Textbook -Arithmetic Progressions Questions in Hindi

(N/A) दी गई समांतर श्रेणी $(AP)$ $\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, \ldots$ है।
प्रथम पद $a$ अनुक्रम की पहली संख्या है,इसलिए $a = \frac{3}{2}$।
सार्व अंतर $d$ किसी भी पद को उसके बाद वाले पद से घटाकर ज्ञात किया जाता है,अर्थात $d = a_2 - a_1$।
मान रखने पर,$d = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$।
अतः,प्रथम पद $a = \frac{3}{2}$ और सार्व अंतर $d = -1$ है।

(A) हमारे पास है:
$a_{2}-a_{1} = 10-4 = 6$
$a_{3}-a_{2} = 16-10 = 6$
$a_{4}-a_{3} = 22-16 = 6$
चूंकि अंतर $a_{k+1}-a_{k}$ प्रत्येक बार समान है,इसलिए दी गई संख्याओं की सूची एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती है जिसका सार्व अंतर $d = 6$ है।
अगले दो पद हैं:
$22 + 6 = 28$
$28 + 6 = 34$.

(A) यह जांचने के लिए कि क्या अनुक्रम $AP$ बनाता है,हम क्रमागत पदों के लिए सार्व अंतर $d = a_{k+1} - a_k$ की गणना करते हैं:
$a_2 - a_1 = -1 - 1 = -2$
$a_3 - a_2 = -3 - (-1) = -3 + 1 = -2$
$a_4 - a_3 = -5 - (-3) = -5 + 3 = -2$
चूंकि सार्व अंतर $d = -2$ समान है,इसलिए दी गई श्रृंखला $AP$ बनाती है।
अगले दो पद ज्ञात करने के लिए अंतिम पद में सार्व अंतर $d = -2$ जोड़ते हैं:
अगला पद $1 = -5 + (-2) = -7$
अगला पद $2 = -7 + (-2) = -9$
अतः,अगले दो पद $-7$ और $-9$ हैं।

(N/A) यह जाँचने के लिए कि क्या अनुक्रम $AP$ बनाता है,हम क्रमागत पदों के बीच का सार्व अंतर $d$ ज्ञात करते हैं।
सबसे पहले,दूसरे और पहले पद के बीच का अंतर ज्ञात करें:
$a_{2} - a_{1} = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$
इसके बाद,तीसरे और दूसरे पद के बीच का अंतर ज्ञात करें:
$a_{3} - a_{2} = -2 - 2 = -4$
चूँकि $a_{2} - a_{1} \neq a_{3} - a_{2}$ (अर्थात $4 \neq -4$),इसलिए सार्व अंतर समान नहीं है।
अतः,दी गई संख्याओं की सूची $AP$ नहीं बनाती है।

(NO) समांतर श्रेणी $(AP)$ संख्याओं की एक ऐसी सूची है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान होता है।
माना कि अनुक्रम $a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots = 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, \ldots$ है।
क्रमागत पदों के बीच का सार्व अंतर $d$ ज्ञात कीजिए:
$d_1 = a_2 - a_1 = 1 - 1 = 0$
$d_2 = a_3 - a_2 = 1 - 1 = 0$
$d_3 = a_4 - a_3 = 2 - 1 = 1$
चूंकि $d_1 = d_2 \neq d_3$,इसलिए क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है।
अतः,दी गई संख्या सूची एक समांतर श्रेणी $(AP)$ नहीं बनाती है।

(A) यह देखा जा सकता है कि:
पहले $1 \ km$ के लिए टैक्सी का किराया = $15$
पहले $2 \ km$ के लिए टैक्सी का किराया = $15 + 8 = 23$
पहले $3 \ km$ के लिए टैक्सी का किराया = $23 + 8 = 31$
पहले $4 \ km$ के लिए टैक्सी का किराया = $31 + 8 = 39$
स्पष्ट रूप से,अनुक्रम $15, 23, 31, 39, \dots$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाता है क्योंकि किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर है,अर्थात $d = 8$।

(B) मान लीजिए सिलेंडर में हवा का प्रारंभिक आयतन $V$ लीटर है।
प्रत्येक स्ट्रोक में,वैक्यूम पंप सिलेंडर में शेष हवा का $\frac{1}{4}$ भाग बाहर निकाल देता है।
इसका अर्थ है कि प्रत्येक स्ट्रोक के बाद,शेष हवा पिछली मात्रा का $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ भाग होती है।
इसलिए,प्रत्येक स्ट्रोक के बाद आयतन की श्रृंखला $V, \frac{3}{4}V, \left(\frac{3}{4}\right)^2 V, \left(\frac{3}{4}\right)^3 V, \dots$ होगी।
यह जांचने के लिए कि क्या यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर निकालते हैं:
$d_1 = \frac{3}{4}V - V = -\frac{1}{4}V$
$d_2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 V - \frac{3}{4}V = \frac{9}{16}V - \frac{12}{16}V = -\frac{3}{16}V$.
चूंकि $d_1 \neq d_2$,क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है।
अतः,संख्याओं की यह सूची एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ नहीं बनाती है।

