Mix Examples - Polynomials Questions in Gujarati

(A) $p(x)$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ.
$\sqrt{3} x^{2} - 8 x + 4 \sqrt{3} = 0$
આપણે મધ્યમ પદ $-8x$ ને $-6x - 2x$ માં વિભાજિત કરીએ છીએ કારણ કે $(\sqrt{3}) \times (4\sqrt{3}) = 12$,અને આપણને એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ છે જેનો ગુણાકાર $12$ અને સરવાળો $-8$ થાય.
$\sqrt{3} x^{2} - 6x - 2x + 4 \sqrt{3} = 0$
$\sqrt{3} x(x - 2\sqrt{3}) - 2(x - 2\sqrt{3}) = 0$
$(x - 2\sqrt{3})(\sqrt{3} x - 2) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 2\sqrt{3} = 0 \implies x = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{3} x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{\sqrt{3}}$
આમ,શૂન્યો $\frac{2}{\sqrt{3}}$ અને $2\sqrt{3}$ છે.

(B) $p(x)$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$4x^2 - 256 = 0$
આખા સમીકરણને $4$ વડે ભાગતા:
$x^2 - 64 = 0$
આને પૂર્ણવર્ગના તફાવત તરીકે લખી શકાય:
$x^2 - 8^2 = 0$
$(x - 8)(x + 8) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 8 = 0 \implies x = 8$
$x + 8 = 0 \implies x = -8$
આમ,દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્યો $-8$ અને $8$ છે.

(C) $p(x)$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^{2} + x - 12 = 0$
મધ્યમ પદના ભાગ પાડીને આપણે દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડીએ છીએ:
$x^{2} + 4x - 3x - 12 = 0$
$x(x + 4) - 3(x + 4) = 0$
$(x + 4)(x - 3) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x + 4 = 0 \implies x = -4$
$x - 3 = 0 \implies x = 3$
તેથી,દ્વિઘાત બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યો $-4$ અને $3$ છે.

(D) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$3x^2 + 15x = 0$
સામાન્ય પદ $3x$ ને સામાન્ય લેતા:
$3x(x + 5) = 0$
અહીં $3 \neq 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$x(x + 5) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $x = 0$ અથવા $x + 5 = 0$.
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = -5$.
આમ,દ્વિઘાત બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યો $0$ અને $-5$ છે.

(N/A) બહુપદી $p(x) = 4x - 12$ માટે $3$ એ શૂન્ય છે તે ચકાસવા માટે,આપણે $x = 3$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય શોધવું પડશે.
આપેલ બહુપદીમાં $x = 3$ મૂકતા:
$p(3) = 4(3) - 12$
$p(3) = 12 - 12$
$p(3) = 0$
અહીં $p(3) = 0$ મળે છે,તેથી સાબિત થાય છે કે $3$ એ બહુપદી $p(x) = 4x - 12$ નું શૂન્ય છે.

(A) $ax^{2} + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ દ્વારા અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ બહુપદી $4x^{2} - 4x + 1$ માં,$a = 4$,$b = -4$ અને $c = 1$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{4} = 1$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{c}{a} = \frac{1}{4}$.
આમ,શૂન્યોનો સરવાળો $1$ અને ગુણાકાર $\frac{1}{4}$ છે.

(A) $ax^{2} + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ દ્વારા અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ બહુપદી: $6x^{2} - 7x - 3$.
અહીં,$a = 6$,$b = -7$,અને $c = -3$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો = $-\frac{b}{a} = -(\frac{-7}{6}) = \frac{7}{6}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર = $\frac{c}{a} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$.
આમ,શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર અનુક્રમે $\frac{7}{6}$ અને $-\frac{1}{2}$ છે.

(D) $ax^2 + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ દ્વારા અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ બહુપદી $3x^2 + x - 4$ માટે,$a = 3$,$b = 1$ અને $c = -4$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{b}{a} = -\frac{1}{3}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{c}{a} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$.
આમ,શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર અનુક્રમે $-\frac{1}{3}$ અને $-\frac{4}{3}$ છે.

(A) $ax^{2} + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ દ્વારા અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બહુપદી $x^{2} - 7x + 10$ માટે,$a = 1$,$b = -7$,અને $c = 10$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{1} = 7$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{c}{a} = \frac{10}{1} = 10$.
તેથી,શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર અનુક્રમે $7$ અને $10$ છે.

(B) $p(x) = 6x^2 - x - 2$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,$p(x) = 0$ લેતા.
$6x^2 - x - 2 = 0$
$6x^2 - 4x + 3x - 2 = 0$
$2x(3x - 2) + 1(3x - 2) = 0$
$(2x + 1)(3x - 2) = 0$
આમ,શૂન્યો $x = -1/2$ અને $x = 2/3$ છે.
ધારો કે $\alpha = 2/3$ અને $\beta = -1/2$.
દ્વિઘાત બહુપદી $ax^2 + bx + c$ માટે,શૂન્યોનો સરવાળો $-b/a$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $c/a$ થાય છે.
અહીં,$a = 6, b = -1, c = -2$.
શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta = 2/3 + (-1/2) = (4 - 3)/6 = 1/6$. તેમજ,$-b/a = -(-1)/6 = 1/6$. તેથી,$\alpha + \beta = -b/a$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \beta = (2/3) \cdot (-1/2) = -2/6 = -1/3$. તેમજ,$c/a = -2/6 = -1/3$. તેથી,$\alpha \cdot \beta = c/a$.
આમ,સંબંધ ચકાસાયેલ છે.

