Textbook - Polynomials Questions in Gujarati

(N/A) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે જ્યાં $y = p(x)$ નો આલેખ $x$-અક્ષને છેદે છે.
આપેલ આલેખમાં,વક્ર $x$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,$p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(2) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $x-$અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે છે તે સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,વક્ર $x-$અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(N/A) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $X$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે છે તે સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,વક્ર $X$-અક્ષને $3$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(1) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y = p(x)$ નો આલેખ $X$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે છે તે સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,રેખા $X$-અક્ષને માત્ર $1$ બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,$p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(1) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $X$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તે સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,પરવલય $X$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુમાં સ્પર્શે છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(N/A) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વક્ર $x$-અક્ષને $4$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $4$ છે.

(0) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર છે અને તેને કોઈ પણ બિંદુએ છેદતી નથી.
તેથી,$p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(A) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે છે તે સંખ્યા જેટલી હોય છે. આપેલ આલેખમાં,વક્ર $x$-અક્ષને માત્ર $1$ બિંદુમાં છેદે છે. તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(N/A) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તે સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,વક્ર $x$-અક્ષને $3$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(2) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,વક્ર $x$-અક્ષને $2$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(4) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વક્ર $x$-અક્ષને $4$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $4$ છે.

(N/A) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ આલેખ $y=p(x)$ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,વક્ર $x$-અક્ષને $3$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(N/A) આપેલ દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = x^{2}+7x+10$ છે.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ:
$x^{2}+7x+10 = 0$
$x^{2}+5x+2x+10 = 0$
$x(x+5)+2(x+5) = 0$
$(x+2)(x+5) = 0$
આમ,શૂન્યો $x = -2$ અને $x = -5$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= (-2) + (-5) = -7 = \frac{-7}{1} = \frac{-(x \text{ નો સહગુણક})}{x^{2} \text{ નો સહગુણક}}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= (-2) \times (-5) = 10 = \frac{10}{1} = \frac{\text{અચળ પદ}}{x^{2} \text{ નો સહગુણક}}$.
આમ,સંબંધ ચકાસાય છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે અને તેના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -3$
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = \frac{c}{a} = 2$
જો આપણે $a = 1$ લઈએ,તો:
$-b = -3 \implies b = 3$
$c = 2$
આ કિંમતોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c$ માં મૂકતા,આપણને $x^2 + 3x + 2$ બહુપદી મળે છે.
આમ,માંગેલ દ્વિઘાત બહુપદી $x^2 + 3x + 2$ છે.

(A) આપેલ બહુપદી $p(x) = 3x^3 - 5x^2 - 11x - 3$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^3 + bx^2 + cx + d$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3, b = -5, c = -11, d = -3$ મળે છે.
પ્રથમ,આપણે શૂન્યો ચકાસીએ:
$p(3) = 3(3)^3 - 5(3)^2 - 11(3) - 3 = 81 - 45 - 33 - 3 = 0$
$p(-1) = 3(-1)^3 - 5(-1)^2 - 11(-1) - 3 = -3 - 5 + 11 - 3 = 0$
$p(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^3 - 5(-\frac{1}{3})^2 - 11(-\frac{1}{3}) - 3 = -\frac{1}{9} - \frac{5}{9} + \frac{11}{3} - 3 = -\frac{6}{9} + \frac{33}{9} - \frac{27}{9} = 0$
આમ,$3, -1, -\frac{1}{3}$ એ શૂન્યો છે.
ધારો કે $\alpha = 3, \beta = -1, \gamma = -\frac{1}{3}$.
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = 3 - 1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} = -\frac{b}{a}$.
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (3)(-1) + (-1)(-\frac{1}{3}) + (-\frac{1}{3})(3) = -3 + \frac{1}{3} - 1 = -4 + \frac{1}{3} = -\frac{11}{3} = \frac{c}{a}$.
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = (3)(-1)(-\frac{1}{3}) = 1 = -\frac{d}{a} = -(\frac{-3}{3}) = 1$.
બધા સંબંધો ચકાસાયેલ છે.

(N/A) આપેલ બહુપદી: $p(x) = x^{2}-2x-8$.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ:
$x^{2}-2x-8 = 0$
$x^{2}-4x+2x-8 = 0$
$x(x-4)+2(x-4) = 0$
$(x-4)(x+2) = 0$
આમ,શૂન્યો $x = 4$ અને $x = -2$ છે.
ચકાસણી:
$x^{2}-2x-8$ ની સરખામણી $ax^{2}+bx+c$ સાથે કરતા,આપણને $a=1, b=-2, c=-8$ મળે છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $= 4 + (-2) = 2$.
સૂત્ર: $-b/a = -(-2)/1 = 2$.
$2 = 2$ હોવાથી,શૂન્યોનો સરવાળો ચકાસાય છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= 4 \times (-2) = -8$.
સૂત્ર: $c/a = -8/1 = -8$.
$-8 = -8$ હોવાથી,શૂન્યોનો ગુણાકાર ચકાસાય છે.

