Mix Examples - Arithmetic Progressions Questions in Hindi

(A) दी गई $A.P.$ $3, 8, 13, \ldots, 248$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 8 - 3 = 5$ है।
माना कि $n$ वां पद $a_n = 248$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $248 = 3 + (n - 1)5$.
$248 - 3 = (n - 1)5$.
$245 = (n - 1)5$.
$n - 1 = 245 / 5 = 49$.
$n = 49 + 1 = 50$.
अतः,$A.P.$ का $50$ वां पद $248$ है।

(B) $A.P.$ का $n^{th}$ पद ज्ञात करने का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है।
दिया गया है कि,$6^{th}$ पद $a_6 = 19$,इसलिए $a + 5d = 19$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है कि,$17^{th}$ पद $a_{17} = 41$,इसलिए $a + 16d = 41$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$(a + 16d) - (a + 5d) = 41 - 19$
$11d = 22$
$d = 2$
$d = 2$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$a + 5(2) = 19$
$a + 10 = 19$
$a = 9$
अब,$40^{th}$ पद $a_{40}$ ज्ञात कीजिए:
$a_{40} = a + (40 - 1)d$
$a_{40} = 9 + 39(2)$
$a_{40} = 9 + 78$
$a_{40} = 87$.

(N/A) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$ वां पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$10 \times a_{10} = 15 \times a_{15}$.
पदों के लिए सूत्र का उपयोग करने पर: $10(a + 9d) = 15(a + 14d)$.
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर: $2(a + 9d) = 3(a + 14d)$.
कोष्ठक खोलने पर: $2a + 18d = 3a + 42d$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2a - 3a = 42d - 18d$.
$-a = 24d$,जिसका अर्थ है कि $a = -24d$.
अब,हमें $25$ वां पद ज्ञात करना है,$a_{25} = a + (25 - 1)d = a + 24d$.
$a = -24d$ का मान समीकरण में रखने पर: $a_{25} = -24d + 24d = 0$.
अतः,$A.P.$ का $25$ वां पद $0$ है।

(D) दी गई अनुक्रम एक $A.P.$ है जिसका प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 5 - 3 = 2$ है।
माना कि इस $A.P.$ में $n$ पद हैं। अंतिम पद $l = 201$ है।
सूत्र $l = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$201 = 3 + (n - 1)2$
$198 = (n - 1)2$
$n - 1 = 99$
$n = 100$.
अंत से $k$ वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र प्रारंभ से $(n - k + 1)$ वाँ पद है।
यहाँ,$k = 12$ और $n = 100$ है।
अतः,अंत से $12$ वाँ पद प्रारंभ से $(100 - 12 + 1) = 89$ वाँ पद होगा।
$a_{89} = a + (89 - 1)d$
$a_{89} = 3 + 88 \times 2$
$a_{89} = 3 + 176 = 179$.

(A) दी गई $A.P.$ $1, 4, 7, \ldots, 118$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 4 - 1 = 3$ है।
अंतिम पद $l = 118$ है।
$A.P.$ के अंत से $n$ वां पद ज्ञात करने के लिए,हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं: $a_n (\text{अंत से}) = l - (n - 1)d$.
यहाँ,$n = 15$,$l = 118$,और $d = 3$ है।
मान रखने पर: $a_{15} = 118 - (15 - 1) \times 3$.
$a_{15} = 118 - (14 \times 3)$.
$a_{15} = 118 - 42$.
$a_{15} = 76$.
अतः,अंत से $15$ वां पद $76$ है।

(A) प्रथम $A.P.$ के लिए: $a_1 = 63$,$d_1 = 65 - 63 = 2$. $n$ वां पद $a_n = a_1 + (n - 1)d_1 = 63 + (n - 1)2 = 63 + 2n - 2 = 61 + 2n$ है।
दूसरे $A.P.$ के लिए: $a_2 = 3$,$d_2 = 10 - 3 = 7$. $n$ वां पद $a_n = a_2 + (n - 1)d_2 = 3 + (n - 1)7 = 3 + 7n - 7 = 7n - 4$ है।
दोनों $n$ वें पदों को बराबर करने पर: $61 + 2n = 7n - 4$.
$61 + 4 = 7n - 2n$.
$65 = 5n$.
$n = 13$.
अतः,दोनों श्रेणियों का $13$ वां पद समान है।

