Mix Examples - Arithmetic Progressions Questions in Hindi

(A) यहाँ $A.P.$ $2, 7, 12, 17, \ldots$ दिया गया है।
प्रथम पद $a = 2$ और सार्व अंतर $d = 7 - 2 = 5$ है।
प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $990 = \frac{n}{2}[2(2) + (n - 1)5]$.
$990 = \frac{n}{2}[4 + 5n - 5]$.
$990 = \frac{n}{2}[5n - 1]$.
$1980 = n(5n - 1)$.
$5n^2 - n - 1980 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$5n^2 - 100n + 99n - 1980 = 0$.
$5n(n - 20) + 99(n - 20) = 0$.
$(5n + 99)(n - 20) = 0$.
इससे $n = 20$ या $n = -\frac{99}{5}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $n$ एक प्राकृतिक संख्या होनी चाहिए,इसलिए $n = 20$ सही उत्तर है।

(B) जब प्रथम पद $a$ और अंतिम पद $l$ ज्ञात हो,तो $A.P.$ के $n$ पदों के योग का सूत्र इस प्रकार है:
$S_n = \frac{n}{2}(a + l)$
दिया गया है:
प्रथम पद $a = 5$
अंतिम पद $l = 45$
पदों का योग $S_n = 500$
सूत्र में मान रखने पर:
$500 = \frac{n}{2}(5 + 45)$
$500 = \frac{n}{2}(50)$
$500 = 25n$
$n = \frac{500}{25}$
$n = 20$
अतः,$A.P.$ में $20$ पद हैं।

(C) दिया गया है: प्रथम पद $a = 5$,सार्व अंतर $d = 5$,और अंतिम पद $l = T_n = 95$.
$A.P.$ के $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करने पर: $T_n = a + (n - 1)d$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $95 = 5 + (n - 1)5$.
दोनों पक्षों से $5$ घटाने पर: $90 = (n - 1)5$.
$5$ से भाग देने पर: $18 = n - 1$.
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर: $n = 19$.
अतः,$A.P.$ में कुल $19$ पद हैं।

(C) यहाँ प्रथम पद $a = 5$ और $19$ वाँ पद $l = T_{19} = 95$ दिया गया है।
पदों की संख्या $n = 19$ है।
जब प्रथम और अंतिम पद ज्ञात हो,तब $A.P.$ के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2}(a + l)$ होता है।
मान रखने पर: $S_{19} = \frac{19}{2}(5 + 95)$.
$S_{19} = \frac{19}{2}(100)$.
$S_{19} = 19 \times 50 = 950$.
अतः,$19$ पदों का योग $950$ है।

(B) $A.P.$ का $n$ वां पद $T_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है।
$T_{30}$ के लिए,हमारे पास $T_{30} = a + (30 - 1)d = a + 29d$ है।
$T_{20}$ के लिए,हमारे पास $T_{20} = a + (20 - 1)d = a + 19d$ है।
अब,अंतर की गणना करने पर: $T_{30} - T_{20} = (a + 29d) - (a + 19d)$।
$T_{30} - T_{20} = a - a + 29d - 19d$।
$T_{30} - T_{20} = 10d$।

(B) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ के लिए,$n$ वां पद $T_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 4$ और सार्व अंतर $d = 8 - 4 = 4$ है।
हमें $T_{40} - T_{30}$ ज्ञात करना है।
$T_{40} = a + (40 - 1)d = a + 39d$.
$T_{30} = a + (30 - 1)d = a + 29d$.
दोनों पदों को घटाने पर:
$T_{40} - T_{30} = (a + 39d) - (a + 29d) = 10d$.
$d = 4$ का मान रखने पर:
$T_{40} - T_{30} = 10 \times 4 = 40$.