(C) દ્વિઘાત બહુપદીનું સૂત્ર $p(x) = k[x^2 - (\text{શૂન્યોનો સરવાળો})x + (\text{શૂન્યોનો ગુણાકાર})]$ છે,જ્યાં $k$ એ શૂન્યતર અચળ છે.
અહીં શૂન્યોનો સરવાળો $\sqrt{2}$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{1}{3}$ આપેલ છે,તેથી:
$p(x) = k[x^2 - (\sqrt{2})x + \frac{1}{3}]$
શરત $a < 0$ હોવાથી,આપણે પદાવલિને $-1$ વડે ગુણીએ છીએ:
$p(x) = k[-x^2 + \sqrt{2}x - \frac{1}{3}]$
આમ,માંગેલ બહુપદી $k(-x^2 + \sqrt{2}x - \frac{1}{3})$ છે.

(D) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = 5x^2 + 8x + 3$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$5x^2 + 8x + 3 = 0$
મધ્યમ પદ $8x$ ને $5x + 3x$ માં વિભાજિત કરતા:
$5x^2 + 5x + 3x + 3 = 0$
સામાન્ય અવયવ કાઢતા:
$5x(x + 1) + 3(x + 1) = 0$
$(5x + 3)(x + 1) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$5x + 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{5}$
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
આમ,શૂન્યો $-1$ અને $-\frac{3}{5}$ છે.

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = -21x^2 + 16x + 5$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ.
$-21x^2 + 16x + 5 = 0$
સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે તેને $-1$ વડે ગુણતા:
$21x^2 - 16x - 5 = 0$
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની છે જેનો ગુણાકાર $(21 \times -5) = -105$ થાય અને સરવાળો $-16$ થાય. આ સંખ્યાઓ $-21$ અને $5$ છે.
$21x^2 - 21x + 5x - 5 = 0$
અવયવ પાડતા:
$21x(x - 1) + 5(x - 1) = 0$
$(21x + 5)(x - 1) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$21x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{21}$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
આમ,શૂન્યો $1$ અને $-\frac{5}{21}$ છે.

(B) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = 15x^2 + 16x + 4$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$15x^2 + 16x + 4 = 0$
મધ્યમ પદ $16x$ ને એવા બે ભાગમાં વિભાજિત કરીએ કે જેથી તેમનો સરવાળો $16x$ થાય અને તેમનો ગુણાકાર $15 \times 4 = 60x^2$ થાય. આ અવયવો $10x$ અને $6x$ છે.
$15x^2 + 10x + 6x + 4 = 0$
$5x(3x + 2) + 2(3x + 2) = 0$
$(5x + 2)(3x + 2) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$5x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{5}$
$3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3}$
આમ,શૂન્યો $-\frac{2}{3}$ અને $-\frac{2}{5}$ છે.

(A) દ્વિઘાત બહુપદીનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $p(x) = k[x^2 - (\text{શૂન્યોનો સરવાળો})x + (\text{શૂન્યોનો ગુણાકાર})]$.
આપેલ છે:
શૂન્યોનો સરવાળો $= \frac{1}{4}$
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= -1$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$p(x) = k[x^2 - (\frac{1}{4})x + (-1)]$
$p(x) = k[x^2 - \frac{1}{4}x - 1]$
સરળ બનાવવા માટે,આપણે $k = 4$ લઈ શકીએ છીએ:
$p(x) = 4[x^2 - \frac{1}{4}x - 1] = 4x^2 - x - 4$.
આમ,બહુપદી $k(4x^2 - x - 4)$ છે.

(D) દ્વિઘાત બહુપદીનું સૂત્ર $p(x) = k[x^{2} - (\text{શૂન્યોનો સરવાળો})x + (\text{શૂન્યોનો ગુણાકાર})]$ છે,જ્યાં $k$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક અચળાંક છે.
આપેલ છે કે શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{1}{4}$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{1}{4}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$p(x) = k[x^{2} - (-\frac{1}{4})x + \frac{1}{4}]$
$p(x) = k[x^{2} + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}]$
સરળ બનાવવા માટે,આપણે $k = 4$ (અથવા $4$ નો કોઈ પણ ગુણક) લઈ શકીએ છીએ:
$p(x) = 4[x^{2} + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}]$
$p(x) = 4x^{2} + x + 1$
આમ,સામાન્ય સ્વરૂપ $k(4x^{2} + x + 1)$ છે.

(A) આપેલ બહુપદી: $p(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2$.
$ax^3 + bx^2 + cx + d$ સાથે સરખાવતા,$a = 2, b = 1, c = -5, d = 2$ મળે છે.
શૂન્યો સાબિત કરવા માટે,કિંમતો $p(x)$ માં મૂકતા:
$p(1/2) = 2(1/8) + (1/4) - 5(1/2) + 2 = 1/4 + 1/4 - 5/2 + 2 = 1/2 - 2.5 + 2 = 0$.
$p(1) = 2(1)^3 + (1)^2 - 5(1) + 2 = 2 + 1 - 5 + 2 = 0$.
$p(-2) = 2(-8) + 4 - 5(-2) + 2 = -16 + 4 + 10 + 2 = 0$.
$p(1/2) = 0, p(1) = 0, p(-2) = 0$ હોવાથી,આ શૂન્યો છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો: $1/2 + 1 + (-2) = -1/2$. સૂત્ર: $-b/a = -1/2$. (ચકાસાયેલ)
બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $(1/2)(1) + (1)(-2) + (-2)(1/2) = 1/2 - 2 - 1 = -2.5 = -5/2$. સૂત્ર: $c/a = -5/2$. (ચકાસાયેલ)
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $(1/2)(1)(-2) = -1$. સૂત્ર: $-d/a = -2/2 = -1$. (ચકાસાયેલ)