(A) माना $A.P.$ में तीन संख्याएँ $(a-d)$, $a$, और $(a+d)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार, उनका योग $(a-d) + a + (a+d) = -3$ है।
$3a = -3$, जिससे $a = -1$ प्राप्त होता है।
संख्याओं का गुणनफल $(a-d) \cdot a \cdot (a+d) = 8$ है।
$a = -1$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $(-1-d)(-1)(-1+d) = 8$ प्राप्त होता है।
$-1(1-d^2) = 8$, जो सरल होकर $d^2 - 1 = 8$ बन जाता है।
$d^2 = 9$, इसलिए $d = \pm 3$ है।
यदि $d = 3$ है, तो संख्याएँ $(-1-3), -1, (-1+3)$ अर्थात $-4, -1, 2$ हैं।
यदि $d = -3$ है, तो संख्याएँ $(-1-(-3)), -1, (-1+(-3))$ अर्थात $2, -1, -4$ हैं।
अतः, वे संख्याएँ $-4, -1, 2$ या $2, -1, -4$ हैं।

(2, 6, 10, 14) मान लीजिए कि $A.P.$ में चार संख्याएँ $(a-3d), (a-d), (a+d), (a+3d)$ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का योग $32$ है:
$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 32$
$4a = 32 \implies a = 8$.
अतः संख्याएँ $(8-3d), (8-d), (8+d), (8+3d)$ हैं।
चरम पदों का गुणनफल $(8-3d)(8+3d) = 64 - 9d^2$ है।
मध्य पदों का गुणनफल $(8-d)(8+d) = 64 - d^2$ है।
चरम पदों के गुणनफल और मध्य पदों के गुणनफल का अनुपात $7:15$ है:
$\frac{64-9d^2}{64-d^2} = \frac{7}{15}$
$15(64-9d^2) = 7(64-d^2)$
$960 - 135d^2 = 448 - 7d^2$
$512 = 128d^2$
$d^2 = 4 \implies d = 2$ (चूंकि संख्याएँ बढ़ते क्रम में हैं,इसलिए $d > 0$)।
$a=8$ और $d=2$ रखने पर:
$8-3(2) = 2$
$8-2 = 6$
$8+2 = 10$
$8+3(2) = 14$
अतः संख्याएँ $2, 6, 10, 14$ हैं।

(A) तीन पदों $a, b, c$ के समांतर श्रेणी में होने के लिए शर्त $2b = a + c$ है।
यहाँ,$a = x+1$,$b = 3x$,और $c = 4x+2$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2(3x) = (x+1) + (4x+2)$
$6x = 5x + 3$
$6x - 5x = 3$
$x = 3$
अतः,$x$ का मान $3$ है।

(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि दिए गए पद $(a-b)^{2}, (a^{2}+b^{2})$ और $(a+b)^{2}$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं,हमें यह दिखाना होगा कि क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान है।
माना पद $T_1 = (a-b)^2$,$T_2 = (a^2+b^2)$,और $T_3 = (a+b)^2$ हैं।
सबसे पहले,दूसरे और पहले पद के बीच का अंतर $(d_1)$ ज्ञात करें:
$d_1 = T_2 - T_1 = (a^2 + b^2) - (a - b)^2$
$d_1 = (a^2 + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$
$d_1 = a^2 + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 2ab$
अब,तीसरे और दूसरे पद के बीच का अंतर $(d_2)$ ज्ञात करें:
$d_2 = T_3 - T_2 = (a + b)^2 - (a^2 + b^2)$
$d_2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 + b^2)$
$d_2 = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2 = 2ab$
चूंकि $d_1 = d_2 = 2ab$,इसलिए सार्व अंतर समान है।
अतः,दिए गए पद एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं।

(N/A) माना कि $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
$S_1 = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$S_2 = \frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d] = n[2a + (2n-1)d]$
$S_3 = \frac{3n}{2}[2a + (3n-1)d]$
अब,व्यंजक $3(S_2 - S_1)$ पर विचार करें:
$S_2 - S_1 = n[2a + (2n-1)d] - \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$= \frac{n}{2} [2(2a + 2nd - d) - (2a + nd - d)]$
$= \frac{n}{2} [4a + 4nd - 2d - 2a - nd + d]$
$= \frac{n}{2} [2a + 3nd - d]$
$= \frac{n}{2} [2a + (3n-1)d]$
$3$ से गुणा करने पर:
$3(S_2 - S_1) = 3 \times \frac{n}{2} [2a + (3n-1)d] = \frac{3n}{2} [2a + (3n-1)d] = S_3$.
अतः,$S_3 = 3(S_2 - S_1)$ सिद्ध होता है।

