Mix Examples - Polynomials Questions in Gujarati

(C) $ax^2 + bx + c$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $-\frac{b}{a}$ છે.
$p(x) = 4x^2 + 12x + 5$ ને $ax^2 + bx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$,$b = 12$ અને $c = 5$ મળે છે.
શૂન્યોનો સરવાળો = $-\frac{b}{a} = -\frac{12}{4} = -3$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $p(x) = ax^{2} + bx + c$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો ગુણાકાર શોધવાનું સૂત્ર $\text{શૂન્યોનો ગુણાકાર} = c/a$ છે.
$p(x) = 4x^{2} + 12x + 5$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$,$b = 12$ અને $c = 5$ મળે છે.
તેથી,શૂન્યોનો ગુણાકાર $c/a = 5/4$ થાય છે.

(C) જે દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ હોય,તે બહુપદીનું સૂત્ર: $p(x) = k[x^2 - (\alpha + \beta)x + (\alpha\beta)]$ છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
અહીં આપેલ છે કે શૂન્યોનો સરવાળો $(\alpha + \beta) = -7$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $(\alpha\beta) = 12$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$p(x) = x^2 - (-7)x + (12)$
$p(x) = x^2 + 7x + 12$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) દ્વિઘાત બહુપદીનું સામાન્ય સ્વરૂપ $p(x) = k[x^{2} - (\text{શૂન્યોનો સરવાળો})x + (\text{શૂન્યોનો ગુણાકાર})]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ શૂન્યતર અચળાંક છે.
અહીં આપેલ છે કે શૂન્યોનો સરવાળો $2$ છે અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $3$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $p(x) = k[x^{2} - 2x + 3]$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જો આપણે $k = 4$ લઈએ,તો બહુપદી $p(x) = 4(x^{2} - 2x + 3)$ બને છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) દ્વિઘાત બહુપદીનું સૂત્ર $p(x) = k[x^2 - (\text{શૂન્યોનો સરવાળો})x + (\text{શૂન્યોનો ગુણાકાર})]$ છે.
અહીં આપેલ છે કે શૂન્યોનો સરવાળો $-3$ છે અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $-4$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$p(x) = k[x^2 - (-3)x + (-4)]$
$p(x) = k[x^2 + 3x - 4]$
તેથી,સાચી દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = k(x^2 + 3x - 4)$ છે.

(D) દ્વિઘાત બહુપદીનું વ્યાપક સ્વરૂપ $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે.
અહીં આપેલ કિંમતો $a = 6$,$b = 11$ અને $c = 4$ છે.
આ કિંમતોને વ્યાપક સ્વરૂપમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$p(x) = (6)x^2 + (11)x + (4)$
$p(x) = 6x^2 + 11x + 4$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ત્રિઘાત બહુપદીનું સામાન્ય સ્વરૂપ $p(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ છે.
આપેલ સહગુણકો:
$a = 3$
$b = -5$
$c = -11$
$d = -3$
આ કિંમતોને સામાન્ય સ્વરૂપમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$p(x) = (3)x^{3} + (-5)x^{2} + (-11)x + (-3)$
$p(x) = 3x^{3} - 5x^{2} - 11x - 3$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) જ્યારે બહુપદી $p(x) = x^{2} + 6x + 10$ ને $x + 2$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે શેષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જો કોઈ બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $x + 2$ છે,જેને $x - (-2)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$a = -2$.
હવે,આપણે $p(-2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(-2) = (-2)^{2} + 6(-2) + 10$
$p(-2) = 4 - 12 + 10$
$p(-2) = 14 - 12$
$p(-2) = 2$
આમ,શેષ $2$ મળે છે.