(A) આપેલ બહુપદી: $p(x) = 2x^3 - 5x^2 - 14x + 8$.
$ax^3 + bx^2 + cx + d$ સાથે સરખાવતા,$a = 2, b = -5, c = -14, d = 8$ મળે છે.
પગલું $1$: શૂન્યો ચકાસો.
$p(-2) = 2(-2)^3 - 5(-2)^2 - 14(-2) + 8 = 2(-8) - 5(4) + 28 + 8 = -16 - 20 + 28 + 8 = 0$.
$p(4) = 2(4)^3 - 5(4)^2 - 14(4) + 8 = 2(64) - 5(16) - 56 + 8 = 128 - 80 - 56 + 8 = 0$.
$p(1/2) = 2(1/8) - 5(1/4) - 14(1/2) + 8 = 1/4 - 5/4 - 7 + 8 = -4/4 + 1 = -1 + 1 = 0$.
આમ,$-2, 4, 1/2$ એ શૂન્યો છે.
પગલું $2$: સંબંધો ચકાસો.
શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -2 + 4 + 0.5 = 2.5 = 5/2 = -b/a$.
બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (-2)(4) + (4)(0.5) + (0.5)(-2) = -8 + 2 - 1 = -7 = -14/2 = c/a$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = (-2)(4)(0.5) = -4 = -8/2 = -d/a$.
બધા સંબંધો ચકાસાયેલ છે.

(A) પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં દ્વિઘાત બહુપદીનું સૂત્ર $p(x) = ax^{2} + bx + c$ છે.
અહીં આપેલા સહગુણકો $a=6$,$b=-7$,અને $c=-3$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં મૂકતા,
બહુપદી $6x^{2} + (-7)x + (-3)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $6x^{2} - 7x - 3$ થાય છે.

(A) દ્વિઘાત બહુપદીનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $p(x) = ax^{2} + bx + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ સહગુણકો $a=1$,$b=-10$,અને $c=25$ છે.
આ કિંમતોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં મૂકતા:
$p(x) = (1)x^{2} + (-10)x + 25$
$p(x) = x^{2} - 10x + 25$.

(N/A) પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ત્રિઘાત બહુપદીનું સૂત્ર $P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ છે.
આપેલ સહગુણકો $a=2, b=5, c=1, d=2$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં મૂકતા,
આમ,બહુપદી $2x^{3} + 5x^{2} + x + 2$ મળે છે.

(N/A) ત્રિઘાત બહુપદીનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલા સહગુણકો $a=2, b=3, c=-5$ અને $d=0$ છે.
આ કિંમતોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$P(x) = 2x^3 + 3x^2 + (-5)x + 0$.
તેથી,જરૂરી બહુપદી $2x^3 + 3x^2 - 5x$ છે.

(A) અહીં ભાજ્ય બહુપદી $p(x) = x^{2}+8x+12$ અને ભાજક બહુપદી $s(x) = x+2$ છે.
$x^{2}+8x+12$ ને $x+2$ વડે ભાગવા માટે,આપણે ભાગાકારની લાંબી રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે.
$2$. $x$ નો $(x+2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^{2}+2x$ મળે છે.
$3$. $(x^{2}+8x+12)$ માંથી $(x^{2}+2x)$ બાદ કરતા $6x+12$ મળે છે.
$4$. નવી બહુપદીના પ્રથમ પદ $(6x)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $6$ મળે છે.
$5$. $6$ નો $(x+2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $6x+12$ મળે છે.
$6$. $(6x+12)$ માંથી $(6x+12)$ બાદ કરતા $0$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $x+6$ છે અને શેષ $0$ છે.

(N/A) આપેલ ભાજ્ય $p(x) = x^{3}-3x^{2}+5x-3$ અને ભાજક $s(x) = x^{2}-2$ છે.
પગલું $1$: ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{3})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે. $x$ ને $(x^{2}-2)$ સાથે ગુણતા $x^{3}-2x$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(x^{3}-3x^{2}+5x-3) - (x^{3}-2x) = -3x^{2}+7x-3$ મળે છે.
પગલું $2$: નવા બહુપદીના પ્રથમ પદ $(-3x^{2})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $-3$ મળે છે. $-3$ ને $(x^{2}-2)$ સાથે ગુણતા $-3x^{2}+6$ મળે છે. તેને વર્તમાન બહુપદીમાંથી બાદ કરતા: $(-3x^{2}+7x-3) - (-3x^{2}+6) = 7x-9$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $q(x) = x-3$ અને શેષ $r(x) = 7x-9$ છે.

(N/A) ભાજ્ય બહુપદી $p(x) = x^{4} + 0x^{3} - 3x^{2} + 4x + 5$ છે અને ભાજક બહુપદી $s(x) = x^{2} - x + 1$ છે.
બહુપદીનો ભાગાકાર કરતા:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{4})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $x^{2}$ મળે છે.
$2$. $x^{2}$ નો $(x^{2} - x + 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^{4} - x^{3} + x^{2}$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા $x^{3} - 4x^{2} + 4x + 5$ મળે છે.
$3$. નવી બહુપદીના પ્રથમ પદ $(x^{3})$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે. $x$ નો $(x^{2} - x + 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^{3} - x^{2} + x$ મળે છે. બાદબાકી કરતા $-3x^{2} + 3x + 5$ મળે છે.
$4$. પ્રથમ પદ $(-3x^{2})$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $-3$ મળે છે. $-3$ નો $(x^{2} - x + 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-3x^{2} + 3x - 3$ મળે છે. બાદબાકી કરતા શેષ $8$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $q(x) = x^{2} + x - 3$ અને શેષ $r(x) = 8$ છે.