(A) माना कि दो समांतर श्रेणियों के प्रथम पद $a_1$ और $a_2$ हैं और उनके सार्व अंतर क्रमशः $d_1$ और $d_2$ हैं।
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
योग का अनुपात दिया गया है: $\frac{S_{n1}}{S_{n2}} = \frac{\frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d_1]}{\frac{n}{2}[2a_2 + (n - 1)d_2]} = \frac{5n - 3}{7n + 2}$.
यह सरल होकर $\frac{2a_1 + (n - 1)d_1}{2a_2 + (n - 1)d_2} = \frac{5n - 3}{7n + 2}$ हो जाता है।
हमें $m$ वें पदों का अनुपात चाहिए: $\frac{a_m1}{a_m2} = \frac{a_1 + (m - 1)d_1}{a_2 + (m - 1)d_2}$.
आवश्यक अनुपात के अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर: $\frac{2a_1 + 2(m - 1)d_1}{2a_2 + 2(m - 1)d_2}$.
योग अनुपात व्यंजक के साथ तुलना करने पर,हम $n - 1 = 2(m - 1)$ रखते हैं,जिससे $n = 2m - 1$ प्राप्त होता है।
$n = 2m - 1$ को अनुपात $\frac{5n - 3}{7n + 2}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
अनुपात $= \frac{5(2m - 1) - 3}{7(2m - 1) + 2} = \frac{10m - 5 - 3}{14m - 7 + 2} = \frac{10m - 8}{14m - 5}$.
अतः,$m$ वें पदों का अनुपात $(10m - 8) : (14m - 5)$ है।

(A) दी गई $A.P.$ $6, 2, -2, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 6$ और सार्व अंतर $d = 2 - 6 = -4$ है।
$A.P.$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
सूत्र में $a$ और $d$ के मान रखने पर:
$S_{n} = \frac{n}{2} [2(6) + (n - 1)(-4)]$
$S_{n} = \frac{n}{2} [12 - 4n + 4]$
$S_{n} = \frac{n}{2} [16 - 4n]$
$S_{n} = n(8 - 2n) = 8n - 2n^{2} = -2n^{2} + 8n$.

(B) दी गई $A.P.$ $9, 17, 25, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 9$ और सार्व अंतर $d = 17 - 9 = 8$ है।
माना $n$ पदों का योग $S_n = 636$ है।
$n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $636 = \frac{n}{2} [2(9) + (n - 1)8]$.
$636 = \frac{n}{2} [18 + 8n - 8]$.
$636 = \frac{n}{2} [10 + 8n]$.
$636 = n(5 + 4n)$.
$4n^2 + 5n - 636 = 0$.
द्विघात सूत्र $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$n = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(4)(-636)}}{8} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 10176}}{8} = \frac{-5 \pm \sqrt{10201}}{8} = \frac{-5 \pm 101}{8}$.
चूँकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = \frac{96}{8} = 12$.
अतः,$12$ पदों का योग $636$ है।

(C) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = -5$ और सार्व अंतर $d = (-8) - (-5) = -3$ है।
अंतिम पद $l$ या $a_n = -230$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $a_n = a + (n - 1)d$.
$-230 = -5 + (n - 1)(-3)$.
$-230 + 5 = (n - 1)(-3)$.
$-225 = (n - 1)(-3)$.
$n - 1 = \frac{-225}{-3} = 75$.
$n = 76$.
अब,योगफल के सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ का उपयोग करते हुए:
$S_{76} = \frac{76}{2}(-5 + (-230))$.
$S_{76} = 38 \times (-235)$.
$S_{76} = -8930$.

(D) दिया गया है कि $A.P.$ का $n$ वां पद $T_{n} = 7 - 3n$ है।
प्रथम पद $(a)$ ज्ञात करने के लिए,$n = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a = T_{1} = 7 - 3(1) = 4$.
$25$ वां पद $(T_{25})$ ज्ञात करने के लिए,$n = 25$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T_{25} = 7 - 3(25) = 7 - 75 = -68$.
$A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{n}{2}(a + T_{n})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$n = 25$ के लिए:
$S_{25} = \frac{25}{2}(4 + (-68))$
$S_{25} = \frac{25}{2}(-64)$
$S_{25} = 25 \times (-32) = -800$.
अतः,प्रथम $25$ पदों का योग $-800$ है।

