Mix Examples - Polynomials Questions in Gujarati

(A) આપેલ બહુપદી: $p(x) = 2x^3 + 11x^2 - 7x - 6$.
પગલું $1$: ચકાસો કે $-6, -\frac{1}{2}, 1$ શૂન્યો છે કે નહીં.
$p(-6) = 2(-6)^3 + 11(-6)^2 - 7(-6) - 6 = 2(-216) + 11(36) + 42 - 6 = -432 + 396 + 42 - 6 = 0$.
$p(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{8}) + 11(\frac{1}{4}) - 7(-\frac{1}{2}) - 6 = -\frac{1}{4} + \frac{11}{4} + \frac{7}{2} - 6 = \frac{10}{4} + \frac{14}{4} - 6 = 6 - 6 = 0$.
$p(1) = 2(1)^3 + 11(1)^2 - 7(1) - 6 = 2 + 11 - 7 - 6 = 0$.
આમ,$-6, -\frac{1}{2}, 1$ એ શૂન્યો છે.
પગલું $2$: સંબંધ ચકાસો.
શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -6 - \frac{1}{2} + 1 = -5.5 = -\frac{11}{2} = -\frac{x^2 \text{ નો સહગુણક}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$.
બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (-6)(-\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2})(1) + (1)(-6) = 3 - 0.5 - 6 = -3.5 = -\frac{7}{2} = \frac{x \text{ નો સહગુણક}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = (-6)(-\frac{1}{2})(1) = 3 = -\frac{-6}{2} = -\frac{\text{અચળ પદ}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$.

(D) આપેલ છે કે $-2$ એ $p(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ નું એક શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે $(x + 2)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
બાકીના શૂન્યો શોધવા માટે,બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $p(x)$ ને $(x + 2)$ વડે ભાગો:
$(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) \div (x + 2) = x^2 + 4x + 3$.
હવે,દ્વિઘાત બહુપદી $x^2 + 4x + 3$ ના અવયવો પાડો:
$x^2 + 3x + x + 3 = x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 1)(x + 3)$.
આ અવયવોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા $x + 1 = 0$ અને $x + 3 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = -1$ અને $x = -3$.
આમ,બાકીના શૂન્યો $-1$ અને $-3$ છે.

(A) બહુપદીઓ માટે ભાગાકારના પૂર્વધારણા મુજબ, $p(x) = s(x) \cdot q(x) + r(x)$.
અહીં $p(x) = x^{3} - 3x^{2} + x + 2$, $q(x) = x - 2$, અને $r(x) = -2x + 4$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $x^{3} - 3x^{2} + x + 2 = s(x) \cdot (x - 2) + (-2x + 4)$.
$s(x) \cdot (x - 2)$ ને કર્તા બનાવતા: $s(x) \cdot (x - 2) = (x^{3} - 3x^{2} + x + 2) - (-2x + 4)$.
$s(x) \cdot (x - 2) = x^{3} - 3x^{2} + x + 2 + 2x - 4$.
$s(x) \cdot (x - 2) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 2$.
હવે, $s(x)$ શોધવા માટે $x^{3} - 3x^{2} + 3x - 2$ ને $(x - 2)$ વડે ભાગતા:
બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $(x^{3} - 2x^{2}) - (x^{2} - 2x) + (x - 2) = x^{2}(x - 2) - x(x - 2) + 1(x - 2) = (x^{2} - x + 1)(x - 2)$.
તેથી, $s(x) = x^{2} - x + 1$.

