Mix Examples - Arithmetic Progressions Questions in Hindi

(C) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ संख्याओं की वह सूची है जिसमें क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर रहता है।
श्रेणी $2, 5, 8, 11, \ldots$ के लिए:
$T_2 - T_1 = 5 - 2 = 3$
$T_3 - T_2 = 8 - 5 = 3$
$T_4 - T_3 = 11 - 8 = 3$
चूंकि सार्व अंतर $d = 3$ स्थिर है,इसलिए यह श्रेणी एक $A.P.$ है।
अन्य विकल्पों के लिए:
$A$: $4-2=2$,$8-4=4$ (स्थिर नहीं है)
$B$: $0-3=-3$,$3-0=3$ (स्थिर नहीं है)
$D$: $4-0=4$,$-4-4=-8$ (स्थिर नहीं है)
अतः,$2, 5, 8, 11, \ldots$ सही समांतर श्रेणी है।

(B) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ संख्याओं का एक ऐसा अनुक्रम है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान होता है। इस समान अंतर को सार्व अंतर $(d)$ कहा जाता है।
आइए विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $A$: $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$,जबकि $\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{12}$. चूँकि $-\frac{1}{6} \neq -\frac{1}{12}$,इसलिए यह $A.P.$ नहीं है।
विकल्प $B$: $\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$,$0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$,और $-\frac{1}{2} - 0 = -\frac{1}{2}$. चूँकि सार्व अंतर $d = -\frac{1}{2}$ समान है,इसलिए यह एक $A.P.$ है।
विकल्प $C$: $6 - (-3) = 9$,जबकि $-6 - 6 = -12$. चूँकि $9 \neq -12$,इसलिए यह $A.P.$ नहीं है।
विकल्प $D$: $\frac{1}{5} - 5 = -\frac{24}{5}$,जबकि $3 - \frac{1}{5} = \frac{14}{5}$. चूँकि $-\frac{24}{5} \neq \frac{14}{5}$,इसलिए यह $A.P.$ नहीं है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ संख्याओं का एक ऐसा अनुक्रम है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर होता है। इस स्थिर अंतर को सार्व अंतर $(d)$ कहा जाता है।
विकल्प $A$ के लिए: $-3 - (-1) = -2$,$-5 - (-3) = -2$,$-7 - (-5) = -2$। चूंकि अंतर समान है,इसलिए यह एक $A.P.$ है।
विकल्प $B$ के लिए: $15 - 20 = -5$,$10 - 15 = -5$,$5 - 10 = -5$। चूंकि अंतर समान है,इसलिए यह एक $A.P.$ है।
विकल्प $C$ के लिए: $-2 - 2 = -4$,$-6 - (-2) = -4$,$-10 - (-6) = -4$। चूंकि अंतर समान है,इसलिए यह एक $A.P.$ है।
विकल्प $D$ के लिए: $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2-3}{6} = -\frac{1}{6}$,जबकि $\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{3-4}{12} = -\frac{1}{12}$। चूंकि अंतर समान नहीं हैं,इसलिए यह अनुक्रम $A.P.$ नहीं है।

(B) एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में,अनुक्रम को $a, a+d, a+2d, \dots$ के रूप में दर्शाया जाता है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है।
अतः,प्रथम पद को अक्षर $a$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(C) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ संख्याओं की एक ऐसी श्रृंखला है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान होता है। इस समान अंतर को सार्व अंतर $(d)$ कहा जाता है।
विकल्प $A$ के लिए: $0 - 1 = -1$,$-1 - 0 = -1$,$-2 - (-1) = -1$। चूँकि सार्व अंतर समान $(d = -1)$ है,इसलिए यह एक $A.P.$ है।
विकल्प $B$ के लिए: $6 - 7 = -1$,$5 - 6 = -1$,$4 - 5 = -1$। चूँकि सार्व अंतर समान $(d = -1)$ है,इसलिए यह एक $A.P.$ है।
विकल्प $C$ के लिए: $0 - 1 = -1$,लेकिन $1 - 0 = 1$। चूँकि अंतर समान नहीं है $(-1 \neq 1)$,इसलिए यह $A.P.$ नहीं है।
विकल्प $D$ के लिए: $-9 - (-10) = 1$,$-8 - (-9) = 1$,$-7 - (-8) = 1$। चूँकि सार्व अंतर समान $(d = 1)$ है,इसलिए यह एक $A.P.$ है।
अतः,श्रृंखला $1, 0, 1, 0, \ldots$ एक $A.P.$ नहीं है।