(A) प्रथम मीटर खुदाई की लागत $= ₹ 150$।
प्रथम $2$ मीटर खुदाई की लागत $= 150 + 50 = ₹ 200$।
प्रथम $3$ मीटर खुदाई की लागत $= 200 + 50 = ₹ 250$।
प्रथम $4$ मीटर खुदाई की लागत $= 250 + 50 = ₹ 300$।
स्पष्ट रूप से, अनुक्रम $150, 200, 250, 300, \dots$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाता है क्योंकि किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर है, अर्थात $d = 50$।

(B) हम जानते हैं कि यदि मूलधन $P$ को $r \%$ वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर $n$ वर्षों के लिए जमा किया जाता है,तो $n$ वर्षों के बाद की राशि $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए प्रश्न के लिए,$P = 10000$ और $r = 8$ है।
प्रत्येक वर्ष के बाद खाते में राशि है:
वर्ष $1$: $10000(1 + \frac{8}{100})^1 = 10800$
वर्ष $2$: $10000(1 + \frac{8}{100})^2 = 11664$
वर्ष $3$: $10000(1 + \frac{8}{100})^3 = 12597.12$
राशियों की सूची $10800, 11664, 12597.12, \dots$ है।
यह जांचने के लिए कि क्या यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है,हम सार्व अंतर की गणना करते हैं:
$d_1 = 11664 - 10800 = 864$
$d_2 = 12597.12 - 11664 = 933.12$
चूंकि $d_1 \neq d_2$,क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है। इसलिए,यह संख्याओं की सूची एक समांतर श्रेणी नहीं बनाती है।

(A) दिया गया है: प्रथम पद $a = 10$ और सार्व अंतर $d = 10.$
$AP$ का व्यापक रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$ होता है।
प्रथम पद $a_1 = a = 10.$
द्वितीय पद $a_2 = a + d = 10 + 10 = 20.$
तृतीय पद $a_3 = a + 2d = 10 + 2(10) = 10 + 20 = 30.$
चतुर्थ पद $a_4 = a + 3d = 10 + 3(10) = 10 + 30 = 40.$
अतः,$AP$ के प्रथम चार पद $10, 20, 30,$ और $40$ हैं।

(A) दिया गया है: प्रथम पद $a = -2$ और सार्व अंतर $d = 0.$
$AP$ का व्यापक रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$ होता है।
प्रथम पद $a_1 = a = -2.$
द्वितीय पद $a_2 = a + d = -2 + 0 = -2.$
तृतीय पद $a_3 = a + 2d = -2 + 2(0) = -2.$
चतुर्थ पद $a_4 = a + 3d = -2 + 3(0) = -2.$
अतः,$AP$ के प्रथम चार पद $-2, -2, -2, -2$ हैं।

(A) दिया गया है: प्रथम पद $a = 4$ और सार्व अंतर $d = -3.$
$AP$ का व्यापक रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$ होता है।
प्रथम पद $a_1 = a = 4.$
द्वितीय पद $a_2 = a + d = 4 + (-3) = 4 - 3 = 1.$
तृतीय पद $a_3 = a + 2d = 4 + 2(-3) = 4 - 6 = -2.$
चतुर्थ पद $a_4 = a + 3d = 4 + 3(-3) = 4 - 9 = -5.$
अतः,$AP$ के प्रथम चार पद $4, 1, -2, -5$ हैं।

(A) दिया गया है: $a = -1$ और $d = \frac{1}{2}$.
$AP$ का व्यापक रूप $a_1, a_2, a_3, a_4, \dots$ है,जहाँ $a_n = a + (n-1)d$ होता है।
$a_1 = a = -1$
$a_2 = a + d = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$
$a_3 = a + 2d = -1 + 2(\frac{1}{2}) = -1 + 1 = 0$
$a_4 = a + 3d = -1 + 3(\frac{1}{2}) = -1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$
अतः,$AP$ के प्रथम चार पद $-1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}$ हैं।

