Mix Examples - Arithmetic Progressions Questions in Hindi

(C) दिए गए $A.P.$ के लिए,प्रथम पद $a = 5$,सार्व अंतर $d = 13 - 5 = 8$ और $n = 20$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\therefore S_{20} = \frac{20}{2}[2(5) + (20 - 1)8]$
$\quad = 10[10 + 152]$
$\quad = 10[162] = 1620$.
अतः,$A.P.$ के प्रथम $20$ पदों का योग $1620$ है।
अब,मान लीजिए कि $n$ पदों का योग $S_n = 6440$ है।
$\therefore 6440 = \frac{n}{2}[2(5) + (n - 1)8]$
$\therefore 12880 = n[10 + 8n - 8]$
$\therefore 12880 = 8n^2 + 2n$
$\therefore 8n^2 + 2n - 12880 = 0$
$2$ से भाग देने पर,$4n^2 + n - 6440 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $4n^2 + 161n - 160n - 6440 = 0$
$\therefore n(4n + 161) - 40(4n + 161) = 0$
$\therefore (4n + 161)(n - 40) = 0$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 40$ (क्योंकि $n = -\frac{161}{4}$ संभव नहीं है)।
अतः,$A.P.$ के $40$ पदों का योग $6440$ है।

(10N-8) दिया गया है कि $n$ पदों का योग: $S_{n} = 5n^{2} - 3n$ है।
हम जानते हैं कि $n$ वां पद $T_{n}$ को $T_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ (जहाँ $n > 1$) द्वारा प्राप्त किया जाता है।
सबसे पहले,$S_{n-1}$ ज्ञात करें:
$S_{n-1} = 5(n-1)^{2} - 3(n-1)$
$S_{n-1} = 5(n^{2} - 2n + 1) - 3n + 3$
$S_{n-1} = 5n^{2} - 10n + 5 - 3n + 3$
$S_{n-1} = 5n^{2} - 13n + 8$.
अब,$T_{n}$ की गणना करें:
$T_{n} = (5n^{2} - 3n) - (5n^{2} - 13n + 8)$
$T_{n} = 5n^{2} - 3n - 5n^{2} + 13n - 8$
$T_{n} = 10n - 8$.
$n = 1$ के लिए,$T_{1} = S_{1} = 5(1)^{2} - 3(1) = 2$ है।
सूत्र $T_{n} = 10n - 8$ में $n = 1$ रखने पर,$T_{1} = 10(1) - 8 = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों मान समान हैं,इसलिए $n$ वां पद $T_{n} = 10n - 8$ है।

(A) $250$ और $1000$ के बीच स्थित $3$ के गुणज एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) बनाते हैं।
$250$ के बाद $3$ का पहला गुणज $252$ है और $1000$ से पहले $3$ का अंतिम गुणज $999$ है।
अतः,समांतर श्रेणी $252, 255, 258, ..., 999$ है।
इस समांतर श्रेणी के लिए,प्रथम पद $a = 252$,सार्व अंतर $d = 3$ और अंतिम पद $l = 999$ है।
$n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $a_n = a + (n - 1)d$.
$999 = 252 + (n - 1)3$
$999 - 252 = (n - 1)3$
$747 = (n - 1)3$
$n - 1 = 249$
$n = 250$.
अब,$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$S_{250} = \frac{250}{2}(252 + 999)$
$S_{250} = 125 \times 1251$
$S_{250} = 1,56,375$.
इस प्रकार,$250$ और $1000$ के बीच स्थित $3$ के गुणजों का योग $1,56,375$ है।

(A) माना $A.P.$ में तीन संख्याएँ $(a-d)$,$a$ और $(a+d)$ हैं।
प्रथम शर्त के अनुसार:
$(a-d) + a + (a+d) = 48$
$3a = 48$
$a = 16$
दूसरी शर्त के अनुसार:
$(a-d)^2 + a^2 + (a+d)^2 = 800$
$(a^2 - 2ad + d^2) + a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) = 800$
$3a^2 + 2d^2 = 800$
$a = 16$ रखने पर:
$3(16)^2 + 2d^2 = 800$
$3(256) + 2d^2 = 800$
$768 + 2d^2 = 800$
$2d^2 = 32$
$d^2 = 16$
$d = \pm 4$
स्थिति $1$: यदि $a = 16$ और $d = 4$ है,तो संख्याएँ $(16-4), 16, (16+4)$ अर्थात $12, 16, 20$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $a = 16$ और $d = -4$ है,तो संख्याएँ $(16-(-4)), 16, (16+(-4))$ अर्थात $20, 16, 12$ हैं।
अतः,अभीष्ट संख्याएँ $12, 16, 20$ या $20, 16, 12$ हैं।

(C) दी गई समांतर श्रेणी के लिए,प्रथम पद $a = 5$ है।
सार्व अंतर $d = 8 - 5 = 3$ और $n$ पदों का योग $S_n = 670$ है।
$n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $670 = \frac{n}{2} [2(5) + (n - 1)3]$.
$1340 = n [10 + 3n - 3]$.
$1340 = n [3n + 7]$.
$3n^2 + 7n - 1340 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3n^2 + 67n - 60n - 1340 = 0$.
$n(3n + 67) - 20(3n + 67) = 0$.
$(3n + 67)(n - 20) = 0$.
अतः,$n = -\frac{67}{3}$ या $n = 20$.
चूंकि पदों की संख्या $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए $(n \in N)$,इसलिए $n = 20$ ही एकमात्र मान्य हल है।