(B) $p(x) = 6x^5 + 5x^4 + 11x^3 - 3x^2 + x + 1$ ને $g(x) = 3x^2 - 2x + 4$ વડે ભાગતા:
$1$. $6x^5$ ને $3x^2$ વડે ભાગતા $2x^3$ મળે. $2x^3(3x^2 - 2x + 4) = 6x^5 - 4x^4 + 8x^3$. બાદબાકી કરતા $9x^4 + 3x^3 - 3x^2 + x + 1$ મળે.
$2$. $9x^4$ ને $3x^2$ વડે ભાગતા $3x^2$ મળે. $3x^2(3x^2 - 2x + 4) = 9x^4 - 6x^3 + 12x^2$. બાદબાકી કરતા $9x^3 - 15x^2 + x + 1$ મળે.
$3$. $9x^3$ ને $3x^2$ વડે ભાગતા $3x$ મળે. $3x(3x^2 - 2x + 4) = 9x^3 - 6x^2 + 12x$. બાદબાકી કરતા $-9x^2 - 11x + 1$ મળે.
$4$. $-9x^2$ ને $3x^2$ વડે ભાગતા $-3$ મળે. $-3(3x^2 - 2x + 4) = -9x^2 + 6x - 12$. બાદબાકી કરતા $-17x + 13$ મળે.
બાકી રહેતી શેષ $r(x) = -17x + 13$ છે.
બહુપદીને નિઃશેષ ભાગવા માટે,આપણે $-r(x) = -(-17x + 13) = 17x - 13$ ઉમેરવા જોઈએ.

(C) શું બાદ કરવું જોઈએ તે શોધવા માટે,આપણે બહુપદી $P(x) = 8x^4 + 14x^3 - 2x^2 + 8x - 12$ ને $D(x) = 4x^2 + 3x - 2$ વડે ભાગીશું.
પગલું $1$: $8x^4$ ને $4x^2$ વડે ભાગતા $2x^2$ મળે. $2x^2(4x^2 + 3x - 2) = 8x^4 + 6x^3 - 4x^2$ થાય. તેને $P(x)$ માંથી બાદ કરતા $(14x^3 - 6x^3) + (-2x^2 + 4x^2) + 8x - 12 = 8x^3 + 2x^2 + 8x - 12$ મળે.
પગલું $2$: $8x^3$ ને $4x^2$ વડે ભાગતા $2x$ મળે. $2x(4x^2 + 3x - 2) = 8x^3 + 6x^2 - 4x$ થાય. તેને શેષમાંથી બાદ કરતા $(2x^2 - 6x^2) + (8x + 4x) - 12 = -4x^2 + 12x - 12$ મળે.
પગલું $3$: $-4x^2$ ને $4x^2$ વડે ભાગતા $-1$ મળે. $-1(4x^2 + 3x - 2) = -4x^2 - 3x + 2$ થાય. તેને વર્તમાન શેષમાંથી બાદ કરતા $(12x + 3x) + (-12 - 2) = 15x - 14$ મળે.
આમ,શેષ $15x - 14$ હોવાથી,મૂળ બહુપદીમાંથી આ બાદ કરવાથી તે $4x^2 + 3x - 2$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાશે.

(D) બીજી બહુપદી શોધવા માટે,આપણે આપેલ ગુણાકાર $x^{5}+3x^{4}+5x^{3}+3x^{2}+9x+15$ ને આપેલી બહુપદી $x^{2}+3$ વડે ભાગીશું.
બહુપદીનો ભાગાકાર કરતા:
આપેલ પદાવલિને જૂથમાં વહેંચતા: $x^{3}(x^{2}+3) + 3x^{2}(x^{2}+3) + 5(x^{2}+3) = (x^{3}+3x^{2}+5)(x^{2}+3)$.
તેથી,બીજી બહુપદી $x^{3}+3x^{2}+5$ છે.

