वारा)।
अतः,$\frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AB}$,जिसका अर्थ है $AB^2 = AE \cdot AC$ --- $(1)$।
$2$. $\Delta CBE \sim \Delta ABC$ ($AA$ समरूपता द्वारा)।
अतः,$\frac{BC}{AC} = \frac{CE}{BC}$,जिसका अर्थ है $BC^2 = CE \cdot AC$ --- $(2)$।
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AE \cdot AC}{CE \cdot AC}$।
अंश और हर से $AC$ को काटने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AE}{CE}$।
इति सिद्धम्।

(N/A) $\Delta PQR$ में,$\angle Q = 90^{\circ}$ और $QD \perp PR$ है।
समकोण त्रिभुज में ज्यामितीय माध्य (geometric mean) के गुणधर्म के अनुसार,$\Delta PDQ \sim \Delta QDR$ होता है।
त्रिभुजों की समरूपता से,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है: $\frac{PQ}{QR} = \frac{PD}{QD} = \frac{QD}{DR}$।
$\frac{PQ}{QR} = \frac{QD}{DR}$ से,हमें प्राप्त होता है $PQ^2 = QR^2 \cdot \frac{PD}{DR}$।
दिया गया है कि $PD = 25 DR$,इसलिए $\frac{PD}{DR} = 25$।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$PQ^2 = QR^2 \cdot 25$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$PQ = 5 QR$ प्राप्त होता है।

(N/A) $1$. $\Delta PQR$ में,$\angle Q = 90^{\circ}$ और $\overline{QD} \perp \overline{PR}$ है।
$2$. समकोण त्रिभुज में समरूपता के गुणधर्म के अनुसार,$\Delta PDQ \sim \Delta QDR \sim \Delta PQR$ होता है।
$3$. $\Delta PDQ \sim \Delta QDR$ से,संगत भुजाओं का अनुपात: $\frac{PD}{QD} = \frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$ प्राप्त होता है।
$4$. अनुपात $\frac{PD}{QD} = \frac{PQ}{QR}$ से,$PD = QD \cdot \frac{PQ}{QR}$ मिलता है।
$5$. अनुपात $\frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$ से,$QD = RD \cdot \frac{PQ}{QR}$ मिलता है।
$6$. $PD$ के व्यंजक में $QD$ का मान रखने पर: $PD = (RD \cdot \frac{PQ}{QR}) \cdot \frac{PQ}{QR} = RD \cdot (\frac{PQ}{QR})^2$।
$7$. दिया गया है कि $PQ = 4QR$,इसलिए $\frac{PQ}{QR} = 4$ है।
$8$. अतः,$PD = RD \cdot (4)^2 = 16RD$ सिद्ध होता है।

(N/A) मान लीजिए कि चतुर्भुज $\square XYZW$ के विकर्ण $XZ$ और $YW$ बिंदु $O$ पर समकोण $(90^{\circ})$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$\triangle XOY$,$\triangle YOZ$,$\triangle ZOW$ और $\triangle WOX$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$XY^{2} = XO^{2} + YO^{2}$ $(1)$
$YZ^{2} = YO^{2} + ZO^{2}$ $(2)$
$ZW^{2} = ZO^{2} + WO^{2}$ $(3)$
$XW^{2} = WO^{2} + XO^{2}$ $(4)$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$XY^{2} + ZW^{2} = (XO^{2} + YO^{2}) + (ZO^{2} + WO^{2})$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$XY^{2} + ZW^{2} = (YO^{2} + ZO^{2}) + (WO^{2} + XO^{2})$
समीकरण $(2)$ और $(4)$ का मान रखने पर:
$XY^{2} + ZW^{2} = YZ^{2} + XW^{2}$
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) माना $ABCD$ एक आयत है जिसकी भुजाएँ $AB = CD = l$ और $BC = DA = b$ हैं। माना विकर्ण $AC$ और $BD$ हैं।
आयत में,सभी आंतरिक कोण $90^{\circ}$ होते हैं।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = l^2 + b^2$
इसी प्रकार,समकोण त्रिभुज $\triangle BCD$ में:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 = b^2 + l^2$
विकर्णों के वर्गों का योग:
$AC^2 + BD^2 = (l^2 + b^2) + (b^2 + l^2) = 2l^2 + 2b^2$
भुजाओं के वर्गों का योग:
$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = l^2 + b^2 + l^2 + b^2 = 2l^2 + 2b^2$
अतः,भुजाओं के वर्गों का योग विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर है।