(N/A) આપેલ બહુપદી: $p(s) = 4s^{2}-4s+1$.
શૂન્યો શોધવા માટે,$p(s) = 0$ લો:
$4s^{2}-4s+1 = 0$
$(2s-1)^{2} = 0$
$2s-1 = 0 \implies s = \frac{1}{2}$.
આમ,શૂન્યો $\frac{1}{2}$ અને $\frac{1}{2}$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 = \frac{-(-4)}{4} = \frac{-(s \text{ નો સહગુણક})}{s^{2} \text{ નો સહગુણક}}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = \frac{\text{અચળ પદ}}{s^{2} \text{ નો સહગુણક}}$.
આમ,સંબંધ ચકાસાય છે.

(N/A) પ્રથમ,બહુપદીને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખો: $6x^{2}-7x-3$.
શૂન્યો શોધવા માટે,દ્વિઘાત બહુપદીના અવયવ પાડો:
$6x^{2}-7x-3 = 6x^{2}-9x+2x-3 = 3x(2x-3)+1(2x-3) = (3x+1)(2x-3)$.
$6x^{2}-7x-3$ ની કિંમત શૂન્ય થાય જ્યારે $3x+1=0$ અથવા $2x-3=0$ હોય,જે $x = -1/3$ અથવા $x = 3/2$ આપે છે.
તેથી,શૂન્યો $\alpha = -1/3$ અને $\beta = 3/2$ છે.
શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધની ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -1/3 + 3/2 = (-2+9)/6 = 7/6 = -(-7)/6 = -(\text{x નો સહગુણક}) / (\text{x}^{2} \text{ નો સહગુણક})$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha \times \beta = (-1/3) \times (3/2) = -3/6 = -1/2 = -3/6 = (\text{અચળ પદ}) / (\text{x}^{2} \text{ નો સહગુણક})$.

(N/A) આપેલ બહુપદી: $p(u) = 4u^{2} + 8u$.
શૂન્યો શોધવા માટે,$p(u) = 0$ લો:
$4u^{2} + 8u = 0$
$4u(u + 2) = 0$
આથી $4u = 0$ અથવા $u + 2 = 0$.
તેથી,$u = 0$ અથવા $u = -2$.
શૂન્યો $0$ અને $-2$ છે.
ચકાસણી:
$4u^{2} + 8u$ ની સરખામણી $au^{2} + bu + c$ સાથે કરતા,$a = 4, b = 8, c = 0$ મળે છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $= 0 + (-2) = -2$.
સંબંધ: $\frac{-b}{a} = \frac{-8}{4} = -2$.
શૂન્યોનો સરવાળો $= \frac{-b}{a}$ હોવાથી,સંબંધ ચકાસાય છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= 0 \times (-2) = 0$.
સંબંધ: $\frac{c}{a} = \frac{0}{4} = 0$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{c}{a}$ હોવાથી,સંબંધ ચકાસાય છે.

(N/A) આપેલ બહુપદી: $p(t) = t^{2}-15$.
શૂન્યો શોધવા માટે,$p(t) = 0$ લો:
$t^{2}-15 = 0$
$t^{2} = 15$
$t = \pm \sqrt{15}$
તેથી,શૂન્યો $\alpha = \sqrt{15}$ અને $\beta = -\sqrt{15}$ છે.
$t^{2}-15$ ની સરખામણી પ્રમાણિત સ્વરૂપ $at^{2}+bt+c$ સાથે કરતા,$a=1, b=0, c=-15$ મળે છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta = \sqrt{15} + (-\sqrt{15}) = 0$.
સહગુણકો પરથી: $\frac{-b}{a} = \frac{-0}{1} = 0$.
આમ,$\alpha + \beta = \frac{-b}{a}$ ચકાસાય છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \beta = (\sqrt{15})(-\sqrt{15}) = -15$.
સહગુણકો પરથી: $\frac{c}{a} = \frac{-15}{1} = -15$.
આમ,$\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ ચકાસાય છે.

(N/A) આપેલ બહુપદી: $p(x) = 3x^{2}-x-4$.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ:
$3x^{2}-x-4 = 0$
$3x^{2}-4x+3x-4 = 0$
$x(3x-4)+1(3x-4) = 0$
$(3x-4)(x+1) = 0$
આમ,શૂન્યો $x = \frac{4}{3}$ અને $x = -1$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= \frac{4}{3} + (-1) = \frac{4-3}{3} = \frac{1}{3}$.
બહુપદી પરથી,$-\frac{x \text{ નો સહગુણક}}{x^{2} \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$.
કારણ કે $\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$,તેથી સરવાળો ચકાસાયેલ છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{4}{3} \times (-1) = -\frac{4}{3}$.
બહુપદી પરથી,$\frac{\text{અચળ પદ}}{x^{2} \text{ નો સહગુણક}} = \frac{-4}{3}$.
કારણ કે $-\frac{4}{3} = -\frac{4}{3}$,તેથી ગુણાકાર ચકાસાયેલ છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $ax^2 + bx + c$ છે અને તેના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = \frac{1}{4}$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \beta = -1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિઘાત બહુપદીને $k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta]$ સ્વરૂપે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $k$ એ શૂન્યતર અચળ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને $k[x^2 - (\frac{1}{4})x + (-1)]$ મળે છે.
સરળ બનાવવા માટે,$k = 4$ લેતા.
તેથી બહુપદી $4[x^2 - \frac{1}{4}x - 1] = 4x^2 - x - 4$ બને છે.
આમ,માંગેલ દ્વિઘાત બહુપદી $4x^2 - x - 4$ છે.