(A) दिया गया है: प्रथम पद $a = -1.25$ और सार्व अंतर $d = -0.25.$
समांतर श्रेणी $(AP)$ के पद $a_n = a + (n-1)d$ सूत्र द्वारा प्राप्त किए जाते हैं।
प्रथम पद: $a_1 = a = -1.25$
द्वितीय पद: $a_2 = a + d = -1.25 + (-0.25) = -1.50$
तृतीय पद: $a_3 = a + 2d = -1.25 + 2(-0.25) = -1.25 - 0.50 = -1.75$
चतुर्थ पद: $a_4 = a + 3d = -1.25 + 3(-0.25) = -1.25 - 0.75 = -2.00$
अतः,समांतर श्रेणी के प्रथम चार पद $-1.25, -1.50, -1.75$ और $-2.00$ हैं।

(C) दी गई समांतर श्रेणी $3, 1, -1, -3, \ldots$ है।
प्रथम पद $(a)$ अनुक्रम की पहली संख्या है,इसलिए $a = 3$ है।
सार्व अंतर $(d)$ दूसरे पद में से पहले पद को घटाकर प्राप्त किया जाता है:
$d = a_2 - a_1$
$d = 1 - 3$
$d = -2$
अतः,प्रथम पद $3$ है और सार्व अंतर $-2$ है।

(A) दी गई समांतर श्रेणी $-5, -1, 3, 7, \ldots$ है।
प्रथम पद $(a)$ अनुक्रम की पहली संख्या है,इसलिए $a = -5$ है।
सार्व अंतर $(d)$ दूसरे पद में से पहले पद को घटाकर प्राप्त किया जाता है:
$d = a_2 - a_1$
$d = (-1) - (-5)$
$d = -1 + 5$
$d = 4$.
अतः,प्रथम पद $-5$ है और सार्व अंतर $4$ है।

(N/A) दी गई समांतर श्रेणी $\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots$ है।
प्रथम पद $(a)$ अनुक्रम की पहली संख्या है,इसलिए $a = \frac{1}{3}$ है।
सार्व अंतर $(d)$ की गणना दूसरे पद में से पहले पद को घटाकर की जाती है:
$d = \frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$।
अतः,प्रथम पद $\frac{1}{3}$ है और सार्व अंतर $\frac{4}{3}$ है।

(A) दी गई समांतर श्रेणी $0.6, 1.7, 2.8, 3.9, \ldots$ है।
प्रथम पद $(a)$ अनुक्रम की पहली संख्या है,इसलिए $a = 0.6$ है।
सार्व अंतर $(d)$ दूसरे पद में से पहले पद को घटाकर प्राप्त किया जाता है:
$d = a_2 - a_1$
$d = 1.7 - 0.6$
$d = 1.1$
अतः,प्रथम पद $0.6$ है और सार्व अंतर $1.1$ है।

(N/A) दी गई श्रेणी: $2, 4, 8, 16, \ldots$
यह जाँचने के लिए कि क्या यह श्रेणी एक $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_2 - a_1 = 4 - 2 = 2$
$a_3 - a_2 = 8 - 4 = 4$
$a_4 - a_3 = 16 - 8 = 8$
चूँकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर $(a_{k+1} - a_k)$ समान नहीं है,इसलिए दी गई श्रेणी एक $AP$ नहीं बनाती है।

(A) दी गई अनुक्रम: $2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, \ldots$
यह जांचने के लिए कि क्या यह एक $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_{2} - a_{1} = \frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{2}$
$a_{3} - a_{2} = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$
$a_{4} - a_{3} = \frac{7}{2} - 3 = \frac{1}{2}$
चूंकि अंतर $a_{k+1} - a_{k}$ समान है,इसलिए यह अनुक्रम एक $AP$ है जिसका सार्व अंतर $d = \frac{1}{2}$ है।
अगले तीन पद इस प्रकार हैं:
$a_{5} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = 4$
$a_{6} = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$
$a_{7} = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = 5$

(D) दी गई अनुक्रम: $-10, -6, -2, 2, \ldots$
यह जाँचने के लिए कि क्या यह $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_{2} - a_{1} = (-6) - (-10) = -6 + 10 = 4$
$a_{3} - a_{2} = (-2) - (-6) = -2 + 6 = 4$
$a_{4} - a_{3} = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$
चूँकि अंतर $a_{k+1} - a_{k}$ समान $(d = 4)$ है,इसलिए यह अनुक्रम $AP$ बनाता है।
अगले तीन पद हैं:
$a_{5} = a_{4} + d = 2 + 4 = 6$
$a_{6} = a_{5} + d = 6 + 4 = 10$
$a_{7} = a_{6} + d = 10 + 4 = 14$
अतः,सार्व अंतर $d = 4$ है और अगले तीन पद $6, 10, 14$ हैं।