(N/A) दिया है: $\Delta PQR$ में,$\overline{QM} \perp \overline{PR}$। माना $PM = x$। तब $PQ = 2x$ और $RM = 3x$।
समकोण $\Delta QMP$ में,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: $PQ^2 = PM^2 + QM^2 \implies (2x)^2 = x^2 + QM^2 \implies 4x^2 = x^2 + QM^2 \implies QM^2 = 3x^2$।
समकोण $\Delta QMR$ में,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: $QR^2 = QM^2 + RM^2 \implies QR^2 = 3x^2 + (3x)^2 \implies QR^2 = 3x^2 + 9x^2 = 12x^2$।
अब,$\Delta PQR$ की भुजाओं पर विचार करें: $PR = PM + RM = x + 3x = 4x$। अतः,$PR^2 = (4x)^2 = 16x^2$।
जाँचें कि क्या $PQ^2 + QR^2 = PR^2$: $PQ^2 + QR^2 = (2x)^2 + 12x^2 = 4x^2 + 12x^2 = 16x^2$।
चूँकि $PQ^2 + QR^2 = PR^2$,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम द्वारा,$\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle PQR = 90^\circ$ है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है।
समकोण त्रिभुज में शीर्षलंब के गुणधर्म के अनुसार,$BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
दिया गया है कि $BM = 2 CM$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(2 CM)^2 = AM \cdot CM$
$4 CM^2 = AM \cdot CM$
चूंकि $CM \neq 0$,दोनों पक्षों को $CM$ से विभाजित करने पर $AM = 4 CM$ प्राप्त होता है।
अब,कर्ण $AC$ रेखाखंड $AM$ और $CM$ का योग है:
$AC = AM + CM$
$AC = 4 CM + CM$
$AC = 5 CM$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया है: $\Delta PQR$ में,$\overline{PM} \perp \overline{QR}$ और $PM^2 = QM \times RM$ है।
चरण $1$: दिए गए समीकरण से,हमें $\frac{PM}{QM} = \frac{RM}{PM}$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $\Delta PMQ$ और $\Delta RMP$ में,$\angle PMQ = \angle RMP = 90^\circ$ (क्योंकि $\overline{PM}$ एक शीर्षलंब है)।
चरण $3$: $SAS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta PMQ \sim \Delta RMP$ है।
चरण $4$: चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनके संगत कोण बराबर हैं: $\angle QPM = \angle PRM$ और $\angle PQM = \angle RPM$ है।
चरण $5$: $\Delta PQR$ में,कोणों का योग $180^\circ$ होता है। अतः,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^\circ$ है।
चरण $6$: कोणों का मान प्रतिस्थापित करने पर,$\angle QPM + \angle RPM + \angle Q + \angle R = 180^\circ$ प्राप्त होता है।
चरण $7$: चूंकि $\angle QPM = \angle R$ और $\angle RPM = \angle Q$ है,इसलिए $\angle R + \angle Q + \angle Q + \angle R = 180^\circ$,जिसे सरल करने पर $2(\angle Q + \angle R) = 180^\circ$ प्राप्त होता है,अतः $\angle Q + \angle R = 90^\circ$ है।
चरण $8$: इसलिए,$\angle P = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ है। अतः,$\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है।