(A) दिया गया है कि $A.P.$ का $n$ वाँ पद $T_{n} = 4n + 7$ है।
प्रथम पद $a$ ज्ञात करने के लिए,$n = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a = T_{1} = 4(1) + 7 = 11$.
दूसरा पद ज्ञात करने के लिए,$n = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T_{2} = 4(2) + 7 = 15$.
सार्व अंतर $d = T_{2} - T_{1} = 15 - 11 = 4$ है।
$A.P.$ के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
$a = 11$ और $d = 4$ का मान रखने पर:
$S_{n} = \frac{n}{2}[2(11) + (n - 1)4]$
$S_{n} = \frac{n}{2}[22 + 4n - 4]$
$S_{n} = \frac{n}{2}[4n + 18]$
$S_{n} = n[2n + 9]$
$S_{n} = 2n^{2} + 9n$.
अतः,$n$ पदों का योग $2n^{2} + 9n$ है।

(A) माना $A.P.$ में चार संख्याएँ $(a-3d, a-d, a+d, a+3d)$ हैं।
पहली शर्त के अनुसार,संख्याओं का योग $36$ है:
$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 36$
$4a = 36$
$a = 9$
दूसरी शर्त के अनुसार,मध्य पदों का गुणनफल चरम पदों के गुणनफल से $32$ अधिक है:
$(a-d)(a+d) = (a-3d)(a+3d) + 32$
$a^2 - d^2 = a^2 - 9d^2 + 32$
$8d^2 = 32$
$d^2 = 4$
$d = \pm 2$
स्थिति $1$: यदि $a = 9$ और $d = 2$ है,तो संख्याएँ $(9-6, 9-2, 9+2, 9+6) = (3, 7, 11, 15)$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $a = 9$ और $d = -2$ है,तो संख्याएँ $(9+6, 9+2, 9-2, 9-6) = (15, 11, 7, 3)$ हैं।
अतः,अभीष्ट चार संख्याएँ $3, 7, 11, 15$ या $15, 11, 7, 3$ हैं।

(N/A) माना कि $A.P.$ में आवश्यक पाँच संख्याएँ $a-2d, a-d, a, a+d, a+2d$ हैं।
पहली शर्त के अनुसार,
$(a-2d) + (a-d) + a + (a+d) + (a+2d) = 30$
$5a = 30$
$a = 6$
दूसरी शर्त के अनुसार,
$(a-2d)^2 + (a-d)^2 + a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 = 220$
$(a^2 - 4ad + 4d^2) + (a^2 - 2ad + d^2) + a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) + (a^2 + 4ad + 4d^2) = 220$
$5a^2 + 10d^2 = 220$
$a^2 + 2d^2 = 44$
$a = 6$ रखने पर:
$6^2 + 2d^2 = 44$
$36 + 2d^2 = 44$
$2d^2 = 8$
$d^2 = 4$
$d = \pm 2$
यदि $a = 6$ और $d = 2$ है,तो संख्याएँ $6-4, 6-2, 6, 6+2, 6+4$ अर्थात $2, 4, 6, 8, 10$ हैं।
यदि $a = 6$ और $d = -2$ है,तो संख्याएँ $6+4, 6+2, 6, 6-2, 6-4$ अर्थात $10, 8, 6, 4, 2$ हैं।
अतः,आवश्यक पाँच संख्याएँ $2, 4, 6, 8, 10$ या $10, 8, 6, 4, 2$ हैं।

(C) दी गई $A.P.$ $15, 20, 25, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 15$ और सार्व अंतर $d = 20 - 15 = 5$ है।
पदों की संख्या $n = 30$ है।
$A.P.$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $S_{30} = \frac{30}{2} [2(15) + (30 - 1)5]$.
$S_{30} = 15 [30 + (29 \times 5)]$.
$S_{30} = 15 [30 + 145]$.
$S_{30} = 15 \times 175$.
$S_{30} = 2625$.

(D) दी गई समांतर श्रेणी $30, 26, 22, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 30$ और सार्व अंतर $d = 26 - 30 = -4$ है।
पदों की संख्या $n = 25$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $S_{25} = \frac{25}{2} [2(30) + (25 - 1)(-4)]$.
$S_{25} = \frac{25}{2} [60 + (24)(-4)]$.
$S_{25} = \frac{25}{2} [60 - 96]$.
$S_{25} = \frac{25}{2} [-36]$.
$S_{25} = 25 \times (-18) = -450$.
अतः,प्रथम $25$ पदों का योग $-450$ है।

(A) $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ होता है।
दिए गए मान $a = 11$,$d = 7$ और $n = 40$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$S_{40} = \frac{40}{2} [2(11) + (40 - 1)7]$
$S_{40} = 20 [22 + (39 \times 7)]$
$S_{40} = 20 [22 + 273]$
$S_{40} = 20 [295]$
$S_{40} = 5900$.
अतः,प्रथम $40$ पदों का योग $5900$ है।

(B) $6$ से विभाज्य दो अंकों की प्राकृतिक संख्याएँ $12, 18, 24, \dots, 96$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी बनाती है जहाँ प्रथम पद $a = 12$,सार्व अंतर $d = 6$ और अंतिम पद $l = 96$ है।
पदों की संख्या $n$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करते हैं।
$96 = 12 + (n - 1)6$
$84 = (n - 1)6$
$14 = n - 1$
$n = 15$.
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ द्वारा दिया जाता है।
$S_{15} = \frac{15}{2}(12 + 96)$
$S_{15} = \frac{15}{2}(108)$
$S_{15} = 15 \times 54 = 810$.