(D) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે અને તેના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = \sqrt{2} = -\frac{b}{a}$ આપેલ છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{1}{3} = \frac{c}{a}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમાન છેદ $a$ સાથે દર્શાવવા માટે,આપણે લખી શકીએ $\alpha + \beta = \frac{3\sqrt{2}}{3} = -\frac{b}{a}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $a = 3$,$b = -3\sqrt{2}$ અને $c = 1$ મળે છે.
આ કિંમતોને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c$ માં મૂકતા,આપણને દ્વિઘાત બહુપદી $3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1$ મળે છે.

(D) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે અને તેના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = 0 = \frac{0}{1} = -\frac{b}{a}$ આપેલ છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \times \beta = \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{1} = \frac{c}{a}$ આપેલ છે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,જો આપણે $a = 1$ લઈએ,તો $b = 0$ અને $c = \sqrt{5}$ મળે છે.
આ કિંમતોને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c$ માં મૂકતા,આપણને દ્વિઘાત બહુપદી $x^2 + 0x + \sqrt{5}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + \sqrt{5}$ થાય છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે અને તેના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = 1 = \frac{-b}{a}$ આપેલ છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \times \beta = 1 = \frac{c}{a}$ આપેલ છે.
જો આપણે $a = 1$ લઈએ,તો:
$-b = 1 \implies b = -1$
$c = 1$
આ કિંમતોને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c$ માં મૂકતા,આપણને $x^2 - x + 1$ બહુપદી મળે છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે અને તેના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{1}{4} = -\frac{b}{a}$ આપેલ છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \times \beta = \frac{1}{4} = \frac{c}{a}$ આપેલ છે.
ગુણોત્તરની સરખામણી કરતા,જો આપણે $a = 4$ લઈએ,તો $b = 1$ અને $c = 1$ મળે છે.
આ કિંમતોને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c$ માં મૂકતા,આપણને બહુપદી $4x^2 + x + 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે,જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ તેના શૂન્યો છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = 4 = \frac{4}{1} = \frac{-b}{a}$ આપેલ છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \times \beta = 1 = \frac{1}{1} = \frac{c}{a}$ આપેલ છે.
ગુણોત્તરની સરખામણી કરતા,જો આપણે $a = 1$ લઈએ,તો $b = -4$ અને $c = 1$ મળે છે.
આ કિંમતોને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c$ માં મૂકતા,આપણને દ્વિઘાત બહુપદી $x^2 - 4x + 1$ મળે છે.

(N/A) $2x^2 + 3x + 1$ ને $x + 2$ વડે ભાગવા માટે, આપણે બહુપદીનો લાંબો ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(2x^2)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $2x$ મળે છે. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
$2$. ભાજક $(x + 2)$ ને $2x$ વડે ગુણતા $2x^2 + 4x$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(2x^2 + 3x + 1) - (2x^2 + 4x) = -x + 1$ મળે.
$3$. નવી પદાવલિના પ્રથમ પદ $(-x)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $-1$ મળે છે. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$4$. ભાજક $(x + 2)$ ને $-1$ વડે ગુણતા $-x - 2$ મળે છે. તેને વર્તમાન પદાવલિમાંથી બાદ કરતા: $(-x + 1) - (-x - 2) = 3$ મળે.
શેષની ઘાત ($3$, જે $0$ છે) એ ભાજકની ઘાત ($x + 2$, જે $1$ છે) કરતા ઓછી હોવાથી, આપણે ભાગાકાર અટકાવીએ છીએ.
આમ, ભાગફળ $2x - 1$ છે અને શેષ $3$ છે.
ચકાસણી:
$(2x - 1)(x + 2) + 3 = (2x^2 + 4x - x - 2) + 3 = 2x^2 + 3x + 1$.
તેથી, $\text{ભાજ્ય} = \text{ભાજક} \times \text{ભાગફળ} + \text{શેષ}$.