(A) ભાજ્ય $p(t) = 2t^4 + 3t^3 - 2t^2 - 9t - 12$ છે અને ભાજક $s(t) = t^2 - 3$ છે.
પગલું $1$: ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(2t^4)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(t^2)$ વડે ભાગતા $2t^2$ મળે છે. $2t^2$ ને $(t^2 - 3)$ સાથે ગુણતા $2t^4 - 6t^2$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરો.
પગલું $2$: પરિણામ $3t^3 + 4t^2 - 9t - 12$ મળે છે. $3t^3$ ને $t^2$ વડે ભાગતા $3t$ મળે છે. $3t$ ને $(t^2 - 3)$ સાથે ગુણતા $3t^3 - 9t$ મળે છે. તેને વર્તમાન પદાવલિમાંથી બાદ કરો.
પગલું $3$: પરિણામ $4t^2 - 12$ મળે છે. $4t^2$ ને $t^2$ વડે ભાગતા $4$ મળે છે. $4$ ને $(t^2 - 3)$ સાથે ગુણતા $4t^2 - 12$ મળે છે. તેને બાદ કરતા શેષ $0$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $2t^2 + 3t + 4$ છે અને શેષ $0$ છે.

(N/A) $x^{3}-6x^{2}+11x-6$ ને $x^{2}-8x+27$ વડે ભાગવા માટે,આપણે બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{3})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગો: $x^{3} / x^{2} = x$.
$2$. ભાજક $(x^{2}-8x+27)$ ને $x$ વડે ગુણો: $x(x^{2}-8x+27) = x^{3}-8x^{2}+27x$.
$3$. આને ભાજ્યમાંથી બાદ કરો: $(x^{3}-6x^{2}+11x-6) - (x^{3}-8x^{2}+27x) = 2x^{2}-16x-6$.
$4$. નવી બહુપદીના પ્રથમ પદ $(2x^{2})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગો: $2x^{2} / x^{2} = 2$.
$5$. ભાજક $(x^{2}-8x+27)$ ને $2$ વડે ગુણો: $2(x^{2}-8x+27) = 2x^{2}-16x+54$.
$6$. આને વર્તમાન બહુપદીમાંથી બાદ કરો: $(2x^{2}-16x-6) - (2x^{2}-16x+54) = -60$.
આમ,ભાગફળ $x+2$ છે અને શેષ $-60$ છે.

(N/A) $x^{4}+4 x^{3}-2 x^{2}-12 x+9$ ને $x^{2}-2 x+1$ વડે ભાગવા માટે,આપણે બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^4)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^2)$ વડે ભાગતા $x^2$ મળે છે.
$2$. $x^2$ નો $(x^2-2x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^4-2x^3+x^2$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા $6x^3-3x^2-12x+9$ મળે છે.
$3$. $6x^3$ ને $x^2$ વડે ભાગતા $6x$ મળે છે. $6x$ નો $(x^2-2x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $6x^3-12x^2+6x$ મળે છે. તેને બાદ કરતા $9x^2-18x+9$ મળે છે.
$4$. $9x^2$ ને $x^2$ વડે ભાગતા $9$ મળે છે. $9$ નો $(x^2-2x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $9x^2-18x+9$ મળે છે. તેને બાદ કરતા શેષ $0$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $x^{2}+6 x+9$ છે અને શેષ $0$ છે.

(N/A) $x^{4}-5x+6$ ને $2-x^{2}$ વડે ભાગવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ બહુપદીઓને તેમના ઘાતાંકના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવીએ:
ભાજ્ય: $x^{4}+0x^{3}+0x^{2}-5x+6$
ભાજક: $-x^{2}+2$
પગલું $1$: ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{4})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(-x^{2})$ વડે ભાગો: $x^{4} / (-x^{2}) = -x^{2}$. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
પગલું $2$: $-x^{2}$ નો ભાજક $(-x^{2}+2)$ સાથે ગુણાકાર કરો: $-x^{2}(-x^{2}+2) = x^{4}-2x^{2}$.
પગલું $3$: આને ભાજ્યમાંથી બાદ કરો: $(x^{4}+0x^{3}+0x^{2}-5x+6) - (x^{4}-2x^{2}) = 2x^{2}-5x+6$.
પગલું $4$: નવા ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(2x^{2})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(-x^{2})$ વડે ભાગો: $2x^{2} / (-x^{2}) = -2$. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
પગલું $5$: $-2$ નો ભાજક $(-x^{2}+2)$ સાથે ગુણાકાર કરો: $-2(-x^{2}+2) = 2x^{2}-4$.
પગલું $6$: આને વર્તમાન ભાજ્યમાંથી બાદ કરો: $(2x^{2}-5x+6) - (2x^{2}-4) = -5x+10$.
આમ,ભાગફળ $-x^{2}-2$ છે અને શેષ $-5x+10$ છે.

(N/A) $14x^3 - 5x^2 + 9x - 1$ ને $2x - 1$ વડે ભાગવા માટે,આપણે બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(14x^3)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(2x)$ વડે ભાગો: $14x^3 / 2x = 7x^2$. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
$2$. $7x^2$ ને $(2x - 1)$ સાથે ગુણતા $14x^3 - 7x^2$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(14x^3 - 5x^2) - (14x^3 - 7x^2) = 2x^2$. હવે પછીનું પદ $(9x)$ નીચે ઉતારતા $2x^2 + 9x$ મળે છે.
$3$. નવી પદાવલિના પ્રથમ પદ $(2x^2)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(2x)$ વડે ભાગો: $2x^2 / 2x = x$. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$4$. $x$ ને $(2x - 1)$ સાથે ગુણતા $2x^2 - x$ મળે છે. તેને બાદ કરતા: $(2x^2 + 9x) - (2x^2 - x) = 10x$. છેલ્લું પદ $(-1)$ નીચે ઉતારતા $10x - 1$ મળે છે.
$5$. પ્રથમ પદ $(10x)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(2x)$ વડે ભાગો: $10x / 2x = 5$. આ ભાગફળનું ત્રીજું પદ છે.
$6$. $5$ ને $(2x - 1)$ સાથે ગુણતા $10x - 5$ મળે છે. તેને બાદ કરતા: $(10x - 1) - (10x - 5) = 4$.
આમ,ભાગફળ $7x^2 + x + 5$ છે અને શેષ $4$ છે.