(A) બહુપદી માટે ભાગાકારના પૂર્વધારણા મુજબ, ભાજ્ય $p(x)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $p(x) = (\text{ભાજક} \times \text{ભાગફળ}) + \text{શેષ}$.
આપેલ છે:
ભાજક $d(x) = x^{2}+4x+2$
ભાગફળ $q(x) = x^{2}-4x+14$
શેષ $r(x) = 9x-13$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$p(x) = (x^{2}+4x+2)(x^{2}-4x+14) + (9x-13)$
પ્રથમ, ભાજક અને ભાગફળનો ગુણાકાર કરતા:
$(x^{2}+4x+2)(x^{2}-4x+14) = x^{2}(x^{2}-4x+14) + 4x(x^{2}-4x+14) + 2(x^{2}-4x+14)$
$= (x^{4}-4x^{3}+14x^{2}) + (4x^{3}-16x^{2}+56x) + (2x^{2}-8x+28)$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$= x^{4} + (-4x^{3}+4x^{3}) + (14x^{2}-16x^{2}+2x^{2}) + (56x-8x) + 28$
$= x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} + 48x + 28$
હવે, શેષ $r(x) = 9x-13$ ઉમેરતા:
$p(x) = (x^{4}+48x+28) + (9x-13)$
$p(x) = x^{4} + (48x+9x) + (28-13)$
$p(x) = x^{4} + 57x + 15$.

(B) કારણ કે $\sqrt{2}$ અને $-\sqrt{2}$ એ $p(x)$ ના શૂન્યો છે,તેથી $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = x^{2} - 2$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
$p(x) = 2x^{4} + 7x^{3} - 19x^{2} - 14x + 30$ ને $(x^{2} - 2)$ વડે ભાગતા,આપણને ભાગફળ $2x^{2} + 7x - 15$ મળે છે.
અન્ય શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $2x^{2} + 7x - 15 = 0$ ઉકેલીએ.
$2x^{2} + 10x - 3x - 15 = 0$
$2x(x + 5) - 3(x + 5) = 0$
$(2x - 3)(x + 5) = 0$
આમ,$x = \frac{3}{2}$ અને $x = -5$ એ અન્ય શૂન્યો છે.

(C) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^{2} + bx + c$ માટે,શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = ax^{2} - 6x - 6$ માં,સહગુણકો $A = a$,$B = -6$ અને $C = -6$ છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $4$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{C}{A} = 4$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{-6}{a} = 4$ મળે છે.
$a$ માટે ઉકેલતા: $4a = -6$,જેનો અર્થ છે કે $a = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
આમ,$a$ ની સાચી કિંમત $-\frac{3}{2}$ છે.

(D) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ માટે,શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 3x^2 - 10x + 3$ માં,$a = 3$,$b = -10$ અને $c = 3$ છે.
ધારો કે શૂન્યો $\alpha = \frac{1}{3}$ અને $\beta$ છે.
શૂન્યોના ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{3} \cdot \beta = \frac{3}{3} = 1$.
$\beta$ માટે ઉકેલતા: $\beta = 1 \cdot 3 = 3$.
તેથી,બીજું શૂન્ય $3$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = \sqrt{3}x - 3$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$\sqrt{3}x - 3 = 0$
$\sqrt{3}x = 3$
$x = \frac{3}{\sqrt{3}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $3 = \sqrt{3} \times \sqrt{3}$,તેથી:
$x = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$x = \sqrt{3}$
આમ,બહુપદીનું શૂન્ય $\sqrt{3}$ છે.

(B) $ax^{2}+bx+c$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $-\frac{b}{a}$ છે.
અહીં,$a = 1$,$b = 7$ અને $c = 12$ છે.
તેથી,શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{7}{1} = -7$ થાય.

(C) $p(x) = x^2 - 9$ નો આલેખ $X$-અક્ષને કયા બિંદુએ છેદે છે તે શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^2 - 9 = 0$
$(x - 3)(x + 3) = 0$
આનાથી આપણને $x = 3$ અને $x = -3$ મળે છે.
અહીં બે ભિન્ન વાસ્તવિક શૂન્યો હોવાથી,આલેખ $X$-અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓ $(3, 0)$ અને $(-3, 0)$ માં છેદે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ સ્વરૂપની ત્રિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો ગુણાકાર $-\frac{d}{a}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ બહુપદી $x^{3}+4x^{2}+x-6$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=4$,$c=1$ અને $d=-6$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= -\frac{-6}{1} = 6$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ સ્વરૂપની ત્રિઘાત બહુપદી માટે,તેના શૂન્યોનો ગુણાકાર $-\frac{d}{a}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ બહુપદી $kx^{3}-6x^{2}+11x-6$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=k$,$b=-6$,$c=11$,અને $d=-6$ મળે છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $4$ આપેલ છે.
તેથી,$-\frac{-6}{k} = 4$.
$\frac{6}{k} = 4$.
$4k = 6$.
$k = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