(N/A) સૌ પ્રથમ આપણે ભાજ્ય અને ભાજકના પદોને તેમની ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવીએ છીએ. આને બહુપદીઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખવું કહેવાય છે. ભાજ્ય પહેલેથી જ પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં છે,અને ભાજકનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2}+2x+1$ છે.
પગલું $1$: ભાગફળનું પ્રથમ પદ મેળવવા માટે,ભાજ્યના સૌથી મોટી ઘાતવાળા પદ $(3x^{3})$ ને ભાજકના સૌથી મોટી ઘાતવાળા પદ $(x^{2})$ વડે ભાગો. આનાથી $3x$ મળે છે. ભાજકને $3x$ વડે ગુણતા,આપણને $3x(x^{2}+2x+1) = 3x^{3}+6x^{2}+3x$ મળે છે. ભાજ્યમાંથી આ બાદ કરતા,આપણને $(3x^{3}+x^{2}+2x+5) - (3x^{3}+6x^{2}+3x) = -5x^{2}-x+5$ મળે છે.
પગલું $2$: ભાગફળનું બીજું પદ મેળવવા માટે,નવા ભાજ્યના સૌથી મોટી ઘાતવાળા પદ $(-5x^{2})$ ને ભાજકના સૌથી મોટી ઘાતવાળા પદ $(x^{2})$ વડે ભાગો. આનાથી $-5$ મળે છે. ભાજકને $-5$ વડે ગુણતા,આપણને $-5(x^{2}+2x+1) = -5x^{2}-10x-5$ મળે છે. વર્તમાન ભાજ્યમાંથી આ બાદ કરતા,આપણને $(-5x^{2}-x+5) - (-5x^{2}-10x-5) = 9x+10$ મળે છે.
પગલું $3$: શેષ $9x+10$ ની ઘાત $1$ છે,જે ભાજકની ઘાત $(2)$ કરતા ઓછી છે. તેથી,ભાગાકારની પ્રક્રિયા અહીં પૂર્ણ થાય છે.
આમ,ભાગફળ $3x-5$ છે અને શેષ $9x+10$ છે.

(N/A) નોંધો કે આપેલ બહુપદીઓ પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં નથી. ભાગાકાર કરવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ ભાજ્ય અને ભાજક બંનેને તેમની ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં લખીએ છીએ.
તેથી,ભાજ્ય $= -x^{3}+3x^{2}-3x+5$ અને ભાજક $= -x^{2}+x-1$.
ભાગાકારની પ્રક્રિયા:
$(-x^{2}+x-1) \overline{) -x^{3}+3x^{2}-3x+5}$
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $-x^{3}$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $-x^{2}$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
$2$. ભાજક $(-x^{2}+x-1)$ ને $x$ વડે ગુણતા $-x^{3}+x^{2}-x$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા $2x^{2}-2x+5$ મળે છે.
$3$. નવા ભાજ્યના પ્રથમ પદ $2x^{2}$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $-x^{2}$ વડે ભાગતા $-2$ મળે છે. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$4$. ભાજક $(-x^{2}+x-1)$ ને $-2$ વડે ગુણતા $2x^{2}-2x+2$ મળે છે. તેને વર્તમાન ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા $3$ મળે છે.
અહીં આપણે અટકીએ છીએ કારણ કે શેષ $(3)$ ની ઘાત $0$ છે,જે ભાજક $(-x^{2}+x-1)$ ની ઘાત $2$ કરતા ઓછી છે.
તેથી,ભાગફળ $= x-2$,શેષ $= 3$.
ચકાસણી:
ભાજક $\times$ ભાગફળ $+$ શેષ
$= (-x^{2}+x-1)(x-2)+3$
$= -x^{3}+2x^{2}+x^{2}-2x-x+2+3$
$= -x^{3}+3x^{2}-3x+5$
$= \text{ભાજ્ય}$.
આમ,ભાગાકારની પૂર્વધારણા ચકાસાય છે.

(N/A) અહીં બે શૂન્યો $\sqrt{2}$ અને $-\sqrt{2}$ આપેલા છે,તેથી $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) = x^{2}-2$ એ આપેલ બહુપદીનો એક અવયવ છે.
હવે,અન્ય અવયવો શોધવા માટે આપણે આપેલી બહુપદીને $x^{2}-2$ વડે ભાગીશું.
ભાગાકાર કરતા:
$2x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+6x-2 = (x^{2}-2)(2x^{2}-3x+1)$
હવે,દ્વિઘાત બહુપદી $2x^{2}-3x+1$ ના મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને અવયવ પાડીએ:
$2x^{2}-2x-x+1 = 2x(x-1)-1(x-1) = (2x-1)(x-1)$
આ અવયવોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$2x-1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$
$x-1 = 0 \implies x = 1$
તેથી,આપેલ બહુપદીના તમામ શૂન્યો $\sqrt{2}, -\sqrt{2}, \frac{1}{2},$ અને $1$ છે.

(N/A) $p(x) = x^{3} - 3x^{2} + 5x - 3$ ને $g(x) = x^{2} - 2$ વડે ભાગવા માટે:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{3})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
$2$. $x$ નો $(x^{2} - 2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^{3} - 2x$ મળે છે. તેને $p(x)$ માંથી બાદ કરતા $-3x^{2} + 7x - 3$ મળે છે.
$3$. નવા ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(-3x^{2})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $-3$ મળે છે. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$4$. $-3$ નો $(x^{2} - 2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-3x^{2} + 6$ મળે છે. તેને વર્તમાન શેષમાંથી બાદ કરતા $7x - 9$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $x - 3$ છે અને શેષ $7x - 9$ છે.