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ होता है।
$2$. समकोण $\Delta ABD$ में,$AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$ होता है। चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = \frac{1}{2} BC$। अतः,$AD^{2} = AB^{2} + (\frac{1}{2} BC)^{2} = AB^{2} + \frac{1}{4} BC^{2}$।
$3$. समकोण $\Delta CBF$ में,$CF^{2} = BC^{2} + BF^{2}$ होता है। चूँकि $F$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BF = \frac{1}{2} AB$। अतः,$CF^{2} = BC^{2} + (\frac{1}{2} AB)^{2} = BC^{2} + \frac{1}{4} AB^{2}$।
$4$. दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $AD^{2} + CF^{2} = (AB^{2} + \frac{1}{4} BC^{2}) + (BC^{2} + \frac{1}{4} AB^{2})$।
$5$. सरल करने पर: $AD^{2} + CF^{2} = (1 + \frac{1}{4}) AB^{2} + (1 + \frac{1}{4}) BC^{2} = \frac{5}{4} AB^{2} + \frac{5}{4} BC^{2}$।
$6$. $\frac{5}{4}$ को कॉमन लेने पर: $AD^{2} + CF^{2} = \frac{5}{4} (AB^{2} + BC^{2})$।
$7$. चूँकि $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$ है,इसलिए हमें $AD^{2} + CF^{2} = \frac{5}{4} AC^{2}$ प्राप्त होता है।

(N/A) $1$. $\Delta PQR$ में,$\angle Q = 90^{\circ}$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^{2} = PQ^{2} + QR^{2}$।
$2$. चूंकि $\overline{PM}$ भुजा $\overline{QR}$ पर एक माध्यिका है,इसलिए $M$,$\overline{QR}$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$QM = RM = \frac{1}{2} QR$,जिसका अर्थ है कि $QR = 2RM$।
$3$. समकोण $\Delta PQM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PM^{2} = PQ^{2} + QM^{2}$। अतः,$PQ^{2} = PM^{2} - QM^{2}$।
$4$. $PQ^{2} = PM^{2} - QM^{2}$ और $QR = 2RM$ के मानों को पहले समीकरण में रखने पर: $PR^{2} = (PM^{2} - QM^{2}) + (2RM)^{2}$।
$5$. चूंकि $QM = RM$,इसलिए $QM$ के स्थान पर $RM$ रखने पर: $PR^{2} = PM^{2} - RM^{2} + 4RM^{2}$।
$6$. व्यंजक को सरल करने पर,हमें $PR^{2} = PM^{2} + 3RM^{2}$ प्राप्त होता है। इति सिद्धम्।

(N/A) माना कि $BC$ को बिंदु $D$ और $E$ द्वारा तीन बराबर भागों में विभाजित किया गया है। माना $BD = DE = EC = x$ है। अतः $BE = 2x$ और $BC = 3x$ होगा।
समकोण $\Delta ABE$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AE^{2} = AB^{2} + BE^{2} = AB^{2} + (2x)^{2} = AB^{2} + 4x^{2}$।
दोनों पक्षों को $8$ से गुणा करने पर: $8AE^{2} = 8AB^{2} + 32x^{2}$।
समकोण $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = AB^{2} + (3x)^{2} = AB^{2} + 9x^{2}$।
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर: $3AC^{2} = 3AB^{2} + 27x^{2}$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $8AE^{2} - 3AC^{2} = (8AB^{2} + 32x^{2}) - (3AB^{2} + 27x^{2}) = 5AB^{2} + 5x^{2}$।
चूंकि $DE = x$ है,इसलिए $DE^{2} = x^{2}$ होगा। अतः,$8AE^{2} - 3AC^{2} = 5AB^{2} + 5DE^{2}$।

(N/A) माना कि समचतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूँकि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $AO = OC = \frac{AC}{2}$ और $BO = OD = \frac{BD}{2}$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^{2} = AO^{2} + BO^{2}$
$AO$ और $BO$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$AB^{2} = (\frac{AC}{2})^{2} + (\frac{BD}{2})^{2}$
$AB^{2} = \frac{AC^{2}}{4} + \frac{BD^{2}}{4}$
$AB^{2} = \frac{AC^{2} + BD^{2}}{4}$
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर:
$4AB^{2} = AC^{2} + BD^{2}$
अतः,यह सिद्ध हुआ कि $AC^{2} + BD^{2} = 4AB^{2}$।