(B) દ્વિઘાત બહુપદીનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $p(x) = ax^{2} + bx + c$ છે.
અહીં $a = 1$,$b = -2\sqrt{3}$ અને $c = 2$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં મૂકતા:
$p(x) = (1)x^{2} + (-2\sqrt{3})x + 2$
$p(x) = x^{2} - 2\sqrt{3}x + 2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,$p(x) = x^{3} - 3x^{2} - x + 3$ અને ભાજક $(x - 1)$ છે,તેથી $a = 1$ થશે.
શેષ શોધવા માટે,$p(1)$ ની કિંમત શોધો:
$p(1) = (1)^{3} - 3(1)^{2} - (1) + 3$
$p(1) = 1 - 3(1) - 1 + 3$
$p(1) = 1 - 3 - 1 + 3$
$p(1) = 0$.
તેથી,શેષ $0$ મળે છે.

(D) બહુપદી $p(x) = x^{3} - 4x$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^{3} - 4x = 0$
પદાવલિમાંથી $x$ સામાન્ય લેતા:
$x(x^{2} - 4) = 0$
તફાવતના વર્ગના સૂત્ર $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x^{2} - 4$ ને $(x - 2)(x + 2)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ:
$x(x - 2)(x + 2) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$x = 0$,$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$,અને $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.
આમ,શૂન્યો $0, 2, -2$ છે,જેને $0, \pm 2$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) બહુપદીનું વર્ગીકરણ તેની ઘાતને આધારે કરવામાં આવે છે,જે પદાવલિમાં રહેલા ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ માં,$x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
$2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(C) બહુપદીનું વર્ગીકરણ તેની ઘાતને આધારે કરવામાં આવે છે,જે પદાવલિમાં રહેલા ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત છે.
આપેલ બહુપદી $P(x) = 4x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1$ માં,$x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે.
$3$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$P(x)$ એ ત્રિઘાત બહુપદી છે.

(A) $x = 1$ આગળ બહુપદી $p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $1$ મૂકીશું.
$p(1) = 3(1)^2 + 7(1) + 4$
$p(1) = 3(1) + 7 + 4$
$p(1) = 3 + 7 + 4$
$p(1) = 14$
આમ,$x = 1$ આગળ બહુપદીની કિંમત $14$ છે.

(C) બહુપદી $p(x) = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1$ ની કિંમત $x = 1$ આગળ શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $1$ મૂકીશું.
$p(1) = 4(1)^3 + 3(1)^2 + 2(1) + 1$
$p(1) = 4(1) + 3(1) + 2 + 1$
$p(1) = 4 + 3 + 2 + 1 = 10$
આમ,$x = 1$ આગળ બહુપદીની કિંમત $10$ છે.

(D) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 3x - x^4 + x^2 + 2x^3 + 7$ છે.
પદોને તેમની ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવતા,આપણને $p(x) = -x^4 + 2x^3 + x^2 + 3x + 7$ મળે છે.
અહીં $x$ ની ઘાત $4, 3, 2, 1$ અને $0$ (અચળ પદ માટે) છે.
આ ઘાતોમાં સૌથી મોટી ઘાત $4$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $4$ છે.

(B) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $p(x) = x^2 - x^3 + x + 1$ છે.
અહીં ચલ $x$ ની ઘાતો $2, 3, 1$ અને $0$ (અચળ પદ $1$ માટે) છે.
આ ઘાતોમાં સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ની ઘાત $3$ છે.