(D) दी गई समांतर श्रेणी $(A.P.)$ $3, 13, 23, 33, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 13 - 3 = 10$ है।
हमें वह पद $n$ ज्ञात करना है जिसके लिए $T_n = T_{21} + 10$ हो।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $a + (n - 1)d = (a + 20d) + 10$.
चूंकि $d = 10$,इसलिए $a + (n - 1)10 = a + 20(10) + 10$.
दोनों पक्षों से $a$ घटाने पर: $(n - 1)10 = 200 + 10$.
$(n - 1)10 = 210$.
$10$ से भाग देने पर,हमें $n - 1 = 21$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 22$।

(A) $7$ के दो अंकों वाले धनात्मक गुणज एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं जो $14$ से शुरू होकर $98$ पर समाप्त होती है।
यह अनुक्रम है: $14, 21, 28, \dots, 98$.
यहाँ,प्रथम पद $a = 14$,सार्व अंतर $d = 7$,और अंतिम पद $T_n = 98$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र उपयोग करने पर: $T_n = a + (n - 1)d$.
मान रखने पर: $98 = 14 + (n - 1)7$.
दोनों पक्षों से $14$ घटाने पर: $84 = (n - 1)7$.
$7$ से भाग देने पर: $12 = n - 1$.
अतः,$n = 13$.
इस प्रकार,$7$ के दो अंकों वाले कुल $13$ धनात्मक गुणज हैं।

(B) दिया गया है कि एक $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = 5n^{2} + 8n$ है।
हम जानते हैं कि $n$ वाँ पद $T_{n}$ ज्ञात करने का सूत्र $T_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ है।
सबसे पहले,$S_{n}$ के व्यंजक में $n$ के स्थान पर $(n-1)$ रखकर $S_{n-1}$ ज्ञात करें:
$S_{n-1} = 5(n-1)^{2} + 8(n-1)$
$S_{n-1} = 5(n^{2} - 2n + 1) + 8n - 8$
$S_{n-1} = 5n^{2} - 10n + 5 + 8n - 8$
$S_{n-1} = 5n^{2} - 2n - 3$
अब,$T_{n}$ की गणना करें:
$T_{n} = (5n^{2} + 8n) - (5n^{2} - 2n - 3)$
$T_{n} = 5n^{2} + 8n - 5n^{2} + 2n + 3$
$T_{n} = 10n + 3$.

(C) माना कि $A.P.$ के तीन क्रमागत पद $(a-d)$,$a$,और $(a+d)$ हैं।
दिया गया है कि इन पदों का योग $30$ है:
$(a-d) + a + (a+d) = 30$
$3a = 30$
$a = 10$
दिया गया है कि पहले और अंतिम पद का गुणनफल $75$ है:
$(a-d)(a+d) = 75$
$a^2 - d^2 = 75$
$a = 10$ प्रतिस्थापित करने पर:
$10^2 - d^2 = 75$
$100 - d^2 = 75$
$d^2 = 100 - 75 = 25$
$d = \pm 5$
चूंकि विकल्प में $5$ दिया गया है,इसलिए सार्व अंतर $5$ है।

(C) दिया गया है कि $k+1, 8, k+9$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ के तीन क्रमागत पद हैं।
चूँकि समांतर श्रेणी में सार्व अंतर $d$ समान होता है,इसलिए:
$8 - (k+1) = (k+9) - 8$
$8 - k - 1 = k + 1$
$7 - k = k + 1$
$7 - 1 = k + k$
$6 = 2k$
$k = 3$

(C) दी गई $A.P.$ $1, 11, 21, 31, \dots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 1$ है।
सार्व अंतर $d = 11 - 1 = 10$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ होता है।
$15$ वाँ पद ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र में $n = 15$,$a = 1$ और $d = 10$ रखते हैं:
$T_{15} = 1 + (15 - 1) \times 10$
$T_{15} = 1 + 14 \times 10$
$T_{15} = 1 + 140$
$T_{15} = 141$
अतः,$15$ वाँ पद $141$ है।

(C) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 13$ है।
सार्व अंतर $d = 26 - 13 = 13$ है।
अंतिम पद $T_n = 650$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $650 = 13 + (n - 1)13$.
पूरे समीकरण को $13$ से विभाजित करने पर: $50 = 1 + (n - 1)$.
$50 = n$,अतः $n = 50$.
इसलिए,$A.P.$ में पदों की कुल संख्या $50$ है।

(D) दी गई समांतर श्रेणी $3, 8, 13, 18, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 3$ है।
सार्व अंतर $d = 8 - 3 = 5$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र $T_{n} = a + (n - 1)d$ है।
$a$ और $d$ के मान रखने पर:
$T_{n} = 3 + (n - 1)5$
$T_{n} = 3 + 5n - 5$
$T_{n} = 5n - 2$.