(D) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में,संख्याओं की एक ऐसी श्रृंखला होती है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर रहता है।
इस स्थिर अंतर को $A.P.$ का सार्व अंतर (common difference) कहा जाता है।
गणितीय रूप से सार्व अंतर को $d$ अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,दो क्रमागत पदों $(a_{n} - a_{n-1})$ के बीच के अंतर को $d$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

(C) एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में,$n$ वें पद को आमतौर पर $a_n$ या $T_n$ संकेतन द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ,$a$ प्रथम पद है,$d$ सार्व अंतर है,और $n$ अनुक्रम में पद की स्थिति को दर्शाता है।
$n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ होता है।
अतः,दिए गए विकल्पों में से सही संकेतन $T_n$ है।

(B) दी गई समांतर श्रेणी $(A.P.)$ $-2, -4, -6, -8, \ldots$ है।
सार्व अंतर $(d)$ ज्ञात करने के लिए,हम दूसरे पद $(T_2)$ में से पहले पद $(T_1)$ को घटाते हैं।
$d = T_2 - T_1$
$d = -4 - (-2)$
$d = -4 + 2$
$d = -2$
अतः,सार्व अंतर $-2$ है।

(B) दी गई समांतर श्रेणी $(A.P.)$ $0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 0$ और दूसरा पद $T_2 = \frac{1}{2}$ है।
समांतर श्रेणी का सार्व अंतर $d$,$d = T_2 - T_1$ के रूप में ज्ञात किया जाता है।
मान रखने पर,हमें $d = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,सार्व अंतर $\frac{1}{2}$ है।

(C) दी गई समांतर श्रेणी $(A.P.)$ $0.1, 0.4, 0.7, 1, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a_1 = 0.1$,दूसरा पद $a_2 = 0.4$ और तीसरा पद $a_3 = 0.7$ है।
सार्व अंतर $d$ किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर होता है:
$d = a_2 - a_1 = 0.4 - 0.1 = 0.3$
वैकल्पिक रूप से,$d = a_3 - a_2 = 0.7 - 0.4 = 0.3$
अतः,सार्व अंतर $0.3$ है।

(C) $A.P.$ का सार्व अंतर $d$ किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच के अंतर द्वारा प्राप्त किया जाता है,$d = a_{n} - a_{n-1}$।
यहाँ दिया गया $A.P.$ $\frac{3}{2}, \frac{7}{2}, \frac{11}{2}, \frac{15}{2}, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a_1 = \frac{3}{2}$ और दूसरा पद $a_2 = \frac{7}{2}$ है।
अतः,$d = a_2 - a_1 = \frac{7}{2} - \frac{3}{2}$।
$d = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$।
इस प्रकार,सार्व अंतर $2$ है।

(A) एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में,प्रथम पद '$a$' और सार्व अंतर '$d$' है।
$A.P.$ का $n^{th}$ पद ज्ञात करने का सूत्र $T_{n} = a + (n - 1)d$ है,जहाँ '$n$' अनुक्रम में पद की स्थिति को दर्शाता है।
अतः,सही सूत्र $T_{n} = a + (n - 1)d$ है।

(B) $A.P.$ का $n$ वाँ पद $T_{n} = 3n - 1$ है।
सार्व अंतर $d$ ज्ञात करने के लिए,हम अनुक्रम के पहले दो पदों की गणना करते हैं।
$n = 1$ के लिए,$T_{1} = 3(1) - 1 = 3 - 1 = 2$.
$n = 2$ के लिए,$T_{2} = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$.
सार्व अंतर $d$ को $d = T_{2} - T_{1}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
मान रखने पर,$d = 5 - 2 = 3$.
अतः,$A.P.$ का सार्व अंतर $3$ है।