(D) આપેલ બહુપદી $p(x) = 7 - 5x^4 - 2x^3 - x^2$ છે.
પદ $-5x^4$ માં,ચલ ભાગ $x^4$ છે અને સંખ્યાત્મક સહગુણક $-5$ છે.
તેથી,રેખાંકિત પદ $-5x^4$ નો સહગુણક $-5$ છે.

(C) બહુપદી $p(x) = 2x^{4} - 3x^{3} + 7x + 5$ ની $x = -2$ આગળ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $-2$ મૂકીશું:
$p(-2) = 2(-2)^{4} - 3(-2)^{3} + 7(-2) + 5$
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$2(-2)^{4} = 2(16) = 32$
$-3(-2)^{3} = -3(-8) = 24$
$7(-2) = -14$
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$p(-2) = 32 + 24 - 14 + 5 = 47$
તેથી,$x = -2$ આગળ બહુપદીની કિંમત $47$ છે.

(B) $p(-1)$ શોધવા માટે,આપેલ બહુપદી $p(x) = 3x^3 + 2x^2 + 7x + 8$ માં $x = -1$ મૂકતા.
$p(-1) = 3(-1)^3 + 2(-1)^2 + 7(-1) + 8$
$p(-1) = 3(-1) + 2(1) - 7 + 8$
$p(-1) = -3 + 2 - 7 + 8$
$p(-1) = -1 + 1 = 0$
આમ,$p(-1)$ ની કિંમત $0$ છે.

(D) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2} - 2x - 3$ છે.
$p(3)$ ની કિંમત શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = 3$ મૂકતા:
$p(3) = (3)^{2} - 2(3) - 3$
$p(3) = 9 - 6 - 3$
$p(3) = 3 - 3$
$p(3) = 0$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) બહુપદી $p(x) = x^{3} - 3x^{2} + 9x - 27$ ના અવયવો શોધવા માટે,આપણે જૂથ બનાવવાની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
પગલું $1$: બહુપદીના પદોના જૂથ બનાવો: $p(x) = (x^{3} - 3x^{2}) + (9x - 27)$.
પગલું $2$: દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢો: $p(x) = x^{2}(x - 3) + 9(x - 3)$.
પગલું $3$: સામાન્ય દ્વિપદી $(x - 3)$ ને સામાન્ય કાઢો: $p(x) = (x - 3)(x^{2} + 9)$.
આમ,અવયવો $(x - 3)$ અને $(x^{2} + 9)$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$(x - 3)$ એ એક અવયવ છે.

(B) $p(x) = x^{3} + 2x^{2} + 3x + 2$ ના અવયવો શોધવા માટે,આપણે અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
જો $(x + 1)$ એ અવયવ હોય,તો $p(-1) = 0$ થવું જોઈએ.
$p(-1) = (-1)^{3} + 2(-1)^{2} + 3(-1) + 2$
$p(-1) = -1 + 2(1) - 3 + 2$
$p(-1) = -1 + 2 - 3 + 2 = 0$
અહીં $p(-1) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ $(x + 1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.

(C) સુરેખ બહુપદી $p(x) = ax + b$ સ્વરૂપની હોય છે,જ્યાં $a \neq 0$ અને $a, b$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
સમીકરણ $y = ax + b$ નો આલેખ કાર્તેઝિયન સમતલમાં એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,સુરેખ બહુપદીનો આલેખ હંમેશા એક સીધી રેખા હોય છે.

(A) સુરેખ બહુપદીને $p(x) = ax + b$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $a \neq 0$ છે.
$X$-અક્ષ સાથેનું છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$ax + b = 0$
$ax = -b$
$x = -b/a$
અહીં $a \neq 0$ હોવાથી,$x$ ની માત્ર એક જ અનન્ય કિંમત મળે છે જેના માટે $p(x) = 0$ થાય છે.
તેથી,સુરેખ બહુપદીનો આલેખ $X$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુમાં છેદે છે,જે $(-b/a, 0)$ છે.