(A) दिया गया है: प्रथम पद $a = 5$,सार्व अंतर $d = 3$,और $n$ वां पद $T_n = 50$ है।
चरण $1$: $T_n = a + (n - 1)d$ सूत्र का उपयोग करके $n$ ज्ञात कीजिए।
$50 = 5 + (n - 1)3$
$45 = (n - 1)3$
$15 = n - 1$
$n = 16$.
चरण $2$: $S_n = \frac{n}{2}(a + T_n)$ सूत्र का उपयोग करके $n$ पदों का योग $S_n$ ज्ञात कीजिए।
$S_{16} = \frac{16}{2}(5 + 50)$
$S_{16} = 8 \times 55$
$S_{16} = 440$.
अतः,$n = 16$ और $S_n = 440$ है।

(A) दिया गया है: $T_{n} = a + (n - 1)d = 4$ और $S_{n} = \frac{n}{2}[a + T_{n}] = -14$.
योग के सूत्र में $T_{n} = 4$ रखने पर: $\frac{n}{2}[a + 4] = -14 \implies n(a + 4) = -28$.
पहले समीकरण से: $a = 4 - (n - 1)d = 4 - 2n + 2 = 6 - 2n$.
$a$ का मान योग के समीकरण में रखने पर: $n(6 - 2n + 4) = -28 \implies n(10 - 2n) = -28$.
$10n - 2n^{2} = -28 \implies 2n^{2} - 10n - 28 = 0 \implies n^{2} - 5n - 14 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(n - 7)(n + 2) = 0$.
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 7$.
अब,$a$ ज्ञात करें: $a = 6 - 2(7) = 6 - 14 = -8$.
अतः,$n = 7$ और $a = -8$।

(C) $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योगफल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$
यहाँ दिए गए मान $a = 3$,$n = 8$ और $S_n = 192$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$192 = \frac{8}{2} [2(3) + (8-1)d]$
$192 = 4 [6 + 7d]$
दोनों पक्षों को $4$ से विभाजित करने पर:
$48 = 6 + 7d$
$48 - 6 = 7d$
$42 = 7d$
$d = \frac{42}{7} = 6$
अतः,सार्व अंतर $d$ का मान $6$ है।

(D) $A.P.$ के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2}(a + T_{n})$ है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $T_{n}$ $n$ वाँ पद है।
दी गई मान $S_{n} = 144$,$T_{n} = 28$ और $n = 9$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$144 = \frac{9}{2}(a + 28)$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने और $9$ से भाग देने पर:
$144 \times \frac{2}{9} = a + 28$
$16 \times 2 = a + 28$
$32 = a + 28$
$a = 32 - 28$
$a = 4$
अतः,प्रथम पद $a$ का मान $4$ है।

(A) माना कि पहले वर्ष की बचत $a$ है।
चूंकि बचत हर साल $Rs. 100$ बढ़ रही है,यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती है जहाँ सार्व अंतर $d = 100$ है।
वर्षों की संख्या $n = 10$ है और कुल बचत $S_{10} = 16,500$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $16,500 = \frac{10}{2} [2a + (10 - 1) \times 100]$.
$16,500 = 5 [2a + 900]$.
$3,300 = 2a + 900$.
$2a = 3,300 - 900 = 2,400$.
$a = 1,200$.
अतः,पहले वर्ष की बचत $Rs. 1,200$ है।

(B) $14$ डिस्क की त्रिज्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं: $1, 2, 3, \dots, 14$।
$r$ त्रिज्या वाली डिस्क की परिधि $C = 2\pi r$ द्वारा दी जाती है।
सभी $14$ डिस्क की परिधियों का योग $S = 2\pi(1) + 2\pi(2) + 2\pi(3) + \dots + 2\pi(14)$ है।
$S = 2\pi(1 + 2 + 3 + \dots + 14)$।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए, $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$, जहाँ $n = 14$:
$S = 2\pi \times \frac{14(14+1)}{2} = 2\pi \times \frac{14 \times 15}{2} = 2\pi \times 105 = 210\pi$।
$\pi \approx \frac{22}{7}$ लेने पर:
$S = 210 \times \frac{22}{7} = 30 \times 22 = 660\, cm$।

(C) माना कि अभीष्ट संख्या $x$ है। $x$ से छोटी प्राकृतिक संख्याओं का योग $1$ से $x-1$ तक की पूर्णांक संख्याओं का योग है।
यह योग $S_1 = \frac{(x-1)x}{2}$ है।
$x$ से बड़ी और $288$ तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग $x+1$ से $288$ तक की संख्याओं का योग है।
यह योग $S_2 = \sum_{i=1}^{288} i - \sum_{i=1}^{x} i = \frac{288 \times 289}{2} - \frac{x(x+1)}{2}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$S_1 = S_2.$
$\frac{x^2 - x}{2} = \frac{288 \times 289}{2} - \frac{x^2 + x}{2}.$
$2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2 - x = 288 \times 289 - x^2 - x.$
$2x^2 = 288 \times 289.$
$x^2 = 144 \times 289.$
$x = \sqrt{144 \times 289} = 12 \times 17 = 204.$
अतः,अभीष्ट संख्या $204$ है।