(N/A) $p(x)$ ને $g(x)$ વડે ભાગવા માટે,આપણે પહેલા તેમને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં (ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં) લખીએ છીએ:
$p(x) = x^{4} + 0x^{3} - 3x^{2} + 4x + 5$
$g(x) = x^{2} - x + 1$
બહુપદીનો ભાગાકાર કરતા:
$1$. $p(x)$ ના પ્રથમ પદને $g(x)$ ના પ્રથમ પદ વડે ભાગતા: $x^{4} / x^{2} = x^{2}$. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
$2$. $x^{2}$ નો $(x^{2} - x + 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા: $x^{4} - x^{3} + x^{2}$. તેને $p(x)$ માંથી બાદ કરતા $x^{3} - 4x^{2} + 4x + 5$ મળે છે.
$3$. નવી બહુપદીના પ્રથમ પદને $g(x)$ ના પ્રથમ પદ વડે ભાગતા: $x^{3} / x^{2} = x$. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$4$. $x$ નો $(x^{2} - x + 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા: $x^{3} - x^{2} + x$. તેને બાદ કરતા $-3x^{2} + 3x + 5$ મળે છે.
$5$. નવી બહુપદીના પ્રથમ પદને $g(x)$ ના પ્રથમ પદ વડે ભાગતા: $-3x^{2} / x^{2} = -3$. આ ભાગફળનું ત્રીજું પદ છે.
$6$. $-3$ નો $(x^{2} - x + 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા: $-3x^{2} + 3x - 3$. તેને બાદ કરતા $8$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $x^{2} + x - 3$ છે અને શેષ $8$ છે.

(N/A) $p(x) = x^{4} - 5x + 6$ ને $g(x) = -x^{2} + 2$ વડે ભાગવા માટે,આપણે પદોને તેમના ઘાતાંકના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવીએ છીએ:
$p(x) = x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} - 5x + 6$
$g(x) = -x^{2} + 2$
ભાગાકારની લાંબી રીત કરતા:
$1$. $p(x)$ ના પ્રથમ પદને $g(x)$ ના પ્રથમ પદ વડે ભાગતા: $x^{4} / (-x^{2}) = -x^{2}$. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
$2$. $-x^{2}$ ને $(-x^{2} + 2)$ સાથે ગુણતા $x^{4} - 2x^{2}$ મળે છે. તેને $p(x)$ માંથી બાદ કરતા $2x^{2} - 5x + 6$ મળે છે.
$3$. નવી બહુપદીના પ્રથમ પદ $(2x^{2})$ ને $g(x)$ ના પ્રથમ પદ $(-x^{2})$ વડે ભાગતા: $2x^{2} / (-x^{2}) = -2$. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$4$. $-2$ ને $(-x^{2} + 2)$ સાથે ગુણતા $2x^{2} - 4$ મળે છે. તેને $2x^{2} - 5x + 6$ માંથી બાદ કરતા $-5x + 10$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $-x^{2} - 2$ છે અને શેષ $-5x + 10$ છે.

(A) જો $t^{2}-3$ એ $2t^{4}+3t^{3}-2t^{2}-9t-12$ નો અવયવ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીએ છીએ.
ભાજકને $t^{2}+0t-3$ તરીકે લખીએ.
$2t^{4}+3t^{3}-2t^{2}-9t-12$ ને $t^{2}+0t-3$ વડે ભાગતા:
$1$. $2t^{4}$ ને $t^{2}$ વડે ભાગતા $2t^{2}$ મળે. $2t^{2}(t^{2}+0t-3) = 2t^{4}+0t^{3}-6t^{2}$ ગુણાકાર કરો. ભાજ્યમાંથી આ બાદ કરતા $3t^{3}+4t^{2}-9t-12$ મળે છે.
$2$. $3t^{3}$ ને $t^{2}$ વડે ભાગતા $3t$ મળે. $3t(t^{2}+0t-3) = 3t^{3}+0t^{2}-9t$ ગુણાકાર કરો. બાદબાકી કરતા $4t^{2}+0t-12$ મળે છે.
$3$. $4t^{2}$ ને $t^{2}$ વડે ભાગતા $4$ મળે. $4(t^{2}+0t-3) = 4t^{2}+0t-12$ ગુણાકાર કરો. બાદબાકી કરતા શેષ $0$ મળે છે.
શેષ $0$ હોવાથી,$t^{2}-3$ એ $2t^{4}+3t^{3}-2t^{2}-9t-12$ નો અવયવ છે.

(A) પ્રથમ બહુપદી એ બીજી બહુપદીનો અવયવ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $3x^{4}+5x^{3}-7x^{2}+2x+2$ ને $x^{2}+3x+1$ વડે ભાગાકાર કરીશું.
પગલું $1$: $3x^{4}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $3x^{2}$ મળે છે. $3x^{2}(x^{2}+3x+1) = 3x^{4}+9x^{3}+3x^{2}$ ગુણાકાર કરો. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા $-4x^{3}-10x^{2}+2x+2$ મળે છે.
પગલું $2$: $-4x^{3}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $-4x$ મળે છે. $-4x(x^{2}+3x+1) = -4x^{3}-12x^{2}-4x$ ગુણાકાર કરો. તેને બાદ કરતા $2x^{2}+6x+2$ મળે છે.
પગલું $3$: $2x^{2}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $2$ મળે છે. $2(x^{2}+3x+1) = 2x^{2}+6x+2$ ગુણાકાર કરો. તેને બાદ કરતા શેષ $0$ મળે છે.
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,પ્રથમ બહુપદી એ બીજી બહુપદીનો અવયવ છે.