(C) दी गई $A.P.$ $8, 15, 22, \ldots$ है,जहाँ प्रथम पद $a = 8$ और सार्व अंतर $d = 15 - 8 = 7$ है।
माना पदों की संख्या $n$ है। $A.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $S_n = 1490$ दिया गया है,इसलिए $1490 = \frac{n}{2} [2(8) + (n - 1)7]$.
$2980 = n [16 + 7n - 7] = n [7n + 9]$.
$7n^2 + 9n - 2980 = 0$.
द्विघात सूत्र $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$n = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 4(7)(-2980)}}{14} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 83440}}{14} = \frac{-9 \pm \sqrt{83521}}{14}$.
चूँकि $\sqrt{83521} = 289$,इसलिए $n = \frac{-9 + 289}{14} = \frac{280}{14} = 20$.
अतः,$20$ पदों की आवश्यकता होगी।

(D) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है,जहाँ प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 7 - 3 = 4$ है।
अंतिम पद $l$ (या $a_n$) $119$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $119 = 3 + (n - 1)4$.
$116 = (n - 1)4$.
$n - 1 = 29$,अतः $n = 30$.
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ द्वारा प्राप्त होता है।
$S_{30} = \frac{30}{2}(3 + 119) = 15 \times 122 = 1830$.

(A) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$ वाँ पद $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है कि $a_5 = 20$,अतः $a + 4d = 20$ (समीकरण $1$)।
दिया है कि $a_{10} = 35$,अतः $a + 9d = 35$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(a + 9d) - (a + 4d) = 35 - 20$,जिससे $5d = 15$ प्राप्त होता है,अतः $d = 3$।
$d = 3$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $a + 4(3) = 20$,अतः $a + 12 = 20$,जिससे $a = 8$ प्राप्त होता है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$n = 20$ के लिए: $S_{20} = \frac{20}{2} [2(8) + (20-1)3]$.
$S_{20} = 10 [16 + 19 \times 3] = 10 [16 + 57] = 10 [73] = 730$.

(B) दी गई $A.P.$ $31, 36, 41, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 31$ और सार्व अंतर $d = 36 - 31 = 5$ है।
माना कि $n$ पदों का योग $S_n = 535$ है।
$A.P.$ के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $535 = \frac{n}{2} [2(31) + (n - 1)5]$.
$1070 = n [62 + 5n - 5]$.
$1070 = n [57 + 5n]$.
$5n^2 + 57n - 1070 = 0$.
द्विघात सूत्र $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$n = \frac{-57 \pm \sqrt{57^2 - 4(5)(-1070)}}{2(5)}$.
$n = \frac{-57 \pm \sqrt{3249 + 21400}}{10}$.
$n = \frac{-57 \pm \sqrt{24649}}{10}$.
$n = \frac{-57 \pm 157}{10}$.
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = \frac{100}{10} = 10$.
अतः,$10$ पदों का योग $535$ है।

(A) दी गई $A.P.$ $85, 78, 71, \ldots$ है,जहाँ प्रथम पद $a = 85$ और सार्व अंतर $d = 78 - 85 = -7$ है।
$n^{th}$ पद के पहला ऋणात्मक पद होने के लिए,हम $a_{n} < 0$ रखते हैं।
$n^{th}$ पद का सूत्र $a_{n} = a + (n - 1)d$ है।
अतः,$85 + (n - 1)(-7) < 0$.
$85 - 7n + 7 < 0$.
$92 - 7n < 0$.
$7n > 92$.
$n > 13.14$.
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए पहला ऋणात्मक पद $14^{th}$ पद $(n = 14)$ है।
$S_{14}$ ज्ञात करने के लिए,हम योग के सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ का उपयोग करते हैं।
$S_{14} = \frac{14}{2}[2(85) + (14 - 1)(-7)]$.
$S_{14} = 7[170 + 13(-7)]$.
$S_{14} = 7[170 - 91]$.
$S_{14} = 7[79] = 553$.

(D) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$वाँ पद $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $a_5 = 30$,अतः $a + 4d = 30$ (समीकरण $1$)।
दिया है $a_{12} = 65$,अतः $a + 11d = 65$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(a + 11d) - (a + 4d) = 65 - 30$.
$7d = 35$,जिससे $d = 5$ प्राप्त होता है।
$d = 5$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $a + 4(5) = 30 \implies a + 20 = 30 \implies a = 10$.
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ होता है।
$n = 30$ के लिए: $S_{30} = \frac{30}{2} [2(10) + (30-1)5]$.
$S_{30} = 15 [20 + 29 \times 5] = 15 [20 + 145] = 15 \times 165 = 2475$.