(A) माना $A.P.$ में तीन संख्याएँ $(a - d)$,$a$,और $(a + d)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,इन संख्याओं का योग $21$ है:
$(a - d) + a + (a + d) = 21$
$3a = 21$
$a = 7$
अब,पहली और तीसरी संख्या का गुणनफल दूसरी संख्या से $6$ अधिक है:
$(a - d)(a + d) = a + 6$
$a^2 - d^2 = a + 6$
समीकरण में $a = 7$ रखने पर:
$7^2 - d^2 = 7 + 6$
$49 - d^2 = 13$
$d^2 = 36$
$d = \pm 6$
स्थिति $1$: यदि $d = 6$ है,तो संख्याएँ $(7 - 6), 7, (7 + 6)$ अर्थात $1, 7, 13$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $d = -6$ है,तो संख्याएँ $(7 - (-6)), 7, (7 + (-6))$ अर्थात $13, 7, 1$ हैं।
अतः,वे संख्याएँ $1, 7, 13$ या $13, 7, 1$ हैं।

(A) माना $A.P.$ में चार संख्याएँ $(a-3d), (a-d), (a+d), (a+3d)$ हैं।
दिया गया है कि योग $50$ है:
$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 50$
$4a = 50 \implies a = 12.5$.
सबसे छोटी संख्या $(a-3d)$ है और सबसे बड़ी संख्या $(a+3d)$ है।
दिया गया है कि सबसे बड़ी संख्या,सबसे छोटी संख्या की चार गुनी है:
$(a+3d) = 4(a-3d)$
$12.5 + 3d = 4(12.5 - 3d)$
$12.5 + 3d = 50 - 12d$
$15d = 37.5 \implies d = 2.5$.
अतः संख्याएँ हैं:
$12.5 - 3(2.5) = 12.5 - 7.5 = 5$
$12.5 - 2.5 = 10$
$12.5 + 2.5 = 15$
$12.5 + 3(2.5) = 12.5 + 7.5 = 20$.
इस प्रकार,संख्याएँ $5, 10, 15, 20$ या उल्टे क्रम में $20, 15, 10, 5$ हैं।

(B) दी गई $A.P.$ $108, 103, 98, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 108$ और सार्व अंतर $d = 103 - 108 = -5$ है।
हमें पहला ऋणात्मक पद ज्ञात करना है,इसलिए हम $n^{th}$ पद $a_n < 0$ रखते हैं।
$n^{th}$ पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $108 + (n - 1)(-5) < 0$.
$108 - 5n + 5 < 0$.
$113 - 5n < 0$.
$113 < 5n$.
$n > \frac{113}{5} = 22.6$.
चूँकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,$22.6$ से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक $23$ है।
अतः,$23^{rd}$ पद पहला ऋणात्मक पद है।

(C) दी गई $A.P.$ $-1, -\frac{5}{6}, -\frac{2}{3}, \ldots, \frac{10}{3}$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = -1$ है।
सार्व अंतर $d = -\frac{5}{6} - (-1) = -\frac{5}{6} + 1 = \frac{1}{6}$ है।
अंतिम पद $a_n = \frac{10}{3}$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $\frac{10}{3} = -1 + (n - 1)\frac{1}{6}$।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर: $\frac{10}{3} + 1 = (n - 1)\frac{1}{6}$।
$\frac{13}{3} = (n - 1)\frac{1}{6}$।
दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करने पर: $13 \times 2 = n - 1$।
$26 = n - 1$।
$n = 27$।
अतः,पदों की कुल संख्या $27$ है।

(D) दिया गया है: पदों की संख्या $n = 60$,प्रथम पद $a = 7$ और अंतिम पद $a_{60} = 125$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए,$a_n = a + (n - 1)d$।
$60$ वें पद के लिए: $125 = 7 + (60 - 1)d$।
$125 - 7 = 59d$।
$118 = 59d$।
$d = 118 / 59 = 2$।
अब,$32$ वाँ पद $(a_{32})$ ज्ञात कीजिए:
$a_{32} = a + (32 - 1)d$।
$a_{32} = 7 + 31(2)$।
$a_{32} = 7 + 62 = 69$।
अतः,$32$ वाँ पद $69$ है।