(N/A) પ્રથમ બહુપદી એ બીજી બહુપદીનો અવયવ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીશું.
$x^{5}-4x^{3}+x^{2}+3x+1$ ને $x^{3}-3x+1$ વડે ભાગતા:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{5})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{3})$ વડે ભાગતા $x^{2}$ મળે છે.
$2$. $x^{2}$ નો $(x^{3}-3x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^{5}-3x^{3}+x^{2}$ મળે છે.
$3$. આને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(x^{5}-4x^{3}+x^{2}+3x+1) - (x^{5}-3x^{3}+x^{2}) = -x^{3}+3x+1$ મળે છે.
$4$. નવી બહુપદીના પ્રથમ પદ $(-x^{3})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{3})$ વડે ભાગતા $-1$ મળે છે.
$5$. $-1$ નો $(x^{3}-3x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-x^{3}+3x-1$ મળે છે.
$6$. આને વર્તમાન શેષમાંથી બાદ કરતા: $(-x^{3}+3x+1) - (-x^{3}+3x-1) = 2$ મળે છે.
અહીં શેષ $2$ મળે છે (જે $\neq 0$ છે),તેથી પ્રથમ બહુપદી એ બીજી બહુપદીનો અવયવ નથી.

(N/A) ધારો કે $p(x) = 3x^{4} + 6x^{3} - 2x^{2} - 10x - 5$.
અહીં $\sqrt{\frac{5}{3}}$ અને $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ એ $p(x)$ ના બે શૂન્યો હોવાથી,$(x - \sqrt{\frac{5}{3}})(x + \sqrt{\frac{5}{3}}) = (x^{2} - \frac{5}{3})$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
બાકીના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x)$ ને $(x^{2} - \frac{5}{3})$ વડે ભાગીશું:
$3x^{4} + 6x^{3} - 2x^{2} - 10x - 5 = (x^{2} - \frac{5}{3})(3x^{2} + 6x + 3)$
$= 3(x^{2} - \frac{5}{3})(x^{2} + 2x + 1)$
$= 3(x^{2} - \frac{5}{3})(x + 1)^{2}$
હવે,બાકીના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $(x + 1)^{2} = 0$ લઈએ,જેથી $x + 1 = 0$ મળે,એટલે કે $x = -1$.
અવયવ $(x + 1)^{2}$ હોવાથી,શૂન્ય $x = -1$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
આમ,બહુપદીના બાકીના બે શૂન્યો $-1$ અને $-1$ છે.

(N/A) આપેલ છે:
ભાજ્ય $p(x) = x^{3}-3 x^{2}+x+2$
ભાગફળ $q(x) = x-2$
શેષ $r(x) = -2 x+4$
ભાજક $g(x) = ?$
બહુપદી માટે ભાગાકારના પૂર્વધારણાનો ઉપયોગ કરતા:
$p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$
$x^{3}-3 x^{2}+x+2 = g(x) \cdot (x-2) + (-2 x+4)$
$g(x) \cdot (x-2)$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$g(x) \cdot (x-2) = (x^{3}-3 x^{2}+x+2) - (-2 x+4)$
$g(x) \cdot (x-2) = x^{3}-3 x^{2}+x+2+2 x-4$
$g(x) \cdot (x-2) = x^{3}-3 x^{2}+3 x-2$
હવે,$g(x)$ શોધવા માટે $(x^{3}-3 x^{2}+3 x-2)$ ને $(x-2)$ વડે ભાગતા:
બહુપદીના લાંબા ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$(x^{3}-3 x^{2}+3 x-2) \div (x-2) = x^{2}-x+1$
તેથી,$g(x) = x^{2}-x+1$.

(N/A) ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,જો $p(x)$ અને $g(x)$ બે બહુપદીઓ હોય જ્યાં $g(x) \neq 0,$ તો આપણે એવી બહુપદીઓ $q(x)$ અને $r(x)$ શોધી શકીએ કે જેથી $p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ થાય,જ્યાં $r(x) = 0$ અથવા $\operatorname{deg} r(x) < \operatorname{deg} g(x).$
બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની મહત્તમ ઘાત.
$\operatorname{deg} p(x) = \operatorname{deg} q(x)$ ની શરત સંતોષવા માટે,ભાગફળની ઘાત એ ભાજ્યની ઘાત જેટલી હોવી જોઈએ. આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે ભાજક $g(x)$ એક અચળ પદ હોય.
ધારો કે $p(x) = 6x^2 + 2x + 2$ ને $g(x) = 2$ વડે ભાગવામાં આવે છે.
અહીં,$p(x) = 6x^2 + 2x + 2,$
$g(x) = 2,$
$q(x) = 3x^2 + x + 1,$
$r(x) = 0.$
$p(x)$ ની ઘાત $2$ છે અને $q(x)$ ની ઘાત પણ $2$ છે,તેથી $\operatorname{deg} p(x) = \operatorname{deg} q(x).$
ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેયની ચકાસણી:
$p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$
$6x^2 + 2x + 2 = 2(3x^2 + x + 1) + 0$
$6x^2 + 2x + 2 = 6x^2 + 2x + 2.$
આમ,ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેયનું પાલન થાય છે.

