$\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^{\circ}$,$N \in \overline{AB}$ और $M \in \overline{BC}$ है। सिद्ध कीजिए कि $AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है। $N$,$AB$ पर एक बिंदु है और $M$,$BC$ पर एक बिंदु है।
चरण $1$: $\Delta ABM$ और $\Delta CBN$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करें।
$\Delta ABM$ में,चूंकि $\angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए $AM^{2} = AB^{2} + BM^{2}$ होगा।
$\Delta CBN$ में,चूंकि $\angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए $CN^{2} = CB^{2} + BN^{2}$ होगा।
चरण $2$: दोनों समीकरणों को जोड़ें।
$AM^{2} + CN^{2} = (AB^{2} + BM^{2}) + (CB^{2} + BN^{2})$
चरण $3$: पदों को पुनर्व्यवस्थित करें।
$AM^{2} + CN^{2} = (AB^{2} + CB^{2}) + (BM^{2} + BN^{2})$
चरण $4$: $\Delta ABC$ और $\Delta MBN$ के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें।
$\Delta ABC$ में,$AC^{2} = AB^{2} + CB^{2}$ है।
$\Delta MBN$ में,$MN^{2} = BM^{2} + BN^{2}$ है।
चरण $5$: इन मानों को चरण $3$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
$AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$।
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।