(B) सम प्राकृत संख्याओं का अनुक्रम एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) बनाता है,जो $2, 4, 6, 8, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 2$,सार्व अंतर $d = 4 - 2 = 2$,और पदों की संख्या $n = 20$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र: $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $S_{20} = \frac{20}{2} [2(2) + (20 - 1)2]$.
$S_{20} = 10 [4 + (19 \times 2)]$.
$S_{20} = 10 [4 + 38]$.
$S_{20} = 10 \times 42 = 420$.
वैकल्पिक रूप से,प्रथम $n$ सम प्राकृत संख्याओं का योग $n(n + 1)$ सूत्र द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
$n = 20$ के लिए,योग $= 20 \times (20 + 1) = 20 \times 21 = 420$.

(D) अनुक्रम $1, 3, 6, 10, \ldots$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,आइए क्रमागत पदों के बीच के अंतर की जाँच करें:
$3 - 1 = 2$
$6 - 3 = 3$
$10 - 6 = 4$
अंतर $2, 3, 4, \ldots$ हैं,जो स्थिर नहीं हैं,इसलिए यह एक समांतर श्रेणी नहीं है।
अनुपात $3/1 = 3$,$6/3 = 2$,$10/6 = 1.66$ हैं,जो स्थिर नहीं हैं,इसलिए यह एक गुणोत्तर श्रेणी नहीं है।
फाइबोनैचि अनुक्रम $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ द्वारा परिभाषित होता है,जो इस पैटर्न से मेल नहीं खाता है।
इन संख्याओं को त्रिकोणीय संख्याओं के रूप में जाना जाता है,जो सूत्र $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ द्वारा परिभाषित होती हैं।
$n=1$ के लिए $T_1 = 1$; $n=2$ के लिए $T_2 = 3$; $n=3$ के लिए $T_3 = 6$; $n=4$ के लिए $T_4 = 10$ प्राप्त होता है। अतः,यह त्रिकोणीय संख्याओं का अनुक्रम है।

(B) दी गई $A.P.$ $5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, \ldots$ है।
इस अनुक्रम में भाज्य संख्याओं को खोजने के लिए,हम प्रत्येक पद की जाँच करते हैं:
$5$: अभाज्य
$7$: अभाज्य
$9$: भाज्य $(3 \times 3)$
$11$: अभाज्य
$13$: अभाज्य
$15$: भाज्य $(3 \times 5)$
$17$: अभाज्य
$19$: अभाज्य
$21$: भाज्य $(3 \times 7)$
$23$: अभाज्य
$25$: भाज्य $(5 \times 5)$
अनुक्रम में भाज्य संख्याएँ $9, 15, 21, 25, \ldots$ हैं।
पहली भाज्य संख्या $9$ है।
दूसरी भाज्य संख्या $15$ है।
तीसरी भाज्य संख्या $21$ है।
चौथी भाज्य संख्या $25$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) $1$ और $50$ के बीच $3$ के गुणज एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं:
$3, 6, 9, \ldots, 48$
यहाँ,प्रथम पद $a = 3$,सार्व अंतर $d = 3$ और अंतिम पद $T_n = 48$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करने पर:
$T_n = a + (n - 1)d$
मान रखने पर:
$48 = 3 + (n - 1)3$
$48 - 3 = (n - 1)3$
$45 = (n - 1)3$
$n - 1 = \frac{45}{3}$
$n - 1 = 15$
$n = 16$
अतः,$1$ और $50$ के बीच $3$ के कुल $16$ गुणज हैं।