(A) दी गई $A.P.$ $5.5, 11, 16.5, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 5.5$ और सार्व अंतर $d = 11 - 5.5 = 5.5$ है।
हमें $n$ ज्ञात करना है ताकि $n$ वां पद $a_n = 550$ हो।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $550 = 5.5 + (n - 1)5.5$.
$550 - 5.5 = (n - 1)5.5$.
$544.5 = (n - 1)5.5$.
$n - 1 = \frac{544.5}{5.5} = 99$.
$n = 99 + 1 = 100$.
अतः,$A.P.$ का $100$ वां पद $550$ है।

(B) दी गई $A.P.$ $5, 9, 13, \ldots, 101$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अंतर $d = 9 - 5 = 4$ है।
अंतिम पद $l = 101$ है।
अंत से $n$ वां पद ज्ञात करने का सूत्र $l - (n - 1)d$ है।
यहाँ,$n = 9$,$l = 101$,और $d = 4$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $101 - (9 - 1) \times 4 = 101 - 8 \times 4 = 101 - 32 = 69$.
अतः,अंत से $9$ वां पद $69$ है।

(C) $A.P.$ के अंत से $n$वाँ पद ज्ञात करने के लिए,हम अनुक्रम को उलट सकते हैं या सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: $l - (n - 1)d$,जहाँ $l$ अंतिम पद है,$n$ अंत से स्थिति है,और $d$ मूल अनुक्रम का सार्व अंतर है।
दिया गया $A.P.$ $40, 35, 30, \ldots, -200$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 40$,सार्व अंतर $d = 35 - 40 = -5$,और अंतिम पद $l = -200$ है।
हमें अंत से $10$वाँ पद ज्ञात करना है।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $a_n (\text{अंत से}) = l - (n - 1)d$.
मान रखने पर: $a_{10} = -200 - (10 - 1)(-5)$.
$a_{10} = -200 - (9)(-5)$.
$a_{10} = -200 + 45$.
$a_{10} = -155$.
अतः,अंत से $10$वाँ पद $-155$ है।

(A) माना कि $A.P.$ में तीन संख्याएँ $(a-d)$,$a$,और $(a+d)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उनका योग $(a-d) + a + (a+d) = 12$ है।
इसे सरल करने पर $3a = 12$ प्राप्त होता है,अतः $a = 4$ है।
अतः संख्याएँ $(4-d)$,$4$,और $(4+d)$ हैं।
उनके घनों का योग $(4-d)^3 + 4^3 + (4+d)^3 = 288$ है।
घनों का विस्तार करने पर: $(64 - 48d + 12d^2 - d^3) + 64 + (64 + 48d + 12d^2 + d^3) = 288$ प्राप्त होता है।
पदों को संयोजित करने पर: $192 + 24d^2 = 288$ प्राप्त होता है।
$24d^2 = 96$,जिससे $d^2 = 4$ प्राप्त होता है,अतः $d = \pm 2$ है।
यदि $d = 2$ है,तो संख्याएँ $(4-2), 4, (4+2)$ अर्थात $2, 4, 6$ हैं।
यदि $d = -2$ है,तो संख्याएँ $(4-(-2)), 4, (4+(-2))$ अर्थात $6, 4, 2$ हैं।
अतः,वे संख्याएँ $2, 4, 6$ या $6, 4, 2$ हैं।

(B) माना कि चतुर्भुज के चार कोण $a-3d, a-d, a+d, a+3d$ हैं।
यहाँ,क्रमागत पदों के बीच का सार्व अंतर $2d = 10^{\circ}$ है,इसलिए $d = 5^{\circ}$।
चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
अतः,$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 360^{\circ}$।
$4a = 360^{\circ} \implies a = 90^{\circ}$।
कोण इस प्रकार हैं:
$a-3d = 90^{\circ} - 3(5^{\circ}) = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$।
$a-d = 90^{\circ} - 5^{\circ} = 85^{\circ}$।
$a+d = 90^{\circ} + 5^{\circ} = 95^{\circ}$।
$a+3d = 90^{\circ} + 3(5^{\circ}) = 90^{\circ} + 15^{\circ} = 105^{\circ}$।
इस प्रकार,कोण $75^{\circ}, 85^{\circ}, 95^{\circ}, 105^{\circ}$ हैं।

(A) दिया गया है: प्रथम पद $a = 10$,$n^{th}$ पद $a_n = 40$,और $n$ पदों का योग $S_n = 150$ है।
हम जानते हैं कि $A.P.$ के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $150 = \frac{n}{2}(10 + 40)$.
$150 = \frac{n}{2}(50)$.
$150 = 25n$.
$n = \frac{150}{25} = 6$.
अब,$n^{th}$ पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $a_n = a + (n - 1)d$.
मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $40 = 10 + (6 - 1)d$.
$40 - 10 = 5d$.
$30 = 5d$.
$d = \frac{30}{5} = 6$.
अतः,$n = 6$ और $d = 6$।