(N/A) બહુપદી $p(x) = -x^{3} + 3x^{2} - 3x + 5$ ને $g(x) = -x^{2} + x - 1$ વડે ભાગવા માટે:
પગલું $1$: ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(-x^{3})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(-x^{2})$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે.
પગલું $2$: $x$ નો ભાજક $(-x^{2} + x - 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-x^{3} + x^{2} - x$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(-x^{3} + 3x^{2} - 3x + 5) - (-x^{3} + x^{2} - x) = 2x^{2} - 2x + 5$ મળે છે.
પગલું $3$: નવા ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(2x^{2})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(-x^{2})$ વડે ભાગતા $-2$ મળે છે.
પગલું $4$: $-2$ નો ભાજક $(-x^{2} + x - 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $2x^{2} - 2x + 2$ મળે છે. તેને વર્તમાન ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(2x^{2} - 2x + 5) - (2x^{2} - 2x + 2) = 3$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $x - 2$ છે અને શેષ $3$ છે.

(N/A) $x^{3}-6 x^{2}+11 x-6$ ને $x^{2}+x+1$ વડે ભાગવા માટે,આપણે બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{3})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે.
$2$. $x$ નો ભાજક $(x^{2}+x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^{3}+x^{2}+x$ મળે છે.
$3$. આને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(x^{3}-6 x^{2}+11 x-6) - (x^{3}+x^{2}+x) = -7 x^{2}+10 x-6$.
$4$. નવી બહુપદીના પ્રથમ પદ $(-7 x^{2})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $-7$ મળે છે.
$5$. $-7$ નો ભાજક $(x^{2}+x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-7 x^{2}-7 x-7$ મળે છે.
$6$. આને વર્તમાન બહુપદીમાંથી બાદ કરતા: $(-7 x^{2}+10 x-6) - (-7 x^{2}-7 x-7) = 17 x+1$.
આમ,ભાગફળ $x-7$ છે અને શેષ $17 x+1$ છે.

(A) $x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+20$ ને $x^{2}+2x+2$ વડે ભાગવા માટે,આપણે લાંબી ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{4})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $x^{2}$ મળે છે.
$2$. $x^{2}$ ને $(x^{2}+2x+2)$ સાથે ગુણતા $x^{4}+2x^{3}+2x^{2}$ મળે છે.
$3$. આને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+20) - (x^{4}+2x^{3}+2x^{2}) = x^{2}+2x+20$ મળે છે.
$4$. નવા બહુપદીના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $1$ મળે છે.
$5$. $1$ ને $(x^{2}+2x+2)$ સાથે ગુણતા $x^{2}+2x+2$ મળે છે.
$6$. આને વર્તમાન શેષમાંથી બાદ કરતા: $(x^{2}+2x+20) - (x^{2}+2x+2) = 18$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $x^{2}+1$ છે અને શેષ $18$ છે.

(N/A) $x^{3}-3x^{2}-3x+1$ ને $x+1$ વડે ભાગવા માટે,આપણે બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{3})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $x^{2}$ મળે છે.
$2$. $x^{2}$ નો $(x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^{3}+x^{2}$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(x^{3}-3x^{2}-3x+1) - (x^{3}+x^{2}) = -4x^{2}-3x+1$.
$3$. $-4x^{2}$ ને $x$ વડે ભાગતા $-4x$ મળે છે. $-4x$ નો $(x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-4x^{2}-4x$ મળે છે. તેને બાદ કરતા: $(-4x^{2}-3x+1) - (-4x^{2}-4x) = x+1$.
$4$. $x$ ને $x$ વડે ભાગતા $1$ મળે છે. $1$ નો $(x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x+1$ મળે છે. તેને બાદ કરતા: $(x+1) - (x+1) = 0$.
આમ,ભાગફળ $x^{2}-4x+1$ છે અને શેષ $0$ છે.

(N/A) $3 x^{4}+5 x^{3}-7 x^{2}+2 x+2$ ને $x^{2}+3 x+1$ વડે ભાગવા માટે,આપણે બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(3 x^{4})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $3 x^{2}$ મળે છે.
$2$. $3 x^{2}$ ને $(x^{2}+3 x+1)$ સાથે ગુણતા $3 x^{4}+9 x^{3}+3 x^{2}$ મળે છે.
$3$. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(3 x^{4}+5 x^{3}-7 x^{2}+2 x+2) - (3 x^{4}+9 x^{3}+3 x^{2}) = -4 x^{3}-10 x^{2}+2 x+2$ મળે છે.
$4$. નવી બહુપદીના પ્રથમ પદ $(-4 x^{3})$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $-4 x$ મળે છે.
$5$. $-4 x$ ને $(x^{2}+3 x+1)$ સાથે ગુણતા $-4 x^{3}-12 x^{2}-4 x$ મળે છે.
$6$. તેને બાદ કરતા: $(-4 x^{3}-10 x^{2}+2 x+2) - (-4 x^{3}-12 x^{2}-4 x) = 2 x^{2}+6 x+2$ મળે છે.
$7$. $2 x^{2}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $2$ મળે છે.
$8$. $2$ ને $(x^{2}+3 x+1)$ સાથે ગુણતા $2 x^{2}+6 x+2$ મળે છે.
$9$. તેને બાદ કરતા શેષ $0$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $3 x^{2}-4 x+2$ અને શેષ $0$ છે.