(A) दी गई अनुक्रम $3, 3+\sqrt{2}, 3+2\sqrt{2}, 3+3\sqrt{2}, \ldots$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या अनुक्रम $AP$ में है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_2 - a_1 = (3 + \sqrt{2}) - 3 = \sqrt{2}$
$a_3 - a_2 = (3 + 2\sqrt{2}) - (3 + \sqrt{2}) = \sqrt{2}$
$a_4 - a_3 = (3 + 3\sqrt{2}) - (3 + 2\sqrt{2}) = \sqrt{2}$
चूँकि अंतर $a_{k+1} - a_k$ समान है,इसलिए यह अनुक्रम एक $AP$ है जिसका सार्व अंतर $d = \sqrt{2}$ है।
अगले तीन पद इस प्रकार हैं:
$a_5 = a_4 + d = (3 + 3\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3 + 4\sqrt{2}$
$a_6 = a_5 + d = (3 + 4\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3 + 5\sqrt{2}$
$a_7 = a_6 + d = (3 + 5\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3 + 6\sqrt{2}$

(B) दी गई श्रेणी: $0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, \ldots$
यह जाँचने के लिए कि क्या श्रेणी $AP$ में है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर निकालते हैं:
$a_{2} - a_{1} = 0.22 - 0.2 = 0.02$
$a_{3} - a_{2} = 0.222 - 0.22 = 0.002$
$a_{4} - a_{3} = 0.2222 - 0.222 = 0.0002$
चूँकि अंतर $a_{k+1} - a_{k}$ समान नहीं है,इसलिए दी गई श्रेणी $AP$ में नहीं है।

(A) दी गई अनुक्रम: $0, -4, -8, -12, \ldots$
यह जांचने के लिए कि क्या अनुक्रम एक $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_{2} - a_{1} = (-4) - 0 = -4$
$a_{3} - a_{2} = (-8) - (-4) = -4$
$a_{4} - a_{3} = (-12) - (-8) = -4$
चूंकि अंतर $a_{k+1} - a_{k}$ समान है,इसलिए यह अनुक्रम एक $AP$ है जिसका सार्व अंतर $d = -4$ है।
अगले तीन पद इस प्रकार हैं:
$a_{5} = a_{4} + d = -12 + (-4) = -16$
$a_{6} = a_{5} + d = -16 + (-4) = -20$
$a_{7} = a_{6} + d = -20 + (-4) = -24$
अतः,सार्व अंतर $-4$ है और अगले तीन पद $-16, -20, -24$ हैं।

(A) दी गई श्रेणी: $-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \ldots$
यह जाँचने के लिए कि क्या यह $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_2 - a_1 = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2}) = 0$
$a_3 - a_2 = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2}) = 0$
$a_4 - a_3 = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2}) = 0$
चूँकि अंतर $a_{k+1} - a_k$ प्रत्येक बार समान $(0)$ रहता है,इसलिए यह श्रेणी एक $AP$ है और सार्व अंतर $d = 0$ है।
अगले तीन पद हैं:
$a_5 = a_4 + d = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2}$
$a_6 = a_5 + d = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2}$
$a_7 = a_6 + d = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2}$

(NONE) दी गई श्रेणी: $1, 3, 9, 27, \ldots$
यह जाँचने के लिए कि क्या श्रेणी $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_{2} - a_{1} = 3 - 1 = 2$
$a_{3} - a_{2} = 9 - 3 = 6$
$a_{4} - a_{3} = 27 - 9 = 18$
चूँकि सार्व अंतर $(a_{k+1} - a_{k})$ समान नहीं है (अर्थात,$2 \neq 6 \neq 18$),इसलिए दी गई श्रेणी $AP$ में नहीं है।

(A) दी गई अनुक्रम $a, 2a, 3a, 4a, \dots$ है।
यह जांचने के लिए कि क्या यह एक $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_2 - a_1 = 2a - a = a$
$a_3 - a_2 = 3a - 2a = a$
$a_4 - a_3 = 4a - 3a = a$
चूंकि अंतर $a_{k+1} - a_k$ समान $(d = a)$ है,इसलिए यह अनुक्रम एक $AP$ बनाता है।
अगले तीन पद इस प्रकार हैं:
$a_5 = 4a + a = 5a$
$a_6 = 5a + a = 6a$
$a_7 = 6a + a = 7a$

(NONE) दी गई अनुक्रम $a, a^{2}, a^{3}, a^{4}, \ldots$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या अनुक्रम $AP$ में है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_{2} - a_{1} = a^{2} - a = a(a - 1)$
$a_{3} - a_{2} = a^{3} - a^{2} = a^{2}(a - 1)$
$a_{4} - a_{3} = a^{4} - a^{3} = a^{3}(a - 1)$
चूँकि अंतर $a_{k+1} - a_{k}$ समान नहीं है (अर्थात,$a(a-1) \neq a^{2}(a-1)$ जब $a \neq 0, 1$),इसलिए दी गई अनुक्रम $AP$ में नहीं है।