(C) दी गई समांतर श्रेणी $(A.P.)$ $-2, -4, -6, \ldots$ है।
समांतर श्रेणी का सार्व अंतर $d$ दूसरे पद में से पहले पद को घटाकर ज्ञात किया जाता है: $d = a_2 - a_1$।
यहाँ,$a_1 = -2$ और $a_2 = -4$ है।
अतः,$d = -4 - (-2) = -4 + 2 = -2$।
इस प्रकार,सार्व अंतर $d$ का मान $-2$ है।

(D) $A.P.$ का $n^{th}$ पद $T_n = 3n - 1$ है।
सार्व अंतर $d$ ज्ञात करने के लिए,हम अनुक्रम के पहले दो पदों की गणना करते हैं।
$n = 1$ के लिए,$T_1 = 3(1) - 1 = 3 - 1 = 2$.
$n = 2$ के लिए,$T_2 = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$.
सार्व अंतर $d = T_2 - T_1$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$d = 5 - 2 = 3$.
वैकल्पिक रूप से,$T_n = an + b$ रूप के $A.P.$ के लिए,सार्व अंतर $d$,$n$ का गुणांक होता है,जो कि $3$ है।

(A) $A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ होता है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 5$,सार्व अंतर $d = 3$,और पद संख्या $n = 15$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$a_{15} = 5 + (15 - 1) \times 3$
$a_{15} = 5 + 14 \times 3$
$a_{15} = 5 + 42$
$a_{15} = 47$.
अतः,$A.P.$ का $15$ वाँ पद $47$ है।

(B) दी गई $A.P.$ $1, 11, 21, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 1$ है।
सार्व अंतर $d = 11 - 1 = 10$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
$20$ वाँ पद ज्ञात करने के लिए $(n = 20)$:
$a_{20} = 1 + (20 - 1) \times 10$
$a_{20} = 1 + 19 \times 10$
$a_{20} = 1 + 190$
$a_{20} = 191$.
अतः,$20$ वाँ पद $191$ है।

(C) $A.P.$ का $n^{th}$ पद सूत्र $T_n = 5n - 2$ द्वारा दिया गया है।
$12^{th}$ पद ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए व्यंजक में $n = 12$ प्रतिस्थापित करेंगे।
$T_{12} = 5(12) - 2$
$T_{12} = 60 - 2$
$T_{12} = 58$
अतः,$A.P.$ का $12^{th}$ पद $58$ है।

(D) $A.P.$ का $n$वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है।
दिया गया है,$a_7 = 34$,इसलिए $a + 6d = 34$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है,$a_{13} = 64$,इसलिए $a + 12d = 64$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$(a + 12d) - (a + 6d) = 64 - 34$
$6d = 30$
$d = 5$।
$d = 5$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$a + 6(5) = 34$
$a + 30 = 34$
$a = 4$।
अब,$18$वाँ पद $(a_{18})$ ज्ञात करने के लिए:
$a_{18} = a + 17d$
$a_{18} = 4 + 17(5)$
$a_{18} = 4 + 85$
$a_{18} = 89$।

(A) $A.P.$ का $n$ वां पद ज्ञात करने का सूत्र $T_n = S_n - S_{n-1}$ है,जहाँ $S_n$ प्रथम $n$ पदों का योग है।
दिया गया है कि $S_n = 3n^2 + 5n$.
अतः,$S_{n-1} = 3(n-1)^2 + 5(n-1)$.
$S_{n-1} = 3(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5$.
$S_{n-1} = 3n^2 - 6n + 3 + 5n - 5$.
$S_{n-1} = 3n^2 - n - 2$.
अब,$T_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 + 5n) - (3n^2 - n - 2)$.
$T_n = 3n^2 + 5n - 3n^2 + n + 2$.
$T_n = 6n + 2$.

(A) $A.P.$ के $n$ पदों का योग $S_{n} = 2n^{2} + 5n$ है।
$n$ वें पद $(T_{n})$ को ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $T_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया है $S_{n} = 2n^{2} + 5n$.
तब,$S_{n-1} = 2(n-1)^{2} + 5(n-1)$.
$S_{n-1} = 2(n^{2} - 2n + 1) + 5n - 5$.
$S_{n-1} = 2n^{2} - 4n + 2 + 5n - 5$.
$S_{n-1} = 2n^{2} + n - 3$.
अब,$T_{n} = S_{n} - S_{n-1} = (2n^{2} + 5n) - (2n^{2} + n - 3)$.
$T_{n} = 2n^{2} + 5n - 2n^{2} - n + 3$.
$T_{n} = 4n + 3$.