(B) ધારો કે બે બહુપદીઓ $P(x)$ અને $Q(x)$ છે.
આપેલ છે કે $P(x) \cdot Q(x) = x^{2}+8x+15$.
આપણને એક બહુપદી $P(x) = x+3$ આપેલી છે.
બીજી બહુપદી $Q(x)$ શોધવા માટે,આપણે ગુણાકારને આપેલી બહુપદી વડે ભાગીશું:
$Q(x) = \frac{x^{2}+8x+15}{x+3}$.
આપણે દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}+8x+15$ ના અવયવો પાડી શકીએ છીએ:
$x^{2}+5x+3x+15 = x(x+5)+3(x+5) = (x+3)(x+5)$.
આ કિંમત ભાગાકારમાં મૂકતા:
$Q(x) = \frac{(x+3)(x+5)}{x+3} = x+5$.
તેથી,બીજી બહુપદી $x+5$ છે.

(D) ધારો કે બે બહુપદીઓ $P(x)$ અને $Q(x)$ છે.
આપેલ છે કે $P(x) \times Q(x) = x^{2}-x-72$.
એક બહુપદી $P(x) = x+8$ છે.
બીજી બહુપદી $Q(x)$ શોધવા માટે,આપણે ગુણાકારને આપેલી બહુપદી વડે ભાગીશું:
$Q(x) = \frac{x^{2}-x-72}{x+8}$.
આપણે દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}-x-72$ ના અવયવો પાડી શકીએ છીએ:
$x^{2}-9x+8x-72 = x(x-9)+8(x-9) = (x+8)(x-9)$.
તેથી,$Q(x) = \frac{(x+8)(x-9)}{x+8} = x-9$.
આમ,બીજી બહુપદી $x-9$ છે.

(C) આપેલ છે કે $1$ એ બહુપદી $p(x) = ax^2 - 11x + 3$ નું શૂન્ય છે.
તેથી,$p(1) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$a(1)^2 - 11(1) + 3 = 0$
$a - 11 + 3 = 0$
$a - 8 = 0$
$a = 8$.

(C) આપેલ છે કે $3$ એ બહુપદી $p(x) = 3x^{3} - x^{2} - ax - 45$ નું શૂન્ય છે,તેથી $p(3) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = 3$ મૂકતા:
$3(3)^{3} - (3)^{2} - a(3) - 45 = 0$
$3(27) - 9 - 3a - 45 = 0$
$81 - 9 - 3a - 45 = 0$
$27 - 3a = 0$
$3a = 27$
$a = 9$

(A) જ્યારે $2x^3 - x^2 - 2x - 8$ ને $x - 2$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે ભાગફળ શોધવા માટે,આપણે સંશ્લેષિત ભાગાકાર (synthetic division) નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:
$\begin{array}{c|rrrr} 2 & 2 & -1 & -2 & -8 \\ & 0 & 4 & 6 & 8 \\ \hline & 2 & 3 & 4 & 0 \end{array}$
ભાગફળ બહુપદીના સહગુણકો $2, 3, 4$ છે.
તેથી,ભાગફળ બહુપદી $2x^2 + 3x + 4$ છે અને શેષ $0$ છે.

(D) $2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $A$ માં,$p(x) = 2 - 4x$ એ સુરેખ બહુપદી છે (ઘાત $1$ છે).
વિકલ્પ $B$ માં,$p(x) = 2x^3 - 1$ એ ત્રિઘાત બહુપદી છે (ઘાત $3$ છે).
વિકલ્પ $C$ માં,$p(x) = 2x - 5$ એ સુરેખ બહુપદી છે (ઘાત $1$ છે).
વિકલ્પ $D$ માં,$p(x) = 1 - x^2$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે કારણ કે ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.