(D) બહુપદી $p(x) = 3x - 6$ નો આલેખ $X$-અક્ષને જ્યાં છેદે તે બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $3x - 6 = 0$.
બંને બાજુ $6$ ઉમેરતા: $3x = 6$.
$3$ વડે ભાગતા: $x = 2$.
આ બિંદુ $X$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $y$-યામ $0$ થશે.
તેથી,આલેખ $X$-અક્ષને $(2, 0)$ બિંદુએ છેદે છે.

(D) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2} + 5x + 6$ છે.
આ $ax^{2} + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી છે,જ્યાં $a = 1$,$b = 5$,અને $c = 6$ છે.
કોઈપણ દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^{2} + bx + c$ (જ્યાં $a \neq 0$) નો આલેખ હંમેશા એક વક્ર હોય છે જેને પરવલય (parabola) કહેવામાં આવે છે.
અહીં $x^{2}$ નો સહગુણક ધન $(a = 1 > 0)$ હોવાથી,પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે.
તેથી,$p(x) = x^{2} + 5x + 6$ નો આલેખ પરવલય છે.

(C) બહુપદી $p(x) = 3x - 6$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
પદાવલિને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $3x - 6 = 0$.
બંને બાજુ $6$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે: $3x = 6$.
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $x = 6 / 3 = 2$.
તેથી,બહુપદીનું શૂન્ય $2$ છે.

(D) બહુપદી $p(x) = x^{2} + 4x + 3$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^{2} + 4x + 3 = 0$
મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડીએ:
$x^{2} + 3x + x + 3 = 0$
$x(x + 3) + 1(x + 3) = 0$
$(x + 3)(x + 1) = 0$
તેથી,$x + 3 = 0$ અથવા $x + 1 = 0$.
આથી $x = -3$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
આમ,શૂન્યો $-1$ અને $-3$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = 2 + x - x^{2}$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$2 + x - x^{2} = 0$
પદોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા:
$-x^{2} + x + 2 = 0$
સરળ બનાવવા માટે $-1$ વડે ગુણતા:
$x^{2} - x - 2 = 0$
હવે,મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડો:
$x^{2} - 2x + x - 2 = 0$
$x(x - 2) + 1(x - 2) = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
આમ,શૂન્યો $-1$ અને $2$ છે.

(B) બહુપદી $p(x) = x^{2} + 6x + 9$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^{2} + 6x + 9 = 0$
આ $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી છે.
અહીં,$a = x$ અને $b = 3$ છે,તેથી $x^{2} + 2(x)(3) + 3^{2} = (x + 3)^{2}$ થાય.
આમ,$(x + 3)^{2} = 0$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $x + 3 = 0$ મળે છે.
તેથી,$x = -3$.

(A) બહુપદી $p(x) = -x^2 + 2x - 1$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$-x^2 + 2x - 1 = 0$
સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે તેને $-1$ વડે ગુણતા:
$x^2 - 2x + 1 = 0$
આ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ સ્વરૂપની પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી છે,જ્યાં $a = x$ અને $b = 1$ છે.
$(x - 1)^2 = 0$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x - 1 = 0$
$x = 1$
તેથી,બહુપદીનું શૂન્ય $1$ છે.

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = 3x^2 + 5x - 8$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$3x^2 + 5x - 8 = 0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને આપણે આ દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડીશું. આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $3 \times (-8) = -24$ થાય અને જેનો સરવાળો $5$ થાય. આ સંખ્યાઓ $8$ અને $-3$ છે.
$3x^2 - 3x + 8x - 8 = 0$
$3x(x - 1) + 8(x - 1) = 0$
$(3x + 8)(x - 1) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$3x + 8 = 0 \implies x = -\frac{8}{3}$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
આમ,શૂન્યો $-\frac{8}{3}$ અને $1$ છે.