(D) $A.P.$ का $n^{th}$ पद $T_n = 6n - 5$ सूत्र द्वारा दिया गया है।
$10^{th}$ पद ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए व्यंजक में $n = 10$ प्रतिस्थापित करेंगे।
$T_{10} = 6(10) - 5$
$T_{10} = 60 - 5$
$T_{10} = 55$
अतः,$A.P.$ का $10^{th}$ पद $55$ है।

(D) दी गई $A.P.$ के लिए,प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अंतर $d = 3$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ होता है।
$15$ वां पद ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र में $n = 15$,$a = 5$ और $d = 3$ का मान रखते हैं:
$T_{15} = 5 + (15 - 1) \times 3$
$T_{15} = 5 + (14) \times 3$
$T_{15} = 5 + 42$
$T_{15} = 47$.
अतः,$A.P.$ का $15$ वां पद $47$ है।

(C) दी गई $A.P.$ के लिए,प्रथम पद $a = -4$ और सार्व अंतर $d = -5$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ होता है।
$12$ वाँ पद ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र में $n = 12$,$a = -4$ और $d = -5$ का मान रखते हैं:
$T_{12} = -4 + (12 - 1)(-5)$
$T_{12} = -4 + (11)(-5)$
$T_{12} = -4 - 55$
$T_{12} = -59$.

(A) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ संख्याओं की एक ऐसी सूची है जिसमें प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़ने पर प्राप्त होता है।
दी गई $A.P.$ में: $100, 98, 96, 94, \ldots$
समांतर श्रेणी के प्रथम पद को '$a$' द्वारा दर्शाया जाता है।
श्रेणी का अवलोकन करने पर,प्रथम पद $100$ है।
अतः,$a = 100$।

(C) $4$ के धनात्मक गुणज $4, 8, 12, 16, \dots$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाती है जहाँ प्रथम पद $a = 4$ है।
सार्व अंतर $d$ की गणना किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच के अंतर के रूप में की जाती है:
$d = a_2 - a_1 = 8 - 4 = 4$.
वैकल्पिक रूप से,$d = a_3 - a_2 = 12 - 8 = 4$.
अतः,सार्व अंतर $d$ का मान $4$ है।

(B) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ का व्यापक रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ होता है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है।
यहाँ,$a = -3$ और $d = 4$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
प्रथम पद = $-3$
दूसरा पद = $a + d = -3 + 4 = 1$
तीसरा पद = $a + 2d = -3 + 2(4) = -3 + 8 = 5$
चौथा पद = $a + 3d = -3 + 3(4) = -3 + 12 = 9$
अतः,अभीष्ट $A.P.$ $-3, 1, 5, 9, \ldots$ है।

(C) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ संख्याओं का एक ऐसा अनुक्रम है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान होता है। इस समान अंतर को सार्व अंतर $(d)$ कहा जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$) $2, 2, 2, 2, \ldots$: यहाँ,$d = 2 - 2 = 0$ है। चूँकि सार्व अंतर समान $(0)$ है,इसलिए यह एक $A.P.$ है।
$B$) $0, 1, 0, 1, \ldots$: यहाँ,$1 - 0 = 1$ और $0 - 1 = -1$ है। चूँकि $1 \neq -1$,इसलिए यह $A.P.$ नहीं है।
$C$) $-3, -2, -1, 0, \ldots$: यहाँ,$d = -2 - (-3) = 1$ और $-1 - (-2) = 1$ है। चूँकि सार्व अंतर समान $(1)$ है,इसलिए यह भी एक $A.P.$ है।
नोट: विकल्प $A$ और $C$ दोनों समांतर श्रेणी हैं,लेकिन सामान्यतः $C$ को अधिक उपयुक्त माना जाता है।