(B) બહુપદી એ ચલ અને સહગુણકો ધરાવતી પદાવલિ છે,જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
ત્રિઘાત બહુપદી એટલે એવી બહુપદી જેની મહત્તમ ઘાત $3$ હોય.
વિકલ્પ $A$ માં,$\sqrt{x}$ એટલે $x^{1/2}$ થાય,જે પૂર્ણાંક નથી.
વિકલ્પ $B$ માં,$p(x) = 2 - 3x - x^3$ છે. અહીં $x$ ની મહત્તમ ઘાત $3$ છે અને બધા ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક છે. તેથી,આ એક ત્રિઘાત બહુપદી છે.
વિકલ્પ $C$ માં,$\sqrt{x^3} = x^{3/2}$ થાય,જે પૂર્ણાંક નથી.
વિકલ્પ $D$ માં,ઘાતાંક $1/3$ એ પૂર્ણાંક નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x-a)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(a) = 0$ થાય.
અહીં,આપેલ અવયવ $(x-1)$ છે,તેથી $p(1) = 0$ થવું જોઈએ.
ચાલો દરેક વિકલ્પ તપાસીએ:
$A) p(1) = (1)^{2} + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. કારણ કે $p(1) = 0$ છે,તેથી $(x-1)$ એ અવયવ છે.
$B) p(1) = (1)^{2} + 4(1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 \neq 0$.
$C) p(1) = (1)^{2} + 5(1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12 \neq 0$.
$D) p(1) = (1)^{2} + (1) - 6 = 1 + 1 - 6 = -4 \neq 0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x+1)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો અવયવ ત્યારે જ હોય જો $p(-1) = 0$ થાય.
વિકલ્પ $A$ માટે: $p(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 + 2 - 2 + 1 = 0$. તેથી,$(x+1)$ અવયવ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $p(-1) = (-1)^3 - 2(-1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$. તેથી,$(x+1)$ અવયવ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $p(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$. તેથી,$(x+1)$ અવયવ છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $p(-1) = (-1)^3 - 1 = -1 - 1 = -2$. અહીં $p(-1) \neq 0$ હોવાથી,$(x+1)$ એ $p(x) = x^3 - 1$ નો અવયવ નથી.

(D) $1$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
સુરેખ બહુપદી $p(x) = ax + b$ (જ્યાં $a \neq 0$) નો આલેખ હંમેશા એક સીધી રેખા હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં:
$A) p(x) = x^{2} + 8$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે (ઘાત $2$).
$B) p(x) = x^{3} - 2$ એ ત્રિઘાત બહુપદી છે (ઘાત $3$).
$C) p(x) = x^{2} + 6x + 9$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે (ઘાત $2$).
$D) p(x) = 5x - 10$ એ સુરેખ બહુપદી છે (ઘાત $1$).
તેથી,$p(x) = 5x - 10$ નો આલેખ એક રેખા છે.

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ નો આલેખ પરવલય (parabola) હોય છે.
જો $a > 0$ હોય,તો પરવલય ઉપરની તરફ ખુલ્લો હોય છે.
જો $a < 0$ હોય,તો પરવલય નીચેની તરફ ખુલ્લો હોય છે.
વિકલ્પ $A$ માં,$p(x) = x^2 + 8x + 12$ છે,અહીં $a = 1$ છે,જે $0$ કરતા મોટું છે.
તેથી,$p(x) = x^2 + 8x + 12$ નો આલેખ ઉપરની તરફ ખુલ્લો વક્ર છે.