(A) दी गई अनुक्रम $\sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{18}, \sqrt{32}, \ldots$ है।
हम पदों को इस प्रकार सरल कर सकते हैं:
$a_1 = \sqrt{2} = 1\sqrt{2}$
$a_2 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$a_3 = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$a_4 = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
यह जांचने के लिए कि क्या यह $AP$ है,हम सार्व अंतर $d = a_{k+1} - a_k$ ज्ञात करते हैं:
$a_2 - a_1 = 2\sqrt{2} - 1\sqrt{2} = \sqrt{2}$
$a_3 - a_2 = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$
$a_4 - a_3 = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = \sqrt{2}$
चूंकि अंतर $d = \sqrt{2}$ स्थिर है,इसलिए यह अनुक्रम $AP$ में है।
अगले तीन पद इस प्रकार हैं:
$a_5 = a_4 + d = 4\sqrt{2} + \sqrt{2} = 5\sqrt{2} = \sqrt{50}$
$a_6 = a_5 + d = 5\sqrt{2} + \sqrt{2} = 6\sqrt{2} = \sqrt{72}$
$a_7 = a_6 + d = 6\sqrt{2} + \sqrt{2} = 7\sqrt{2} = \sqrt{98}$

(N/A) दी गई अनुक्रम $\sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{9}, \sqrt{12}, \ldots$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या अनुक्रम एक $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर निकालते हैं:
$a_{2} - a_{1} = \sqrt{6} - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)$
$a_{3} - a_{2} = \sqrt{9} - \sqrt{6} = 3 - \sqrt{6} = \sqrt{3}(\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$a_{4} - a_{3} = \sqrt{12} - \sqrt{9} = 2\sqrt{3} - 3 = \sqrt{3}(2 - \sqrt{3})$
चूँकि अंतर $a_{k+1} - a_{k}$ प्रत्येक स्थिति में समान नहीं है,इसलिए दी गई संख्याएँ $AP$ में नहीं हैं।

(N/A) दी गई अनुक्रम $1^{2}, 3^{2}, 5^{2}, 7^{2}, \ldots$ है।
इसे $1, 9, 25, 49, \ldots$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह जांचने के लिए कि क्या अनुक्रम एक $AP$ बनाता है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_{2} - a_{1} = 9 - 1 = 8$
$a_{3} - a_{2} = 25 - 9 = 16$
$a_{4} - a_{3} = 49 - 25 = 24$
चूंकि अंतर $a_{k+1} - a_{k}$ समान नहीं है (अर्थात,$8 \neq 16 \neq 24$),इसलिए दी गई अनुक्रम $AP$ में नहीं है।

(A) दी गई अनुक्रम $1^{2}, 5^{2}, 7^{2}, 73, \ldots$ है।
मानों की गणना करने पर,हमें $1, 25, 49, 73, \ldots$ प्राप्त होता है।
यह जाँचने के लिए कि क्या यह एक $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_{2} - a_{1} = 25 - 1 = 24$
$a_{3} - a_{2} = 49 - 25 = 24$
$a_{4} - a_{3} = 73 - 49 = 24$
चूँकि अंतर $a_{k+1} - a_{k}$ समान $(d = 24)$ है,इसलिए दी गई अनुक्रम एक $AP$ बनाती है।
सार्व अंतर $d = 24$ है।
अगले तीन पद इस प्रकार हैं:
$a_{5} = 73 + 24 = 97$
$a_{6} = 97 + 24 = 121$
$a_{7} = 121 + 24 = 145$

(A) दी गई समांतर श्रेणी $(AP)$ $2, 7, 12, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 2$ है।
सार्व अंतर $d = 7 - 2 = 5$ है।
हमें $10$ वाँ पद ज्ञात करना है,इसलिए $n = 10$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर,$a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 5$ प्राप्त होता है।
$a_{10} = 2 + 9 \times 5$.
$a_{10} = 2 + 45 = 47$.
अतः,दी गई $AP$ का $10$ वाँ पद $47$ है।