(B) $A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n-1)d$ है।
दिया गया है,$T_{20} = 40$ और $d = 2$.
मान रखने पर: $40 = a + (20-1)2$.
$40 = a + 19 \times 2$.
$40 = a + 38$.
$a = 40 - 38 = 2$.
अब,दूसरा पद $T_2 = a + d$.
$T_2 = 2 + 2 = 4$.
अतः,दूसरा पद $4$ है।

(D) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ होता है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है।
$18$ वाँ पद ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र में $n = 18$ प्रतिस्थापित करेंगे:
$T_{18} = a + (18 - 1)d$
$T_{18} = a + 17d$.

(B) दी गई समांतर श्रेणी $(A.P.)$ के लिए: $5, 10, 15, 20, \ldots$
प्रथम पद $(a)$ $5$ है।
सार्व अंतर $(d)$ की गणना $d = 10 - 5 = 5$ के रूप में की जाती है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ है।
सूत्र में $a$ और $d$ के मान रखने पर:
$T_n = 5 + (n - 1)5$
$T_n = 5 + 5n - 5$
$T_n = 5n$
अतः,$n$ वाँ पद $5n$ है।

(A) यहाँ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ $200, 196, 192, \ldots$ है।
यहाँ प्रथम पद $a = 200$ है।
सार्व अंतर $d = 196 - 200 = -4$ है।
हमें वह पद $n$ ज्ञात करना है जिसके लिए $n$ वां पद $T_n = 0$ हो।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर,$0 = 200 + (n - 1)(-4)$ प्राप्त होता है।
$200 = 4(n - 1)$.
$50 = n - 1$.
$n = 51$.
अतः,इस समांतर श्रेणी का $51$ वां पद $0$ है।

(C) यहाँ $A.P.$ $8, 11, 14, 17, \ldots$ दिया गया है।
प्रथम पद $a = 8$ है।
सार्व अंतर $d = 11 - 8 = 3$ है।
माना कि $n$ वाँ पद $T_n = 272$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर:
$272 = 8 + (n - 1)3$
$272 - 8 = (n - 1)3$
$264 = (n - 1)3$
$n - 1 = 264 / 3$
$n - 1 = 88$
$n = 89$.
अतः,$A.P.$ का $89$ वाँ पद $272$ है।

(D) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में,$n$ वां पद ज्ञात करने का सूत्र है: $T_{n} = a + (n - 1)d$,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है।
$m$ वें पद के लिए: $T_{m} = a + (m - 1)d$.
$n$ वें पद के लिए: $T_{n} = a + (n - 1)d$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$T_{m} - T_{n} = [a + (m - 1)d] - [a + (n - 1)d]$
$T_{m} - T_{n} = (m - 1 - n + 1)d$
$T_{m} - T_{n} = (m - n)d$
अतः,सार्व अंतर $d$ का मान है:
$d = \frac{T_{m} - T_{n}}{m - n}$.

(B) $A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n-1)d$ होता है।
दिया गया है कि $T_7 = 108$ और $T_{11} = 212$ है।
सार्व अंतर $d$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $d = \frac{T_{11} - T_7}{11 - 7} = \frac{212 - 108}{4} = \frac{104}{4} = 26$ है।
अब,सूत्र $T_n = T_7 + (n - 7)d$ का उपयोग करते हुए:
$T_n = 108 + (n - 7) \times 26$ है।
$T_n = 108 + 26n - 182$ है।
$T_n = 26n - 74$ है।

(D) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ संख्याओं की एक ऐसी सूची है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर होता है,जिसे सार्व अंतर $(d)$ कहा जाता है।
यदि किसी $A.P.$ का सार्व अंतर $d \neq 0$ है,तो श्रेणी का प्रत्येक पद भिन्न होता है।
यदि एक $A.P.$ के दो पद समान हों,मान लीजिए $n \neq m$ के लिए $a_n = a_m$,तो $a + (n-1)d = a + (m-1)d$ होगा।
इसे सरल करने पर $(n-1)d = (m-1)d$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $(n-m)d = 0$।
चूंकि $n \neq m$ है,इसलिए $d = 0$ होना चाहिए।
हालाँकि,प्रश्न में '$A.P.$ के भिन्न पदों' का उल्लेख है,जिसका अर्थ है कि पद एक-दूसरे से अलग होने चाहिए।
अतः,एक $A.P.$ के दो भिन्न पद कभी भी समान नहीं हो सकते।