(B) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^{2} + bx + c$ માટે,તેનો આલેખ પરવલય (parabola) હોય છે.
જો $a > 0$ હોય,તો પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે.
જો $a < 0$ હોય,તો પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
દરેક વિકલ્પ માટે $x^{2}$ ના સહગુણકની તપાસ કરીએ:
$A) p(x) = x^{2} - 4x + 3$,અહીં $a = 1 > 0$ (ઉપરની તરફ ખુલે છે).
$B) p(x) = 6x - x^{2} - 9$,જેને $p(x) = -x^{2} + 6x - 9$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a = -1 < 0$ (નીચેની તરફ ખુલે છે).
$C) p(x) = 3 - 6x + 3x^{2}$,અહીં $a = 3 > 0$ (ઉપરની તરફ ખુલે છે).
$D) p(x) = x^{2} + 6x + 5$,અહીં $a = 1 > 0$ (ઉપરની તરફ ખુલે છે).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) બહુપદી $y = p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે જ્યાં બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને છેદે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,$y = p(x)$ દર્શાવતી રેખા $x$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,$y = p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(B) બહુપદી $y=p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે જ્યાં બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને છેદે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,$y=p(x)$ દર્શાવતો વક્ર $x$-અક્ષને બરાબર $2$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,$y=p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(D) બહુપદી $y=p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા એ આલેખ $X$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તેટલી હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,પરવલય $y=p(x)$ સંપૂર્ણપણે $X$-અક્ષની ઉપર આવેલો છે અને તે $X$-અક્ષને કોઈ પણ બિંદુએ છેદતો કે સ્પર્શતો નથી.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(A) બહુપદી $y=p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે જ્યાં બહુપદીનો આલેખ $X$-અક્ષને છેદે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,પરવલય $y=p(x)$ એ $X$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુએ સ્પર્શે છે,જે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે.
આલેખ $X$-અક્ષને બરાબર એક બિંદુએ છેદતો/સ્પર્શતો હોવાથી,વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(B) બહુપદી $y=p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા તે બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તેટલી હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વક્ર $y=p(x)$ એ $x$-અક્ષને $3$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,$p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(B) કોઈપણ બહુપદી $y = p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા તે બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે છે તેટલી હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,પરવલય $y = p(x)$ એ $x$-અક્ષને કુલ $2$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બહુપદીના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(A) બહુપદી $y=p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે જ્યાં બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને છેદે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વક્ર $y=p(x)$ એ $x$-અક્ષને $4$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,$p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $4$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = 4x^3 - x$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$4x^3 - x = 0$
પદાવલિમાંથી $x$ સામાન્ય લેતા:
$x(4x^2 - 1) = 0$
તફાવતની રીત $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $4x^2 - 1$ ને $(2x - 1)(2x + 1)$ તરીકે અવયવ પાડી શકીએ છીએ:
$x(2x - 1)(2x + 1) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$x = 0$,$2x - 1 = 0 \implies x = 1/2$,અને $2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$.
આમ,શૂન્યો $0, 1/2, -1/2$ છે.
કુલ $3$ શૂન્યો છે.

(C) બહુપદી $p(x) = x^{2} - 2x - 15$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^{2} - 2x - 15 = 0$
આપણે દ્વિઘાત સમીકરણના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવો પાડીશું. આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $-15$ અને સરવાળો $-2$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $-5$ અને $3$ છે.
$x^{2} - 5x + 3x - 15 = 0$
$x(x - 5) + 3(x - 5) = 0$
$(x - 5)(x + 3) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 5 = 0 \implies x = 5$
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
તેથી,બહુપદીના શૂન્યો $5$ અને $-3$ છે.

(A) શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ ધરાવતી દ્વિઘાત બહુપદીનું સૂત્ર: $p(x) = k[x^{2} - (\alpha + \beta)x + (\alpha \cdot \beta)]$ છે,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
અહીં આપેલ શૂન્યો $\alpha = -3$ અને $\beta = 4$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -3 + 4 = 1$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \beta = (-3) \times 4 = -12$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા ($k=1$ લેતા): $p(x) = x^{2} - (1)x + (-12) = x^{2} - x - 12$.
તેથી,સાચી બહુપદી $p(x) = x^{2} - x - 12$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = x^{2} - 3x + 2$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = -3$,અને $c = 2$ મળે છે.
દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -(\frac{-3}{1}) = 3$ થાય.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2$ થાય.
આપણે $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
લસાઅ લેતા,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{3}{2}$ થાય.

(B) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે,શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધો નીચે મુજબ છે:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$
હવે,આપણે $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
છેદનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ લેતા:
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}$
સંબંધો પરથી કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{c/a}{-d/a} = \frac{c}{a} \times \left(-\frac{a}{d}\right) = -\frac{c}{d}.$

(B) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે,જ્યાં $a, b, c, d$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a \neq 0$.
ધારો કે બહુપદીના શૂન્યો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
બહુપદીના શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$.
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$.
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$.
અહીં,$b$ એ $x^2$ નો સહગુણક છે અને $a$ એ $x^3$ નો સહગુણક છે.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{x^2 \text{ નો સહગુણક}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$.

(C) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે,તેના શૂન્યો $\alpha, \beta, \gamma$ અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} = -\frac{x^2 \text{ નો સહગુણક}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} = \frac{x \text{ નો સહગુણક}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} = -\frac{\text{અચળ પદ}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$
તેથી,$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} = \frac{x \text{ નો સહગુણક}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$.