(N/A) $x^{6}+5 x^{3}+7 x+3$ ને $x^{2}+2$ વડે ભાગવા માટે,આપણે બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. પ્રથમ પદ $x^{6}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $x^{4}$ મળે. $x^{4}(x^{2}+2) = x^{6}+2 x^{4}$ થાય. ભાજ્યમાંથી આ બાદ કરતા $-2 x^{4}+5 x^{3}+7 x+3$ મળે.
$2$. $-2 x^{4}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $-2 x^{2}$ મળે. $-2 x^{2}(x^{2}+2) = -2 x^{4}-4 x^{2}$ થાય. બાદબાકી કરતા $5 x^{3}+4 x^{2}+7 x+3$ મળે.
$3$. $5 x^{3}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $5 x$ મળે. $5 x(x^{2}+2) = 5 x^{3}+10 x$ થાય. બાદબાકી કરતા $4 x^{2}-3 x+3$ મળે.
$4$. $4 x^{2}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $4$ મળે. $4(x^{2}+2) = 4 x^{2}+8$ થાય. બાદબાકી કરતા $-3 x-5$ મળે.
આમ,ભાગફળ $x^{4}-2 x^{2}+5 x+4$ છે અને શેષ $-3 x-5$ છે.

(A) ધારો કે આપેલી બહુપદી $P(x) = x^{3}-3x^{2}-x+3$ છે અને જાણીતો અવયવ $g(x) = x+1$ છે. બીજી બહુપદી $q(x)$ શોધવા માટે,આપણે $P(x)$ ને $g(x)$ વડે ભાગીશું.
બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $x^{3}$ ને $x$ વડે ભાગતા $x^{2}$ મળે.
$2$. $x^{2}(x+1) = x^{3}+x^{2}$ ગુણાકાર કરો.
$3$. બાદબાકી કરતા: $(x^{3}-3x^{2}-x+3) - (x^{3}+x^{2}) = -4x^{2}-x+3$.
$4$. $-4x^{2}$ ને $x$ વડે ભાગતા $-4x$ મળે.
$5$. $-4x(x+1) = -4x^{2}-4x$ ગુણાકાર કરો.
$6$. બાદબાકી કરતા: $(-4x^{2}-x+3) - (-4x^{2}-4x) = 3x+3$.
$7$. $3x$ ને $x$ વડે ભાગતા $3$ મળે.
$8$. $3(x+1) = 3x+3$ ગુણાકાર કરો.
$9$. બાદબાકી કરતા: $(3x+3) - (3x+3) = 0$.
આમ,ભાગફળ $x^{2}-4x+3$ મળે છે.

(B) ધારો કે આપેલ ગુણાકાર $P(x) = 3x^3 - x^2 - 3x + 1$ છે અને એક બહુપદી $A(x) = 3x^2 + 2x - 1$ છે.
બીજી બહુપદી $B(x)$ શોધવા માટે,આપણે $P(x)$ ને $A(x)$ વડે ભાગીશું:
$B(x) = \frac{3x^3 - x^2 - 3x + 1}{3x^2 + 2x - 1}$
બહુપદીનો ભાગાકાર કરતા:
$1$. $3x^3$ ને $3x^2$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે.
$2$. $x$ નો $(3x^2 + 2x - 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $3x^3 + 2x^2 - x$ મળે છે.
$3$. આને $P(x)$ માંથી બાદ કરતા: $(3x^3 - x^2 - 3x + 1) - (3x^3 + 2x^2 - x) = -3x^2 - 2x + 1$ મળે છે.
$4$. $-3x^2$ ને $3x^2$ વડે ભાગતા $-1$ મળે છે.
$5$. $-1$ નો $(3x^2 + 2x - 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-3x^2 - 2x + 1$ મળે છે.
$6$. બાદબાકી કરતા શેષ $0$ મળે છે.
આમ,બીજી બહુપદી $x - 1$ છે.

(C) આપેલ છે કે $1$ અને $3$ એ $p(x)$ ના શૂન્યો છે,તેથી $(x - 1)$ અને $(x - 3)$ એ $p(x)$ ના અવયવો છે.
તેથી,$(x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
$p(x) = 2x^4 - 7x^3 - 13x^2 + 63x - 45$ ને $(x^2 - 4x + 3)$ વડે ભાગતા:
$2x^4 - 7x^3 - 13x^2 + 63x - 45 = (x^2 - 4x + 3)(2x^2 + x - 15)$.
હવે,દ્વિઘાત બહુપદી $2x^2 + x - 15$ ના અવયવો પાડતા:
$2x^2 + 6x - 5x - 15 = 2x(x + 3) - 5(x + 3) = (2x - 5)(x + 3)$.
આ અવયવોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $x = -3$ અને $x = \frac{5}{2}$ મળે છે.
આમ,બાકીના શૂન્યો $-3$ અને $\frac{5}{2}$ છે.