(N/A) दी गई $AP$ के लिए,प्रथम पद $a = 21$ और सार्व अंतर $d = 18 - 21 = -3$ है।
$n$-वें पद का सूत्र है: $a_n = a + (n - 1)d$.
यह ज्ञात करने के लिए कि कौन सा पद $-81$ है,हम $a_n = -81$ रखते हैं:
$-81 = 21 + (n - 1)(-3)$
$-81 = 21 - 3n + 3$
$-81 = 24 - 3n$
$3n = 24 + 81$
$3n = 105$
$n = 35$.
अतः,$AP$ का $35$वाँ पद $-81$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या कोई पद $0$ है,हम $a_n = 0$ रखते हैं:
$0 = 21 + (n - 1)(-3)$
$0 = 21 - 3n + 3$
$3n = 24$
$n = 8$.
चूँकि $n = 8$ एक धनात्मक पूर्णांक है,इसलिए $AP$ का $8$वाँ पद $0$ है।

(A) $AP$ का सामान्य पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $3^{rd}$ पद $5$ है,इसलिए:
$a_3 = a + 2d = 5$ $...(1)$
दिया गया है कि $7^{th}$ पद $9$ है,इसलिए:
$a_7 = a + 6d = 9$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(a + 6d) - (a + 2d) = 9 - 5$
$4d = 4$
$d = 1$
$d = 1$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a + 2(1) = 5$
$a = 3$
$AP$ को $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$ द्वारा दर्शाया जाता है।
मान रखने पर,हमें $3, 3+1, 3+2, 3+3, \dots$ प्राप्त होता है,जो कि $3, 4, 5, 6, \dots$ है।

(B) हमारे पास अनुक्रम $5, 11, 17, 23, \ldots$ है।
सबसे पहले,हम जाँचते हैं कि क्या यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है:
$a_{2}-a_{1} = 11-5 = 6$
$a_{3}-a_{2} = 17-11 = 6$
$a_{4}-a_{3} = 23-17 = 6$
चूँकि सार्व अंतर $d = 6$ समान है,इसलिए यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है,जिसका प्रथम पद $a = 5$ है।
मान लीजिए कि $301$ इस $AP$ का $n$वाँ पद है। $n$वें पद का सूत्र है:
$a_{n} = a + (n-1)d$
मान रखने पर:
$301 = 5 + (n-1)6$
$301 = 5 + 6n - 6$
$301 = 6n - 1$
$302 = 6n$
$n = \frac{302}{6} = \frac{151}{3} = 50.33$
चूँकि $AP$ में किसी भी पद के लिए $n$ का मान एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,और $50.33$ एक पूर्णांक नहीं है,इसलिए $301$ दी गई संख्याओं की सूची का कोई पद नहीं है।

(A) $3$ से विभाज्य दो अंकों की संख्याओं की सूची $12, 15, 18, \ldots, 99$ है।
यह अनुक्रम एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाता है जहाँ प्रथम पद $a = 12$,सार्व अंतर $d = 3$ और अंतिम पद $a_n = 99$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $99 = 12 + (n - 1) \times 3$.
दोनों पक्षों से $12$ घटाने पर: $87 = (n - 1) \times 3$.
$3$ से भाग देने पर: $n - 1 = 29$.
अतः,$n = 29 + 1 = 30$.
इस प्रकार,$3$ से विभाज्य दो अंकों की कुल $30$ संख्याएँ हैं।

(B) दी गई $AP$ है: $10, 7, 4, \ldots, -62$।
यहाँ,प्रथम पद $a = 10$,सार्व अंतर $d = 7 - 10 = -3$ और अंतिम पद $l = -62$ है।
अंतिम पद से $n$ वाँ पद ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: अंतिम पद से $n$ वाँ पद $= l - (n - 1)d$।
यहाँ,$n = 11$,$l = -62$,और $d = -3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
अंतिम पद से $11$ वाँ पद $= -62 - (11 - 1)(-3)$
$= -62 - (10)(-3)$
$= -62 + 30$
$= -32$।
अतः,अंतिम पद से $11$ वाँ पद $-32$ है।

(C) साधारण ब्याज की गणना का सूत्र $\text{साधारण ब्याज} = \frac{P \times R \times T}{100}$ है।
$1$ले वर्ष के अंत में ब्याज $= \frac{1000 \times 8 \times 1}{100} = ₹ 80$.
$2$रे वर्ष के अंत में ब्याज $= \frac{1000 \times 8 \times 2}{100} = ₹ 160$.
$3$रे वर्ष के अंत में ब्याज $= \frac{1000 \times 8 \times 3}{100} = ₹ 240$.
ब्याज का अनुक्रम $80, 160, 240, \dots$ है।
चूंकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान $(d = 80)$ है,इसलिए यह अनुक्रम एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाता है,जिसका प्रथम पद $a = 80$ और सार्व अंतर $d = 80$ है।
$30$ वर्षों के अंत में ब्याज ज्ञात करने के लिए,हम $30$वाँ पद $(a_{30})$ ज्ञात करेंगे:
$a_{30} = a + (30 - 1)d = 80 + 29 \times 80 = 80 + 2320 = 2400$.
अतः,$30$ वर्षों के अंत में ब्याज ₹ $2400$ होगा।