(A) $1$. $\Delta ABC$ में,चूँकि $\angle B = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ (समीकरण $1$)।
$2$. चूँकि $\overline{AD}$ भुजा $\overline{BC}$ पर एक माध्यिका है,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$BD = DC = \frac{1}{2} BC$,जिसका अर्थ है $BC = 2BD$।
$3$. $\Delta ABD$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$।
$4$. $BD^{2}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$BD^{2} = AD^{2} - AB^{2}$ प्राप्त होता है।
$5$. $BC = 2BD$ को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $AC^{2} = AB^{2} + (2BD)^{2} = AB^{2} + 4BD^{2}$।
$6$. $BD^{2} = AD^{2} - AB^{2}$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $AC^{2} = AB^{2} + 4(AD^{2} - AB^{2})$।
$7$. सरल करने पर: $AC^{2} = AB^{2} + 4AD^{2} - 4AB^{2} = 4AD^{2} - 3AB^{2}$।
$8$. अतः,$AC^{2} = 4AD^{2} - 3AB^{2}$ सिद्ध हुआ।

(N/A) $\Delta ABC$ में,$\overline{AM}$ भुजा $\overline{BC}$ पर शीर्षलंब है,अतः $\angle AMB = 90^{\circ}$ और $\angle AMC = 90^{\circ}$ है।
$\Delta AMC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AM^{2} + MC^{2}$।
चूँकि $M$,$BC$ पर स्थित है,इसलिए $MC = BC - BM$ होगा।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $AC^{2} = AM^{2} + (BC - BM)^{2}$।
वर्ग का विस्तार करने पर: $AC^{2} = AM^{2} + BC^{2} + BM^{2} - 2 \cdot BC \cdot BM$।
$\Delta AMB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AB^{2} = AM^{2} + BM^{2}$।
समीकरण में $AM^{2} + BM^{2} = AB^{2}$ रखने पर: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2 \cdot BC \cdot BM$।
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया है: चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $AD^{2} = AB^{2} + BC^{2} + CD^{2}$ है।
सिद्ध करना है: $\angle ACD = 90^{\circ}$।
उपपत्ति: $AC$ को मिलाइए। $\triangle ABC$ में,चूंकि $\angle B = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ होगा।
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $AD^{2} = (AB^{2} + BC^{2}) + CD^{2}$।
यह $AD^{2} = AC^{2} + CD^{2}$ बन जाता है।
$\triangle ACD$ में,हमारे पास $AD^{2} = AC^{2} + CD^{2}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के अनुसार,यदि एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो,तो पहली भुजा के सम्मुख कोण समकोण होता है।
अतः,$\angle ACD = 90^{\circ}$ है।

(N/A) $\Delta AMC$ में,$\angle AMC = 90^{\circ}$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^{2} = AM^{2} + MC^{2}$ है।
चूंकि $MC = MB + BC$,इसलिए $AC^{2} = AM^{2} + (MB + BC)^{2}$ होगा।
वर्ग का विस्तार करने पर,$AC^{2} = AM^{2} + MB^{2} + BC^{2} + 2 \cdot MB \cdot BC$ प्राप्त होता है।
$\Delta AMB$ में,$\angle AMB = 90^{\circ}$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^{2} = AM^{2} + MB^{2}$ है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} + 2 \cdot BC \cdot BM$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि शुरुआती बिंदु $A$ कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
उत्तर दिशा में $800 \, m$ चलने पर व्यक्ति बिंदु $B(0, 800)$ पर पहुँचता है।
$B$ से पूर्व दिशा में $500 \, m$ चलने पर व्यक्ति बिंदु $C(500, 800)$ पर पहुँचता है।
$C$ से उत्तर दिशा में $400 \, m$ चलने पर व्यक्ति बिंदु $D(500, 800 + 400) = D(500, 1200)$ पर पहुँचता है।
$A(0, 0)$ से $D(500, 1200)$ के बीच की सीधी दूरी,दूरी सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$d = \sqrt{(500 - 0)^2 + (1200 - 0)^2} = \sqrt{500^2 + 1200^2}$.
$d = \sqrt{250000 + 1440000} = \sqrt{1690000}$.
$d = 1300 \, m$.