(A) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$ वाँ पद $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $a_{12} = -13$,इसलिए $a + 11d = -13$ --- (समीकरण $1$)।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ है।
दिया है $S_4 = 24$,इसलिए $\frac{4}{2}[2a + 3d] = 24$,जो सरल होकर $2(2a + 3d) = 24$ या $2a + 3d = 12$ हो जाता है --- (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ को $2$ से गुणा करने पर: $2a + 22d = -26$ --- (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर: $(2a + 22d) - (2a + 3d) = -26 - 12$,जिससे $19d = -38$ प्राप्त होता है,अतः $d = -2$।
$d = -2$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर: $2a + 3(-2) = 12$,इसलिए $2a - 6 = 12$,$2a = 18$,$a = 9$।
अब,प्रथम $10$ पदों का योग $S_{10} = \frac{10}{2}[2(9) + (10-1)(-2)]$ ज्ञात करते हैं।
$S_{10} = 5[18 + 9(-2)] = 5[18 - 18] = 5(0) = 0$।

(A) $A.P.$ का $n$ वां पद $n > 1$ के लिए सूत्र $T_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
यहाँ $S_{n} = 7n^{2} - 3n$ दिया गया है।
अतः $S_{n-1} = 7(n-1)^{2} - 3(n-1) = 7(n^{2} - 2n + 1) - 3n + 3 = 7n^{2} - 14n + 7 - 3n + 3 = 7n^{2} - 17n + 10$.
अब,$T_{n} = (7n^{2} - 3n) - (7n^{2} - 17n + 10) = 7n^{2} - 3n - 7n^{2} + 17n - 10 = 14n - 10$.
$n = 1$ के लिए,$T_{1} = S_{1} = 7(1)^{2} - 3(1) = 7 - 3 = 4$.
सूत्र $14n - 10$ में $n = 1$ रखने पर,हमें $14(1) - 10 = 4$ प्राप्त होता है,जो $T_{1}$ के बराबर है।
अतः,$n$ वां पद $T_{n} = 14n - 10$ है,जहाँ $n \geq 1$।

(N/A) $A.P.$ का $n$ वाँ पद $n > 1$ के लिए सूत्र $a_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया है $S_{n} = 3n^{2} + 5n$.
तब $S_{n-1} = 3(n-1)^{2} + 5(n-1) = 3(n^{2} - 2n + 1) + 5n - 5 = 3n^{2} - 6n + 3 + 5n - 5 = 3n^{2} - n - 2$.
अब,$a_{n} = (3n^{2} + 5n) - (3n^{2} - n - 2) = 3n^{2} + 5n - 3n^{2} + n + 2 = 6n + 2$.
$n = 1$ के लिए,$a_{1} = S_{1} = 3(1)^{2} + 5(1) = 8$.
अतः,$n$ वाँ पद $a_{n} = 6n + 2$ है,जहाँ $n \geq 1$।

(A) दिया गया है कि $A.P.$ का $n$ वां पद $T_{n} = 8n + 3$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $(S_{n})$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2} [a + l]$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $l$ $n$ वां पद है।
प्रथम पद $(a)$ = $T_{1} = 8(1) + 3 = 11$.
$n$ वां पद $(l)$ = $T_{n} = 8n + 3$.
इन मानों को योग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$S_{n} = \frac{n}{2} [11 + (8n + 3)]$
$S_{n} = \frac{n}{2} [8n + 14]$
$S_{n} = n [4n + 7]$
$S_{n} = 4n^{2} + 7n$.

(A) दिया गया है कि $A.P.$ का $n$ वाँ पद $T_{n} = 10 - 6n$ है।
प्रथम पद $a$ ज्ञात करने के लिए,$n = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a = T_{1} = 10 - 6(1) = 4$.
दूसरा पद $T_{2}$ ज्ञात करने के लिए,$n = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T_{2} = 10 - 6(2) = 10 - 12 = -2$.
सार्व अंतर $d = T_{2} - T_{1} = -2 - 4 = -6$.
$A.P.$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
$a$ और $d$ के मान रखने पर:
$S_{n} = \frac{n}{2} [2(4) + (n - 1)(-6)]$
$S_{n} = \frac{n}{2} [8 - 6n + 6]$
$S_{n} = \frac{n}{2} [14 - 6n]$
$S_{n} = n(7 - 3n) = 7n - 3n^{2}$.
अतः,$S_{n} = -3n^{2} + 7n$.

(B) माना कि $A.P.$ का प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$ वाँ पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$2^{nd}$ पद $a_2 = a + d = 2$ --- $(1)$.
$7^{th}$ पद $a_7 = a + 6d = 22$ --- $(2)$.
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(a + 6d) - (a + d) = 22 - 2$
$5d = 20$
$d = 4$.
समीकरण $(1)$ में $d = 4$ रखने पर:
$a + 4 = 2$
$a = -2$.
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 30$ के लिए:
$S_{30} = \frac{30}{2} [2(-2) + (30 - 1)4]$
$S_{30} = 15 [-4 + 29 \times 4]$
$S_{30} = 15 [-4 + 116]$
$S_{30} = 15 \times 112 = 1680$.
अतः,प्रथम $30$ पदों का योग $1680$ है।

(C) $A.P.$ का $n$ वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र $a_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ है।
दिया गया है कि $S_{n} = \frac{3n^{2}}{2} + \frac{5n}{2}$ है।
$25$ वाँ पद $(a_{25})$ ज्ञात करने के लिए,हम $a_{25} = S_{25} - S_{24}$ का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,$S_{25} = \frac{3(25)^{2}}{2} + \frac{5(25)}{2} = \frac{3(625) + 125}{2} = \frac{1875 + 125}{2} = \frac{2000}{2} = 1000$ प्राप्त करें।
इसके बाद,$S_{24} = \frac{3(24)^{2}}{2} + \frac{5(24)}{2} = \frac{3(576) + 120}{2} = \frac{1728 + 120}{2} = \frac{1848}{2} = 924$ प्राप्त करें।
अतः,$a_{25} = 1000 - 924 = 76$ होगा।