(D) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે,જ્યાં $a \neq 0$,ધારો કે શૂન્યો $\alpha, \beta,$ અને $\gamma$ છે.
શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} = -\frac{x^2 \text{ નો સહગુણક}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} = \frac{x \text{ નો સહગુણક}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} = -\frac{\text{અચળ પદ}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$
આપેલા વિકલ્પોમાં $-\frac{d}{a}$ નો સમાવેશ થતો ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે,શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ વિએટાના સૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે શૂન્યો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{x^2 \text{ નો સહગુણક}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$
આપેલ બહુપદીના સહગુણકો મૂકતા:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે,જ્યાં $a, b, c, d$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a \neq 0$,ધારો કે તેના શૂન્યો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
બહુપદીના સહગુણકો અને શૂન્યો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$
તેથી,$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$ ની કિંમત $\frac{c}{a}$ થાય છે.

(B) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે જેના શૂન્યો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$ થાય.
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$ થાય.
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ સ્વરૂપની ત્રિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma$ શોધવાનું સૂત્ર $-\frac{b}{a}$ છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{3} - 6x^{2} - 7x$ માં સહગુણકો $a = 1$,$b = -6$,$c = -7$ અને $d = 0$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{-6}{1} = 6$.

(C) $ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ સ્વરૂપની ત્રિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma$ શોધવાનું સૂત્ર $\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}$ છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{3} - 3x^{2} - 6x + 8$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = -3$,$c = -6$ અને $d = 8$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,$\alpha \beta \gamma = -\frac{8}{1} = -8$ મળે છે.

(A) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ માટે,સહગુણકો અને શૂન્યો $\alpha, \beta, \gamma$ વચ્ચેનો સંબંધ વિએટાના સૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખાસ કરીને,બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{3} + x^{2} - 17x + 15$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = 1$,$c = -17$ અને $d = 15$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{-17}{1} = -17$.

(B) બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$n$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને વધુમાં વધુ $n$ શૂન્યો હોય છે.
અહીં બહુપદીની ઘાત $k+1$ આપેલી છે,તેથી તેના શૂન્યોની મહત્તમ સંખ્યા તેની ઘાત જેટલી જ હોય.
આથી,શૂન્યોની મહત્તમ સંખ્યા $k+1$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ એ $4$ ઘાતવાળી બહુપદી છે,કારણ કે ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $4$ છે અને $a \neq 0$ છે.
બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$n$ ઘાતવાળી બહુપદીને વધુમાં વધુ $n$ શૂન્યો હોય છે.
આથી,આપેલ બહુપદીની ઘાત $4$ હોવાથી,તેના શૂન્યોની મહત્તમ સંખ્યા $4$ થશે.

(C) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે,શૂન્યો $\alpha, \beta, \gamma$ અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a}$
$\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}$
આપણે પદાવલિ $\alpha^2 \beta \gamma + \alpha \beta^2 \gamma + \alpha \beta \gamma^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સામાન્ય પદ $\alpha \beta \gamma$ ને સામાન્ય લેતા:
$= \alpha \beta \gamma (\alpha + \beta + \gamma)$
હવે જાણીતી કિંમતો મૂકતા:
$= (-\frac{d}{a}) \times (-\frac{b}{a})$
$= \frac{bd}{a^2}$

(C) આપેલ બહુપદી $p(x) = 3x^2 - x - 4$ ને $ax^2 + bx + c$ સાથે સરખાવતા,$a = 3$,$b = -1$ અને $c = -4$ મળે છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$ થાય.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$ થાય.
આપણે $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha \beta$ સામાન્ય લેતા,$\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \alpha \beta(\alpha + \beta)$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$\left(-\frac{4}{3}\right) \left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{4}{9}$ મળે.