(A) मान लीजिए कि हवाई अड्डा मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
$t = 1.5 \, \text{घंटे}$ के बाद,उत्तर की ओर जाने वाले पहले विमान द्वारा तय की गई दूरी $d_1 = 800 \times 1.5 = 1200 \, km$ है।
पूर्व की ओर जाने वाले दूसरे विमान द्वारा तय की गई दूरी $d_2 = 840 \times 1.5 = 1260 \, km$ है।
चूंकि उत्तर और पूर्व दिशाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए दोनों विमानों के बीच की दूरी एक समकोण त्रिभुज के कर्ण का निर्माण करती है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,दूरी $D = \sqrt{d_1^2 + d_2^2}$ है।
$D = \sqrt{1200^2 + 1260^2} = \sqrt{1440000 + 1587600} = \sqrt{3027600}$.
$D = 1740 \, km$.

(N/A) मान लीजिए कि आयत $ABCD$ कार्तीय तल में स्थित है। मान लीजिए $A = (0, b)$,$B = (a, b)$,$C = (a, 0)$,और $D = (0, 0)$ है।
मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,दूरियों के वर्ग इस प्रकार हैं:
$PA^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2$
$PC^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$
$PB^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2$
$PD^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
अब,योग की गणना करते हैं:
$PA^2 + PC^2 = (x^2 + y^2 - 2by + b^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$
$PB^2 + PD^2 = (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2) + (x^2 + y^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$
चूंकि दोनों योग समान हैं,इसलिए $PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$ सिद्ध होता है।

(N/A) $\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AB^{2} = AM^{2} + BM^{2}$ $(1)$।
$\Delta ACM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AM^{2} + MC^{2}$ $(2)$।
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर: $AB^{2} - AC^{2} = BM^{2} - MC^{2} = (BM - MC)(BM + MC)$।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = DC = \frac{BC}{2}$।
हम $BM$ को $BD + DM$ और $MC$ को $DC - DM = BD - DM$ के रूप में लिख सकते हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $BM - MC = (BD + DM) - (BD - DM) = 2DM$।
साथ ही,$BM + MC = BC$।
अतः,$AB^{2} - AC^{2} = (2DM)(BC) = 2 \cdot BC \cdot DM$।

(N/A) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BD} \perp \overline{AC}$ है।
समकोण त्रिभुज में ज्यामितीय माध्य के गुणधर्म के अनुसार,$BD^2 = AD \cdot CD$ होता है।
दिया गया है कि $AC = 5 CD$ है। चूँकि $AC = AD + CD$,इसलिए $AD + CD = 5 CD$,जिसका अर्थ है कि $AD = 4 CD$ है।
$AD = 4 CD$ को ज्यामितीय माध्य के समीकरण में रखने पर:
$BD^2 = (4 CD) \cdot CD$
$BD^2 = 4 CD^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$BD = \sqrt{4 CD^2} = 2 CD$ प्राप्त होता है।
अतः,यह सिद्ध हुआ कि $BD = 2 CD$ है।

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$m\angle A + m\angle C = m\angle B$ है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m\angle A + m\angle B + m\angle C = 180^{\circ}$ है।
समीकरण में $m\angle A + m\angle C = m\angle B$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m\angle B + m\angle B = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2m\angle B = 180^{\circ}$,इसलिए $m\angle B = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $AC$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ है।
दिए गए मानों को रखने पर,$AC^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$ है।
अतः,$AC = \sqrt{625} = 25$ है।