(N/A) मान लीजिए कि समांतर श्रेणी का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
इसी प्रकार,$S_{2n} = \frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d] = n[2a + (2n-1)d] = 2an + 2n^2d - nd$।
और $S_{3n} = \frac{3n}{2}[2a + (3n-1)d] = 3an + \frac{3n(3n-1)d}{2}$।
अब,व्यंजक $3(S_{2n} - S_n)$ पर विचार करें:
$S_{2n} - S_n = n[2a + (2n-1)d] - \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$= \frac{n}{2} [2(2a + 2nd - d) - (2a + nd - d)]$
$= \frac{n}{2} [4a + 4nd - 2d - 2a - nd + d]$
$= \frac{n}{2} [2a + 3nd - d] = \frac{n}{2} [2a + (3n-1)d]$।
इसे $3$ से गुणा करने पर,हमें $3(S_{2n} - S_n) = 3 \times \frac{n}{2} [2a + (3n-1)d] = \frac{3n}{2} [2a + (3n-1)d] = S_{3n}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S_{3n} = 3(S_{2n} - S_n)$ सिद्ध होता है।

(D) माना कि दो समांतर श्रेणियों के प्रथम पद क्रमशः $a_1$ और $a_2$ हैं और उनके सार्व अंतर $d_1$ और $d_2$ हैं।
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$\frac{S_{n1}}{S_{n2}} = \frac{\frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d_1]}{\frac{n}{2} [2a_2 + (n - 1)d_2]} = \frac{7n + 1}{4n + 27}$.
यह सरल होकर $\frac{2a_1 + (n - 1)d_1}{2a_2 + (n - 1)d_2} = \frac{7n + 1}{4n + 27}$ हो जाता है।
हमें $m$ वें पदों का अनुपात ज्ञात करना है: $\frac{a_m}{a'_m} = \frac{a_1 + (m - 1)d_1}{a_2 + (m - 1)d_2}$.
आवश्यक अनुपात के अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर: $\frac{2a_1 + 2(m - 1)d_1}{2a_2 + 2(m - 1)d_2}$.
दिए गए योग के अनुपात के साथ तुलना करने पर,हम $n - 1 = 2(m - 1)$ रखते हैं,जिससे $n = 2m - 1$ प्राप्त होता है।
$n = 2m - 1$ को $\frac{7n + 1}{4n + 27}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
अनुपात $= \frac{7(2m - 1) + 1}{4(2m - 1) + 27} = \frac{14m - 7 + 1}{8m - 4 + 27} = \frac{14m - 6}{8m + 23}$.
अतः,$m$ वें पदों का अनुपात $(14m - 6) : (8m + 23)$ है।

(A) माना कि चार पुरस्कार एक समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
प्रथम पुरस्कार $a$ है।
चूंकि प्रत्येक क्रमिक पुरस्कार में $Rs. 20$ की कमी होती है,इसलिए सार्व अंतर $d = -20$ है।
पुरस्कारों की संख्या $n = 4$ है।
पुरस्कारों का योग $S_n = 280$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $280 = \frac{4}{2} [2a + (4 - 1)(-20)]$.
$280 = 2 [2a + 3(-20)]$.
$140 = 2a - 60$.
$2a = 200$,इसलिए $a = 100$.
चार पुरस्कार $a, a+d, a+2d, a+3d$ हैं।
$a = 100$ और $d = -20$ रखने पर: $100, 100-20, 100-40, 100-60$.
अतः,पुरस्कार की राशियाँ $Rs. 100, Rs. 80, Rs. 60, Rs. 40$ हैं।

(C) दी गई समांतर श्रेणी $(A.P.)$ $50, 46, 42, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 50$ और सार्व अंतर $d = 46 - 50 = -4$ है।
पदों की संख्या $n = 20$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $S_{20} = \frac{20}{2} [2(50) + (20 - 1)(-4)]$.
$S_{20} = 10 [100 + 19(-4)]$.
$S_{20} = 10 [100 - 76]$.
$S_{20} = 10 [24] = 240$.
अतः,प्रथम $20$ पदों का योग $240$ है।

(D) दी गई $A.P.$ $3, \frac{9}{2}, 6, \frac{15}{2}, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 3$ है।
सार्व अंतर $d = \frac{9}{2} - 3 = \frac{9-6}{2} = \frac{3}{2}$ है।
पदों की संख्या $n = 25$ है।
$A.P.$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ है।
मान रखने पर: $S_{25} = \frac{25}{2} [2(3) + (25-1)(\frac{3}{2})]$.
$S_{25} = \frac{25}{2} [6 + 24(\frac{3}{2})]$.
$S_{25} = \frac{25}{2} [6 + 12(3)]$.
$S_{25} = \frac{25}{2} [6 + 36] = \frac{25}{2} [42]$.
$S_{25} = 25 \times 21 = 525$.