(N/A) દરેક વિદ્યાર્થીને મળેલી ચોકલેટની સંખ્યા અને શેષ શોધવા માટે,આપણે $(x^{3}-3x^{2}+5x-3)$ નો $(x^{2}-2)$ વડે બહુપદી ભાગાકાર કરીશું.
પગલું $1$: $x^{3}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે.
પગલું $2$: $x$ નો $(x^{2}-2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^{3}-2x$ મળે છે.
પગલું $3$: $(x^{3}-3x^{2}+5x-3)$ માંથી $(x^{3}-2x)$ બાદ કરતા $-3x^{2}+7x-3$ મળે છે.
પગલું $4$: $-3x^{2}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $-3$ મળે છે.
પગલું $5$: $-3$ નો $(x^{2}-2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-3x^{2}+6$ મળે છે.
પગલું $6$: $(-3x^{2}+7x-3)$ માંથી $(-3x^{2}+6)$ બાદ કરતા $7x-9$ મળે છે.
આમ,દરેક વિદ્યાર્થીને $x-3$ ચોકલેટ મળે છે અને વહેંચાયા વગર બાકી રહેલી ચોકલેટની સંખ્યા $7x-9$ છે.

(A) એક મોબાઈલની કિંમત શોધવા માટે,આપણે કુલ કિંમતને ખરીદેલા નંગ વડે ભાગીશું.
એક મોબાઈલની કિંમત = $\frac{x^{3}+6x^{2}+11x+12}{x^{2}+2x+3}$.
બહુપદીનો ભાગાકાર કરતા:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^3)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^2)$ વડે ભાગતા $x$ મળે.
$2$. $x$ નો ભાજક સાથે ગુણાકાર કરતા: $x(x^{2}+2x+3) = x^{3}+2x^{2}+3x$.
$3$. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(x^{3}+6x^{2}+11x+12) - (x^{3}+2x^{2}+3x) = 4x^{2}+8x+12$.
$4$. શેષના પ્રથમ પદ $(4x^2)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^2)$ વડે ભાગતા $4$ મળે.
$5$. $4$ નો ભાજક સાથે ગુણાકાર કરતા: $4(x^{2}+2x+3) = 4x^{2}+8x+12$.
$6$. તેને શેષમાંથી બાદ કરતા: $(4x^{2}+8x+12) - (4x^{2}+8x+12) = 0$.
આમ,એક મોબાઈલની કિંમત $x+4$ છે.

(N/A) સંશ્લેષિત ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $p(x) = x^{3} - 3x^{2} - 3x + 1$ ને $x + 1$ વડે ભાગવા માટે:
$1$. ભાજ્ય બહુપદી $p(x)$ ના સહગુણકો ઓળખો: $1, -3, -3, 1$.
$2$. ભાજક $x + 1 = 0$ નું શૂન્ય શોધો,જે $x = -1$ મળે છે.
$3$. સંશ્લેષિત ભાગાકાર કરો:
$\begin{array}{c|cccc} -1 & 1 & -3 & -3 & 1 \\ & & -1 & 4 & -1 \\ \hline & 1 & -4 & 1 & 0 \end{array}$
$4$. છેલ્લી હાર ભાગફળના સહગુણકો અને શેષ દર્શાવે છે. તેથી,ભાગફળ $q(x) = x^{2} - 4x + 1$ અને શેષ $r(x) = 0$ મળે છે.

(N/A) સંશ્લેષિત ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $p(x) = x^{4} - 1$ ને $x - 1$ વડે ભાગવા માટે:
$1$. ભાજ્ય બહુપદી $p(x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખો,જેમાં ખૂટતા પદોના સહગુણકો $0$ લો: $p(x) = 1x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} + 0x - 1$.
$2$. ભાજક $x - 1$ છે,તેથી $x - 1 = 0$ લેતા $x = 1$ મળે. સંશ્લેષિત ભાગાકાર માટે $1$ નો ઉપયોગ કરો.
$3$. સંશ્લેષિત ભાગાકારનું કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
$\begin{array}{c|ccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ & & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}$
$4$. છેલ્લી હાર ભાગફળના સહગુણકો અને શેષ દર્શાવે છે. છેલ્લી કિંમત એ શેષ છે.
આમ,ભાગફળ $q(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ અને શેષ $r(x) = 0$ મળે છે.

(A) દરેક વિદ્યાર્થીને મળેલી પેનની સંખ્યા અને શેષ શોધવા માટે,આપણે બહુપદી $p(x) = x^{3}-3x^{2}+4x-4$ ને ભાજક $s(x) = x-2$ વડે સંશ્લેષિત ભાગાકાર (synthetic division) ની રીતથી ભાગીશું.
ભાજક $x-2 = 0$ લેતા $x = 2$ મળે છે.
સંશ્લેષિત ભાગાકારનો ઉપયોગ કરતા:
$\begin{array}{c|cccc} 2 & 1 & -3 & 4 & -4 \\ & & 2 & -2 & 4 \\ \hline & 1 & -1 & 2 & 0 \end{array}$
ભાગફળ $q(x) = x^{2}-x+2$ છે અને શેષ $0$ છે.
તેથી,દરેક વિદ્યાર્થીને $x^{2}-x+2$ પેન મળે છે અને $0$ પેન વહેંચાયા વગર બાકી રહે છે.

(N/A) સંશ્લેષિત ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $p(x) = x^{3} - 4x^{2} + 5x + 3$ ને $x - 2$ વડે ભાગવા માટે:
$1$. $p(x)$ ના સહગુણકો $1, -4, 5, 3$ છે.
$2$. ભાજક $x - 2$ હોવાથી,આપણે સંશ્લેષિત ભાગાકાર માટે $x = 2$ લઈશું.
$3$. સંશ્લેષિત ભાગાકારનું કોષ્ટક તૈયાર કરો:
$2 | 1, -4, 5, 3$
| $2$,-$4$,$2$
-----------------
| $1$,-$2$,$1$,$5$
$4$. ભાગફળના સહગુણકો $1, -2, 1$ મળે છે,જે બહુપદી $x^{2} - 2x + 1$ દર્શાવે છે.
$5$. છેલ્લી કિંમત શેષ છે,જે $5$ છે.
આમ,ભાગફળ $x^{2} - 2x + 1$ અને શેષ $5$ છે.