(B) माना वर्ग की भुजा $a$ है और विकर्ण $d$ है।
वर्ग के विकर्ण का सूत्र $d = a\sqrt{2}$ होता है।
दिया गया है कि $d = 10$,इसलिए $a\sqrt{2} = 10$ है।
अतः,$a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$ होगा।
वर्ग का क्षेत्रफल $Area = a^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
$Area = (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50$।
वैकल्पिक रूप से,वर्ग का क्षेत्रफल विकर्ण का उपयोग करके $Area = \frac{1}{2} \times d^2$ के रूप में ज्ञात किया जा सकता है।
$Area = \frac{1}{2} \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times 100 = 50$।

(C) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के और एक-दूसरे के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$.
समरूपता $\Delta AMB \sim \Delta ABC$ से,हमारे पास गुणधर्म है: $BM^2 = AM \cdot MC$.
यहाँ $AC = 25$ और $AM = 16$ दिया गया है,इसलिए $MC = AC - AM = 25 - 16 = 9$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $BM^2 = 16 \cdot 9$.
$BM^2 = 144$.
वर्गमूल लेने पर,$BM = \sqrt{144} = 12$.

(D) $\Delta PQR$ में,$\angle P = 90^{\circ}$ और $\overline{PM} \perp \overline{QR}$ है।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (या कर्ण पर डाले गए शीर्षलंब के गुणधर्म) के अनुसार,$PQ^2 = QM \cdot QR$ होता है।
दिया गया है $PQ = \sqrt{20}$,इसलिए $PQ^2 = 20$ है।
मान रखने पर: $20 = 4 \cdot QR$।
अतः,$QR = \frac{20}{4} = 5$।
चूंकि $QR = QM + RM$,इसलिए $5 = 4 + RM$ होगा।
इस प्रकार,$RM = 5 - 4 = 1$।

(A) मान लीजिए कि समचतुर्भुज $ABCD$ है जिसके विकर्ण $AC = 24$ और $BD = 10$ हैं।
समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए कि प्रतिच्छेदन बिंदु $O$ है।
अतः,$AO = AC / 2 = 24 / 2 = 12$ और $BO = BD / 2 = 10 / 2 = 5$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 12^2 + 5^2$
$AB^2 = 144 + 25 = 169$
$AB = \sqrt{169} = 13$।
चूंकि समचतुर्भुज की सभी भुजाएं समान होती हैं,इसलिए प्रत्येक भुजा की लंबाई $13$ है।

(B) $\Delta XYZ$ में,चूँकि $m\angle Y = 90^{\circ}$ है,यह एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$XZ^2 = XY^2 + YZ^2$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$XZ^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$।
अतः,$XZ = \sqrt{25} = 5$।
एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
चूँकि $M$,$\overline{XZ}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\overline{YM}$ कर्ण $\overline{XZ}$ पर माध्यिका है।
अतः,$YM = \frac{1}{2} \times XZ = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5$।

(C) माना सीढ़ी की लंबाई $L = 17 \, m$ है।
माना सीढ़ी के आधार की दीवार से दूरी $b = 8 \, m$ है।
माना सीढ़ी दीवार पर $h$ ऊँचाई तक पहुँचती है।
दीवार,जमीन और सीढ़ी एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जहाँ सीढ़ी कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $h^2 + b^2 = L^2$.
मान रखने पर: $h^2 + 8^2 = 17^2$.
$h^2 + 64 = 289$.
$h^2 = 289 - 64 = 225$.
$h = \sqrt{225} = 15 \, m$.
अतः,सीढ़ी का ऊपरी सिरा दीवार पर $15 \, m$ की ऊँचाई तक पहुँचता है।

(D) एक त्रिभुज समकोण त्रिभुज होता है यदि सबसे बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो (पाइथागोरस प्रमेय: $a^2 + b^2 = c^2$)।
विकल्प $A$ के लिए: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$। यह एक समकोण त्रिभुज है।
विकल्प $B$ के लिए: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$। यह एक समकोण त्रिभुज है।
विकल्प $C$ के लिए: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$। यह एक समकोण त्रिभुज है।
विकल्प $D$ के लिए: $8^2 + 24^2 = 64 + 576 = 640$,जबकि $26^2 = 676$। चूँकि $640 \neq 676$,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज नहीं है।