(D) फूलों की क्यारी में $1^{st}, 2^{nd}, 3^{rd}, \dots$ पंक्तियों में गुलाब के पौधों की संख्या $23, 21, 19, \dots, 5$ है।
यह अनुक्रम एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाता है क्योंकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 23$ और सार्व अंतर $d = 21 - 23 = -2$ है।
अंतिम पद ($n^{th}$ पद) $a_n = 5$ है।
समांतर श्रेणी के $n^{th}$ पद के सूत्र का उपयोग करने पर: $a_n = a + (n - 1)d$.
मान रखने पर: $5 = 23 + (n - 1)(-2)$.
दोनों पक्षों से $23$ घटाने पर: $5 - 23 = (n - 1)(-2) \implies -18 = (n - 1)(-2)$.
$-2$ से भाग देने पर: $9 = n - 1$.
अतः,$n = 10$.
इस प्रकार,फूलों की क्यारी में कुल $10$ पंक्तियाँ हैं।

(N/A) समांतर श्रेणी $(AP)$ के $n$ वें पद का सूत्र: $a_{n} = a + (n - 1)d$ है।
$(i)$ दिया है: $a = 7, d = 3, n = 8$.
$a_{8} = 7 + (8 - 1)3 = 7 + (7)(3) = 7 + 21 = 28$.
$(ii)$ दिया है: $a = -18, n = 10, a_{n} = 0$.
$0 = -18 + (10 - 1)d \rightarrow 18 = 9d \rightarrow d = 2$.
$(iii)$ दिया है: $d = -3, n = 18, a_{n} = -5$.
$-5 = a + (18 - 1)(-3) \rightarrow -5 = a + (17)(-3) \rightarrow -5 = a - 51 \rightarrow a = 46$.
$(iv)$ दिया है: $a = -18.9, d = 2.5, a_{n} = 3.6$.
$3.6 = -18.9 + (n - 1)2.5 \rightarrow 3.6 + 18.9 = (n - 1)2.5 \rightarrow 22.5 = (n - 1)2.5 \rightarrow n - 1 = 9 \rightarrow n = 10$.
$(v)$ दिया है: $a = 3.5, d = 0, n = 105$.
$a_{105} = 3.5 + (105 - 1)0 = 3.5 + 0 = 3.5$.

(B) दिया गया $A.P.$ (समांतर श्रेणी) $10, 7, 4, \ldots$ है।
प्रथम पद,$a = 10$ है।
सार्व अंतर,$d = a_2 - a_1 = 7 - 10 = -3$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ होता है।
$30$ वाँ पद ज्ञात करने के लिए $(n = 30)$:
$a_{30} = 10 + (30 - 1)(-3)$
$a_{30} = 10 + (29)(-3)$
$a_{30} = 10 - 87$
$a_{30} = -77$
अतः,सही उत्तर $B$ है।

(C) दिया गया $AP: -3, -\frac{1}{2}, 2, \ldots$
प्रथम पद $a = -3$ है।
सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = -\frac{1}{2} - (-3) = -\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2}$ है।
$AP$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ होता है।
$11$ वाँ पद ज्ञात करने के लिए $(n = 11)$:
$a_{11} = -3 + (11 - 1) \left( \frac{5}{2} \right)$
$a_{11} = -3 + 10 \left( \frac{5}{2} \right)$
$a_{11} = -3 + 25$
$a_{11} = 22$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दी गई $A.P.$ श्रेणी $2, \square, 26$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 2$ और तीसरा पद $a_3 = 26$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ होता है।
तीसरे पद के लिए $(n = 3)$:
$a_3 = a + (3 - 1)d$
$26 = 2 + 2d$
$24 = 2d$
$d = 12$.
अब,लुप्त दूसरा पद $(a_2)$ ज्ञात करने के लिए:
$a_2 = a + (2 - 1)d$
$a_2 = 2 + 12 = 14$.
अतः,लुप्त पद $14$ है।

(18, 8) दी गई श्रेणी $\square, 13, \square, 3$ है।
इस समांतर श्रेणी के लिए,दूसरा पद $a_2 = 13$ और चौथा पद $a_4 = 3$ है।
हम जानते हैं कि समांतर श्रेणी का $n$-वाँ पद $a_n = a + (n - 1)d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है।
$a_2 = 13$ के लिए:
$a + (2 - 1)d = 13 \implies a + d = 13$ $...(i)$
$a_4 = 3$ के लिए:
$a + (4 - 1)d = 3 \implies a + 3d = 3$ $...(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 3d) - (a + d) = 3 - 13$
$2d = -10$
$d = -5$
$d = -5$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a + (-5) = 13$
$a = 13 + 5 = 18$
अब,प्रथम पद $a = 18$ है और तीसरा पद $a_3 = a + 2d$ है:
$a_3 = 18 + 2(-5) = 18 - 10 = 8$.
अतः,लुप्त पद क्रमशः $18$ और $8$ हैं।