(B) दी गई समांतर श्रेणी $(A.P.)$ $5, 10, 15, \ldots, 200$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 5$ है।
सार्व अंतर $d = 10 - 5 = 5$ है।
अंतिम पद $a_n = 200$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $200 = 5 + (n - 1)5$.
$200 - 5 = (n - 1)5$.
$195 = (n - 1)5$.
$n - 1 = 195 / 5$.
$n - 1 = 39$.
$n = 39 + 1 = 40$.
अतः,दी गई $A.P.$ में कुल $40$ पद हैं।

(A) एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में,सार्व अंतर $d$ को किन्हीं दो क्रमागत पदों के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है कि $x, y, z$ एक $A.P.$ के तीन क्रमागत पद हैं।
इसलिए,$d = y - x$ और $d = z - y$ है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $d + d = (y - x) + (z - y)$।
$2d = z - x$।
अतः,$d = \frac{z - x}{2}$।

(A) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ के $n$ वें पद का सामान्य सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है,जहाँ $a$ प्रथम पद है,$d$ सार्व अंतर है और $n$ पदों की संख्या है।
दसवां पद $(n = 10)$ ज्ञात करने के लिए,सूत्र में $n$ का मान रखें:
$a_{10} = a + (10 - 1)d$
$a_{10} = a + 9d$
अतः,दसवां पद $a + 9d$ है।

(D) यदि तीन पद $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,तो मध्य पद अन्य दो पदों का समांतर माध्य होता है।
यह सूत्र $b = \frac{a + c}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 2$,$b = x$,और $c = 20$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{2 + 20}{2}$
$x = \frac{22}{2}$
$x = 11$.
अतः,$x$ का मान $11$ है।

(B) जब प्रथम पद $a$ और अंतिम पद $l$ दिया गया हो,तो $A.P.$ के $n$ पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र है:
$S_n = \frac{n}{2}(a + l)$
दिए गए मान हैं:
$a = 1$
$l = 10$
$n = 10$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$S_{10} = \frac{10}{2}(1 + 10)$
$S_{10} = 5(11)$
$S_{10} = 55$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) $A.P.$ के $n$ पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $l$ अंतिम पद है।
दिए गए मान $a = 2$,$n = 8$,और $S_8 = 72$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$72 = \frac{8}{2}(2 + l)$
$72 = 4(2 + l)$
दोनों पक्षों को $4$ से विभाजित करने पर:
$18 = 2 + l$
$l = 18 - 2$
$l = 16$
अतः,अंतिम पद $l$ का मान $16$ है।

(A) $A.P.$ का $n$ वां पद $a_n = a + (n-1)d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$1$. $A.P.$ $1, 3, 5, 7, \ldots$ के लिए,$a=1, d=2$. छठा पद $a_6 = 1 + (6-1)2 = 1 + 10 = 11$ है। अतः,$(1-b)$.
$2$. $A.P.$ $3, 6, 9, 12, \ldots$ के लिए,$a=3, d=3$. ग्यारहवां पद $a_{11} = 3 + (11-1)3 = 3 + 30 = 33$ है। अतः,$(2-c)$.
$3$. $A.P.$ $4, 6, 8, 10, \ldots$ के लिए,$a=4, d=2$. सोलहवां पद $a_{16} = 4 + (16-1)2 = 4 + 30 = 34$ है। अतः,$(3-d)$.
$4$. $A.P.$ $5, 10, 15, 20, \ldots$ के लिए,$a=5, d=5$. इक्कीसवां पद $a_{21} = 5 + (21-1)5 = 5 + 100 = 105$ है। अतः,$(4-a)$.
अतः,सही मिलान $(1-b), (2-c), (3-d), (4-a)$ है।

(A) $A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_{n} = 2n - 1$ दिया गया है।
$10$ वां पद ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए सूत्र में $n = 10$ प्रतिस्थापित करेंगे।
$T_{10} = 2(10) - 1$
$T_{10} = 20 - 1$
$T_{10} = 19$
अतः,$A.P.$ का $10$ वां पद $19$ है।