(A) $n$ ઘાતવાળી બહુપદીને વધુમાં વધુ $n$ શૂન્યો હોય છે.
$A$ માટે: $p(x) = x^3 + 8$ એ ત્રિઘાત બહુપદી છે,તેથી તેને $3$ શૂન્યો હોય. આમ,આ વિધાન સાચું છે.
$B$ માટે: $p(x) = x^2 - 36$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે,તેથી તેને વધુમાં વધુ $2$ શૂન્યો હોય. આ વિધાન ખોટું છે.
$C$ માટે: $p(x) = 4x^3 + x = x(4x^2 + 1)$. અહીં $x = 0$ એ એકમાત્ર વાસ્તવિક શૂન્ય છે.
$D$ માટે: $p(x) = 4x^3 - x = x(2x - 1)(2x + 1)$. અહીં $x = 0, 1/2, -1/2$ એમ ત્રણ શૂન્યો મળે છે.
નોંધ: વિકલ્પ $A$ અને $D$ બંને સાચા છે,પરંતુ $x^3 + 8$ એ ત્રિઘાત બહુપદીનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે.

(C) બહુપદી $p(x) = x^2(1 + x + x^2) + 5$ ની ઘાત શોધવા માટે,આપણે પહેલા પદાવલિનું વિસ્તરણ કરીશું.
$x^2$ ને કૌંસની અંદર ગુણતા આપણને મળે છે:
$p(x) = x^2(1) + x^2(x) + x^2(x^2) + 5$
$p(x) = x^2 + x^3 + x^4 + 5$
પદોને તેમની ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$p(x) = x^4 + x^3 + x^2 + 5$
બહુપદીની ઘાત એટલે પદાવલિમાં રહેલા ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત.
આ બહુપદીમાં $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $4$ છે.
તેથી,$p(x)$ ની ઘાત $4$ છે.

(D) એક કેમેરાની કિંમત શોધવા માટે,આપણે કુલ કિંમતને કેમેરાની સંખ્યા વડે ભાગીશું.
એક કેમેરાની કિંમત = $\frac{x^{3}+3x^{2}+5x+3}{x+1}$.
બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $x^{3}$ ને $x$ વડે ભાગતા $x^{2}$ મળે.
$2$. $x^{2}(x+1) = x^{3}+x^{2}$ ગુણાકાર કરો.
$3$. બાદબાકી કરતા: $(x^{3}+3x^{2}+5x+3) - (x^{3}+x^{2}) = 2x^{2}+5x+3$.
$4$. $2x^{2}$ ને $x$ વડે ભાગતા $2x$ મળે.
$5$. $2x(x+1) = 2x^{2}+2x$ ગુણાકાર કરો.
$6$. બાદબાકી કરતા: $(2x^{2}+5x+3) - (2x^{2}+2x) = 3x+3$.
$7$. $3x$ ને $x$ વડે ભાગતા $3$ મળે.
$8$. $3(x+1) = 3x+3$ ગુણાકાર કરો.
$9$. બાદબાકી કરતા: $(3x+3) - (3x+3) = 0$.
ભાગફળ $x^{2}+2x+3$ મળે છે. તેથી,એક કેમેરાની કિંમત ₹ $(x^{2}+2x+3)$ છે.

(A) જ્યારે બહુપદી $p(x) = x^{3}+2x^{2}+3x+5$ ને $x+1$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે આપણે શેષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x-a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $x+1$ છે,જેને $x-(-1)$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$a = -1$.
હવે,આપણે $p(-1)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(-1) = (-1)^{3} + 2(-1)^{2} + 3(-1) + 5$
$p(-1) = -1 + 2(1) - 3 + 5$
$p(-1) = -1 + 2 - 3 + 5$
$p(-1) = 3$
તેથી,મળતી શેષ $3$ છે.

(C) બહુપદીની ઘાત એટલે પદાવલિમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
વિકલ્પ $A$ માટે: $x^{3} + x^{2}$,ઘાત $3$ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $5x + x^{2}$,ઘાત $2$ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $x^{3}(x^{2} + 1) = x^{5} + x^{3}$,ઘાત $5$ છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $x(x^{5} - 2) = x^{6} - 2x$,ઘાત $6$ છે.
તેથી,$5$ ઘાત ધરાવતી બહુપદી $x^{3}(x^{2} + 1)$ છે.