(N/A) दी गई $A.P.$ श्रेणी $5, \square, \square, 9 \frac{1}{2}$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 5$ है।
चौथा पद $a_4 = 9 \frac{1}{2} = \frac{19}{2}$ है।
हम जानते हैं कि $A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ होता है।
$n = 4$ के लिए,$a_4 = a + 3d$ होगा।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{19}{2} = 5 + 3d$.
दोनों पक्षों से $5$ घटाने पर: $\frac{19}{2} - 5 = 3d \implies \frac{19 - 10}{2} = 3d \implies \frac{9}{2} = 3d$.
$3$ से भाग देने पर,सार्व अंतर $d = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,लुप्त पदों को ज्ञात करते हैं:
दूसरा पद $a_2 = a + d = 5 + \frac{3}{2} = \frac{10 + 3}{2} = \frac{13}{2}$।
तीसरा पद $a_3 = a + 2d = 5 + 2(\frac{3}{2}) = 5 + 3 = 8$।
अतः,लुप्त पद $\frac{13}{2}$ और $8$ हैं।

(N/A) इस $A.P.$ के लिए,प्रथम पद $a = -4$ और छठा पद $a_{6} = 6$ है।
हम जानते हैं कि $A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_{n} = a + (n - 1)d$ होता है।
छठे पद के लिए मान रखने पर:
$a_{6} = a + (6 - 1)d$
$6 = -4 + 5d$
$10 = 5d$
$d = 2$
अब,हम लुप्त पदों को ज्ञात करते हैं:
$a_{2} = a + d = -4 + 2 = -2$
$a_{3} = a + 2d = -4 + 2(2) = 0$
$a_{4} = a + 3d = -4 + 3(2) = 2$
$a_{5} = a + 4d = -4 + 4(2) = 4$
अतः,लुप्त पद क्रमशः $-2, 0, 2,$ और $4$ हैं।

(A) माना कि समांतर श्रेणी $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ है।
दिया गया है: $a_2 = 38$ और $a_6 = -22.$
हम जानते हैं कि समांतर श्रेणी का व्यापक पद: $a_n = a + (n-1)d$ होता है।
$n=2$ के लिए: $a + d = 38$ $...(1)$
$n=6$ के लिए: $a + 5d = -22$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(a + 5d) - (a + d) = -22 - 38$
$4d = -60$
$d = -15$
$d = -15$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a + (-15) = 38$
$a = 38 + 15 = 53$
अब,लुप्त पदों को ज्ञात करते हैं:
$a_1 = a = 53$
$a_3 = a + 2d = 53 + 2(-15) = 53 - 30 = 23$
$a_4 = a + 3d = 53 + 3(-15) = 53 - 45 = 8$
$a_5 = a + 4d = 53 + 4(-15) = 53 - 60 = -7$
अतः,लुप्त पद क्रमशः $53, 23, 8,$ और $-7$ हैं।

(B) दी गई $AP$ (समांतर श्रेणी) $3, 8, 13, 18, \ldots$ है।
इस $AP$ के लिए,प्रथम पद $a = 3$ है।
सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = 8 - 3 = 5$ है।
मान लीजिए कि इस $AP$ का $n$ वां पद $78$ है।
$n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर,$78 = 3 + (n - 1)5$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर,$75 = (n - 1)5$ प्राप्त होता है।
$5$ से भाग देने पर,$n - 1 = 15$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 16$ है।
इसलिए,इस $AP$ का $16$ वां पद $78$ है।

(B) दी गई $AP$ के लिए: $7, 13, 19, \ldots, 205$.
यहाँ,प्रथम पद $a = 7$ है।
सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = 13 - 7 = 6$ है।
माना कि $AP$ में पदों की संख्या $n$ है।
अंतिम पद $a_n = 205$ है।
$AP$ के $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करने पर: $a_n = a + (n - 1)d$.
मान रखने पर: $205 = 7 + (n - 1)6$.
दोनों पक्षों से $7$ घटाने पर: $198 = (n - 1)6$.
$6$ से भाग देने पर: $33 = n - 1$.
अतः,$n = 34$.
इस प्रकार,दी गई $AP$ में पदों की संख्या $34$ है।