(N/A) ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,જો $p(x)$ અને $g(x)$ બે બહુપદીઓ હોય જ્યાં $g(x) \neq 0$,તો આપણે એવી બહુપદીઓ $q(x)$ અને $r(x)$ શોધી શકીએ કે જેથી $p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ થાય,જ્યાં $r(x) = 0$ અથવા $\operatorname{deg} r(x) < \operatorname{deg} g(x)$ હોય.
આપણે એવા ઉદાહરણો શોધવાની જરૂર છે કે જેમાં $\operatorname{deg} q(x) = \operatorname{deg} r(x)$ થાય.
ધારો કે $p(x) = x^3 + x$ અને $g(x) = x^2$ છે.
ભાગાકાર કરતા:
$x^3 + x = (x^2) \cdot x + x$.
અહીં,$q(x) = x$ અને $r(x) = x$ મળે છે.
શરતોની ચકાસણી:
$1$. $\operatorname{deg} q(x) = \operatorname{deg}(x) = 1$.
$2$. $\operatorname{deg} r(x) = \operatorname{deg}(x) = 1$.
અહીં $1 = 1$ હોવાથી,$\operatorname{deg} q(x) = \operatorname{deg} r(x)$ ની શરત સંતોષાય છે.
$3$. $\operatorname{deg} r(x) < \operatorname{deg} g(x)$ એટલે કે $1 < 2$,જે સાચું છે.
આમ,ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેયનું પાલન થાય છે.

(A) ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,જો $p(x)$ અને $g(x)$ બે બહુપદીઓ હોય જ્યાં $g(x) \neq 0$,તો આપણે એવી બહુપદીઓ $q(x)$ અને $r(x)$ શોધી શકીએ કે જેથી $p(x) = g(x) \times q(x) + r(x)$ થાય,જ્યાં $r(x) = 0$ અથવા $\operatorname{deg} r(x) < \operatorname{deg} g(x)$ હોય.
બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની મહત્તમ ઘાત.
$\operatorname{deg} r(x) = 0$ માટે,શેષ એક શૂન્યતર અચળ સંખ્યા હોવી જોઈએ.
ધારો કે આપણે $x^3 + 1$ ને $x^2$ વડે ભાગીએ છીએ.
અહીં,$p(x) = x^3 + 1$,$g(x) = x^2$.
ભાગાકાર કરતા: $(x^3 + 1) \div x^2$ કરવાથી ભાગફળ $q(x) = x$ અને શેષ $r(x) = 1$ મળે છે.
સ્પષ્ટપણે,$r(x) = 1$ ની ઘાત $0$ છે.
ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેયની ચકાસણી:
$p(x) = g(x) \times q(x) + r(x)$
$x^3 + 1 = (x^2) \times x + 1$
$x^3 + 1 = x^3 + 1$
આમ,ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેયનું પાલન થાય છે.

(A) ધારો કે $p(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2$.
આપેલ મૂલ્યો $\alpha = \frac{1}{2}, \beta = 1, \gamma = -2$ છે.
પ્રથમ,આપણે ચકાસીએ કે આ શૂન્યો છે:
$p(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 2 = -2 + 2 = 0$.
$p(1) = 2(1)^3 + (1)^2 - 5(1) + 2 = 2 + 1 - 5 + 2 = 0$.
$p(-2) = 2(-8) + 4 - 5(-2) + 2 = -16 + 4 + 10 + 2 = 0$.
આમ,$\frac{1}{2}, 1,$ અને $-2$ એ બહુપદીના શૂન્યો છે.
$p(x)$ ની સરખામણી $ax^3 + bx^2 + cx + d$ સાથે કરતા,$a = 2, b = 1, c = -5, d = 2$ મળે છે.
સંબંધોની ચકાસણી:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2} + 1 - 2 = -\frac{1}{2} = \frac{-b}{a}$.
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (\frac{1}{2})(1) + (1)(-2) + (-2)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 - 1 = -\frac{5}{2} = \frac{c}{a}$.
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = (\frac{1}{2})(1)(-2) = -1 = \frac{-d}{a} = \frac{-2}{2} = -1$.
આમ,સંબંધ ચકાસાયેલ છે.

(A) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{3} - 4x^{2} + 5x - 2$ છે.
આપેલ સંખ્યાઓ $2, 1, 1$ છે.
$x = 2$ માટે: $p(2) = (2)^{3} - 4(2)^{2} + 5(2) - 2 = 8 - 16 + 10 - 2 = 0$.
$x = 1$ માટે: $p(1) = (1)^{3} - 4(1)^{2} + 5(1) - 2 = 1 - 4 + 5 - 2 = 0$.
અહીં $p(2) = 0$ અને $p(1) = 0$ હોવાથી,$2, 1, 1$ એ આપેલ બહુપદીના શૂન્યો છે.
બહુપદી $p(x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, b = -4, c = 5, d = -2$ મળે છે.
સંબંધોની ચકાસણી:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો: $2 + 1 + 1 = 4 = -(-4)/1 = -b/a$.
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $(2)(1) + (1)(1) + (2)(1) = 2 + 1 + 2 = 5 = 5/1 = c/a$.
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $2 \times 1 \times 1 = 2 = -(-2)/1 = -d/a$.
આમ,શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસાય છે.