(A) $p(x) = x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} + 0x + 1$ ને $x + 1$ વડે ભાગવા માટે,આપણે સંશ્લેષિત ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ભાજક $x + 1$ નું શૂન્ય $x = -1$ છે.
સંશ્લેષિત ભાગાકારનું કોષ્ટક:
$-1$ | $1$ $0$ $0$ $0$ $1$
| $-1$ $1$ $-1$ $1$
-----------------------
$1$ $-1$ $1$ $-1$ $2$
ભાગફળના સહગુણકો $1, -1, 1, -1$ છે,જે બહુપદી $x^{3} - x^{2} + x - 1$ દર્શાવે છે.
છેલ્લી કિંમત શેષ છે,જે $2$ છે.
આમ,ભાગફળ $x^{3} - x^{2} + x - 1$ અને શેષ $2$ મળે છે.

(A) સંશ્લેષિત ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $p(t) = 2t^2 + 3t + 1$ ને $t + 2$ વડે ભાગવા માટે:
$1$. ભાજક $t + 2 = 0$ નું શૂન્ય શોધો,જે $t = -2$ છે.
$2$. ભાજ્ય $p(t) = 2t^2 + 3t + 1$ ના સહગુણકો લખો,જે $2, 3, 1$ છે.
$3$. સંશ્લેષિત ભાગાકાર કરો:
- પ્રથમ સહગુણક નીચે ઉતારો: $2$.
- તેને શૂન્ય સાથે ગુણો: $2 \times (-2) = -4$.
- તેને પછીના સહગુણકમાં ઉમેરો: $3 + (-4) = -1$.
- તેને શૂન્ય સાથે ગુણો: $(-1) \times (-2) = 2$.
- તેને પછીના સહગુણકમાં ઉમેરો: $1 + 2 = 3$.
$4$. પરિણામી સહગુણકો $2$ અને $-1$ છે,જે ભાગફળ $2t - 1$ દર્શાવે છે.
$5$. અંતિમ કિંમત $3$ એ શેષ છે.
ભાગફળ બહુપદી: $2t - 1$;
શેષ બહુપદી: $3$.

(A) સંશ્લેષિત ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $p(x) = x^{4} - a^{4}$ ને $x - a$ વડે ભાગવા માટે:
$1$. $p(x) = 1x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} + 0x - a^{4}$ ના સહગુણકો $1, 0, 0, 0, -a^{4}$ છે.
$2$. ભાજક $x - a$ છે,તેથી સંશ્લેષિત ભાગાકાર માટે આપણે $a$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$3$. સંશ્લેષિત ભાગાકારનું કોષ્ટક બનાવતા:
$a$ | $1$ $0$ $0$ $0$ $-a^{4}$
| $a$ $a^{2}$ $a^{3}$ $a^{4}$
---------------------------
$1$ $a$ $a^{2}$ $a^{3}$ $0$
$4$. ભાગફળના સહગુણકો $1, a, a^{2}, a^{3}$ છે,જે બહુપદી $x^{3} + ax^{2} + a^{2}x + a^{3}$ દર્શાવે છે.
$5$. શેષ $0$ છે.

(N/A) $p(x) = x^{3} - 2x^{2} + x - 2$ ને $x + 1$ વડે સંશ્લેષિત ભાગાકારની રીતથી ભાગવા માટે,આપણે ભાજક $x + 1 = 0$ નું શૂન્ય શોધીએ,જે $x = -1$ છે.
$p(x)$ ના સહગુણકો $1, -2, 1, -2$ છે.
સંશ્લેષિત ભાગાકારની ગોઠવણી:
$-1$ | $1$ $-2$ $1$ $-2$
| $-1$ $3$ $-4$
-------------------
$1$ $-3$ $4$ $-6$
ભાગફળ બહુપદીના સહગુણકો $1, -3, 4$ મળે છે,જે $x^{2} - 3x + 4$ દર્શાવે છે.
બાકી રહેતી શેષ $-6$ છે.

(A) વહેંચાયા વગર બાકી રહેલા ઇનામોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે કુલ ઇનામો $P(x) = 3x^3 + 10x^2 + 7x - 2$ ને વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $(x + 2)$ વડે ભાગવા પડશે.
બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
પગલું $1$: $3x^3$ ને $x$ વડે ભાગતા $3x^2$ મળે.
પગલું $2$: $3x^2(x + 2) = 3x^3 + 6x^2$ નો ગુણાકાર કરો.
પગલું $3$: બાદબાકી કરતા $(3x^3 + 10x^2 + 7x - 2) - (3x^3 + 6x^2) = 4x^2 + 7x - 2$ મળે.
પગલું $4$: $4x^2$ ને $x$ વડે ભાગતા $4x$ મળે.
પગલું $5$: $4x(x + 2) = 4x^2 + 8x$ નો ગુણાકાર કરો.
પગલું $6$: બાદબાકી કરતા $(4x^2 + 7x - 2) - (4x^2 + 8x) = -x - 2$ મળે.
પગલું $7$: $-x$ ને $x$ વડે ભાગતા $-1$ મળે.
પગલું $8$: $-1(x + 2) = -x - 2$ નો ગુણાકાર કરો.
પગલું $9$: બાદબાકી કરતા $(-x - 2) - (-x - 2) = 0$ મળે.
શેષ $0$ છે. તેથી,કોઈ પણ ઇનામ વહેંચાયા વગર બાકી રહેતું નથી.