(D) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ का व्यापक रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ होता है।
यहाँ,प्रथम पद $a = -3$ और सार्व अंतर $d = -2$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर:
प्रथम पद: $a = -3$
द्वितीय पद: $a + d = -3 + (-2) = -5$
तृतीय पद: $a + 2d = -3 + 2(-2) = -3 - 4 = -7$
चतुर्थ पद: $a + 3d = -3 + 3(-2) = -3 - 6 = -9$
अतः,समांतर श्रेणी $-3, -5, -7, -9, \ldots$ है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ संख्याओं की एक ऐसी सूची है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान होता है। इस स्थिर अंतर को सार्व अंतर $(d)$ कहा जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $A$: $3, 3, 3, 3, \ldots$. यहाँ,$d = 3 - 3 = 0$ है। चूँकि अंतर समान है,यह एक $A.P.$ है।
विकल्प $B$: $2, 22, 222, 2222, \ldots$. यहाँ,$22 - 2 = 20$ और $222 - 22 = 200$ है। चूँकि $20 \neq 200$,यह $A.P.$ नहीं है।
विकल्प $C$: $5, 15, 25, 35, \ldots$. यहाँ,$15 - 5 = 10$ और $25 - 15 = 10$ है। यह भी $d = 10$ के साथ एक $A.P.$ है।
विकल्प $D$: $4, -4, 4, -4, \ldots$. यहाँ,$-4 - 4 = -8$ और $4 - (-4) = 8$ है। चूँकि $-8 \neq 8$,यह $A.P.$ नहीं है।
नोट: गणितीय रूप से $A$ और $C$ दोनों समांतर श्रेणियाँ हैं,लेकिन मानक पाठ्यपुस्तकों में $C$ को अधिक उपयुक्त उदाहरण माना जाता है।

(D) दी गई $A.P.$ $2, 7, 12, 17, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 2$ है।
सार्व अंतर $d = 7 - 2 = 5$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर,हमें $T_n = 2 + (n - 1)5$ प्राप्त होता है।
$T_n = 2 + 5n - 5$.
$T_n = 5n - 3$.

(C) $A.P.$ का $n$ वां पद $T_{n} = a + (n-1)d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $T_{7} = 12$ और $T_{12} = 72$ दिया गया है।
सार्व अंतर $d$ की गणना करने के लिए सूत्र $d = \frac{T_{n} - T_{m}}{n - m}$ का उपयोग किया जा सकता है।
मान रखने पर: $d = \frac{T_{12} - T_{7}}{12 - 7}$.
$d = \frac{72 - 12}{5}$.
$d = \frac{60}{5} = 12$.
अतः,सार्व अंतर $d$ का मान $12$ है।

(B) $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = T_{1} + T_{2} + \ldots + T_{n-1} + T_{n}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इसी प्रकार,प्रथम $(n-1)$ पदों का योग $S_{n-1} = T_{1} + T_{2} + \ldots + T_{n-1}$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S_{n} - S_{n-1} = (T_{1} + T_{2} + \ldots + T_{n-1} + T_{n}) - (T_{1} + T_{2} + \ldots + T_{n-1})$
$S_{n} - S_{n-1} = T_{n}$.
अतः,$n > 1$ के लिए,$n$ वां पद $T_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।

(C) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का अनुक्रम $1, 2, 3, \dots, n$ है।
यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 1$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ है।
इस सूत्र में $a = 1$ और $d = 1$ का मान रखने पर:
$S_n = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)(1)]$
$S_n = \frac{n}{2}[2 + n - 1]$
$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.
अतः, प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ है।