(A) ધારો કે ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ છે અને તેના શૂન્યો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
સહગુણકો અને શૂન્યો વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$1.$ શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -b/a = 2/1$
$2.$ બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = c/a = -7/1$
$3.$ શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = -d/a = -14/1$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,આપણને $a = 1, b = -2, c = -7$ અને $d = 14$ મળે છે.
આ કિંમતોને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^3 + bx^2 + cx + d$ માં મૂકતા,આપણને બહુપદી મળે છે:
$p(x) = x^3 - 2x^2 - 7x + 14$.

(A) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{3}-3x^{2}+x+1$ છે.
શૂન્યો $a-b, a, a+b$ આપેલા છે.
બહુપદીને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=1, B=-3, C=1, D=1$ મળે છે.
શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
શૂન્યોનો સરવાળો $= (a-b) + a + (a+b) = -B/A$.
$3a = -(-3)/1 = 3$.
$a = 1$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= (a-b)(a)(a+b) = -D/A$.
$(1-b)(1)(1+b) = -1/1$.
$1-b^{2} = -1$.
$b^{2} = 2$.
$b = \pm\sqrt{2}$.
આમ,$a=1$ અને $b=\pm\sqrt{2}$ છે.

(7, -5) આપેલ છે કે $2+\sqrt{3}$ અને $2-\sqrt{3}$ એ આપેલ બહુપદીના શૂન્યો છે.
તેથી,$(x-(2+\sqrt{3}))(x-(2-\sqrt{3})) = ((x-2)-\sqrt{3})((x-2)+\sqrt{3}) = (x-2)^{2} - (\sqrt{3})^{2} = x^{2}-4x+4-3 = x^{2}-4x+1$ એ આપેલ બહુપદીનો એક અવયવ છે.
બાકીના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે બહુપદી $x^{4}-6 x^{3}-26 x^{2}+138 x-35$ ને $x^{2}-4 x+1$ વડે ભાગીશું:
$x^{4}-6 x^{3}-26 x^{2}+138 x-35 = (x^{2}-4 x+1)(x^{2}-2 x-35)$
હવે,આપણે દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}-2 x-35$ ના અવયવો પાડીશું:
$x^{2}-2 x-35 = x^{2}-7x+5x-35 = x(x-7)+5(x-7) = (x-7)(x+5)$
આ અવયવોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $x-7=0$ અથવા $x+5=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x=7$ અથવા $x=-5$.
આમ,બાકીના બે શૂન્યો $7$ અને $-5$ છે.

(A) ભાગાકારના પૂર્વધારણા મુજબ:
ભાજ્ય $=$ ભાજક $\times$ ભાગફળ $+$ શેષ
તેથી,ભાજ્ય $-$ શેષ $=$ ભાજક $\times$ ભાગફળ.
ભાજ્યમાંથી શેષ $(x+a)$ બાદ કરતા:
$(x^{4}-6x^{3}+16x^{2}-25x+10) - (x+a) = x^{4}-6x^{3}+16x^{2}-26x+10-a$.
આ પરિણામી બહુપદી $x^{2}-2x+k$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે.
$(x^{4}-6x^{3}+16x^{2}-26x+10-a)$ ને $(x^{2}-2x+k)$ વડે ભાગતા:
$1$. $x^{4}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $x^{2}$ મળે. $(x^{2}-2x+k)$ ને $x^{2}$ વડે ગુણતા $x^{4}-2x^{3}+kx^{2}$ મળે. બાદબાકી કરતા $-4x^{3}+(16-k)x^{2}-26x$ વધે.
$2$. $-4x^{3}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $-4x$ મળે. $(x^{2}-2x+k)$ ને $-4x$ વડે ગુણતા $-4x^{3}+8x^{2}-4kx$ મળે. બાદબાકી કરતા $(8-k)x^{2}+(4k-26)x+(10-a)$ વધે.
$3$. $(8-k)x^{2}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $(8-k)$ મળે. $(x^{2}-2x+k)$ ને $(8-k)$ વડે ગુણતા $(8-k)x^{2}-2(8-k)x+k(8-k)$ મળે.
અગાઉની શેષમાંથી આ બાદ કરતા,અંતિમ શેષ $[(4k-26) + 2(8-k)]x + [10-a - k(8-k)] = 0$ મળે.
$x$ ના સહગુણકને સરળ બનાવતા: $4k-26+16-2k = 2k-10$. $2k-10=0$ લેતા $k=5$ મળે.
અચળ પદને સરળ બનાવતા: $10-a-8k+k^{2} = 0$. $k=5$ મૂકતા: $10-a-8(5)+25 = 10-a-40+25 = -5-a = 0$,જેમાંથી $a=-5$ મળે.
આમ,$k=5$ અને $a=-5$ છે.