(A) दी गई $A.P.$ $5, 2, -1, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 5$ है।
सार्व अंतर $d = 2 - 5 = -3$ है।
$A.P.$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ होता है।
$a$ और $d$ के मान रखने पर:
$S_n = \frac{n}{2}[2(5) + (n - 1)(-3)]$
$S_n = \frac{n}{2}[10 - 3n + 3]$
$S_n = \frac{n}{2}[13 - 3n]$
$S_n = \frac{13n}{2} - \frac{3n^2}{2}$
अतः,$S_n = -\frac{3}{2}n^2 + \frac{13}{2}n$ प्राप्त होता है।

(N/A) दिया गया है कि $A.P.$ का $n$ वां पद $T_{n} = 5 - 6n$ है।
प्रथम पद $(a)$ ज्ञात करने के लिए,$n = 1$ प्रतिस्थापित करें:
$a = T_{1} = 5 - 6(1) = -1$.
दूसरा पद $(T_{2})$ ज्ञात करने के लिए,$n = 2$ प्रतिस्थापित करें:
$T_{2} = 5 - 6(2) = 5 - 12 = -7$.
सार्व अंतर $(d)$ $T_{2} - T_{1} = -7 - (-1) = -6$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $(S_{n})$ सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
$a = -1$ और $d = -6$ के मान रखने पर:
$S_{n} = \frac{n}{2} [2(-1) + (n - 1)(-6)]$
$S_{n} = \frac{n}{2} [-2 - 6n + 6]$
$S_{n} = \frac{n}{2} [4 - 6n]$
$S_{n} = n(2 - 3n) = -3n^{2} + 2n$.

(N/A) दिया गया है: प्रथम पद $a = 17$,अंतिम पद $l = a_n = 350$,और सार्व अंतर $d = 9$.
$n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $a_n = a + (n - 1)d$.
मान रखने पर: $350 = 17 + (n - 1)9$.
$350 - 17 = (n - 1)9$.
$333 = (n - 1)9$.
$n - 1 = 333 / 9 = 37$.
$n = 37 + 1 = 38$.
अब,$S_n = (n/2)(a + l)$ सूत्र का उपयोग करके योग $S_n$ ज्ञात करते हैं:
$S_{38} = (38 / 2)(17 + 350)$.
$S_{38} = 19 \times 367$.
$S_{38} = 6973$.
अतः,पदों की संख्या $38$ है और योग $6973$ है।

(D) दिया गया है: प्रथम पद $a = 2$,अंतिम पद $l = 50$,और योग $S_n = 442$.
$A.P.$ के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ है।
मान रखने पर: $442 = \frac{n}{2}(2 + 50)$.
$442 = \frac{n}{2}(52) \implies 442 = 26n$.
$n = \frac{442}{26} = 17$.
अब,$n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करें: $a_n = a + (n - 1)d$.
$50 = 2 + (17 - 1)d$.
$50 - 2 = 16d$.
$48 = 16d$.
$d = \frac{48}{16} = 3$.
अतः,सार्व अंतर $d = 3$ है।

(A) $84$ और $719$ के बीच $5$ के गुणज एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाते हैं।
$84$ के बाद $5$ का पहला गुणज $a = 85$ है।
$719$ से पहले $5$ का अंतिम गुणज $l = 715$ है।
सार्व अंतर $d = 5$ है।
$n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $a_n = a + (n - 1)d$.
$715 = 85 + (n - 1)5$.
$630 = (n - 1)5$.
$n - 1 = 126$.
$n = 127$.
समांतर श्रेणी का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ द्वारा दिया जाता है।
$S_{127} = \frac{127}{2}(85 + 715)$.
$S_{127} = \frac{127}{2}(800)$.
$S_{127} = 127 \times 400 = 50,800$.

(B) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$वाँ पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$5$वें पद के लिए: $a + 4d = 30$ --- $(1)$
$12$वें पद के लिए: $a + 11d = 100$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(a + 11d) - (a + 4d) = 100 - 30$
$7d = 70$
$d = 10$
समीकरण $(1)$ में $d = 10$ रखने पर:
$a + 4(10) = 30$
$a + 40 = 30$
$a = -10$
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ होता है।
$n = 20$ के लिए:
$S_{20} = \frac{20}{2} [2(-10) + (20 - 1)10]$
$S_{20} = 10 [-20 + 190]$
$S_{20} = 10 [170]$
$S_{20} = 1700$.

(C) दी गई श्रेणी $7, 10.5, 14, \ldots, 84$ है।
यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 7$ और सार्व अंतर $d = 10.5 - 7 = 3.5 = \frac{7}{2}$ है।
मान लीजिए पदों की संख्या $n$ है। $n$-वाँ पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $84 = 7 + (n - 1) \times \frac{7}{2}$.
$84 - 7 = (n - 1) \times \frac{7}{2} \implies 77 = (n - 1) \times \frac{7}{2}$.
$(n - 1) = 77 \times \frac{2}{7} = 11 \times 2 = 22$.
$n = 22 + 1 = 23$.
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} (a + a_n)$ होता है।
$S_{23} = \frac{23}{2} (7 + 84) = \frac{23}{2} \times 91 = \frac{2093}{2} = 1046.5 = 1046 \frac{1}{2}$.