(A) प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याएँ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती हैं: $1, 3, 5, 7, \dots, (2n-1)$।
यहाँ,प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 3 - 1 = 2$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ है।
सूत्र में $a = 1$ और $d = 2$ का मान रखने पर:
$S_n = \frac{n}{2} [2(1) + (n-1)2]$
$S_n = \frac{n}{2} [2 + 2n - 2]$
$S_n = \frac{n}{2} [2n]$
$S_n = n^2$।
अतः,प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग $n^2$ है।

(A) प्रथम $n$ सम प्राकृत संख्याएँ $2, 4, 6, \dots, 2n$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती हैं जहाँ प्रथम पद $a = 2$,सार्व अंतर $d = 2$ और पदों की संख्या $n$ है।
समांतर श्रेणी के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ है।
मान रखने पर: $S_n = \frac{n}{2}[2(2) + (n-1)2]$.
$S_n = \frac{n}{2}[4 + 2n - 2]$.
$S_n = \frac{n}{2}[2n + 2]$.
$S_n = \frac{n}{2} \times 2(n + 1)$.
$S_n = n(n + 1) = n^2 + n$.

(B) एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ के प्रथम $n$ पदों का योग,जिसका प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है,निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
$S_{n} = \frac{1}{2} n[2a + (n - 1)d]$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही सूत्र है।

(A) $n$ पदों वाली एक परिमित समांतर श्रेणी $(A.P.)$ के लिए,मान लीजिए $a$ प्रथम पद है और $l$ अंतिम पद (जिसे $a_{n}$ भी कहा जाता है) है।
समांतर श्रेणी के $n$ पदों के योग का सूत्र इस प्रकार है:
$S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$
चूँकि अंतिम पद $l = a + (n-1)d$ होता है,इसलिए हम इस मान को योग के सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$S_{n} = \frac{n}{2} [a + a + (n-1)d]$
$S_{n} = \frac{n}{2} [a + l]$
अतः,सही व्यंजक $\frac{1}{2} n(a+l)$ है।

(A) यहाँ $A.P.$ $5, 11, 17, 23, \ldots$ दिया गया है।
प्रथम पद $a = 5$ है।
सार्व अंतर $d = 11 - 5 = 6$ है।
पदों की संख्या $n = 20$ है।
$A.P.$ के प्रथम $n$ पदों के योगफल का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $S_{20} = \frac{20}{2} [2(5) + (20 - 1)6]$.
$S_{20} = 10 [10 + (19 \times 6)]$.
$S_{20} = 10 [10 + 114]$.
$S_{20} = 10 [124] = 1240$.

(C) दी गई $A.P.$ $-2, 1, 4, 7, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = -2$ है।
सार्व अंतर $d = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$ है।
$A.P.$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ है।
सूत्र में $a$ और $d$ के मान रखने पर:
$S_n = \frac{n}{2}[2(-2) + (n-1)3]$
$S_n = \frac{n}{2}[-4 + 3n - 3]$
$S_n = \frac{n(3n - 7)}{2}$.

(D) $6$ के प्रथम $30$ धनात्मक गुणज एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं,जिसमें प्रथम पद $a = 6$ और सार्व अंतर $d = 6$ है।
$30$ वाँ पद (अंतिम पद) $l = 6 \times 30 = 180$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ है।
यहाँ $n = 30$,$a = 6$ और $l = 180$ मान रखने पर:
$S_{30} = \frac{30}{2}(6 + 180)$
$S_{30} = 15 \times 186$
$S_{30} = 2790$.