(C) समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र है: $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$।
यहाँ दिए गए मान $a = 2$,$d = 4$ और $n = 40$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$S_{40} = \frac{40}{2} [2(2) + (40-1)4]$
$S_{40} = 20 [4 + (39 \times 4)]$
$S_{40} = 20 [4 + 156]$
$S_{40} = 20 [160]$
$S_{40} = 3200$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दी गई $A.P.$ $71, 68, 65, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 71$ और सार्व अंतर $d = 68 - 71 = -3$ है।
हमें पहला ऋणात्मक पद ज्ञात करना है,इसलिए हम $n$-वें पद को $a_n < 0$ मानते हैं।
$n$-वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $71 + (n - 1)(-3) < 0$.
$71 - 3n + 3 < 0$.
$74 - 3n < 0$.
$74 < 3n$.
$n > \frac{74}{3} \approx 24.66$.
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,$24.66$ से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक $25$ है।
अतः,$25$-वाँ पद पहला ऋणात्मक पद है।

(A) $A.P.$ (समांतर श्रेणी) का $n$ वां पद $T_n = a + (n - 1)d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है।
$T_{25}$ के लिए,$T_{25} = a + (25 - 1)d = a + 24d$ है।
$T_{20}$ के लिए,$T_{20} = a + (20 - 1)d = a + 19d$ है।
अब,अंतर की गणना करने पर: $T_{25} - T_{20} = (a + 24d) - (a + 19d)$।
$T_{25} - T_{20} = a + 24d - a - 19d = 5d$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याएँ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती हैं,जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
यह अनुक्रम $1, 3, 5, \dots, (2n-1)$ है।
समांतर श्रेणी के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ है।
मान रखने पर: $S_n = \frac{n}{2} [2(1) + (n-1)2]$.
$S_n = \frac{n}{2} [2 + 2n - 2]$.
$S_n = \frac{n}{2} [2n]$.
$S_n = n^2$.
अतः,प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग $n^2$ है।

(C) प्रथम $n$ सम प्राकृत संख्याएँ $2, 4, 6, \dots, 2n$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती हैं जहाँ प्रथम पद $a = 2$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $S_n = \frac{n}{2}[2(2) + (n - 1)2]$.
$S_n = \frac{n}{2}[4 + 2n - 2]$.
$S_n = \frac{n}{2}[2n + 2]$.
$S_n = \frac{n}{2} \cdot 2(n + 1)$.
$S_n = n(n + 1)$.

(D) दिया गया है कि एक $A.P.$ के लिए,प्रथम पद $a = 10$ और $10$ वां पद $a_{10} = 100$ है।
हमें प्रथम $10$ पदों का योग ज्ञात करना है,जिसे $S_{10}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
जब प्रथम और अंतिम पद ज्ञात हों,तो $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र इस प्रकार है:
$S_n = \frac{n}{2} (a + a_n)$
यहाँ,$n = 10$,$a = 10$,और $a_{10} = 100$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$S_{10} = \frac{10}{2} (10 + 100)$
$S_{10} = 5 \times 110$
$S_{10} = 550$
अतः,प्रथम $10$ पदों का योग $550$ है।

(A) दी गई समान्तर श्रेणी $1, 21, 41, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 1$ है।
सार्व अंतर $d = 21 - 1 = 20$ है।
पदों की संख्या $n = 20$ है।
समान्तर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों के योगफल का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $S_{20} = \frac{20}{2} [2(1) + (20 - 1)20]$.
$S_{20} = 10 [2 + (19 \times 20)]$.
$S_{20} = 10 [2 + 380]$.
$S_{20} = 10 [382]$.
$S_{20} = 3820$.
अतः,प्रथम $20$ पदों का योगफल $3820$ है।

(D) दी गई अनुक्रम $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots$ है।
इस अनुक्रम में,प्रत्येक पद अपने पिछले दो पदों का योग है:
$1 + 1 = 2$
$1 + 2 = 3$
$2 + 3 = 5$
$3 + 5 = 8$
$5 + 8 = 13$,और इसी प्रकार आगे।
यह पैटर्न फिबोनाची अनुक्रम को परिभाषित करता है,जहाँ $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ ($n > 2$ के लिए),जिसमें $F_1 = 1$ और $F_2 = 1$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।