(D) दिया गया है कि $A.P.$ का $n$ वां पद $T_n = 4n + 3$ है।
प्रथम पद $(a)$ ज्ञात करने के लिए: $n = 1$ रखने पर,$a = T_1 = 4(1) + 3 = 7$.
$60$ वां पद $(l)$ ज्ञात करने के लिए: $n = 60$ रखने पर,$l = T_{60} = 4(60) + 3 = 240 + 3 = 243$.
$A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$n = 60$ के लिए,$S_{60} = \frac{60}{2}(7 + 243)$.
$S_{60} = 30(250) = 7500$.
अतः,प्रथम $60$ पदों का योग $7500$ है।

(A) माना कि मूल संख्या के सैकड़े,दहाई और इकाई के स्थान पर अंक क्रमशः $a-d$,$a$ और $a+d$ हैं।
$\therefore$ मूल संख्या $= 100(a-d) + 10(a) + (a+d) = 111a - 99d$.
दिया गया है कि अंकों का योग $15$ है:
$(a-d) + a + (a+d) = 15$
$3a = 15$
$a = 5$.
जब अंकों को उलट दिया जाता है,तो नई संख्या होती है:
$100(a+d) + 10(a) + (a-d) = 111a + 99d$.
दिया गया है कि नई संख्या मूल संख्या से $594$ अधिक है:
$(111a + 99d) - (111a - 99d) = 594$
$198d = 594$
$d = 3$.
अतः,अंक इस प्रकार हैं:
सैकड़े का स्थान: $a-d = 5-3 = 2$
दहाई का स्थान: $a = 5$
इकाई का स्थान: $a+d = 5+3 = 8$
इस प्रकार,मूल संख्या $258$ है।

(B) माना कि अभीष्ट रोल नंबर $n$ है।
प्रश्न के अनुसार,$n$ से छोटे सभी रोल नंबरों का योग,$n$ से बड़े सभी रोल नंबरों के योग के बराबर है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $1 + 2 + 3 + \ldots + (n - 1) = (n + 1) + (n + 2) + \ldots + 49$.
हम जानते हैं कि प्रथम $k$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{k(k+1)}{2}$ होता है।
बाएँ पक्ष का योग: $\frac{(n-1)n}{2}$.
दाएँ पक्ष का योग: $\sum_{i=1}^{49} i - \sum_{i=1}^{n} i = \frac{49 \times 50}{2} - \frac{n(n+1)}{2}$.
दोनों को बराबर रखने पर: $\frac{n^2 - n}{2} = \frac{2450}{2} - \frac{n^2 + n}{2}$.
$n^2 - n = 2450 - n^2 - n$.
$2n^2 = 2450$.
$n^2 = 1225$.
$n = \sqrt{1225} = 35$.
अतः,अभीष्ट रोल नंबर $35$ है।

(C) माना कि दो समांतर श्रेणियों के प्रथम पद क्रमशः $a_1$ और $a_2$ हैं और उनके सार्व अंतर क्रमशः $d_1$ और $d_2$ हैं।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
योग का दिया गया अनुपात:
$\frac{S_{n,1}}{S_{n,2}} = \frac{\frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d_1]}{\frac{n}{2}[2a_2 + (n-1)d_2]} = \frac{4n+3}{5n-7}$
$\frac{2a_1 + (n-1)d_1}{2a_2 + (n-1)d_2} = \frac{4n+3}{5n-7}$
हमें $15$ वें पदों का अनुपात ज्ञात करना है,जो $\frac{a_1 + 14d_1}{a_2 + 14d_2}$ है।
व्यंजक में $14d$ प्राप्त करने के लिए,$\frac{n-1}{2} = 14$ रखें,जिससे $n-1 = 28$ या $n = 29$ प्राप्त होता है।
$n = 29$ रखने पर:
$\frac{2a_1 + 28d_1}{2a_2 + 28d_2} = \frac{4(29)+3}{5(29)-7}$
$\frac{2(a_1 + 14d_1)}{2(a_2 + 14d_2)} = \frac{116+3}{145-7}$
$\frac{a_1 + 14d_1}{a_2 + 14d_2} = \frac{119}{138}$
अतः,$15$ वें पदों का अनुपात $\frac{119}{138}$ है।

(D) चूंकि $2x$,$x+10$ और $3x+2$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ के तीन क्रमागत पद हैं,इसलिए क्रमागत पदों के बीच का सार्व अंतर समान होना चाहिए।
अतः,$(x+10) - 2x = (3x+2) - (x+10)$.
दोनों पक्षों को सरल करने पर:
$-x + 10 = 2x - 8$.
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$10 + 8 = 2x + x$.
$18 = 3x$.
$x = \frac{18}{3} = 6$.
अतः,$x$ का मान $6$ है।

(A) $A.P.$ $54, 51, 48, \dots$ के लिए,प्रथम पद $a = 54$,सार्व अंतर $d = 51 - 54 = -3$ और $n$ पदों का योग $S_{n} = 513$ है।
सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ का उपयोग करने पर:
$513 = \frac{n}{2}[2(54) + (n - 1)(-3)]$
$1026 = n[108 - 3n + 3]$
$1026 = n[111 - 3n]$
$1026 = 111n - 3n^{2}$
$3n^{2} - 111n + 1026 = 0$
$3$ से भाग देने पर:
$n^{2} - 37n + 342 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(n - 18)(n - 19) = 0$
अतः,$n = 18$ या $n = 19$ है।
दो उत्तर मिलने का कारण: इस $A.P.$ का $19$ वाँ पद $T_{19} = a + 18d = 54 + 18(-3) = 54 - 54 = 0$ है। चूँकि $19$ वाँ पद $0$ है,इसलिए पहले $18$ पदों के योग में $0$ जोड़ने पर योग में कोई परिवर्तन नहीं होता है। अतः,$S_{18}$ और $S_{19}$ दोनों का मान $513$ है।