(A) दी गई $A.P.$ $2, -2, -6, -10, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 2$ है।
सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = -2 - 2 = -4$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
$20$ वाँ पद ज्ञात करने के लिए $(n = 20)$:
$a_{20} = 2 + (20 - 1)(-4)$
$a_{20} = 2 + (19)(-4)$
$a_{20} = 2 - 76$
$a_{20} = -74$.
अतः,$20$ वाँ पद $-74$ है।

(C) दी गई समान्तर श्रेणी $-10, -12, -14, -16, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = -10$ और सार्व अंतर $d = -12 - (-10) = -12 + 10 = -2$ है।
पदों की संख्या $n = 15$ है।
समान्तर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों के योगफल का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $S_{15} = \frac{15}{2} [2(-10) + (15 - 1)(-2)]$.
$S_{15} = \frac{15}{2} [-20 + (14)(-2)]$.
$S_{15} = \frac{15}{2} [-20 - 28]$.
$S_{15} = \frac{15}{2} [-48]$.
$S_{15} = 15 \times (-24) = -360$.
अतः,प्रथम $15$ पदों का योगफल $-360$ है।

(A) यहाँ $A.P.$ $1, 1.5, 2, \ldots$ दिया गया है।
प्रथम पद $a = 1$ है।
सार्व अंतर $d = 1.5 - 1 = 0.5$ है।
पदों की संख्या $n = 16$ है।
$A.P.$ के प्रथम $n$ पदों के योगफल का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $S_{16} = \frac{16}{2}[2(1) + (16 - 1)0.5]$.
$S_{16} = 8[2 + 15 \times 0.5]$.
$S_{16} = 8[2 + 7.5]$.
$S_{16} = 8 \times 9.5 = 76$.

(B) दी गई श्रेणी $3+6+9+\ldots+300$ है।
हम श्रेणी से $3$ को उभयनिष्ठ (common) ले सकते हैं:
$3(1+2+3+\ldots+100)$।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने का सूत्र $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ है।
यहाँ,$n = 100$ है,इसलिए $1+2+3+\ldots+100$ श्रेणी का योग $\frac{100(100+1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050$ होगा।
इसे $3$ से गुणा करने पर,हमें $3 \times 5050 = 15,150$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई श्रेणी $7, 12, 17, \ldots, 102$ है।
यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 7$ और सार्व अंतर $d = 12 - 7 = 5$ है।
अंतिम पद $l = a_n = 102$ है।
$n$-वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $102 = 7 + (n - 1)5$.
$102 - 7 = (n - 1)5 \implies 95 = (n - 1)5$.
$n - 1 = 19 \implies n = 20$.
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ द्वारा दिया जाता है।
$S_{20} = \frac{20}{2}(7 + 102) = 10 \times 109 = 1090$.

(B) दिया गया है: प्रथम पद $a = 1$,सार्व अंतर $d = 2$,और पदों की संख्या $n = 10$ है।
$A.P.$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$S_{10} = \frac{10}{2} [2(1) + (10 - 1)2]$
$S_{10} = 5 [2 + (9 \times 2)]$
$S_{10} = 5 [2 + 18]$
$S_{10} = 5 \times 20 = 100$.
अतः,प्रथम $10$ पदों का योग $100$ है।

(D) यहाँ,प्रथम पद $a = 2$ और सार्व अंतर $d = 3$ दिया गया है।
$A.P.$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
सूत्र में $n = 30$,$a = 2$,और $d = 3$ का मान रखने पर:
$S_{30} = \frac{30}{2} [2(2) + (30 - 1)3]$
$S_{30} = 15 [4 + (29 \times 3)]$
$S_{30} = 15 [4 + 87]$
$S_{30} = 15 \times 91$
$S_{30} = 1365$.

(C) $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
यहाँ $S_{20} = 100$,$n = 20$ और $d = -2$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$100 = \frac{20}{2} [2a + (20 - 1)(-2)]$
$100 = 10 [2a + (19)(-2)]$
$100 = 10 [2a - 38]$
दोनों पक्षों को $10$ से विभाजित करने पर:
$10 = 2a - 38$
$2a = 10 + 38$
$2a = 48$
$a = 24$.

(D) $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ होता है।
यहाँ $S_{10} = 50$,$n = 10$,और $a = 0.5$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$50 = \frac{10}{2} [2(0.5) + (10 - 1)d]$
$50 = 5 [1 + 9d]$
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर:
$10 = 1 + 9d$
$9 = 9d$
$d = 1$.