(A) આપેલ બહુપદી $p(x) = ax^{2} + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી છે,જ્યાં $a = 1$,$b = 6$ અને $c = 8$ છે.
અહીં $x^{2}$ નો સહગુણક $a = 1$ છે,જે $0$ કરતા મોટો છે $(a > 0)$,તેથી દ્વિઘાત બહુપદીનો આલેખ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = x^{2} - x - 2$ નો આલેખ $X$-અક્ષને કેટલા બિંદુઓમાં છેદે છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે સમીકરણ $p(x) = 0$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા શોધવી પડે.
$1$. બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવો: $x^{2} - x - 2 = 0$.
$2$. વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ ની ગણતરી કરો,જ્યાં $a = 1$,$b = -1$,અને $c = -2$ છે.
$3$. $D = (-1)^{2} - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$.
$4$. અહીં $D > 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક શૂન્યો મળે છે.
$5$. તેથી,બહુપદીનો આલેખ $X$-અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.

(D) આપેલ બહુપદી એ $p(x) = ax^2 + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી છે,જ્યાં $a = -1$,$b = 1$ અને $c = 6$ છે.
બહુપદીનો ઘાત $2$ હોવાથી,તેનો આલેખ પરવલય (parabola) મળે છે.
દ્વિઘાત બહુપદી $ax^2 + bx + c$ માં,જો $a > 0$ હોય તો પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે અને જો $a < 0$ હોય તો પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
અહીં,$a = -1$ છે,જે $0$ કરતા નાનું છે.
તેથી,$p(x) = -x^2 + x + 6$ નો આલેખ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે.

(C) $p(x) = x^{2} + 6x + 9$ નો આલેખ $X$-અક્ષને કેવી રીતે છેદે છે તે જાણવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈને બહુપદીના શૂન્યો શોધીએ.
$x^{2} + 6x + 9 = 0$
આ એક પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી છે,જેને $(x + 3)^{2} = 0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય.
આમ,$x = -3$ એ એકમાત્ર શૂન્ય (પુનરાવર્તિત શૂન્ય) છે.
અહીં માત્ર એક જ ભિન્ન વાસ્તવિક શૂન્ય હોવાથી,દ્વિઘાત બહુપદી દ્વારા દર્શાવેલ પરવલય $X$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુ $(-3, 0)$ પર સ્પર્શે છે.

(A) બહુપદી $p(x) = x^{2} - 9$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^{2} - 9 = 0$
$x^{2} = 9$
$x = \pm \sqrt{9}$
$x = 3$ અથવા $x = -3$.
અહીં $x$ ની બે અલગ કિંમતો મળે છે જેના માટે બહુપદીનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે,તેથી શૂન્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(C) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આપેલ સુરેખ બહુપદી $p(x) = ax + b$ માટે,આપણે $ax + b = 0$ લઈએ.
બંને બાજુથી $b$ બાદ કરતા,આપણને $ax = -b$ મળે છે.
બંને બાજુને $a$ વડે ભાગતા (જ્યાં $a \neq 0$),આપણને $x = -\frac{b}{a}$ મળે છે.
તેથી,બહુપદીનું શૂન્ય $-\frac{b}{a}$ છે.

(D) $ax^{2} + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $-\frac{b}{a}$ છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2} + 3x + 2$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = 3$ અને $c = 2$ મળે છે.
તેથી,શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{b}{a} = -\frac{3}{1} = -3$ થાય.

(B) $p(x) = ax^{2} + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$p(x) = x^{2} + 5x + 6$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = 5$ અને $c = 6$ મળે છે.
તેથી,શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$ થાય.

(C) $ax^2 + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $-\frac{b}{a}$ છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ માં,સહગુણકો $a = 3$,$b = 7$ અને $c = 4$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
શૂન્યોનો સરવાળો = $-\frac{b}{a} = -\frac{7}{3}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) $ax^2 + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો ગુણાકાર શોધવાનું સૂત્ર $\frac{c}{a}$ છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ માં,સહગુણકો $a = 3$,$b = 7$ અને $c = 4$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
શૂન્યોનો ગુણાકાર = $\frac{c}{a} = \frac{4}{3}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.