(B) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$T_n = a + (n - 1)d$
दिया है $T_3 = 7$,अतः $a + 2d = 7$ --- $(1)$
दिया है $T_7 = 3(T_3) + 2$,अतः $a + 6d = 3(7) + 2 = 23$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(a + 6d) - (a + 2d) = 23 - 7$
$4d = 16$
$d = 4$
$d = 4$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a + 2(4) = 7$
$a + 8 = 7$
$a = -1$
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$n = 20$ के लिए:
$S_{20} = \frac{20}{2}[2(-1) + (20 - 1)4]$
$S_{20} = 10[-2 + 19(4)]$
$S_{20} = 10[-2 + 76]$
$S_{20} = 10[74] = 740$.
अतः,प्रथम $20$ पदों का योग $740$ है।

(N/A) चूंकि फैक्ट्री का उत्पादन हर साल समान रूप से बढ़ता है,इसलिए वार्षिक उत्पादन एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाता है।
इस $A.P.$ के लिए,$3^{rd}$ पद $T_{3} = 600$ और $7^{th}$ पद $T_{7} = 700$ है।
सार्व अंतर $d$ का सूत्र $d = \frac{T_{m} - T_{n}}{m - n}$ है।
$m = 7$ और $n = 3$ रखने पर:
$d = \frac{700 - 600}{7 - 3} = \frac{100}{4} = 25$.
$T_{n} = a + (n - 1)d$ सूत्र का उपयोग करके $T_{3}$ के लिए:
$600 = a + (3 - 1)(25) \implies 600 = a + 50 \implies a = 550$.
अतः,$1^{st}$ वर्ष में उत्पादन $550 \, TV$ है।
$10^{th}$ वर्ष के लिए:
$T_{10} = a + 9d = 550 + 9(25) = 550 + 225 = 775 \, TV$.
$7$ वर्षों में कुल उत्पादन $(S_{7})$ के लिए:
$S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$
$S_{7} = \frac{7}{2} [2(550) + (7 - 1)(25)] = \frac{7}{2} [1100 + 150] = \frac{7}{2} [1250] = 7 \times 625 = 4375 \, TV$.

(D) मासिक किस्तों में दी गई राशि एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) बनाती है।
प्रथम पद $a = 20$.
सार्व अंतर $d = 15$.
कुल ऋण $S_n = 3250$.
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $3250 = \frac{n}{2}[2(20) + (n-1)15]$.
$6500 = n[40 + 15n - 15]$.
$6500 = n[25 + 15n]$.
$15n^2 + 25n - 6500 = 0$.
$5$ से भाग देने पर: $3n^2 + 5n - 1300 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3n^2 + 65n - 60n - 1300 = 0$.
$n(3n + 65) - 20(3n + 65) = 0$.
$(n - 20)(3n + 65) = 0$.
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 20$.
अतः,ऋण चुकाने में $20$ महीने लगेंगे.

(B) $A.P.$ $40, 36, 32, \ldots$ के लिए,प्रथम पद $a = 40$ और सार्व अंतर $d = 36 - 40 = -4$ है।
कौन सा पद $0$ है,यह ज्ञात करने के लिए हम सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करते हैं।
$a_n = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $0 = 40 + (n - 1)(-4)$.
$4(n - 1) = 40 \implies n - 1 = 10 \implies n = 11$.
अतः,$11$ वां पद $0$ है।
कितने पदों का योग $0$ है,यह ज्ञात करने के लिए हम $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ का उपयोग करते हैं।
$S_n = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $0 = \frac{n}{2}[2(40) + (n - 1)(-4)]$.
$0 = 80 - 4n + 4 \implies 4n = 84 \implies n = 21$.
अतः,$21$ पदों का योग $0$ है।

(B) दी गई $A.P.$ $53, 48, 43, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 53$ और सार्व अंतर $d = 48 - 53 = -5$ है।
माना कि $n$ वाँ पद पहला ऋणात्मक पद है,इसलिए $a_n < 0$ है।
$n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $53 + (n - 1)(-5) < 0$.
$53 - 5n + 5 < 0$.
$58 - 5n < 0$.
$58 < 5n$.
$n > 11.6$.
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $11.6$ से बड़ा पहला पूर्णांक $n = 12$ है।
अब,$12$ वाँ पद ज्ञात करें: $a_{12} = 53 + (12 - 1)(-5) = 53 + 11(-5) = 53 - 55 = -2$.
अतः,$12$ वाँ पद पहला ऋणात्मक पद है,जो $-2$ है।

(C) दी गई $A.P.$ $\sqrt{2}, 3 \sqrt{2}, 5 \sqrt{2}, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = \sqrt{2}$ है।
सार्व अंतर $d = 3 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ होता है।
$10$ वें पद के लिए $(n = 10)$:
$a_{10} = \sqrt{2} + (10 - 1)(2 \sqrt{2})$
$a_{10} = \sqrt{2} + 9(2 \sqrt{2})$
$a_{10} = \sqrt{2} + 18 \sqrt{2}$
$a_{10} = 19 \sqrt{2}$.

(D) दी गई $A.P.$ $-40, -15, 10, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = -40$ है।
सार्व अंतर $d = -15 - (-40) = -15 + 40 = 25$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
$20$ वाँ पद $(n = 20)$ ज्ञात करने के लिए:
$a_{20} = -40 + (20 - 1) \times 25$
$a_{20} = -40 + 19 \times 25$
$a_{20} = -40 + 475$
$a_{20} = 435$.
अतः,$20$ वाँ पद $435$ है।